7 asz m_2015_ru

6 Упражнения

УП РАЖ Н ЕН И Я Вариант 1

Числовые выражения. Выражения с переменными

1. Найдите значение выражения:

2. Составьте числовое выражение и найдите его значение:1) произведение суммы чисел -2 8 и 17 и числа 1,2;2) частное разности чисел 12 и 4,5 и числа -1 ,5 ;3) частное числа -1 6 и произведения чисел -0 ,8 и -0 ,0 5 ;4) произведение суммы и разности чисел 1,2 и 0,8;5) сумма произведения чисел 11 и -1 2 и частного чисел

0,72 и -0 ,6 ;6) разность квадратов чисел - 7 и 8;7) квадрат суммы чисел -5 ,4 и 3,8.


1) 12-8ж , если д: = 4; - 2 ; 0;О

2) а2 -З а , если а = 5; - 6 ; 0 ,1 ;3) Зт+4п, если т = 7, я = - 4 ;

1) 9 І - 8 - 3 —- 4 І - 1 0 —-4—-; ' 4 3 2 5 12’

5) ( -3 1 ,7 :6 3 ,4 -2 3 ,4 : (-11,7))-(-2,4);6) (-1 ,2+ 4 ,32 : (-Ц 8)): (-0,001) (-0 ,3);

4) (Зх-5)-у , если х = 0,3, у = -0 ,8 ;5) ( х + 7298): у, если х = 37306, у = 63.

Вариант 1 7

4. Заполните таблицу, вычислив значение выражения - 2 * + 3 для данных значений х.

* -3 -2 ~1 | 0 1 2 3- 2 * + 3 |

5. По условию задачи составьте выражение с переменными.Коля купил т ручек по 12 грн и 14 тетрадей по и грн, заплатив за тетради больше, чем за ручки. На сколько больше заплатил мальчик за тетради, чем за ручки? Вычислите значение полученного выражения при т = 7, п = 8.

6. По условию задачи составьте выражение с переменной. Мастер изготавливал о деталей в час, а его ученик — на 7 деталей меньше. Сколько деталей они изготовили вместе, если мастер работал 6 ч, а ученик — 4 ч?

7. Запишите в виде выражения:1) разность выражений 2х и 5г/;2) квадрат суммы выражений а и 0,6с;3) сумму куба числа х и квадрата числа у;4) квадрат разности чисел т и п ;5) разность квадратов чисел т и п.

8. Известно, что а - 6 = 6, с - 5 . Найдите значение выражения:4 (а -6 ) . л\ 2! 21) 4 ( а - 6 ) + 3с; 2) с(Ъ-а); 3)

с -3 (а -г> ) ’

Линейное уравнение с одной переменной

9. Решите уравнение:

4 ) 1 - с а-

1) -4 * = 28;

2) 0 ,7* = -4 ,2 ;

3) -1 ,4« = -5 ,6 ;10. Решите уравнение:

1) 2 * = 1 8 - х ;2) 7 *+ 3 = 3 0 - 2 * ;

3) 7 - 2 х = З х -1 8 ;

т * = -4>з5) 1 * = 1;

6) Зх = 7;

2 .9 ’ 7) |X. - 1 2 ;

8 ) - 2 1 * = й ;9) 18* = 9.

4) 0 ,2*+2,7 = 1 ,4 -1 ,!* ;5) 5 ,4 -1 ,5 * = 0 ,3 * -3 ,6 ;

6) ! * + 1 5 = 4 * + 1 0 .О 6

8 Упражнения11. Решите уравнение:

1) 3 ( * - 2 ) = * + 2;

2) 5 - 2 ( * - 1 ) = 4 - * ;

4) 3,4 + 2у = 7 (у -2 ,3 );

5) 0 ,2 (7 -2у ) = 2 ,3 -0 ,3 (у -6 ) ;

3) (7 *+ 1 )-(9 * + 3) = 5;

12. Решите уравнение:1) 3 *+ 6 = 2 ( 2 * - 7 ) - * ; 2) 6 ,2 (3 -2 * ) = 20-(12 ,4*+ 1,4).

13. При каком значении переменной значение выражения 4 * - 2 (2,4* -1 ,6 ) равно -4 ?

14. При каком значении переменной выражения 2 6 - 4 * и 1 2 * -7 ( * + 4) принимают равные значения?

15. При каком значении переменной значение выражения 4 (у -0 ,2 )+ 1,9 на 7 больше значения выражения 5 у - 6 (0,3 + у)?

16. При каком значении переменной значение выражения 3/га- 8 в 4 раза меньше значения выражения 5т -7 ?


4) |* + 3 1 = —4; 8) 2 1*| + 3 = 0;18. При каком значении а уравнение:

1) За* = 42 имеет корень, равный числу 7;2) (5 + а )* = 7 - 4 а имеет корень, равный числу 3;3) (4а -1 ) * = 1+ 16а имеет корень, равный числу 4?

19. При каком значении Ь имеют один и тот же корень уравнения:1) 2 * - 9 = 3 и * + ЗЬ = -1 0 ;2) 7 (* + 2) = 3* + 22 и 4 - 5 * = 2Ь -44?

20. Дано уравнение ах = 8. Укажите все значения а, при которых корнем данного уравнения является отрицательное число.

1) |*|=3; 5) |*| + 1 = 7; 9) |3* + 21-4 = 0;

2) |* —3 1 = 2; 6) |*|-2 = -3 ; 10) |2*-1| + 7 = 8.

3) | * —4 1 = 0; 7) 3 1 * |—1 = 0;

Вариант X 9

21. При каких значениях а:1) уравнение а х = 1 не имеет корней;2) уравнение (а + 3) х = 6 имеет единственный корень;3) корнем уравнения (о - 2) х + 2 = а является любое число?

22. Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения ах = А является целым числом.

23. Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения а х - - 6 является натуральным числом.

Решение задач с помощью уравнений

24. Бригада рабочих за две недели изготовила 356 деталей, причем за вторую неделю было изготовлено в 3 раза больше деталей, чем за первую. Сколько деталей было изготовлено за первую неделю?

25. На грузовую машину поместили в 5 раз больше груза, чем на прицеп. Сколько килограммов погрузили на прицеп, если на нем было на 148 кг груза меньше, чем на машине?

26. Провод длиной 456 м разрезали на 3 части, причем первая часть в 4 раза длиннее третьей, а вторая — на 114 м длиннее третьей. Найдите длину каждой части провода.

27. Одна сторона треугольника в 3 раза меньше второй и на 23 дм меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 108 дм.

28. Один килограмм конфет дороже килограмма печенья на 68 грн. За 8 кг конфет заплатили столько, сколько за 12 кг печенья. Сколько стоит 1 кг конфет и сколько 1 кг печенья?

29. За 3 ручки и 5 карандашей заплатили 93 грн. Сколько стоит ручка и сколько карандаш, если карандаш дешевле ручки на 7 грн?

30. Купили 14 открыток двух видов: по 8 грн и по 11 грн, заплатив за всю покупку 130 грн. Сколько купили открыток каждого вида?

31. За три дня турист прошел 64 км, причем за второй день он

прошел 1 расстоянии, пройденного за первый день, а за

10 Упражнениятретий — 40 % расстояния, пройденного за первый день. Сколько километров проходил турист каждый день?

32. Из села в город легковой автомобиль доехал за 2 ч, а грузовой — за 5 ч. Найдите скорость движения каждого автомобиля, если скорость грузового автомобиля на 48 км/ч меньше скорости легкового.

33. В первом шкафу было в 4 раза меньше книг, чем во втором. Когда в первый шкаф поставили 17 книг, а из второго взяли 25 книг, то в обоих шкафах книг стало поровну. Сколько книг было в каждом шкафу сначала?

34. У Васи и Маши было поровну денег. Когда Вася купил книгу за 70 грн, а Маша — альбом за 30 грн, то у девочки осталось денег в 3 раза больше, чем у мальчика. Сколько денег было у каждого из них сначала?

35. В первом ящике было в 7 раз больше апельсинов, чем во втором. Когда из первого ящика взяли 38 апельсинов, а из второго — 14, то во втором ящике осталось на 78 апельсинов меньше, чем в первом. Сколько апельсинов было в каждом ящике сначала?

36. С одной станции вышел поезд со скоростью 56 км/ч, а через 4 ч с другой станции навстречу ему вышел другой поезд со скоростью 64 км/ч. Сколько времени был в пути каждый поезд до встречи, если расстояние между станциями равно 584 км?

37. В одном магазине было 200 кг конфет, а в другом — 276кг. Первый магазин продает ежедневно по 14 кг конфет, а второй — по 18 кг. Через сколько дней во втором магазине останется конфет в 1,5 раза больше, чем в первом?

38. Лодка плыла 2,8 ч по течению реки и 3,4 ч против течения. По течению лодка прошла на 4,4 км меньше, чем против течения. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч.

Вариант 1 11

39. У мальчика было 22 купюры по 5 грн и по 10 грн, всего на сумму 150 грн. Сколько купюр каждого номинала было у него?

40. Токарь планировал изготавливать ежедневно по 24 детали, чтобы выполнить задание вовремя. Но он изготавливал ежедневно на 15 деталей больше и уже за 6 дней до окончания срока работы сделал 21 деталь сверх плана. За сколько дней токарь планиробал выполнить задание?

41. В первом бидоне было в 4 раза больше молока, чем во втором. После того как из первого бидона перелили во второй 20 л молока, оказалось, что объем молока во втором бидоне составляет — того, что осталось в первом. Сколько8 ■ I "литров молока было в каждом бидоне сначала?

42. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 10 км, одновременно в противоположных направлениях выехали велосипедист и мотоциклист, причем скорость мотоциклиста была на 30 км/ч больше скорости велосипедиста. Через 36 мин после начала движения расстояние между ними стало равным 40 км. Найдите скорость велосипедиста.

43. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 26 км, вышел пешеход со скоростью 4 км/ч. Через 12 мин из пункта В в пункт А навстречу ему выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через сколько часов после выезда велосипедиста они встретились?

Тождественно равные выражения. Тождества44. Какому из данных выражений тождественно равно выра

жение -4 а + 6Ь -З а-7Ь :1 ) - 7 а+Ь; 2 )7 а -Ъ ; 3 ) - 7 а -Ъ ; 4) 7а + Ь7

45. Докажите тождество:1) а - ( 4 а -1 1 )+ (9 -2 а ) = 20 -5 а ;

2) 6 (ЗЬ - 4) - 5 (ЗЬ -11) + 2 = ЗЬ + 33;

3) 1 0 - 9 (с - | ) + 7 с -1 6 = -2с.


46. Докажите, что не является тождеством равенство:1) (а -1 )2 = а2- 1 ; 2) (с -2 )(с + 3 )= (с -2 )с + 3 .

Степень с натуральным показателем47. Найдите значение выражения:

1) 26; 3) 0,62; 5) (|)3; 7) (1|)3;

2 ) ( -7 )2; 4) 72; 6> 8) ( " ^ Г

48. Вычислите:

1) 43 + 35; 4 ) (-0 ,6 )3 -( -0 ,5 )3;

2) (-8)2 - ( - I ) 10; 5) (63 :4 0 0 + 0,33) : (-0Д)2;

3 )7 -( -| )2; 6 )(3 ,8 -4 ,1 )4 -(-1|)3.

49. Не выполняя вычислений, сравните:

1) (-4,6)2 и 0; 3) (-Ю )6 и (—8)4;

2 )0 и (-2 ,7)3; 4 ) - б 6 и (-6 )6.50. Составьте числовое выражение и наймите его значение:

1) сумма куба числа 5 и квадрата числа - 8 ;2) куб разности чисел 8 и 9;

3) разность квадратов чисел -2 ^ и 1̂ -.<ь 451. Найдите значение выражения:

1) 14а2, если а = -| ; 4) ха - х 2, если * = 0,1;

2) 1 6 - с 4, если с = -2 ; 5) (х + у)5, если х = -0 ,8 , у = 0,6;

3) (18ж)4, если х = ^ ; 6) а362, если а = 1^, й = -1^ .6 3 252. Какое наименьшее значение и при каком значении пере

менной принимает выражение:1) ж2 - 5 ; 2) ( * - 1 ) 4 + 12; 3) 2 + (*+ 4 )2?

53. Какое наибольшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:1) - х 2 - 5 ; 2) 3 - ( * + 1 )2; 3) - ( * + 7)4 +1?

Вариант 1 13

Свойства степени с натуральным показателем

54. Представьте в виде степени произведение:

1) т5т3; 4) 59 -54; 7) (т -п )* (т -п )3-,

2) ххв; 5) V; 8) гьггхгг\

3) а4а4; 6) с7ес2; 9) ( * - 2)*{х - 2)*.55. Представьте в виде степени частное:

1) а12: а4; 2) с8 : с; 3) (а + Ь)п :(а+Ь)7.

56. Замените звездочку такой степенью с основанием а, чтобы выполнялось равенство:

1) о8 -* = о13; 3) а7 :* = а3; 5) * : а 6 а6 = а9;

2) аи * а = а16; 4) * : а 13= а25; ' 6) а4 * :а 1з = а2.

57. Представьте выражение в виде степени и вычислите его значение:

к12 к4■1)3*-а*: « Ь т - ’5

2Ч ОІЗ . гав, 7) °.39 °,3182 )3 -3 ’ о,з23-о,з

3) 75 -712:714; 8) 23 1 28;

4) 378 : 377 -37; 9) 8 1 :33 *34;

58. Представьте степень в виде произведения степеней:

1) (аЬ)8; 3) (2х)5; 5) (-0,1/пп)6;

2) (хуг)10; 4) (-3аЬ)4; 6)

59. Представьте в виде степени выражение:

1) а 7Ьг; 3) 25а2&2; 5)

2 ) -/и9; 4) 16дс4у4; 6) 1000 000/е6/ -

14 Упражнения60. Найдите значение выражения:

и м » . * 5) ( ї ї )П .(А )12;

2) 25 -55; 4) 0Д259 -89; 6) 0,2520-418.61. Представьте в виде степени с основанием а выражение:

1 ) (а6)2; 4) (а4)3; 7) (а10)3 (а5)4;

2) (-а 5)4; 5) ((а3)2)5; 8) (-а 6)7 (-а 3)3 : а15;

3) а4а3; 6) (а9)5 :а 30; 9) а24 :(а8)2 а13.

62. Является ли тождеством равенство:

1) т 5т 3 = т 15; 3) т6п6 - (т п )12;

2 ) т 12:т 3 = т4; 4) (т3)2т4 = т.10 ?


12 3 51) 218 :(27)2;, 3) II5 (II3)7 ;II26; 5) - 5 <6 Ь

(6 ) -6

2) (78)2 :(73)5; 4) 92 -27; б) —5


1) 3) 5) -|Є ^;ЗЗ6 45 2 *3

ОО® , 9 Ю ч с 42 ) - ^ ; 4 ) 1 — 1 ~ ; 6 )1 % .

7 * 4 54 12

Одночлены

65. Приведите одночлен к стандартному виду, укажите его коэффициент и степень:

1) 8 Л ж 5; 4 ) -2І/ге2 -6отп3;

2) За-0,5Ь-4с; 5) - 2 х а 0,1х3у ( -5 у ) ;

3 )3 а ( -2 а с ) ; 6) р {~д) р 20.

Вариант 1 15

66. Найдите значение одночлена:

1) 4ж2, если ле = —3;

2 ) -3 ,2а2Ь8, если а = 1 , Ь = - 1;

3) А . ^ е сл и * = -7 , у = 0,6;

4) 0,6аЬс3, если а = 1,2, Ь = - 5, с = 3.67. Выполните умножение одночленов:

1) 7тп2 (-2т 2п6); 4) 0 ,4 5 т 3га2р4 1 ^ т 8ли / ;

2) 0,4а8г»5-1,За36; 5) -12х3у9гХ01^х7у,

3) -2,8Ь3с7 -1,5Ь2с5; 6) § а 5с ( - Ш 3с2)1 ,2 а 8&6.

68. Выполните возведение в степень:

1) (3/п7п5)2; 3) (-5а4Ь2с3)2; 5) (13х5і/6г7)2;

2 ) ( - 2 * 3у)3; 4)(~|аЬ5)4; 6) ( г А / А 18) .

69. Преобразуйте в квадрат одночлена стандартного вида выражение:1) 4а4; 3 )0 ,49а8Ь10;

2) 16абЬ2; 4) 324а10Ь12с16.70. Преобразуйте в куб одночлена стандартного вида выра

жение:1) 8ав; 3) 0,027а9Ь3°;

2) -М О О Л 12; « - А - а ^ У 08.

71. Упростите выражение:

1) 5а6 (-ЗааЬ)2; ; 4) - і | т 4п3 - (-А т 8/ ) 3;

2 ) ( - * У ) 7 - 8 * У ; 5) 2 І а 5Ь-(|аг»3)3;

3) (~0,1а2&с6)2 ■ ЮОЬс4; 6) (~ 5аУ )3 - і - і а 2с6)*.

16 Упражнения72. Представьте данное выражение в виде произведения двух

одночленов, один из которых равен 4а 2Ъ3:

1) 8а 3Ь5; 2) -20а10&3; 3) -4 ,8а2Ь7; 4) 2|а1бЬ6.

73. Известно, что ЗаЬ4 =5. Найдите значение выражения:

1) 1,2а£>4; 2) 6о3612; 3) -1 2 а 2Ъъ.

Многочлены74. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида

и укажите его степень:

1) 4а2Ь-ЗаЬ2- а гЬ + 2аЬг;

2) я2+4а:-5+л:2 -З я + 2;

3) 10а-0Ь + Ъс-4й + 9а -2Ъ -В с-2Ф ,

4) 2а4 - 8а 3Ь - 2 а 2Ъ2 - 4аЬ3 - За4 + 8а 3Ь + 9а2Ъ2 + аЬ3.75. Приведите подобные члены многочлена и найдите его зна

чение:

1) -4 а 3 +10а2 + 8а3 -1 2 а 2 +5а, если а = -2 ;

2) 0,3&3 -0Д&2-0^6Ь-0,5&3+ 0,6&-3, если Ь = 3;

3) За2Ь-аЪ 2 + 2а2Ь-6аЬ2 + 9аЬ, если а - 0,2, Ь = - 5;

4) -0 ,6 х -2 6 х у 2 -7 4 х у 2, если х = -8, у = 0,3.

Сложение и вычитание многочленов


1) (6*2 - 7 х + 4 ) - (4 * 2 -4х + 18);

2) (3* + 9) + ( -х 2 - 1 5 х - 40);

3) (10а2 -6 а + 5 ) - (-11а + а3 +6);

4) (1 Зху - 1 1х2: + 10у2) - ( -1 5х2 +1 Оху - 1 5у2);

5) (14ай2-17а£ + 5а2&)+(20аЬ — 14а2&);

8)

Вариант 1 17

77. Докажите тождество:

1) (а2 - Ъ2 + с2) - (а2 + с2 - Ъ2) - (Ъ2 - с2) = с2 - Ь2;

2) - а 2 - ( 3 - 2 а 2) + (7а2 -8 ) - (5 + 8 а 2) + 1 6 - 0 ;

3) (х3 + 2 *2) - (* +1) - (х2 - х ) + ( 4 - х 3) = х2 +3.

78. Докажите, что значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:

1) (-3/ге4 +7ге3+6)-(2тга4 -7га3 -1 ) + (5/га4 -2/те3 -10);

2 ) ( # “ 2 - | “ * ) + ( 1 - ( I “ 2


1) 1 4 - ( 2 + 3 * - х 2) = х2 + 4 * - 9 ;

2) 1 5 -(2 х 2 -4ле)-(7х-2я:2) = 0;

3) (у3 + 4у2 - 6) - (Ъу - у3 + 6) = 2у3 + 4у2 + у.80. Найдите значение выражения:

1) 6а2 -(9 а 2 -5аЬ)+(За2 -2аЬ), если а = -0,15, Ь - 6;

2) (7 х у -3 х 2) + 9х2 ~(6х2+ 2ху), если х = у -2 ^ - .15 1981. Вместо звездочки запишите такой многочлен, чтобы обра

зовалось тождество:

1) * - ( 5 * 2 -4*1/ + у2) = 7 *2 -3;е1/;

2) а2+4а3 -5 а б- ( * ) = За3 + а2 - 6 .

82. Докажите, что выражение

(5*8 - 7 * 3) - (4 х 4 -З х 3-5 )+ (4 х 4 + 4 *3 -3 )

принимает положительные значения при любых значениях х. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х?

83. Докажите, что значение выражения (13га- 4 ) -(8га-19)

кратно 5 при любом натуральном значении га.84. Докажите, что значение выражения (8га+ 1 ) - (4га-3 ) крат

но 4 при любом натуральном значении га.


85. Докажите, что при любом натуральном га значение выражения (5га+ 4 ) - (2га+ 3) при делении на 3 дает остаток, равный 1.

86. Представьте в виде многочлена выражение:1 ) bac; 2) abc + ас; 3) c a b - c a ; 4) сЬа-аЪ.

87. Докажите, что сумма чисел ab и Ьа кратна 11.88. Докажите, что разность a b - ( a + b) кратна 9.

89. Представьте многочлен 4хгу+ 7х3-5 х + 6 у ~ 1 0 в виде суммы двух многочленов таких, чтобы один их них не содержал переменной у.

90. Представьте многочлен Зху2 +5х4 - б х 6 +8ху - 9 у +11 в виде разности двух многочленов с положительными коэффициентами.

91. Представьте многочлен х 2 + 8 х -1 1 в виде разности двух двучленов.

Умножение одночлена на многочлен

92. Выполните умножение:

1) Зх (х2 - 2х + 3); 4) 0,6а2Ь (3ab2 -8аЬ + 11а V ) ;

2) -4 а (а2 - ЗаЬ+7Ь); 5) 1±/гага(|/га3 -|/гага2 -|га41;

3) (2у3- 6 у 2 + 12)-(-l,5ÿ3); 6) -2c3d4(8c2 - c 3d+4d3).

93. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение:1) 2,5 (6 jc - 4) + 3 (де - 3) - 8 (1 -

2)3x (x -8)-Q(x 2 + 2x );

3) 5а (а2 - 4 а ) - 8 а (а2 -6 а );4) 2 у ( х -у ) + у (7 у -3 х ) ;

5) 0,2а2(а2 - 4 а + 1 ) -0 ,4а (а3 + 12а2 -8 а );

6) 10х(5х2 -7 у ) -6 х (5 у + 9х2);7) 7/га (тга - Зга) - 15га (3/га+ га)+ 4/га (-/га+ 8га);

8) Зс3 (с - 4) - 2с (с3 - 6 с 2 + 2с) - с (9 + с3).

Вариант 1 19

94. Упростите выражение и найдите его значение:1) 4 х ( 2 х -4 ) -6 х ( З х -2 ) , если ж = -8 ;

2) ЗаЬ (5а2 - 2Ь2)+7аЬ (2Ь2 - За2), если а = -1 , 6= 2;

3) 2а8(За2 - а + 4 ) - 6 а б, если а = - 3.

95. Докажите, что значение выражения

х (4 *2 - 3) + х2 (6 - х) - 3 (х3 + 2хг - х - 8)

не зависит от значения х.

96. Докажите, что выражение Зх4(6 -8 х ) - 6 х 3(Зл:-4х2 + х3)

принимает неположительные значения при всех значениях X.

97. Решите уравнение:1) Злг(ж-7)-х(4+Зж) = 5;

2) 5 х - х 2 + 3 = х ( 2 - х ) ;

3) х ( 4 х + 1 ) -7 (х 2 -2 х ) = 3 х (8 -х )+ 6 ;

4) 6 (х2 - 4 ) - 4х(х + 3) = 2х2 - 1 2х -1 2 .

98. При каком значении переменной значение выражениял

9х ( х +6) на 8 больше значения выражения 6 (1,5л: - х)1

99. При каком значении переменной утроенное значение

трехчлена х3 + х 2 - 2 равно сумме значений выражений

х (х2 + 2х) и 2 (х3 + 0,5х2 - 2х)?г

100. Решите уравнение:Л\ х . х 15. с\ х + 14 х-12__о.1 ) 3 + 1 2 " Т ’ 5) 6 8 - 3’

2 ) * ^ 4 - * = 5 ; б )1 х ^ 4 - М + 3 . = й^Ж;' 3 2 ' 9 4 6 ’

о \ х - 1 _ 4 + 5 х . 7х-3 4х + 3 __о.7 ) ~ 9 ~ 6

4 ̂ х + 8 х - 2 _ о. 9х-5 5дс + 3 ,3 5 2 3 4


101. Длина прямоугольника в 2 раза больше его ширины.Если ширину прямоугольника увеличить на 4 м, то его

2площадь увеличится на 32 м . Найдите исходную длину прямоугольника.

102. Турист прошел маршрут длиной 110 км за три дня. За второй день он прошел на 5 км меньше, чем за первый,

- 3 ~а за третии день — у расстояния, пройденного за два

первых дня. Сколько километров прошел турист за каждый из дней?

Умножение многочлена на многочлен

103. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение:

1) (а-3)(& +4); 7) ( -а -1 ) (а 3 + 5);

2) (я -7)(я : + 3); 8) (2/га2 -Зга) (3/га2 + 2га);

3) (2у+1)(5у-6); 9) (ж -6 )(ж2+ 2 * -3 ) ;

4) (4/га2 + 6)(4тга-6); 10) (а-4Ъ )(а2 +ЗаЬ-6Ъ2);

5) (З а -Ъ)(2а-76); 11) а (4 а - 5 ) (2а+ 3);

6) (2*2 - х) (8 *2 -2 х ) ; 12) -5с2 (6 - 4с) (2с2 + 7с).

104. Упростите выражение:1) ( * - 2 ) (ж- 1 1 ) - 2 * (4 -3 * ) ;

2) (а + 6 )(а -3 )+ (а -4 )(а + 5);

3 )(у -8 )(2 у -1 )-(З у + 1 )(5 у -2 ) ;

4) (3/га-4га)(3/га+5га)-(4,5/га-га)(2/га+4га);

5) (х2 + 2у) (х3 + 7у) - 6х\ х2 - 3у).

105. Решите уравнение:1) (лг+ 6)(х-1)-(х + 3 ) ( * -4 ) = 5х;

2) 14*2 - (2 * -3 ) (7 * + 4 ) = 14;

3) (8* +10) (3 - ж) = (11 - 2х) (4х + 5) - 5;

4) (*+ в )(л :-3 )-(ж + 3)(іс+9) = 9.

Вариант 1 21

106. Упростите выражение и найдите его значение:1) ( х - 2 ) (х + $ ) - (х + 3 ) ( х -4 ) , если лс = -4 ,5 ;

2) (а -6 )(а + 1 )+ (2 -а )(3 + 4а), если а = -1^ .О

107. Докажите, что при любом значении переменной значение

выражения (х - 2) (х2 - * + 3) - (х2 + 5 ) (х - 3) равно 9.

108. Докажите, что значение выражения(п -2 ) (п + 2 )- (п -1 1 )(п + 2 )

кратно 9 при всех натуральных значениях п.109. Найдите четыре последовательных натуральных числа

таких, что произведение четвертого и второго из этих чисел на 13 больше произведения третьего и первого.

110. Длина прямоугольника на 6 см больше его ширины. Еслидлину уменьшить на 2 см, а ширину уменьшить на 10 см,

2то площадь прямоугольника уменьшится на 184 см . Найдите исходные длину и ширину прямоугольника.

Разложение многочлена на множители.Вынесение общего множителя за скобки

111. Разложите на множители:

1) 8а-12Ь ; 7) 21а2Ь + 28аЬ2;

2 ) 3 а -а Ъ ; 8) - 3 * 6 + 12*12;

3) бах + бау ; 9) 4а2 - 8 а 3 + 12а4;

4) 4а2 +8ас; 10) 6т3п2 + 9т2п - 18/пп2;

5) аб + а2; 11) 26*3 - 1 4 * 2у + 8 *2;

6) 12х2у-Ъ ху ; 1 2 ) -15а3Ь2с -1 0 а 2Ь2с2 -5аЬ2с3.

112. Разложите на множители:1) а (т + п ) -Ь (т + п ); 4) 5х ф - с ) - ( с - Ь ) ;

2) х {2а-5Ь )+ у(2а-5Ь ) ; 5) (а -4)2-5 (а -4 );3) 2т (а-Ь)+ Зп(Ь~ а); 6) (л-б)(2у+4)^(зс-5)(4у+1).



1) у2 - 5 у = 0; 3) 12*2 - * = 0;

2) х2 +4х = 0; 4) 8 *2 + 6* = 0.114. Докажите тождество, используя вынесение общего мно

жителя за скобки:1) (За - 5Ь) (а2 + 2аЪ - 462) - (За - 5&) (а2 + 2аЬ - 7Ь2) =

= 362(3а-56);

2) (2а -1 ) (6І>2 + 3& - 8)+(1 - 2а) (6&2 + 3&-10) = 4а - 2.115. Докажите, что значение выражения:

1) 86 + 215 кратно 9; 3) 95 - 38 кратно 24;

2) 144 - 7 4 кратно 5; 4) 64 - 3 6 кратно 7.

Разложение многочлена на множители. Метод группировки

116. Разложите на множители:1) a b + a c + xb + xc; 5) 10а&-2а+5Ь2

2) 5a + 5 b - a m - b m ; 6) 2х3- З х 2у - 4 х + 6у;

3) б т - т п - б + п; 7) х2у - х + ху2- у ;

4) а6 + а4 - 3 а 2 - 3 ; 8) am 2- а п - Ь т 2+ с п - с т 2+ Ьп.117. Разложите многочлен на множители и найдите его зна

чение:1) 12а2 - 1 2 а * - 7 а + 7л:, если a = ll> * = § ;О и2) 5дг3 -л:2 -5а:+1, если ж = 0,2.

118. Найдите значение выражения:1) 32 ,4 -6 ,7+ 17,6-8 ,3-32 ,4 1 ,7 -3 ,3 17,6;

2) 4 | -6 | -3 ,6 :1 + 4|

119. Разложите на множители трехчлен, представив предварительно один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:1) х2 +6лс + 8 ; 3) jc2 + 5jc—6;

2) х 2 -7х+6', 4) X 2 - 2 х - 3 .

Вариант 1 23

Произведение разности и суммы двух выражений

120. Представьте в виде многочлена выражение:

1) (а + 5 )(а -5 ); 6) { і0 х * у - ± х у 2}{ і0 х гу + ± ху2}-,

2) (4 + х ) (х -4 ) ; 7) (0,4тоб+0Дп3)(0,1п3-0,4те5);

3) (2а-7 ) (2а+ 7); 8) (а3 -Ь 3)(а3 + Ъ3)(а6 +Ь6)-,

4) (12*+131/)(13у-12*); 9) (-а 8 -Ь 3)(&3- а 8);

5) (а3 -Ь 4)(а 3 + Ь4); 10 ) ( і ,6* 9 +|і/2)(|у2 - 1 ,6* 9).

121. Упростите выражение:1) (а + 3 )(а -3 )-2 а (4 + а);

2) (2 а + 1 )(2 а -1 )+ (а -7 )(а + 7);

3) (4* - Зу) (4* + Зу)+(Зх+4у) (4у- Зле);

4) ( у - 3 ) ( 5 - у ) - ( 4 - у ) ( у + 4 ) .122. Решите уравнение:

1) (ж-1 ) ( лс+ 1 ) -л:(л:- 3 ) = 0;

2) 2л(3 + 8*)-(4д :-3)(4ж + 3) = 1,5*;

3) (х -6 ) (х +6) - (2х - 3) (х - 1) = 6 - х2.

Разность квадратов двух выражений


1) х 2 - 4 ; 6) а4 -Ь 6;

2) 25 - 9 а 2; 7) 0,01с2 - й 8;

3) 36то2 -100п 2; 8) 0,81у10-4 0 0 г12;

4) 0,04р2 -1 ,69?2; 9) -1 +49аV і;

Ь ) х 2у2- ± і 10) і | т 2га2 - і і і а 6Ь2.у у124. Разложите на множители:

1) (ЗЬ-5)2 3) а4 — (а —7)2;

2) (2л:-3)2 -(лг + 4)2; 4) (а -Ъ + с)2 - ( а - Ь - с ) 2.



1) х2 -6 4 = 0; 3) 9л:2+16 = 0;

2) 4х2 -2 5 = 0; 4) (2л:-З)2 - 36 = 0.

126. Докажите, что при любом натуральном п значение выражения:

1) (5га + 9)2 -1 6 делится нацело на 5;

2) (7л + 10)2 -(га-2)2 делится нацело на 8.

Квадрат суммы и квадрат разности двух выражений


1) (х + З)2; 6) (0,2л:-1 0 у)2; 11) (-116 + 2а5)2;

2) (4 -у )2; 7) (9/га+і/і)2; 12) ( -8 -4 с )2;

3)(а+ 1& )2; 8) (а2 - I ) 2; 13) (і| р + 2|9)2;

4 )(2то -5 )2; 9) (л;3 -л;2)2; 14) (12ху2 - х 2у)2;

5) (7а+66)2; 10) (р2+ / ) 2; 15) (4а6 + За463)2.


1) ( х -4 ) 2 - 6 ; 5) 6 ( 6 -3 ) - ( 6 - 4 ) 2;

2) 1 0 а + (а -5 )2; 6) (12а-6)2 -(9 а -6 )(1 6 а + 26);

3) (Зт -7п)2 - 9 т (т -5 п ) ; 7) х (2л:—9)2 -2л :(15 + л:)2;

4) (6а - 36)2 + (9а + 26)2; 8) (л: + 2)2 - (х -3 ) (л:+3);

9) (7а - 56) (7а + 56) - (4а + 76)2;

10) (у - 2) (у + 3)- ( У - I ) 2 +(5 - У) (У + 5).129. Решите уравнение:

1) (х + 5)2-(л;-1)2=48;

2) (2л:-3)2+(3-4дс)(л:+5) = 82;

3) х (х - 3) (4 - х) = 16 - х (л:- 3,5)2;

Вариант 1 25

4) (4 * -1 )2 - ( 2 * - 3 ) ( 6 * + 5) = 4 ( * - 2 ) 2+16*;

5) ( * - 1 ) ( * + 1) = 2 (*~ 5 )2 - * ( * - 3 ) .130. Упростите выражение и найдите его значение:

1) (х -3 у )2 - { 3 х - у ) 2, если * = -3 , у = з| ;

2) (с2 - З)2 - (с2 - 4) (с2 + 2) + 4 (5 - с)2, если с = -0 ,05 ;

3) (тга + 5)2 -(/га-4)(7га+4), если тп = - 3,5;

4) (а3 -2 ) (а 8 + 2 )-(а 3+3)2, если а = -2 .131. Замените звездочки такими одночленами, чтобы образо

валось тождество:

1) (*+ 5)2 = * 2 + *+ 25 ; 3) ( * - * ) 2 = 9 *6 - * + 1 0 0 * У ° ;

2) (6а5 +*)2 = * + *+49Ь4; 4) (562 - * ) 2 =*-ЗО а2Ь3 + * .

Преобразование многочлена в квадрат суммы или разности двух выражений

132. Представьте трехчлен в виде квадрата двучлена:

1 ) а 2+8а + 16; 5) а6 - 4 а 3Ь+462;

2) 9 * 2 -6 * + 1 ; 6) 25р10 + д8 +Юрб94;

3) 121/га2 -88/гета+16га2; 7) ^ х 4 + 2 * У + 169у4;

4) 24а6 + 36а2+4Ь2; 8) ^га6 +3/гега5 + 16тга2га4.

133. Замените звездочку таким одночленом, чтобы полученный трехчлен можно было представить в виде квадрата двучлена:

1 ) * - 2 Ъу + у2-, 4) * + ЗОтга3га2 +9га4;

2) 9с2 + 1 2 с + * ; 5) а 4 -0 ,8 а 6 + * ;

3) 6 4 *2 -* + 8 1 у 2; 6) * - аЪ+±Ь2.


1) ж2+ 10*+ 25 = 0; 2) 49*? - 4 2 * + 9 = 0.



1) (а -9 )2 + 2 (а -9 ) (а + 4)+(а + 4)2, если а = -1,5;

2) (5а -10 )2 - (З а -8 )2+4а, если а = 6.

136 .Докажите, что выражение л:2 + 6 л: + 11 принимает положительные значения при всех значениях х. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х?

137. Докажите, что выражение ~х2- 4 х - 5 принимает отрицательные значения при всех значениях х. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х?

138. Докажите, что уравнение не имеет корней:

1) * 2 - 1 0 * + 27 = 0; 2) х 2 + х +1 = 0.139. Докажите, что выражение (а - Ь) (а - Ъ+4) + 4 принимает

неотрицательные значения при любых значениях переменных.

Сумма и разность кубов двух выражений140. Разложите на множители:

1 ) т 3 - п 3; 3 )2 7 а3 -Ь 3; 5 ) х 6 - у 9-,

2) с3 + 8; 4) 125+а3й3; 6) 1000а1263+ 0,001с9«г16.141. Упростите выражение:

1) ( х -1 ) (х2 + х +1)+(3 - х) (9 + Зх + х2);

2) (ж + 2) (х2 - 2х+ 4) - х (х -3 ) (х + 3);

3) а (а + 2) (а - 2) - (а - 4 ) (а2 + 4а +16);

4) (а +1) (а -1 ) (а2 - а +1) (а2 + а +1) (а6 +1) (а12 +1) (а24 +1).142. Решите уравнение:

1) (4 - 5х) (16 + 20л: + 25а:2) + 5х (5х-2 ) (5х + 2) = 4;

2 ) 8 1 ( | л: - 1 ) ( ^ л:2 + + 1 ) - З л: ( л: - 2 ) 2 = 1 2 л:2 .

143. Разложите на множители:1) (а + 7)3 - 8 ; 2 ) ( а - 2 ) 3 + 27.

Вариант 1 27

Применение различных способов разложения многочленана множители


1) 11т2 -1 1 ; 6> -8аб+8а3 -2 а ;

2) 6а3 - 6 а ; 7 )5 а 3 -40Ь6;

3 )5 х3-5ху2', 8) а3- а Ь - а 2Ь + а 2;

4) 8а 2Ъ2- 12а2с2; 9) а -З Ь + а2- 9Ь2;

5) 2х2+ 24ху+72у2; 10) ас4- с 4 ~ас2+ с2.


1) х2+2ху + у2-4 9 ; 5) Ь6 -4&4 + 1262 -9 ;

2) а2 - 9Ъ2 + 6Ъс - с2; 6) т3 + 21п3 + т2 + бтп + 9п2;

3) х3у2- х у - х 3 + х; 7) а 2+2аЪ+Ъ2- с 2+ 4сс!-Ы 2\

4) а3+ 8 - а 2 -2 а ; 8) а2 - Ь 2 +4а+4.


1) 6 * 3 -24л; = 0; 3) * 3 + 3 *2 - 4 * - 1 2 = 0;

2) 25х3 -10я:2 + я: = 0; 4) х3-5 х 2+ 9 х -4 5 = 0;

5) 2х4 + 6х3 -8 х 2 -2 4 х = 0;

6) л:6 - 2 л:4 + л:3 - 8 л:2+16ж- 8 = 0.

147. Разложите на множители трехчлен, выделив предварительно квадрат двучлена:

1 ) * 2 - 2 * - 3 ; 3) х2 + 6х-7 ;

2) х2 + 4ж -5 ; 4) лс2 - 8 л - 9 .

148. Известно, что а + Ь = 5, а& = 4. Найдите значение выражения:

1) а 2Ь+аЬ2; 2 ) а 2 + Ь2-, З ) а 3+Ъ3.


Связи между величинами. Функция

149. На рисунке 1 изображен график изменения температурывоздуха в течение суток. Пользуясь этим графиком,определите:1) какой была температура воздуха в 2 ч; в 7 ч; в 22 ч;2) в котором часу температура воздуха была 3 °С; 1 °С;

- 3 °С; О °С;3) какой была самая низкая температура и в котором

часу;4) в течение какого промежутка времени температура

воздуха была ниже О °С; выше О °С;5) в течение какого промежутка времени температура

воздуха понижалась; повышалась.150. На рисунке 2 изображен график движения туриста.

1) На каком расстоянии от дома был турист через 6 ч после начала движения?

2) Сколько времени он потратил на остановку?3) Через сколько часов после выхода турист был на

расстоянии 8 км от дома?

Оп к«"&£&ой

ЙX”

\о 1 А ) 1 1 1 1 1 1 1 1 А 0 ?,й ?,‘

■2 В ре ш ,4

А

>6

Вариант 1 29

Рис. 2

151. В начале нагревания температура воды была 12 °С. Во время нагревания температура воды повышалась каждую минуту на 3 °С.1) Запишите формулу зависимости температуры Т воды от

времени t ее нагревания.2) Найдите значение температуры Т, соответствующее

значению времени £ = 4; 7; 10.152. Рассмотрим функцию /, заданную следующим правилом:

каждому натуральному числу поставили в соответствие остаток при делении его на 9. Найдите:1) область значений функции;2) / (12), / (15), / (27),

Способы задания функции

153. Функция задана формулой у = -2х + 9. Найдите значе

ние у, если:1) * = —1; 2) * = 2 ; 3) * = 2,5; 4) х = 7.

154. Функция задана формулой у - х ( х - 1). Заполните табли

цу-X - 3 -2 -1 0 1 2 3

У

зо Упражнения

155. Дана функция f(x) =

Рис. З

х 2, есл и *< -1 ,* + 5, если - 1 < х < 4 , 3, если х > 4 .

Найдите: 1)/(-2); 2)/(-1); 3)/(2); 4)/(4); 5)/(4,1).

График функции

156. На рисунке 3 изображен график некоторой функции. Пользуясь графиком, найдите:1) значение у, если * = -2 ,5 ; - 2 ; -0 ,5 ; 0; 0 ,5 ; 2; 3;2) значения х, которым соответствует значение у = -2 ,5 ;

1 ,5 ;-1 ;3) значения аргумента, при которых значение функции

равно нулю;4) область определения и область значений функций.

157. Принадлежит ли графику функции у = х 2 +1 точка:

1)А (0; 1); 2 )В ( -1 ; 1); 3) С ( -2 ; 5); 4) Я (2; 5); 5 ) £ (3 ; 7)?

158. Функция задана формулой у = х2 - 4, где -3 < * < 2.1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.

Вариант 1 31

2) Постройте график функции, пользуясь составленной таблицей.

3) Пользуясь графиком функции, найдите, при каких значениях аргумента значения функции отрицательны.

159. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика функции у = х2 + 7х.

Линейная функция, ее график и свойства

160. Функция задана формулой у = - 2 х + 3. Найдите:1) значение функции, если значение аргумента равно: -3 ;

4,5; 0;2) значение аргумента, при котором значение функции

равно: 7; — 3; 0.161. Постройте график функции:

1) у = х - д ; 3 )у = | * - 4 ; 5) у = 6 -^ ж ;

2) у = 2х+1; 4) у = 0,6х + 2; 6) у = -2х.

162. Функция задана формулой у = ̂ х. Найдите:

1) значение у, если х = 8; А; - 4 ; - 3 ;а

2) значение х, при котором у — 0; 16; 0,3.4163. Постройте график функции:

1 ) у = 3 х ; 2) у = - х ; 3) у = - ^ х ; 4) у = 0,2*.

164. Постройте в одной системе координат графики линейных функций у - 4 и у = - 3.

165. Постройте график функции у = 2 х -6 . Пользуясь графиком, найдите:1) значение функции, если значение аргумента равно: 4;

- 1; 0;2) значение аргумента, при котором значение функции

равно: - 2 ; 0; -4 ;3) значения аргумента, при которых функция принимает

положительные значения.


166. Постройте график функции у = 1,5х. Пользуясь графиком, найдите:1) значение функции, если значение аргумента равно: 4;

- 2;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно - 6 ;

3) значения аргумента, при которых функция принимает отрицательные значения.

1 67 .Не выполняя построения графика функции у = 2 ,4х-3 ,

определите, через какие из данных точек проходит этот график:А (-3 ;-1 0 ,2 ); В (1,5;0,6); С (1 ;-0 ,4); 2)(5; 15).

168. Постройте в одной системе координат графики функций и укажите координаты точки их пересечения:

1) у = х+1 и у = -Зх + 5; 2) у = - \ х + 3 и у = 2 х - 4 .О169. Не выполняя построения, найдите координаты точек пе

ресечения с осями координат графика функции:

1) г/ = 2,5л:—10; 2) у = ̂ х+ 4 ; 3) у = 6 х - 2 ; 4 )у = 5 -3 х .

170. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций:

1) у = 2 ,7 х -8 и у = 1,2х + 7; 2) у = 6 -| х и у = § *~ 1 4 .

171. Не выполняя построения графика функции у - 2 х - 7 ,

найдите координаты точки этого графика, у которой:1) абсцисса равна ординате;2) абсцисса и ордината являются противоположными чис

лами.172. Задайте формулой функцию, являющуюся прямой про

порциональностью, если ее график проходит через точку М (2 ;-7 ) . .

173. Найдите значение Ь, при котором график функцииу = ~ х + Ь проходит через точку М (18; 1).

6

Вариант 1 33

174. Найдите значение к, при котором график функции y = k x - 10 проходит через точку М (4; 2).

175. График функции y = kx + b пересекает оси координат в точках А (0; - 3) и В(1;0). Найдите значения Л и Ь.

176. Все точки графика функции y - k x + b имеют одинаковуюординату, равную -4 . Найдите значения k и Ъ.

177. График функции y = kx + b параллелен оси абсцисс и проходит через точку А (2 ;-1). Найдите значения k и Ь.

178. Постройте график функции:

i x -З , если я: > 0 У ~ \-2х - 3, если х < 0

m /2ж+1,еслих>1,} у = \3, если*<1;

179. Постройте график функции:1)у=\х\ + 3-, 2) у = 2х~\х\ + ±.

180. Задайте формулой линейную функцию, график которой изображен на рисунке 4.

Уравнения с двумя переменными

181. Какие из пар чисел (1; 1); ( -2 ; 11); (3; -15 ); ( -1 ; 1) явля-

ются решениями уравнения 2х + у - 3 = 0?

182. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика уравнения:1) х 2- у = 9; 2) х 2 + у2 =100.

( 2, если ж ^ -1 ,- 3 * -1 , если -1 < х < 1, -4 , если х ^ 1 .


183. Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, график которого проходит через точку А (2; -2 ).

184. Постройте график уравнения:

Линейное уравнение с двумя переменными и его график

186. Какие из пар чисел (5; 2); ( -3 ; 4); (8; 0); ( -5 ,5 ; 3) являются решениями уравнения S y - 2х = 26?

187. Принадлежит ли графику уравнения Зл+4у = 12 точка:

1) А (0;3); 2) В (5 ;-1 ) ; 3) С (-4 ;6 )?

188. Известно, что пара чисел (4; у) является решением уравнения Зх + 4у = 20. Найдите значение у.


1) х - у = 2; 3) х - 5 у = 4;

2) Зх + у = 1; 4) 3x + 2y = Q.

190. При каком значении а пара чисел (-2 ; 4) является решением уравнения:1) 4х + 6у = а ; 2) ах -Ъ у = 8 ?

191. При каком значении а проходит через начало координат график уравнения:1) 5 * - 2 у = а ; 2) Зж+4у = а+ 2 ?

Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения системы

двух линейных уравнений с двумя переменными

192. Какая из пар чисел ( -5 ; 1); (1; 4); (2; 3) является реше-

1) ( * —3)2 +(у+1>2 =0;

2) (*+ 2 )(у -2 ) = 0;

3) ху + у = 0.

185. Решите уравнение х 2 + у2 - 2х = 8у - 17.

нием системы уравнений (2х -7у = [5х + у = 1

Ч = -17, = 13?

Вариант 1 35

193. Решите графически систему уравнений:

1 3) Iх = ~2’) \0,5х+у = 3; ’ \2х-у = 1;

2Л у -ж = 0 , 4Л ж -у = 1,} \3jc-y = 4; } (2х -2у = 3.

194. Пара чисел (7; 5) является решением системы уравнений

{а х —Ту = 21, т, „ ,5* + &у = 20 Найдите значения а и о.

195. Имеет ли решения система уравнений:л. \х- 2у = 7, /4лг+Ьу = 9, „Л З * + у = 5,

, \3х + 2у = 5; ’ \12* + 15у = 18; , ■' \12*+4у = 20?

196. К уравнению 5х+у = 8 подберите второе уравнение та

кое, чтобы полученная система уравнений:1) имела единственное решение;2) имела бесконечно много решений;3) не имела решений.

197. При каких значениях а система уравнений:\4х + Зу = 5,1) ц ж + з у ~ а не имеет решении;

2) имеет бесконечно много решений?

Решение систем линейных уравнений методом подстановки

198. Решите методом подстановки систему уравнений:п (х -5 у = 8, (5а-3& = 14,' \2х + 4у = 30; ' {2а + Ь = 10;

. 9. ( 2 х - у = 1 , л . ( 2 х - 3 у = 2,) \7х-6у = -4 ; % ,\4х-5у = 1.

Решение систем линейных уравнений методом сложения

199. Решите методом сложения систему уравнений:

*>4х + 2у = 5, [2 х -3 у = 8,4 х - 6 у = - 7 ; ° } 7 х - 5 у = -5 ;

оч ІЗх—7у = 11, І6х + 7у = 2, 1бх —7у = 40,’ \6х + 7у = 16; ' \3я-4у = 46; ' \5у-2* = -8 .

36 Упражнения200. Решите систему уравнений:

п /2* + 5у = 17,13 ̂ . 0,1 _ оо.

2)

(Зл: + 8у = 28;

7 * -З у = 15, Ьх+6у = 21\

„V І6х—у+1 = 0,' \4х-Ъу + П = 0;

4) (4 (т + 2) = 1 - 5 га,(3(га + 2) = 5 - 2 т ;

(2 (5а- 4 ) - 3 ( 3 - 4 6 ) = 5, }б (7Ь -1)-(2+ За) = 31;

6)

7)

8)

1,

х _ У - л 2 3 ’* , 2г/

14+Т ~ 8 ’р +3 ? - 2

4 6

8 6

7зс-1 гж + З ^ Здг-бу 4 3 2 ’

5х-3и х + 5 у „— „ ~ + —г-^ = Зх-£/. 3 2 у201. Прямая у = Их + Ь проходит через точки М (3; 1) и £ (1; 5).

Запишите уравнение этой прямой.202. Имеет ли решения система уравнений:

[2а:-у = 5, ГЗ*+7у = -2 ,1) <3х-2у = 3, 2 )\ 2 х -З у = Ы,

|х + у = 16; [5лс+2у = 17?

203. Запишите систему линейных уравнений с двумя переменными, графики которых изображены на рисунке 5.


1) ( х + у ? + ( х - 1 ) 2 =0;

2) (х - 2у+ 1)2 + х 2 - б х у +9у2 = 0;

бРис. 5

Вариант 1 37

Решение задач с помощью систем линейных уравнений

205. За 7 кг апельсинов и 4 кг лимонов заплатили 350 грн. Сколько стоит 1кг апельсинов и сколько 1 к г лимонов, если 5 кг апельсинов дороже 2 кг лимонов на 80 грн?

206. Лодка за 3 ч движения по течению реки и 4 ч против течения проходит 114 км. Найдите скорость лодки по течению и ее скорость против течения, если за 6 ч движения против течения она проходит такой же путь, как за 5 ч по течению.

207. В двух ящиках лежат яблоки. Если из первого ящика переложить во второй 45 яблок, то в обоих ящиках их станет поровну. Если же из второго ящика переложить в первый 20 яблок, то в первом станет в 3 раза больше яблок, чем во втором. Сколько яблок лежит в каждом ящике?

208. Известно, что 2 стола и 6 стульев стоили вместе 7600 грн. После того как столы подешевели на 1 0 % , а стулья — на 2 0 % , стол и два стула стали стоить вместе 2760 грн. Какова была начальная цена одного стола и какова — одного стула?

209. Один металлический сплав содержит 30 % меди, другой — 70 % меди. Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить 120 кг сплава, содержащего 40 % меди?

210. Сумма цифр двузначного числа равна 8. Если поменять местами его цифры, то получим число, которое больше данного на 18. Найдите данное число.

Упражнения

Вариант 2Числовые выражения. Выражения с переменными


2. Составьте числовое выражение и найдите его значение:1) произведение суммы чисел 15 и -2 2 и числа 2,1;2) частное разности чисел 10 и 6,4 и числа -1 ,2 ;3) частное числа 27 и произведения чисел -0 ,0 6 и 0,5;4) произведение суммы и разности чисел 2,7 и 0,3;5) сумма произведения чисел -1 4 и 15 и частного чисел

-0 ,8 4 и —0,4;6) разность квадратов чисел 5 и -9 ;7) квадрат суммы чисел -4 ,1 и 2,8.

3. Найдите значение выражения:1) З х -5 , если х = 3 ; - 1 ; 0; \\3

2) 2а - а 2, если а = 4; —3; 0,2;3) 2р -3д , если р = 5, q = - 3;4) ( 7 -2 х)у, если х = -0 ,5 , у = 0,9;5) (й -42133):т, если й = 30751, /« = 52.

4> (3’0 4 :^>_16’0 3 :2о)‘5 +0’072 ' з ’5) ( -28 ,6 :5 7 ,2 -2 ,6 8 : (-1,34)) (-3,2);6) (-1 ,7+3,64: (-1,4)): (-0,001) (-0,4);

Вариант 2 39

4. Заполните таблицу, вычислив значение выражения -4х+ 1 для данных значений х.

* - з -2 -1 0 1 2 3-4 *+ 1

5. По условию задачи составьте выражение с переменными. Андрей купил 14 конвертов по * грн и у марок по 20 грн, заплатив за марки больше, чем за конверты. На сколько больше заплатил мальчик за марки, чем за конверты? Вычислите значение йолученного выражения при х = 6, у = 7.

6. По условию задачи составьте выражение с переменной.Через первую трубу в бассейн поступает х л воды в час, а через вторую — на 11 л меньше. Сколько литров воды поступило в бассейн, если первая труба была открыта 5 ч, а вторая — 3 ч?

7. Запишите в виде выражения:1) разность выражений 5а и 7Ь;2) квадрат суммы выражений 0,2г и 2у;3) разность квадрата числа * и куба числа т ;4) квадрат разности чисел а и Ь;5) разность квадратов чисел а и Ь.

8. Известно, что тга+п = 8, р - 3. Найдите значение выражения:

1) 2р + 3(т + п); 2) р(п + т); 3) + і 4)т + п — £р т + п р


9. Решите уравнение:1 ) - 9 * = 36; 4) і * = - ' £ ; 7 ) | * = -1 5 ;

2) 0 ,6* = -2 ,4 ; 5 ) | * = 1; 8) =

3) -1 ,8« = -5 ,4 ; 6) 6« = 11; 9 )1 2 * = 3.

10. Решите уравнение:1 ) 4 * = 24+ж; 4) 0 ,6 * -5 ,4 = -0 ,8 * + 5,8;2) 8 * - 8 = 2 0 - 6 * ; 5) 4 ,7 -1 ,1 * = 0 ,5 * -3 ,3 ;

3) 9 - 4 * = 3 * - 4 0 ; 6) | *+ 1 6 = £ * + 9.о У

40 Упражнений

11. Решите уравнение:1) 4 ( * - 3 ) = * + 6 ; 4) 2,7 + 31/= 9 (у-2,1);2) 4 - 6 ( * + 2) = 3 - 5 * ; 5) 0,3(8-31/) = 3 ,2 -0 ,8 (у -7 );

3) (5*+ 8 )-(8 *+ 1 4 ) = 9; 6) й ( 1 * _ 1 ) = а* + з1 .6 \3 5/ 3

12. Решите уравнение:1) 7 * + 3 = 3 (2 * -1 ) + * ; 2) 1 ,8 (1 -2 *) = 7 ,8 -(3 ,6 *+ 6).

13. При каком значении переменной значение выражения0 ,5 * -0 ,5 (1 ,2*-0 ,8 ) равно-0 ,5 ?

14. При каком значении переменной выражения 1 6 - 3 * и9 * + 2 (* +1) принимают равные значения?

15. При каком значении переменной значение выражения3 ( * - 0,8) + 2*6 на 6 больше значения выражения - 7 * - 4 (0 ,7 -2 *)?

16. При каком значении переменной значение выражения7 а - 2 в 3 раза больше значения выражения 2 а + 31

17. Решите уравнение:1) |*| = 7; 6) ! * |—1 = —5;2) |* + 21 = 3; 7) 2 1*|- 5 = 0;

3) |* — 3 1 = 0; 8) 5|*|+1=0;

4) | * + 4 1 = 9) 15 * + 3 1—3 = 0;

5) |*| + 3 = 9; 10) 13* — 2 1 + 5 = 7.18. При каком значении а уравнение:

1) 2ах = -3 6 имеет корень, равный числу 6;2) (3 - а)х = 12 + 2о имеет корень, равный числу -4 ;3) (За+2)* = -3 + 1 5а имеет корень, равный числу 5?

19. При каком значении а имеют один и тот же корень уравнения:1) 4 * - 7 = 5 и 2 * -З а = -9 ;2) * - 2 = 2 а -3 и 6 ( * - 8 ) = 4 * - 4 2 ?

20. Дано уравнение а * = 6. Укажите все значения а, при которых корнем данного уравнения является отрицательное число.

Вариант 2 4121. При каких значениях а:

1) уравнение ах = -2 не имеет корней;2) уравнение (а - 10) х = 12 имеет единственный корень;3) корнем уравнения (а + 3) х - 3 = а является любое число?

22. Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения ах = -1 0 является целым числом.

23. Найдите все целые значения с , при которых корень уравнения а х = - 8 является натуральным числом.

Решение задач с помощью уравнений24. В магазин завезли 425 кг картофеля, который продали за

два дня, причем за первый день продали в 4 раза больше картофеля, чем за второй. Сколько килограммов картофеля продали за первый день?

25. Длина одного куска провода в 7 раз больше длины другого. Найдите длину меньшего куска, если он короче большего на 288 м.

26. Трое рабочих изготовили вместе 762 детали, причем второй изготовил в 3 раза больше деталей, чем третий, а первый — на 117 деталей больше, чем третий. Сколько деталей изготовил каждый рабочий?

27. Одна сторона треугольника на 9 см меньше второй и в 2 раза меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 105 см.

28. Масса банки краски на 1,6 кг больше массы банки олифы. Какова масса банки краски и какова масса банки олифы, если масса 6 банок краски равна массе 14 банок олифы?

2 9 .3а 7 тетрадей и 4 блокнота заплатили Ш гр н . Сколько стоит тетрадь и сколько стоит блокнот, если блокнот дороже тетради на 3 грн?

30. Купили 18 карандашей по 4 грн и по 5 грн, заплатив за всю покупку 80 грн. Сколько купили карандашей каждого вида?

31. Учащиеся трех седьмых классов посадили вместе 56 де

ревьев. Ученики 7-Б класса посадили ^ количества де-5

42 Упражненияревьев, посаженных учениками 7-А класса, а ученики 7-В — 120 % количества деревьев, посаженных учениками 7-А класса. Сколько деревьев посадили ученики каж-

’ дого класса?32. Катер прошел расстояние между двумя портами за 3 ч,

а теплоход это же расстояние — за 5 ч. Найдите скорость катера и скорость теплохода, если скорость катера на 16 км/ч больше скорости теплохода.

33. На одном складе было в 3 раза больше телевизоров, чем на втором. Когда с первого склада взяли 20 телевизоров, а на второй привезли 14 телевизоров, то на обоих складах их стало поровну. Сколько телевизоров было на каждом складе сначала?

34. В двух вагонах поезда ехало поровну пассажиров. После того как из первого вагона вышли 26 пассажиров, а из второго — 17 пассажиров, в первом вагоне стало пассажиров в 2 раза меньше, чем во втором. Сколько пассажиров было в каждом вагоне сначала?

35. В книжном шкафу было в 6 раз больше книг, чем на полке. После того как из шкафа взяли 46 книг, а с полки — 18 книг, на полке осталось на 97 книг меньше, чем в шкафу. Сколько книг было сначала в шкафу и сколько на полке?

36. Из села в город выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Через 2 ч из города в село выехал мотоциклист со скоростью 70 км/ч. Сколько часов ехал каждый из них до встречи, если расстояние между городом и селом составляет 115 км?

37. Вите надо решить 95 задач, а Мише — 60. Витя за день решает 7 задач, а Миша — 6. Через сколько дней нерешенных задач у Вити будет в 2 раза больше, чем у Миши?

38. Туристы на байдарке плыли 2,4 ч по течению реки и 0,8 ч против течения. По течению реки туристы проплыли на 19,2 км больше, чем против течения. Найдите скорость байдарки в стоячей воде, если скорость течения равна 3 км/ч.

Вариант 2 4339. У Маши было 17 купюр по 2 грн и по 5 грн, всего на сумму

70 грн. Сколько купюр каждого номинала было у нее?40. Готовясь к экзамену, ученик планировал решать ежеднев

но по 12 задач. Но он решал на 4 задачи в день больше, и уже за 2 дня до экзамена ему осталось решить 8 задач. Сколько дней ученик планировал готовиться к экзамену?

41. В первом бидоне было в 3 раза больше молока, чем во втором. Когда из первого бидона перелили во второй Юл молока, оказалось, что объем молока в первом бидоне

составляет £ объема молока, находящегося во втором.О

Сколько литров молока было в каждом бидоне сначала?42. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно

30 км, одновременно в противоположных направлениях выехали автобус и легковой автомобиль, причем скорость автомобиля была на 20 км/ч больше скорости автобуса. Через 40 мин после начала движения расстояние между ними стало равным 110 км. Найдите скорость легкового автомобиля.

43. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 40 км, вышел пешеход со скоростью 6 км/ч. Через 15 мин из пункта В в пункт Л выехал велосипедист со скоростью 16 км/ч. Через сколько часов после выхода пешехода они встретятся?

Тождественно равные выражения. Тождества

44. Какому из данных выражений тождественно равно выражение -4 т .-5п -2т + 6п :

1) -9т + 4п; 2) 6т-п\ 3) -6 т +п; 4) -6 т -п ?

45. Докажите тождество:1) 2 * - ( 8 - х ) + ( 3 * - 2 ) = 6 ;е-10;

2) 8 (2|/—5)—4 (Зг/—7)—61/ =

3) 1 2 -б (2 2 -А ) + 7 г -1 5 = -5г.


46. Докажите, что не является тождеством равенство:

1) (а+2)3 =*а3+8; 2) ( * + 3 ) ( * -3 ) = * + 3(л:-3).

Степень с натуральным показателем


1 )2 8; 3 )0 ,8 2; 5) (-| )4; 7) (й|)2;

2 ) (-5 )2; 4) 122; 6) (|)3; 3) (-1^ )8.

48. Вычислите:

1) (-2)4 + З3; 4) (-0,4)3 + (—0,2)3;

2) (-9)2+(-1)7; 5) (83 :200 - 0,42):(-0 ,5 )2;

3) 5 -(-| )*; 6) (2 ,6 -2 ,2)3 -(-1^)2.


1) (-2,8)4 и 0; 3) (-17)3 и (-5)2;

2) (-3,9)® и 0; 4) -5 5 и (-5)5.50. Составьте числовое выражение и найдите его значение:

1) сумма квадрата числа - 3 и куба числа 5;2) куб разности чисел 6 и 2;

3) разность кубов чисел -1-А и А.а о


1) -15а2, если 4) у2~у*г если у = -0,1;

2) 18 + с3, если с = - 2; 5) ( х -у )3, если * = 0,1, у = -0,1;

3) (16*)5, если ж = ~ ; 6) а 2Ь3, если <* = §•, Ь = - 1&.8 5 352. Какое наименьшее значение и при каком значении пере

менной принимает выражение:1) * 4 - 2 ; 2) (дс + З)2 + 11; 3 ) ( * - 4 ) 2 -3 ?

53. Какое наибольшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:1 )~ * 2 - 4 ; 2) 5 - (ж -2 )2; 3 )-< *+ 9 )2 + 3?

Вариант 2 45



1 ) * 9* 2; 4 ) 7 П -73; 7) (а+Ъ)(а + Ъ)7;

2) аа}\ 5) тп4т5тп ; 8) п9п4пп3;

3) Ь3Ь3; 6) с19сс3; 9) (у -1 )5(у -1 )4.

55. Представьте в виде степени частное:

1 ) о 28:а 17; 2 )Ь 7 :Ь; 3) ( а -Ь )15 :( а -Ь )п .


1) а 11 •* = а 19; 3) а 14:* = а6; 5) * : а 7 ап = а18;

2) а3 * а = а25; 4 ) * : а 19= а23; 6 ) а 9 : * : а = а3.


71 5 . 7 121) 22 -28; 6) ?*2 '•

о ч ч1 5 . 3 11. 7 ) ^ •

2 ) 3 3 ’ о,215 -о.г6

3) 59 ■ 53 : 510; 8 ) 3 2 -81;

4) I I 11:1110-11; 9) 2 5 6 :2 б-22;

58. Представьте степень в виде произведения степеней:

1) (а&)5; 3 )(3 *)4; 5) (-0,2а&)4;

2) (тппр)9; 4) (-2йс)3; 6) (| *у )8.


1) а 3у3; 3) 16а2Ь2; 5) - Ц '

2) - Ь 7; 4 ) -3 2 а ъЪь; 6) 10000/?г4ге4.

46 Упражнения60. Найдите значение выражения;

1) 0,25® -46; 3) (| )3 ,63; 5 ) Н Г ‘Й Г ;

2) З4 -24; 4) 0,5® -45; 6) ОД2510 -88.61. Представьте в виде степени с основанием Ъ выражение:

1) (&4)3; 4 )(Ь 5)4; 7) (Ь6)3 (д2)4;

2) (Ч>6)2; 5) ((Ь7)3)2; 8) (-&5)3 (-&4)7 : Ь12;

3) Ь5&4; 6) (Ь8)7 : Ь24; 9) Ь32 : (&9)3 • Ь.


1) т 6/?г4 =тп24; 3) а4Ь4 = (ой)8;л\ и . 1 5 , „ .3 5 А \ /Л7\2 _4 Л 8 о/п. : /п ; 4 ) (с ) *с = с I


1) 220: (28)2; 3) 79 (72)6 : 719; 5) ?

3 22) ( I I 3)4 :( I I 5)2; 4) 162 8; 6) .


1) ^-Цг-; 3 ) 1 ^ ; 5 ) - ^б7 35 215-5*

2) 4 ^ ; 4) ^ г - ; 6) 4 -2 -9 50 75

Одночлены65. Приведите одночлен к стандартному виду, укажите его ко

эффициент и степень:

1 )8 у У у ; 4 ) -2|от4 -9тпга3;

2) 7 * 0,1у -2г; 5) -За2 0,2а&4 (-10Ь);

3 )56 (-3а6); 6) х3 -(-у)3 -х.

Вариант 2 47

66. Найдите значение одночлена:

1) Зж8, если ж = -3 ;

2) -2 ,5а аЬ2, если а = -2 , 6 = 5;

3) j 2 xy3> если ж = -11, у = 4;

4) 0,8т2пр, если те = -0 ,2 , п = 3, р = 5.67. Выполните умножение одночленов:

1) 6а2Ь (-За3г>8); 4) 0 ,7 5 a V c 2 l| a 46c7;

2)0,2/n8n9 -2»5/n4n; 5) - H a V c 11-2^i>c4;

3) - 2 ,4 a V -3,5аЬ4; 6) ^ m 4c9 (-10/геа)-2,5с3а6.


1) (4абЬ6)2; 8 ) ( - 2 e V c ) a; 5) (11ж9у8г)2;

2)(-Зжу2)3; 4 ) ( - i /T i V ) 3; 6) ( l j p 18®*)2-

69. Преобразуйте в квадрат одночлена стандартного вида выражение:

1) 16а8; 3) 0,3 6 / А 4;

2) 64а1 V; 4) 225ж14у8г24.70. Преобразуйте в куб одночлена стандартного вида выра

жение:

1) 27а9; 3) 0,008ж6°у18;

2) -125a V 5; 4) - ^ а 21*33*216-


1) 2ж9 (-4 а 2ж8)2; 4 ) - l| a 3&e • |-|а2ь)3 ;

2) ( - a V ) 5 • 5ab4; 5) 3|ж4у ■ і

3) (~0,2m3np4)2 -25тп3р; 6) (-А а5Ь9)3 -(-Зад)4.


72. Представьте данное выражение в виде произведения двух

одночленов, один из которых равен -2 аЪ3 :

1) 6а 3Ъ7; 2) ~ а Ь 4; з) 3,2а 5Ъ3; 4) 2^а1б&9.

9 о73. Известно, что 5а Ь =8. Найдите значение выражения:

1) 15а2&3; 2) 0,5а6&9; 3 ) -| а 4Ь6;

Многочлены

74. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида и укажите его степень:

1) 2а3Ь-5аЬ3- 7 а 3Ь + аЬ3;

2) 2у2 - у - 7 + у2 + Зу + 12;

3) 1 2 а -З Ь -4 с + 5(1-8а-7Ъ + 15с-ЗФ,

4) 7а4 +12а3Ь + За2Ь2 - 7аЪг + 5а4 - 9а 3Ъ - 3а 2Ь2 - а Ь 3.75. Приведите подобные члены многочлена и найдите его

значение:

1) 2х4 - х 4 +7х2 + х - 4 х 2 -5 х , если * = 2;

2) 0,4£>3 -0 ,2 6 2 + 0,5Ь-0,ЗЬ3 -0 ,56 + 7, если Ъ = -2 ;

3) -± а 2Ь + За&2 + За2Ь - ЬаЬ2 + 5а26, если а = 5, Ь = —0,4;

4) -0 ,3 х -1 3 х у г -3 7 х у 2, если * = 4, у = - 0,2.



1) (5х2 + 8 х -7 )-(2 ж 2- 2 х -1 2 ) ;

2) (2*-3) + (-2л:2-5л:-18);

3) (6а2 - За +11) - (-За - а3 + 7);

4) (14аЬ-9а2 -ЗЬ2) - ( -З а 2 + 5аЬ-4Ь2);

5) (7ху2 - 1 5ху + 3х2у)+(ЗОху - 8х2у) ;

6) ^ т 3п2 - ^ т п 2^ - ( ~ п 2т + — т3п2 .̂

Вариант 2 49

77. Докажите тождество:

1) (х2 + у2 - г 2)+(х2 + г2 - у 2) - ( х 2 - г 2) = х2 + г2;

2) 2Ьг - (1 - ЗЬ2) - (5Ь2 - 8) - (Ь2 + 4) -1 = 2 - Ъ2;

3) (-2а3 + За2) - (2а -1 )+ (2а2 - 5а) - (3 - 2а3 - 7а) = 5а2 - 2.

78. Докажите, что значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:1) (-2а3 + З а - 1 2 ) - ( а - а 3 + 7) + (а3 -2 а + 9);

2> Й * ! + Н - ( К - Н - ( п * 2+ Н -79. Решите уравнение:

1) 5 * - ( 3 + 2 х - 2 * 2) = 2 *2 - 7 х + 17;

2) 12 -(З х 2 +5х)+(-8х+Зх2) = 0;

3) (2у3 +Зу2- 7 ) - ( 5 + Зу+у3) = Зу2 + у3 -5у.


1) 12х2 ~(5х2 +2ху)-(7х2 -4ху), если ж = 0,35, у = 4;

2) (За2 -8аЬ )+ а2 ~(7аЬ + 4а2), если а = 2-^, Ь - - 2 ^ .

81. Вместо звездочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество:

1) * - (5ху - х2 + 2у2) = Зх2 + ху;

2) 5а3 - а2 + За4 -7 + ( * ) = 2а2 - За.


(2х6 - 4 х 2 - 2 ) - ( х - х 2 -3 ) + (Зх2 + х)


83. Докажите, что значение выражения (5+1 6 т )- (9 т - 9)

кратно 7 при любом натуральном значении т.84. Докажите, что значение выражения (7п + 2)-(4ге-7)

кратно 3 при любом натуральном значении п.

50 Упражнения85. Докажите, что при любом натуральном п значение выра

жения (б п -1 ) - (2/1-2) при делении на 4 дает остаток, равный 1.

86. Представьте в виде многочлена выражение:1) càb\ 2) Ьас+аЬ ; 3) асЬ-Ъс ; 4) сЪа-Ъс.

87. Докажите, что разность чисел ab и Ьа кратна 9.88. Докажите, что разность a b c - ( а + Ь + с) кратна 9.

89. Представьте многочлен 8а2 + 5Ь -7а3Ь + 11а-6 в виде разности двух многочленов таких, чтобы один из них не содержал переменной Ь.

90. Представьте многочлен -7 ху2 +11х3 - 5у4 +13ху - 2 х + Ь в виде разности двух многочленов с положительными коэффициентами .

91. Представьте многочлен -2 х 2 + З х -5 в виде разности двух двучленов.



1) 2х(х2 + 8 я -3 ) ; 4) 0,Втп(2тп2 - 4 т 2п+3тп);

2) -З а (а 2 + 2а&-5Ь); 5) 1|а2&(4&2-|а&+А|а3);

3) (4у2 - 2ÿ3 + 16)(-2 ,5y); 6) -7 х 2уа(5х4 - х у - З у 3).93. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение:

1) 2 ,4 (5 x -1 0 ) -5 ( je + l) -3 ( l-3 x ) ;

2) -2 х (ж + 4) + 5 (х 2 - 3*);

3) За (З а -а 2) -4 а (2а2 -5 а );4) Зт(п - 2т) - т ( т + 4л.) ;

5) 0 ,3*2( * 2 - 3 * + 2 )-0 ,6 x (2jc3 + 6 *2 - 4 * ) ;

6) 4 х (7 у -3 х г) - 3 у ( х - у 2);7) 5а(За-2&) + 17Ь(2а+Ь)-За(-4Ь + а);

8) 2 *3 (Зх - 1) - 4х (х3 - 2 *2 + 3*) - * (5 + 2л:8).

Вариант 2

94. Упростите выражение и найдите его значение:1) х (2 х -1 ) -З х (3 -х ) , если х = -2 ;

2) 2аЬ (За2 - 2Ь2)-ЗаЬ (4Ь2 - а2), если а = 1, Ь = - 2;

3) -4 а 3(2а2 + а -2 )+ 8 а 5, если а = 2.


не зависит от значения х.

96. Докажите, что выражение 2х4( х - 5 ) - х 3(-10х + 2х2- 7 х 3)

принимает неотрицательные значения при всех значе-' ниях х.


2) 7 х -2 х 2+4 = х (5 -2 х );

3) 2х (Зх -2 ) - 3 (х2 - 4х) = Зх (х -7 ) + 2;

4) 4 (2 - х2) - Зх (х - 3) = 8 + 9 * - 7х2.

98. При каком значении переменной значение выражения

99. При каком значении переменной удвоенное значение трех-

2х2 (1 + Зх) - ж (4х2 - 2) - 2 (х2 + х3 + х - 3)

1) 5 х ( х - 4 ) - х ( 3 + 5х) = 4;

4х (1,5х-2) на 7 меньше значения выражения 3(2х2 + 5)?

члена -2 х 3 + Зх2 + 5х равно разности значений выражений

х2(1 -3х ) и 5(0,2х3 - х 2 -1 )?


Зх-2 2;с + 1 „ 5 - х . ' 8 3 6 ’

о\ 2х-1 _ х + 5.3 2

5х-1 2* + 1 _' Ю О12 8


101. Длина прямоугольника в 3 раза больше его ширины.Если ширину прямоугольника уменьшить на 2 м, то его

2площадь уменьшится на 42 м . Найдите исходную длину прямоугольника.

102. Турист прошел маршрут длиной 70 км за 3 дня. За первый день он прошел на 8 км меньше, чем за второй,

аза третий день — 4 расстояния, пройденного за два 4

первых дня. Сколько километров прошел турист за каждый из этих дней?



1) (а + 2)(&-3); 7) ( -х - 2 ) (2 * 3-3 ) ;

2) (/га-4 ) (та+5); 8) (За2 - 5Ь) (5а2 + Ъ);

3) (Зх-1)(2х + 5); 9) (у+3) (і/2-21/+ 5);

4) (3£>2 + 2)(2Ь-4 ) ; 10) (/га+ Зга)(/га2-6/гага-га2);

5) (4х-у)(2х~ 3у); И ) 2 * (3 * -1 ) (2 * + 5);

6) (За2 +а)(5а2 -2 а ); 12) - 3 * 2(2 -3 * ) (3 * 2 +11*).

104. Упростите выражение:1) (х + 2 ) (х -5 ) -З х (1 -2 х ) ;

2) (а + 3 )(а -2 )+ (а -3 )(а + 6 ) ;

3) (х -7 ) (3 * -2 ) - (5 х + 1 ) (2 * -4 ) ;

4) (Ъх - 2у) (Здс + 5у) - (2,5х - 3у) (4х + 8у);

5) (За2 + 5у) (2а 3 + у)~ 7а3(а2 - 3у).

105. Решите уравнение:1) (*+ 3 )(х -2 )- (* + 4 ) ( :* ;-1 ) = Зх;

2) 1 5л:2 —(Зл: - 2) (5л: -ь 4) = 16;

3) (2л: + 6) (7 - 4дс) = (2 - л:) (8л: +1)+15;

4) ( х + 7 ) ( х - 2 ) - (х + 4 ) ( х + 3) = -‘2.

Вариант 2 53

106. Упростите выражение и найдите его значение:1) (*+ 4 )(х -2 )- (л : + 8 ) ( * -4 ) , если * = -3,5;

2) (2 * -3 ) ( * - ! ) + (*+ 3 )(3 *+ 1), если ж = —§.5107. Докажите, что при любом значении переменной значение

выражения (х + 1) (х2 ~2х + 5) + (х2 + 3) (1 - х) равно 8.

108. Докажите, что значение выражения(п-1)(п +1)~ (л-7)(га + 3)

кратно 4 при всех натуральных значениях п.109. Найдите четыре последовательных целых числа таких,

что произведение третьего и четвертого из этих чисел на 2 больше произведения первого и второго.

110. Длина прямоугольника на 3 м больше его ширины. Еслидлину уменьшить на 2 м, а ширину увеличить на 4 м, то

2площадь прямоугольника увеличится на 8 м . Найдите исходные длину и ширину прямоугольника.


111. Разложите на множители: .

1) 6 а -9 6 ; 7) 24хгу + Збху2;

2 ) 4 х - х у ; 8) - 4 * 8 +18*15;

3) 5аЬ-5ас ; 9) З*4 - 6 * 3 + 9х5;

4) Зт2-6 т п ; 10) 8aba -1 2 а гЬ -2 4 а 2Ь2;

5) а 1 + а 4; 11) 18у5 -12ху2+9уа;

6) 15аЬ2 -5аЬ; 12) -14аЬ3с2 -2 1 а 2Ьс2 -2 8 a V c .

112. Разложите на множители:1) *(a+ b)+ y(a+ ft); 4) 2у(п-т)+(,тп-п);

2) а (З х -2 у )+ Ь (З х -2 у ) ; 5) (лг + 3)2 -3(ж + 3);

3) З х (а -Ь ) -Ь у (Ь -а ) ; 6) (x + 3 ) ( 2 y - l ) - ( x + 3)(3y + 2).

54 Упражнения113. Решите уравнение:

1) З х - х 2 =0;

2) у2 + 5у = 0;

3) 11х2~х = 0;

4) 9я2+6л: = 0.114. Докажите тождество, используя вынесение общего

множителя за скобки:1) (2х - 7у) (Зх2 + 5ху - 2у2) - (2х - 7у) (Зх2 + 2ху - 2у2) =

= 3ху(2х-7у);

2) (3 т - 4) (7 п2 - Зге - 5)+(4 - 3 т) (7 п2 - Зге - 3) = 8 - б т.

115. Докажите, что значение выражения:

Разложение многочлена на множители. Метод группировки116. Разложите на множители:

117. Разложите многочлен на множители и найдите его значение:1) 8а2 - B a b - 5 a + 5b, если а = —, 6 = - —;

8 42) 10y3 + i/2+10j/ + l, если у = 0,3.


119. Разложите на множители трехчлен, представив предварительно один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:

1) 273 + 37 кратно 10;

2) 153 - 5 3 кратно 13;

3) 164 - 2 10 кратно 14;

4) 104 + 53 кратно 9.

1) а Ъ -а с + у Ъ -у с ;

2) Зх+Зу-Ъ х-Ъ у,

3) 4ге-гес-4 + с;

5) 6гет-3/ге+2ге-1;

6) 4а4 - 5а3у - 8 а + 10у;

7) a 2b2 - a + ab2 -1 ;

8) х а -х Ъ 2 - y a + zb2 - z a + y b 2.4) ж7 + зс3 - 4 х4 - 4 ;

1) 17,2-8,1 + 23 ,8 -5 ,1 -17 ,2 -7 ,6 -23 ,8 -4 ,6 ;

1) х2 +5ж+6;

2) х 2 - 5х + 4 ;

3) * 2 + * - 6 ;

4) х 2 - 4х + 3 .

Вариант 2

Произведение разности и суммы двух выражений


1) ( * - 6 ) ( * + 6 ) ; 6) (5а2Ь - іа Ь 2)(5а26 + іа Ь 2);

2) (3 + * ) ( х - 3 ) ; 7) (0,5л:3+ 0,2у4)(0,5л:3 -0 ,2у 4);

3) (3b-5)(3fc+5); 8) (а5 -й 5)(аб+Ь5)(а10+ Ь10);

4) (5х + 8у)(8у-5х); 9) ( -х 7 - у а)(уа - х 7);

5) (т5- п а)(т5 + па); Ю) (jj/6 + l,2*n )(l,2*u - |у6).

121. Упростите выражение:1) (Ъ+6)(Ъ-6)-ЗЬ(Ь+2У,2) (За -2 ) (За + 2) + (а -8 ) (а + 8);3) (5х - 3у) (5х + 3у) + (Зх - 5у) (Зх + 5у);4) ( с -2 ) (3 -с ) - (5 -с ) (5 + с ) .

122. Решите уравнение:1 ) ( л: + 2 ) ( л: - 2 ) - л: ( л: - 6 ) = 0 ;

2) З х(4+ 12х)-(6х -1 )(6х + 1) = 11х;

3) (х + 7 ) (х -7 ) - (З х -1 ) (х + 1) = 4 - 2 х 2.



1) л:2 -2 5 ; 6) а8 -л:10;

2) 3 6 -16у 2; 7) 0,04Ь4 - а 12;

3) 4л:2 -8 1 у2; 8) 1,69у14 -900z8;

4) 0,09£2 -121р 2; 9) -1 + 36а6Ь4;

5) а 2ь2 _ М ; 10) l M TOV - l ^ a V .


1) (4л: - 3)2- 2 5 ; 3 ) a 6 -(a + 4 )2;

2) (Зл:—5)2 —(jch-3)2; 4 ) (а + Ь -с )2 - ( а - Ъ + с)2.



1) я2 -4 9 = 0; 3) 16*2 + 25 = 0;♦

2) 25г/2- 4 = 0; 4) (3 * -5 )2 -1 6 = 0.

126. Докажите, что при любом натуральном л значение выражения:

1) (7л+6)2 - 64 делится надел о на 7;

2) (8л + 1)2- (2 л -5 )2 делится нацело на 6.



1) (а + 2)2; 6) (0,1а+10Ь)2; 11) (-За+463)2;

2) (6-л:)2; 7) (б л - іу ) 2; 12) (-2 -5 х )г;

3) ( I а + ь)\ 8) (л2 + 1)2; 13) (1 | » + з| „ )2;

4) (Зл: — 4)2; 9) ( X і - х 2)2-, 14) (6аЬ2- а 2Ь)2;

5) (5/га+Зл)2; 10) (у *+ у3)2; 15) (5а4 - 2 а 2Ь4)2.


1) (х-3)2 - 8 ; 5) ( * - 5 ) 2 - х ( * + 3);

2) 1 2 х -(х + 6 )2; 6) (6а- Ь)2 - ( 9 а - Ъ) (4а + 2Ь);

3) (2а-ЗЬ)2 -4 а (а -6 Ь ) ; 7) 3 *(5 + * )2 -* (3 л :-6 )2; /

4) (2х- Зу)2 +(4я + 2у)2", 8) ( * - 2 ) 2+ (* -1 )(*+ 1 ) ; \

9) (За- 2Ь) (За + 2Ъ)- (а + ЗЬ)2;

Ю) (у-4)({/ + 3)+(у + 1)2 - ( 7 - у ) (7 + у).


1) (х -3 )2 - ( * + 1)2 =12;

2) (Зл: - 2)2 + (1 - Злг)(Зж + 2) = 36;

3) * (х - 2)(X-3 ) = 8 + * (х - 2,5)2;

Вариант 2 57

4) (6* - 1)2 - (5х + 2) (6х + 5) = 6 (я - 1)2 - 37ж;

5) (2х- 1)(2х + 1) = 2 ( х - 3 ) 2 + х(2х - 3).

130. Упростите выражение и найдите его значение:

1) (а-2Ь )2 -(2а-2>)2, если а = - 2, Ъ = 4;

2) (а2 - 2)2 - (а2 -1 ) (а2 + 2) + 5 (а - 4)2, если а = -0 ,125;

3) (т -3 )2 - (т -2 ) (т + 2 ) , если т - - 2,5;

4) (Ь2 -1)(Ъг +1)-(Ь2 + 2)2, если Ъ = - 3.

131- Замените звездочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) ( * - * ) 2 = х2-* + 1 6 ; 3) (* + *)2 = 25*10 + * + Ш * У ;

2) (7у7 - * ) 2 = * - * + 81&4; 4) (ЗЬ3 - * ) 2 = *-18а£>4 + * .



1) а2 -1 4 а + 4 9 ; 5) х10- 6 х аЬ + 9Ь2;

2) 25у2 + 10|/ + 1; 6) З6то6 + п12 + 1 2 т 3/г6;


3) 100а2 -180аЬ + 81Ь2; 7) -2х4у2 +196у4-,

4) 16т2 +49п2 - 5 6 тп; 8) |Аа6 - 9 а 3&2 +4&4.

.8 о„4„2

1) * + 4аЬ+Ь2;

2) 25*г -1 0 х + * ;

3) 49л:2 - * + 4у2;

4) *-24та5га + 36/г2;

5) а4 -0 ,6 а 5 + * ;

6 )*-ху+±у*.


1) хг -8л:+16 = 0; 2) 25у2 -30г/+9 = 0.

58 Упражнения135. Найдите значение выражения:

1) (х + 7)2 + 2(дс + 7)(л:-5)+(лс-5)2, если а: = 3,5;

2) (Юде-5)2 - ( 8 * - 3 ) 2+4л:, если де = 3.

136. Докажите, что выражение я2 + 8х + 18 принимает положительные значения при всех значениях х. Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х ?

137. Докажите, что выражение - х 2 -Юле-2 8 принимает отрицательные значения при всех значениях х. Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х!


1) лс2 + 6 *+ 10 = 0; 2) * 2 -х + 1 = 0.139 .Докажите, что выражение (а + Ь)(а + Ь - 2)+1 принимает

неотрицательные значения при любых значениях переменных.

Сумма и разность кубов двух выражений


1) 27 — лс3; 3 ) 8 * 3ггД 5)Ь 9 + а12;

2) а3 +64; 4) 2 1 6 - т 3п3; 6) 343а6Ь15~ 0 ,0 0 8 * У .141. Упростите выражение:

1) ( х - 2 ) ( х 2 + 2х + 4 )-(1 + х )(х2- х + 1);

2) (х - 3) (х2 + Зх + 9 ) - * (х +1) ( х -1 );

3) а ( а -3 ) (а + 3 )-(а + 2)(а2 -2 а + 4);

4) (а2 - 1)(а2 + 1)(а48 + 1)(а12 + 1)(а24 + 1)(а4 - а 2 + 1)(а4 + а2 +1).142. Решите уравнение:

1) (2 - Зж) (4 + 6 * + 9 *2) + 3 * (3* -1 ) (3*+1) = * ;

2) 2 7 { ^ х - 1 ^ х г +^х + 1 ^ -х (х -1 )2 =2хг.

143. Разложите на множители:1) (а + З)3 - 2 7 ; 2 ) ( а - 7 ) 3 +8;

Вариант 2 59

Применение различных способов разложения многочлена на множители


1) 1 4 -1 4 т 2', 6) -За4 -1 2 а 3 -1 2 а 2;

2) З а -З а 8; 7) 2а3 + 54&6;

3 ) 7 * б- 7 ху2; 8) х3 - у х - х 2+ ух2;

4) Ьх2у2 - 4 5 а 2Ь2; 9) а + 5Ь + а2 -25Ь 2;

5) Зх2-2 4 х у + 48у2; 10) ас6 - ас4 - с6 + с4.145. Разложите на мнржители:

1) а2 -2а6 + Ь2 -2 5 ; 3) а 3х2 - а х - 4 а 3 -2 а ;

2) а:2 -16Ь2+ 8й с-с2; 4) а 3 - 2 7 + а2 -З а ;

5) &10-25&8 -40Ь 4 -1 6 ;

6) 8а3 -27Ь 3 +4а2-12аЬ+9Ь2;

7) 4х2 -1 2ху+ 9у2- 4 а 2+ 4аЬ-Ь2;

8) х2- у 2 - 6 х + 9.


1) 7 *3 - 6 3 * = 0 ; 4) х3 -З х 2 -4;е + 12 = 0;

2) 4 9 *3 -14а:2 + я; = 0; 5) * 4 + 2*3 + 8* + 16 = 0;

3) х3 -Ъх2 - х + 5 = 0\ 6) х5 - 4 х4 +4х3 - х2 +4х - 4 = 0.

147. Разложите на множители трехчлен, выделив предварительно квадрат двучлена:1 ) х 2 - 6 * + 8; 3) * 2 - 4 х - 2 1 ;

2 ) * 2 +8х + 7; 4) х2 +10я:+9.

148. Известно, что а -Ъ = 3, аЪ = - 2. Найдите значение выражения:1) а 2Ь -Ь 2а\ 2) а 2 + Ь2; 3) а 3 - Ь 3.


Рис. 6

/ Связи между величинами. Функция

149. На рисунке 6 изображен график изменения температурывоздуха в течение суток. Пользуясь этим графиком, определите:1) какой была температура воздуха в 3 ч; в 9 ч; в 20 ч;2) в котором часу температура воздуха была 1 °С; 0 °С;

3 °С; -2 °С;3) какой была самая низкая температура и в котором

часу;4) в течение какого промежутка времени температура воз

духа была ниже О °С; выше О °С;5) в течение какого промежутка времени температура воз

духа повышалась; понижалась.150. На рисунке 7 изображен график движения туриста.

1)На каком расстоянии от дома был турист через Зч после начала движения?

2) Сколько времени он потратил на остановку?3) Через сколько часов после выхода турист был на рас

стоянии 4 км от дома?151. Турист отошел от лагеря на 8 км и остановился отдох

нуть. Затем он продолжил движение со скоростью 6 км/ч.

Вариант 2 61

Рис. 71) Задайте формулой зависимость расстояния з, на кото

ром находится от лагеря турист, от времени I, которое отсчитывается после отдыха.

2) Найдите значение функции з, соответствующее значению аргумента < = 1; 2; 4.

152. Рассмотрим функцию /, заданную таким правилом: каждому натуральному числу поставили в соответствие остаток при делении его на 8. Найдите:1) область значений функции;2)/ (10),/ (17),/ (27),/ (40).


153. Функция задана формулой у = 3 - 2 х . Найдите значение у, если:1) де = 1; 2) х = -3 ; 3) х = -0 ,8 ; 4) я = 5.

154. Функция задана формулой у = х (х + 3). Заполните таблицу.

-2

{ 4, если х < -3,х2, е с л и -3 < х < 2 ,

х - 8, если х > 2.

Найдите: 1)/(3); 2)/(2); 3 )/ (-2 ); 4 )/ (-3 ); 5 )/ (-3 ,1 ).



156. На рисунке 8 изображен график некоторой функции.Пользуясь графиком, найдите:1) значение у, если х = - 5 ; - 4 , 5 ; - 2 ; - 1 ; 0; 1; 3;2) значения х, которым соответствует значение у = -2 ;

-1 ,5 ; 3;3) значения аргумента, при которых значение функции

равно нулю;4) область определения и область значений функции.

157. Принадлежит ли графику функции у = х 2 - х + 1 точка:1) А (0 ;-1 ) ; 2) В (0 ;1); 3) С(2;0); 4) Я(1;1); 5) £ ( - 2 ; 6)?

158. Функция задана формулой у = 1 - х 2, где - 1 < х < 3 .1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.2) Постройте график функции, пользуясь составленной

таблицей.3) Пользуясь графиком функции, найдите, при каких

значениях аргумента значения функции положительны.

Вариант 2 63159. Не выполняя построения, найдите координаты точек

пересечения с осями координат графика функции

у = х г - 2х.

■ Линейная функция, ее график и свойства

160. Функция задана формулой у = 4 х - 2 . Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: 0; -2 ; 2,5;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 0; 2; -7 .


1 ) у = х + 2; 3 ) у = 1 - х - 3 ; 5) у = 6 - | * ;

2) у = Зж-1; 4) у = 0 ,4 * -1 ; 6) у = -3х.

162. Функция задана формулой у = -\ х . Найдите:О

1) значение у, если х = 3; —; -6 ; &;О Ск

2) значение х, при котором у = -1 ; \ ; 4-; 0,2.3 4163. Постройте график функции:

1) у = 4х; 2 ) у = -3 х ; 3) у = ~^х; 4) у = 0,4х.ь164. Постройте в одной системе координат графики линейных

функций у = 3 и у = - 1.

165. Постройте график функции у ~ 2 -2 х . Пользуясь гра

фиком, найдите:1) значение функции, если значение аргумента равно: 2;

0 ; - 1;2) значение аргумента, при котором значение функции

равно: 6; 0; -4 ;3) значения аргумента, при которых функция принимает

положительные значения.


166. Постройте график функции у = -^ х . Пользуясь графи

ком, найдите:1) значение функции, если значение аргумента равно: - 4 ;

8 ;2) значение аргумента, при котором значение функции

равно -3 ;

3) значения аргумента, при которых функция принимает положительные значения.

167. Не выполняя построения графика функции у = -3,2л:+4,

определите, через какие из данных точек проходит этот график:А (2 ;-2 ,4 ); В (-3 ;5 ,6 ); С (1 ;-0 ,8); Я (0,5; 1,4).


1) у = х - 3 и у = 2л:-1; 2) у = \ х - 3 и у = -2 х + 5.О169. Не выполняя построения, найдите координаты точек

пересечения с осями координат графика функции:1) у = 1 ,2 * -2 4 ; 3 )у = -7 + 14х;

2 )у = -§л: + 2; 4) у = 2 х -9 .

170. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций:1) у = 2 ,8 х -5 и у = -1,2л: + 7; 2) у = ̂ х ~9 и у = 3 - ^ х .

171. Не выполняя построения графика функции у = -3 + 2х,

найдите координаты точки этого графика, у которой:1) абсцисса равна ординате; '2) абсцисса и ордината являются противоположными

числами.172. Задайте формулой функцию, являющуюся прямой про

порциональностью, если ее график проходит через точку М (3; — 5).

Вариант 2 65173. Найдите значение а , при котором график функции

у = - ^ х - а проходит через точку М (-12 ; 2),

174. Найдите значение ft, при котором график функции y = kx + 7 проходит через точку М (2; -1).

175. График функции у = кх + Ъ пересекает оси координат

в точках А (0; 2) и В (-3; 0). Найдите значения ft и Ь.

176. Все точки графика функции y = kx + b имеют одинаковую

ординату, равную 3. Найдите значения ft и Ь.177. График функции y = kx + b параллелен оси абсцисс и про

ходит через точку Р (-3 ;1 ). Найдите значения ft и Ь.

178. Постройте график функции:п i -x+2, если х ̂ 0, [3, есл и х< -2 ,

'V \2* + 2,еслид:<0; 3) у = <^2д :-1 ,если -2< *< 2,1—5, если х ^ 2 .

(3*-2 ,если * < -1 ,1—®, еслиле^-1;

179. Постройте график функции:1 ) у = |*|-1; 2) у = \х\+2х + 1 .


Уравнения с двумя переменными

181. Какие из пар чисел (2; 0); (5; -3 ); ( -3 ; 1); (0; -2 ) являются

решениями уравнения х - у +4 = 0 ?

а б в


182. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика уравнения:

1) х2 + у =16; 2) х2 + у2 = 64.

183. Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, график которого проходит через точку В ( -4 ; 1).


1) (х+5)2 + (у -1 )2 = 0; 2) (x-3)(j/ + 2) = 0; 3) х у - х = 0.

185. Решите уравнение х2 + у2 + 34 = 6 * -Юг/.


186. Какие из пар чисел ( -4 ; 3); ( -3 ; 2); (1,2; 9); ( -2 ; 5) являются решениями уравнения Зу - 5х = 21 ?

187. Принадлежит ли графику уравнения Зх + 5у = 15 точка:

1) А(5;0); 2) В (1 0 ;-3 ) ; 3) С (1;2)?

188. Известно, что пара чисел (-3 ; у) является решением уравнения 5 х -З у = 12 . Найдите значение у.

189. Постройте график уравнения:1) х + у = -2 ; 3 ) х + 3у = 5;

2) 2х + у = -1 ; 4) Ъх + 2у = 4.

190. При каком значении а пара чисел (-1 ; 3) является решением уравнения:1) 5 х -3 у = а ; 2) З я -а у = 6?

191. При каком значении а проходит через начало координат график уравнения:1 ) 3 х - 7 у = а ; 2 )5 х + Зу = а - 2 ?

Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения

системы двух линейных уравнений с двумя переменными

192. Какая из пар чисел ( -3 ; 2); (3; -2 ); (3; 2) является ре-„ [4х-Ъу = 12, шением системы уравнении \x + 2y - j f

Вариант 2 67

193. Решите графически систему уравнений:п [у = х + 5, [у = 2,

\0,5х+у = 2; =

2Л у + л = 0, 4Лж + 1/ = -1,'1 2 * + у = -3 ; %> \3х + 3у = -2 .

194. Пара чисел ( -2 ; 3) является решением системы урав

нений I®* ~ Н а й д и т е значения а и Ь.\ах + 2у = 14.

195. Имеет ли решения система уравнений:л л [у + 2х = 9, 91 /3* + 2у = 7, „ Л 2 * -З у = -4 ,Х) \3х-5у = 4; (6д: + 4у = 15; \6х-9у = -12?

196. К уравнению З х - у = 2 подберите второе уравнение такое, чтобы полученная система уравнений:1) имела единственное решение;2) имела бесконечно много решений;3) не имела решений.

197. При каких значениях а система уравнений:\1х-Ьу = а, \1х-Ьу = Ь1) к а не имеет решений;

*»{имеет бесконечно много решений?


198. Решите методом подстановки систему уравнении:/* + 2у = 4, „V (2«+7у = 11,\3х-4у = 2; а ) \4х-у = 7;

о\{Зх + у = 4, дч (7х -4у = 2,*'\5х~2у = 14; \Ьх+Иу = 43.


199. Решите методом сложения систему уравнений:1Л\х + у = 3, „Л5ж + 4у = 2, - Л\3х-Ьу = 14,1>\ х -у = 7; а } \5х-3у = - 3 ; 0>\2х-7у = 2;

(5дс-6у = 7, (4я + 3у = 3, (4ж + 5у = 11,} \10х + 6у = 8; \2x-2y = 5; М б* + 8]у = 15.


200. Решите систему уравнений:

1)

2)

3)

4)

5)

201. Прямая у = кх + Ъ проходит через точки А (-2;1) и

Б (3 ;4). Запишите уравнение этой прямой.

202. Имеет ли решения система уравнений:( 2 х - у = 5, (Зх + 7у = -2,

4 х - 5 у = -22, £ - ^ = 8,Зх + 7у = 5; 6) 3 2

8х + 3у = 31, ^ + £ = 22; . 8 4

6 х - 5 у = 45;

2 х -5 у + 3 3 = 0, 7 ) 'т +1 Зге - 5 _ о

5 10Зде-8у + 52 = 0; т -3 , 5га-9 _о с.

. 6 + '4 ' 2‘5’6 ( х - 3 ) = 7у-1 ,2(у+6) = Зх + 2; Ззс-10 2х-2у _Зх + 4

8) 5 3 152(За-4Ъ )-4(Ь + 5) = 4, 5х-34 . Зу + 4 Ъу[3 (8Ь - 5) - (7 - 2а) = -4 2 ; 1 12 2 3 ‘

1 ) \3х-2у = 3, [х + у = 16;

2) \2х-3у = и , [5х+2у = т



1) ( х - у ) 2 + (у -З )2 = 0;

2) (З х -у+ 1)2 + х 2 -4 х у + 4 у 2 = 0;

3) |2*-4у-10| + (Зл: + 1/-1)2 =0.

....N

- V

0 - Г £

\1

4

ч У‘ 1

ч .

ч> ч

4% 0

Nчч -

бРис. 10

І

Вариант 2 69


205. На заводе изготовили два вида деталей. Масса 8 деталей первого вида и 6 деталей второго вида составляет вместе 29 кг. Найдите массу детали каждого вида, если масса 4 деталей второго вида на 1 кг больше, чем масса 2 деталей первого вида.

206. Катер за 4 ч движения по течению реки и 3 ч по озеру прошел 148 км. Найдите скорость катера в стоячей воде и скорость течения реки, если за 5 ч движения против течения реки он проходит на 50 км больше, чем за 2 ч по озеру.

207. В двух шкафах стоят книги. Если из первого шкафа переставить во второй 10 книг, то в обоих шкафах книг станет поровну. Если же из второго шкафа переставить в первый 44 книги, то в нем останется в 4 раза меньше книг, чем в первом. Сколько книг стоит в каждом шкафу?

208. Известно, что 4 футбольных и 3 волейбольных мяча стоили вместе 2200 грн. После того как футбольный мяч подешевел на 20 % , а волейбольный подорожал на 10 % , один футбольный и один волейбольный мячи стали стоить вместе 640 грн. Какова была первоначальная цена каждого мяча?

209. Сколько граммов 3-процентного и сколько граммов 8-процентного растворов соли надо взять, чтобы получить 260 г 5-процентного раствора?

210. Сумма количества десятков и утроенного количества единиц двузначного числа равна 14. Если поменять местами цифры этого числа, то получим число, которое на 54 меньше данного. Найдите данное число.


Вариант 3

Числовые выражения. Выражения с переменными


1) 4 І 4 4 _ 2 І .З ± - 1 ± - З | ;' 7 4 6 9 8

2 >

3> (4 Ä - 3f l ) :1t - f = f =

4 ) (2 ,0в : і - 1 4 , 8 4 : і ) . І - 0 , 0 8 4 - і ;

5) (-16 ,2 :32 ,4 - 21,2: (-10,6)) (-2,8);

6) ( -2 ,3 -3 ,9 1 : (-2,3)): (-0,01) ■ (-0,7);

7) ( - й - в ) ; ( - 3ї ) :

9) _ 4 i + 2l . ( - u f - ( - 5 , 4 ) : А ) .

2. Составьте числовое выражение и найдите его значение:1) произведение разности чисел 35 и -2 5 и числа 1,1;2) частное разности чисел 11 и 5,8 и числа -1 ,3 ;3) частное числа 14 и произведения чисел 0,5 и -0 ,0 4 ;4) произведение разности и суммы чисел 1,4 и 0,6;5) сумма частного чисел 0,68 и -0 ,2 и произведения чисел

8 и - 12;6) разность квадратов чисел - 6 и 7;7) квадрат суммы чисел-3 ,2 и 4,6.


1) 14 -6 х , если * = 3; -4 ; 0; О2) а2 -4 а , если 0 = 7; - 3 ; 0,2;3) 5п-3т , если п = 4, тп = -3 ;4) (2 * -3)і/, если ж - 0,2, у = -0 ,4 ;5) ( х -2 3 8 1 ): у, если х = 16 857, у=47.

Вариант З 71

4. Заполните таблицу, вычислив значения выражения -З х + 4 для данных значений х.

X -3 -2 -1 0 1 2 3-Зл: + 4

5. По условию задачи составьте выражение с переменными. Мама купила 7 пирожных по х грн и у шоколадок по 35 грн, заплатив за шоколадки больше, чем за пирожные. На сколько больше за заплатила мама за шоколадки, чем за пирожные? Вычислите значение полученного выражения, если * = 20, у = 8. *•

6. По условию задачи составьте выражение с переменной. Первый автомобиль за один рейс может перевезти р т груза, а второй — на 2 т меньше. Сколько тонн груза перевезли оба автомобиля вместе, если первый сделал 3 рейса, а второй — 5 рейсов?

7. Запишите в виде выражения:1) сумму выражений Ат и 7й;2) квадрат разности выражений 2х и 0,4у;3) разность куба числа у и квадрата числа х;4) квадрат суммы чисел у и х ;5) сумму квадратов чисел у и х .

8. Известно, что л:-2у = 5, т = 3. Найдите значение выражения:

1) 2т + 5 (х -2 у ) ;

2) т (2 у -х ) ;



1) -8л: = 72; = 7 ) - | * = 8;

2) 0,9л: = -5 ,4 ; 5) |л: = 1; 8) - 3 | * = ̂ 5

3 ) -1 ,7 * = -6,1; . 6) 9л:- 2 0 ; 9) 51л: = 17.

3)3 ( * -2 у) .

т + 2(2у- х) ’ 74 ) ^ + „т. х - 2 у


10. Решите уравнение:1) 6 * = 2 8 - * ; 4) 0 ,9 * -7 ,4 = -0 ,4 *+ 4,3;

5) 5 ,8 -1 ,6 * = 0 ,3 * -1 ,8 ;

6) £ * + 19 = :£ -* +24.1 8 12

2) 9 * - 2 6 = 3 0 - 5 * ;

3) 7 - 3 * = 6 * -5 6 ;

11. Решите уравнение:1) 5 ( * —4) — * + 8;2) 9 - 7 ( * + 3) = 5 - 6 * ;

3) (7*+ 9 ) - (1 1 * -7 ) = 8;

4) 3,6 + 5у = 7 (1,2-у );5) 0 ,4 (6 -4 *) = 1 ,9 -0 ,5 (3 *-7 );

12. Решите уравнение:1) 5 *+ 8 = 3 ( 2 * - 4 ) - * ; 2) 4 ,1 (2 -3 *) = 12-(12,3*+ 3,8).

13. При каком значении переменной значение выражения 3* +2 (0 ,5 *-2 ,4 ) равно-6 ?

14. При каком значении переменной выражения 1 4 - 2 * и 6 * - 3 (* + 7) принимают равные значения?

15. При каком значении переменной значение выражения 3(1/ +1,3)—7,2 на 0,8 меньше значения выражения

16. При каком значении переменной значение выражения 2п +1 в 5 раз больше значения выражения п - 4 ?


4) |* — 2 1 = —1; 8) 3|*| + 2 = 0;18. При каком значении а уравнение:

1) 4ах = 56 имеет корень, равный числу 4;2) (а - 2) * = 9 + За имеет корень, равный числу 5;3) (2а - 3) * = -6 а -1 1 имеет корень, равный числу -3 ?

19. При каком значении Ь имеют один и тот же корень уравнения:1) 3 * + 11 = 26 и * + 4& = -35 ;

4у + 5(у-1Д )?

1) |*| = 5; 5) |*| + 3 = 6; 9) |3* + 5|-2 = 0;

2) |* + 11 = 2; 6) |* | + 3 = 2; 10) |2*-5| + 3 = 8.

3) |* + 3| = 0; 7 )4| *| -7 = 0;

2) & - 2 * = 3* + 5 и 7 ( * - 2 ) = 3 * - 4 2 ?

Вариант 3 73

20. Дано уравнение тх = -6 . Укажите все значения т, при которых корнем данного уравнения является положительное число.

21. При каких значениях а:1) уравнение а * = 5 не имеет корней;2) уравнение (а + 9) х = 8 имеет единственный корень;3) корнем уравнения (а - 4) х + 4 = а является любое число?

22. Найдите все целые значения а , при которых корень уравнения ах = -1 5 является целым числом.

23. Найдите все целые значения а, при которых корень уравнения ах = -2 6 является натуральным числом.

Решение задач с помощью уравнений

24. Провод длиной 624 м разрезали на две части, одна из которых в 5 раз короче другой. Найдите длину меньшей части.

25. В автопарке грузовых автомобилей в 7 раз больше, чем легковых. Сколько легковых автомобилей в автопарке, если их на 162 меньше, чем грузовых?

26. На заводе в трех цехах работает 626 человек. В первом цехе работает в 2 раза больше человек, чем во втором, а в третьем — на 142 человека больше, чем во втором. Сколько человек работает в каждом цехе?

27. Одна сторона треугольника на 14 см меньше второй и в 2 раза меньше третьей. Найдите стороны треугольника, если его периметр равен 122 см.

28. Пирожное дороже пирожка на 7,2 грн. Сколько стоит пирожное и сколько — пирожок, если за 5 пирожных заплатили столько же, сколько за 11 пирожков?

29. З а ,4 пачки печенья и 3 пакета сока заплатили 102 грн. Сколько стоит пачка печенья и сколько — пакет сока, если пачка печенья дешевле пакета сока на 6 грн?

30. Деревянную рейку длиной 465 см разрезали на 15 частей двух размеров: 25 см и 40 см. Сколько получили частей каждого размера?


31. На базу за три дня завезли 68 т овощей, причем во второй день завезли 60% от количества овощей, завезенных

пв первый день, а в третий — ^ того, что было Завезено

О

в первый день. Сколько овощей завезли в каждый из трех дней?

32. Велосипедист преодолел расстояние между двумя городами за 2 ч, а пешеход — за 6 ч. Найдите скорость велосипедиста и скорость пешехода, если скорость пешехода на 8 км/ч меньше скорости велосипедиста.

33. В первом ящике было в 5 раз больше груш, чем во втором. Когда из первого ящика взяли 16 груш, а во второй положили 12 груш, в ящиках стало поровну груш. Сколько груш было в каждом ящике сначала?

34. На двух полках было поровну книг. После того как с первой полки сняли 8 книг, а со второй — 24 книги, на первой полке стало книг в 3 раза больше, чем на второй. Сколько книг было на каждой полке сначала?

35. В автопарке грузовых автомобилей было в 5 раз больше, чем легковых. После того как в рейс вышло 58 грузовых и 15 легковых автомобилей, в автопарке осталось грузовых автомобилей на 29 больше, чем легковых. Сколько легковых и сколько грузовых автомобилей было в автопарке сначала?

36. Из одного города в другой выехал автомобиль со скоростью 80 км/ч, а через 2 ч из другого города навстречу ему выехал второй автомобиль со скоростью 70 км/ч. Сколько часов ехал до встречи каждый автомобиль, если расстояние между городами равно 760 км?

37. В первом баке было 700 л воды, а ро втором — 540 л. Каждую минуту из первого бака выливается 25 л, а из второго — 30 л. Через сколько минут во втором баке останется в 2,5 раза меньше воды, чем в первом?

38. Из пункта А по течению реки отправилась лодка. Через 2 ч, прибыв в пункт В, она сразу отправилась назад и че

Вариант 3 75рез 4 ч вернулась в пункт А. Найдите скорость лодки в стоячей воде, если скорость течения р.еки равна 4 км/ч.

39. У Пети было 14 купюр по 2 грн и по 5 грн, всего на сумму 68 грн. Сколько купюр каждого номинала было у Пети?

40. Чтобы вовремя прибыть в пункт назначения, турист планировал ежедневно проходить 20км . Но он проходил каждый день на 2 км больше, чем планировал, и уже за день до назначенного срока ему осталось преодолеть 6 км. За сколько дней турист планировал пройти весь маршрут?

41. В первом автобусе пассажиров было в 2 раза больше, чем во втором. После того как из первого автобуса 15 пасса-

кжиров перешли во второй, в первом стало у того коли

чества пассажиров, которое оказалось во втором автобусе. Сколько пассажиров было в каждом автобусе сначала?

42. Из двух пунктов, расстояние между которыми равно 6 км, одновременно в противоположных направлениях отправились всадник и пешеход, причем скорость всадника была на 9 км/ч больше скорости пешехода. Через 48 мин после начала движения расстояние между ними стало равным 18 км. Найдите скорость пешехода.

43. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 32 км, вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через 10 мин из пункта В в пункт А выехал велосипедист со скоростью 12 км/ч. Через сколько часов после выезда велосипедиста они встретились?

Тождественно равные выражения. Тождества

44. Какому из данных выражений тождественно равно выражение 5с-с? -6 с-1 3 й :

1 ) -11с-14<*; 2 ) -с+14с*; 3 ) -С-12Й; 4) -с-14сг?45. Докажите тождество:

1) 4т - (/п - 4) + (5 - 2т) = т +9;


46. Докажите, что не является тождеством равенство:1 ) (4 + /г)2 =16+ 2) (а + 4) (а + 5) = а2 + 20.

Степень с натуральным показателем


1) З4; 3) 0,82; 5) (|)3; 7) (2±)2;

2) (—5)2; 4) 52; 6> Н Г 5 8) (_1|)3'48. Вычислите:

1) 24 + 53; 4 ) (-0 ,4 )2 - ( -0 ,3 )2;

2) (-7)2 - ( - 2 ) 2; 5) (44 : 800 + 0,42) :(-0 ,2 )2;

3 )6 - ( -| )2; 6 )(5 ,9 -6 ,1 )3 -(-1|)2.


1 )0 и (-5 ,3)2; 3) (-6 )11 и (-7)4;

2) (~ 1 ^ )3 и 0; 4) Ю10 и (-Ю )10.

50. Составьте числовое выражение и найдите его значение:1) сумма квадрата числа -9 и куба числа 6;2) куб суммы чисел 7 и -1 0 ;3) сумма квадратов чисел -3 ^ и 2^-.


1) 9а2, если а = -д ! 4) с4 +с2, если с= 0,2 ;

2) 15 -ж 2, если * = -3 ; 5) ( х - у ) 4, если * = 0,3, у = - 0,2;

3) (12*)4, если * = -!■; 6) т2п4, если тп = 1\, п = -\ .2 6 о52. Какое наименьшее значение и при каком значении пере

менной принимает выражение:1) 2а2 - 7 ; 2 )(у + 3)2 + 5; 3 ) ( * + 9)2 - 5 ?

53. Какое наибольшее значение и при каком значении переменной принимает выражение:1) ~х4 -1 0 ; 2) 6 - ( х - 5 ) 2; 3) ~(х + 5)4 +13?

Вариант 3 77



1 )л 4л6; 4 ) а 6а в; 7) (а + 2Ь)10(а + 2Ь);

2) тт}\ ' 5) ж*9* 4; 8) у5у2ууп ;

8) х 2х16; 6) А3* 2* 8; 9) (у+6)5(у+6).

55. Представьте в виде степени частное:

1) а15 :а 4; 2 ) у 9 :у ; 3) ( х - у ) 12 :(х~у)6.


1) а5 * = а19; 3) а 9 :* = а5; 5) а14:* а9 = аи ;

2) а4 * а2 = а7; 4 ) * : а 10= а32; 6) * а7 :а 23 = а2.


т13 „6

711) З4 -З5;

п .1 2 п .1 4

2 ) 2 5 : 2 2 ; 7 > 5 19 ;0,4 -0,4

3) 511 -57 : 515; 8) 33 -27;

4) 2910-296 :2914; 9) 128-22 :2б;

* ( - ч Г - Н Г Ы58; Представьте степень в виде произведения степеней:

1) (ХУ)1°1 3) (3у)4; 5) (-0,2Алс)4;

2) (пглр)6; 4) (-2 ху)6; 6) .


1) * У ; 3) 36а 2Ь2; 5) - Щ т3п3;

2 ) -л 11; 4 ) 2 7 * У ; 6) ЮООООр5* 5.



1) 0,29 -59; 3 ) ( 1 ) 8 -88; 5) ;

2) 43*253; 4) 0,84 1 254; 6 )0 ,5 17-219.

61. Представьте в виде степени с основанием с выражение:

1) (с3)4; 4) (с5)4; 7) (с8)3 (с3)8;

2) ( - с 7)2; 5) ((с2)3)6; 8) ( - с3)5 ( - с5)7 : с26;

3) с5с2; 6) (с8)6 : с45; 9) с34 : (с8)2 с15.


1 ) а 4 аб= а 20; 3) а5Ь5 = (а&)10;

2) о14 : а 2 = а7; 4) (а3)3 а3 = а12?

63. Представьте выражение в виде степени и вычислите егозначение:

1) З16: (З5)3; 3) 68 (6б)4 :6 25; 5) ;

-.5 0 1 62) (57)3 :(54)5; 4) 492 :7 3; 6)

64. Найдите значение выражения:к9 1,9 до . .8 о20.а111 \ 5 '13 . о\ 4 '11 . А__А .1) Б—» 3 ) ------ г— > 1

65 44 72

21 247 . 1512 ■ 6 ) 241.86 • З6 * } 312-510’ 184

Одночлены

65. Приведите одночлен к стандартному виду, укажите его коэффициент и степень:

1) б*4* 2* ; 4) -2,4п2 '5л3 * ;

2) 4Ь 0,25а -3/п; 5 ) -15а2 0,2а5Ь8 (-Зс);

3) 6х (-4уг); 6) у2( -х 3)-у11.

Вариант З 7966. Найдите значение одночлена:

1) Зга3, если л = -2 ;

2) -4,Ьху2, если * = i , у = -4 ;

3) Х а&з, еСли а = _ 1 , fc = —2;

4) 0,4m2raft, если /л = 0,5, л = 6, А = -10 .67. Выполните умножение одночленов:

1) 12p k 3 ■(~3pi k 2)i 4) 0,27а 3Ь2св ■ 3 | а2Ьбс12;

2) 0,8а2»8 -2,5а&; 5) - Ы х 7уг2 - Ц х 2у925;

3) - 4 ,6 * У 0 ,5 * У ; 6) | * У ( -6 г У )-1 ,5 *У * .


1) (5а7Ь8)2; 3) (-2х6у2г4)3; 5) (9x7y5zaf ;

2) ( - 4 * У )2; 4 ) ( - | т 4л)6; 6) ( l| a 2V 4)3.

69. Преобразуйте в квадрат одночлена стандартного вида выражение:

1) 9о6; 3) 0,64а12Ь8;

2) 25а4Ь10; 4) 625au feV8.70. Преобразуйте в куб одночлена стандартного вида выра

жение:1) 8а9; 3) 0,064а12Ь24;

2) -2 7 a V ; 4) - J - a 18b27c60.


1) 4a4 (-2a8&2)2; 4 ) -і|/л8л8 -(-±/лл4)2;

2) (~х5у)3 -6х3у2; 5 ) l J a V - ( | a 2b)3;

3) (-0 ,3a4bc3)2 -5a2c6; 6) (-За2&8)6 ( -| а 5Ь4)8.


72. Представьте данное выражение в виде произведения двух

одночленов, один из которых равен 3а%ъ :

1) 9а 8Ъп ; 2) -18а13Ь5; 3) -3 ,6а 3Ь7; 4) 2 ^ а г1Ъи .

73. Известно, что 4х2у5 =3. Найдите значение выражения:

1) 1,6х2у5; 2) 4х6у15-, 3) -20*У°.Многочлены

74. Преобразуйте выражение в многочлен стандартного вида и укажите его степень:

1) 6х2у - 2хгу + ху2 - 7ху2;

2) а2+ 5 а -3 + 2а2- 4 а + 9;

3) 7а-4Ь + 12с-4с!-5а-Зг> + 2<*-6с;

4) Зх3 + 5х 2у - 6х2у2 + 7х2у + 12х3 - ху2 + 6х2у2 + 4ху2.

75. Приведите подобные члены многочлена и найдите его значение:1) -За3 - 7 а 2 + 5а3 -З а 2 + 2а, если а = - 3;

2) 0,2Ъ3 + 0,4Ь2 - 0,8Ь - 0 ,ЗЬ3 + 0,8Ь -1 , если Ъ = 2;

3) 7а2Ь + 2аЬ2-4аЬ 2 + За2& + а62, если а = 2, Ь = -0 ,1 ;

4) —0 ,2 * —Ил:2!/ — 19л:21/, если * = -3 , у = 0,4.



1) (8 *2 -1 2 х + 4 ) - (2 * 2 + 5 * -2 ) ;

2) (11 + 2ж)+( - * 2 +12* - 35);

3) (7а2 -З а + 6 )- ( -8 а + 2а3 + 5);

4) (14дс1/ —21/2 +13л:2) —(—16у2

5) (18а2& + 9аЬ-2а&2)+(4аЬ + 2а&2);

6) (А "'2»3

Вариант З 8177. Докажите тождество:

1) (а2- Ь 2 - с 2)-(Ь 2 - с 2 + аг ) +(Ь2 - а 2) = - а 2 - Ъ2-,

2 ) -2 а 2 - ( 4 -З а 2) + ( 6 - 5а2)+(4а2- 2)+1 = 1;

3 ) (х3 + 5 *2) - (2х -1 ) - (х2 + Зж) + (5х - х3) = 4 * 2 +1.

78. Докажите* что значение выражения не зависит от значений входящих в него переменных:

1) (12а5 + 2а4 + 3) - (5а5 + 4а4 - 8) - (7а5 - 2а4 -11 );


1) 5 -(3 + 4 л :-2 х 2)= 2 * 2-3:е + 8;

2) 12+(5х + Зж2)-(Здс2 -2л:) = 0;

3) (Зу3 + 2у2 - 4 ) - ( 2 у 3 + 4у2-8 у ) = у3 - 2 у 2 -1 2 .


1) 4а2 -(8 а 2 -2аЬ)+(Зад+4а2) , если а = 0,2, Ь = 3;

2) (5 х у -х 2)+7х2 ~(6х2 -Зху), если * = —|» У = 1^-

81. Вместо звездочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество:1) * - ( 2 х 2 + 3 х у -4 у 2) = 5х2 - у 2;

2) а3 - 6 а 2 + 2а4 - ( * ) = 8а2 -З а 4 + 1.82. Докажите, что выражение


83. Докажите, что значение выражения (И я + 5)-(4га-16 )

кратно 7 при любом натуральном значении п.84. Докажите, что значение выражения (1 Ога- 3 ) - (2га-19)


2 ) ( і а г - і а Ь,8 9

(Эх6 - 2 *3 +1) - (я3 + х - 2)+(Зле3 + х)


85. Докажите, что при любом натуральном л значение выражения (9л + 7)-(4 л + 5) при делении на 5 дает остаток,

равный 2.86. Представьте в виде многочлена выражение:

1) Ьса; 2) cab + bc ; 3) a b c - b a ; 4) саЪ-сЪ.

87. Докажите, что разность чисел cba и cab кратна д.88. Докажите, что разность a b c - ( a - b + c) кратна 11.

89. Представьте многочлен Ъху2- 2 x z + 4 х -З у + 7 в виде суммы двух многочленов таких, чтобы один из них не содержал переменной у.

90. Представьте многочлен 2х2у+3у2~4х4 + 7ху -В х + 9 в виде разности двух многочленов с положительными коэффициентами.

91 . Представьте многочлен 2у2 +4у-Ъ в виде разности двух двучленов.



1) 4л:(ж2 + 3 jc-2); 4) 0,4ab2(2a2b -5 a b + 7a2b2);

2) - 3 b (а2 + 6ab + 5ft); 5)

3) (б*3 - 10х 2 + 8)-(-2,5л); 6) -6 х 2у5 (2х8 - 3 х 2у + у2).

93. Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение:1) l ,5 ( 2 * - 6 ) + 4 ( * - 2 ) - 5 ( 2 - 3 * ) ;

2) 5x (x - 4 ) - 2 ( x2 + 3x);

3) За (а2 + 2 а )-4 а (а2 -7 а ) ;4) х (х + 2 у ) -у (3 х -4 у ) ;

5) 0,4Ь2 (5Ь2 - 2Ь- 1 ) - 0,ЗЬ (Ь3 + 2Ь2 -ЗЬ);

6) 8 * (3 * 2 -2 у )-4 * (5 у + 7 х 2);7) 4Ь (2Ь - 5 а )-9 а (6 + За)+6Ь (-2а + Щ ;

8) 2х3(З* - 2) - Зх (ж3 4х2 + х ) - х (8 + З*3).

Вариант 3 _________________ • _8394. Упростите выражение и найдите его значение:

1) 3 х (7 х -2 )~ 2 х (9 х + 3), если х = - 4 ;

2) 4аЬ(7а2 -З Ь 2) + ЗаЬ(5Ь2 - 9 а 2), если а = -2 , Ь = - 3;

3) 2а8(5а2+ а - 6 ) - 1 0 а 5, если а = -2 .


2 х {З х 2 - 4 ) + х 2(6 - х ) ~ ( 5 х 3 - 8 х + 6 х 2 - 3)

не зависит от значения х .


2 х \ 3 - 4 х 2) - 4 х \ х 3 - 2 х ) - 6 х 2

принимает неположительные значения при Всех значениях х .

97. Решите уравнение:1) 2 х ( З х - 4 ) - З х ( 2 х + 5 ) ~ 7 ;

2) х г +4х+1 = х (х + 2);

3 ) З х ( х + \ ) - 2 х ( Ь х + 3) = 7 х ( 2 - х ) + 3 4 \

4) 8 ( х 2 -1 ) - Зх ( х +2) = 5 *2 - 6 х - 5.

98. При каком значении переменной значение выражения

4 х ( З х + 2 ) на 10 больше значения выражения 6 (2л:2 -3 )?

99. При каком значении переменной удвоенное значение трех-А А

члена х + 2 х - 5 равно разности значений выражений

х ( З х 2 + 5 х ) и х ( х 2 + х - 4 ) ?


1) х , х _ 2 8 '

. 1 7 . ‘ 4 *

2) х + 1 . 4

Х.-0-з ~ ;

3) II со 1

00 н 2 + Зх.

5 ’

4) х + 3 2

н 1 II

5) х± 4 _ х = 3 =2; 4 6

в) 5х + 2 , 2 х - 1 „ х + 4 .12 15

1;

п\ З х - 2 2х + 1 _ „ 1 .

8) 4а: 4- 2 | 5 - З дс_ 23 2 8


101. Ширина прямоугольника в 3 раза меньше его длины.Если длину прямоугольника уменьшить на 2 м, то его

2площадь уменьшится на 8 м . Найдите исходную длину прямоугольника.

102. В трех баках находится 260 л воды. Известно, что во втором баке на 20 л воды больше, чем в первом, а в третьем —-

— объема воды, находящейся в первом и втором баках 8

вместе. Сколько литров воды находится в каждом баке?



1) (* + 5)(1/-7); 7 ) ( - 2 - у ) ( / + 3);

2) (х -1 ) (х + 5); 8) (3а2 -й )(4а2 + 3д);

3) (3* -5 ) (2х + 7); 9) (а - 3) (а2 + 4а + 2);

4) (5х2 -1 )(5х + 1); 10) (у -2 г ) (у 2 - 2 у г - 5 г г);

5) (5 т -2 п )(3 т + п); 11) т ( 2 т - 1 ) ( З т + 2);

6) (4хг -х )(2 х г +3х); 12) -6 х 2(4 -2 х )(3 х 2 + 11х).

104. Упростите выражение:1) (х + 3) (х - 7) - 4х (5 - 2х);

2) (у + 2) (у - 6 ) + (у + 3) (у -4 ) ;

3) (х -3 ) (Зх +1) - (2 х +3) (4х -1 );

4) (2а - Щ (7а+4&)-(3,5а + Ь)(4а-66);

5) ( т 3 - Зга) (/га2 + 2га) - 4то3 ( т 2 + 7п).

105. Решите уравнение:1) (* -4 )(я : + 2 ) -(х -5 )(х + 6 ) = -х ;

2) 12х2 -(З х -4 )(4 х + 1 ) = 19;

3) (Зх+5) (2х+1) = (6х + 5) (х - 3)+7;

4) (х + 1 )(х -2 ) - (х + 5)(х+4) = -2 .

Вариант З 85106. Упростите выражение и найдите его значение:

1) (дс+7)(ж-3)-(л:-6)(дс + 2), если дс = —2,5;

2) (а + 3 )(а -6 )+ (9 -5 а )(а + 1), если a = l\ .4

107. Докажите, что при любом значении переменной значение

выражения (x+l)(je2 + x - 4 ) - ( x + 2)(x2 -3 ) равно 2.

108. Докажите, что значение выражения(п -5)(п + 5 ) - (п -2 ) (ге-12)

кратно 7 при всех натуральных значениях п.109. Найдите четыре последовательных натуральных числа

таких, что произведение второго и четвертого из этих чисел на 45 больше произведения первого и третьего.

110. Длина прямоугольника на 3 см больше его ширины. Если длину уменьшить на 2 см, а ширину увеличить на 5 см, то площадь прямоугольника увеличится на 14 см2. Найдите исходные длину и ширину прямоугольника.



1) За-152»; 7) 22ху2+ 33х2у;

2) Ьх—2ху\ 8) -4 а 4 +20а10;

3) 7mn + 7mk', 9) З*2+15х4 - 2 1 * 6;

4) 6а2 -12аЬ; 10) 4а2&3 -: 12аЬ2 + 20а2Ь;

5) хв - х 3', 11)15т3-9т 2п-12т 2;

6) 18аЬ2+9а6; 1 2 )-16x2y3z -M x 2y2z2+ 4х2уг3.

112. Разложите на множители:1) х (а -Ъ )-у (а -Ъ ); 4) З а(х -у )-(у -х )\

2) а(З х - 4 у) + Ь(Зх- 4 у); 5) (у - З)2- 4 ( у - 3);

3) Зх(т -2п)+ 4у(2п-т ); 6) (х+ 2)(Зу-1)-(х+ 2)(2у-7).



1) х2 +7зс = 0; 3) 8у2-3 у = 0;

2) г2 -3 г = 0; 4 )1 0 *2 + 2і = 0.114. Докажите тождество, используя вынесение общего мно

жителя за скобки:1) (2а - 7 Ъ) (За2 +4аЬ-Ъ2) - (2а - 7Ь) (За2 + 4а&- 2Ь2) =

= &2(2а-7&);

2) (За -1 ) (5а2 + 2ай - 2)+(1 - За) (5а2 + 2а& - 6) = 12а - 4.115. Докажите, что значение выражения:

1) 16® - 2 20 кратно 15; 3) 277 + 318 кратно 84;2) 186 - 9 6 кратно 21; 4) 64 - 4 5 кратно 17.

Разложение многочлена на множители. Метод группировки

116. Разложите на множители:1) х у - х г + т у -т г ; 5) В ху -4у + 2х2 - х ;

2) 4а-4Ъ + са -сЪ ; 6) Зх3 -Ь х 2у - 9 х + 1Ьу;

3) 5 а - а Ь - 5 + Ь; 7) т3п2+ т + т2п3+п;

4) а7 + а5 +2а2+2; 8) а х 2+ а у - с у + Ъх2- с х 2+ Ъу.

117. Разложите многочлен на множители и найдите его значение:1) ЮаЪ-ЪЪ2 -6 а + ЗЬ, если а = 6^, Ь = 2,4;5

2) Зх3 + х 2 - З х - 1 , если х.= 2~.и118. Найдите значение выражения:

1) 15,6-7,8 + 19 ,5 -9 ,4 -15 ,6-5 ,8-19 ,5-7 ,4 ;

2> 51 - 8 § - 4 ! -8| - 7! •1і119. Разложите на множители трехчлен, представив пред

варительно один из его членов в виде суммы подобных слагаемых:1) х2 + 8х + 15; 3) дс2+10лг-11;

2) х 2 -9;е + 8; 4) хг - 4 х - 2 1 .


Произведение разности и суммы двух выражений120. Представьте в виде многочлена выражение:

1) (а + 7)(а~7); 6) ^ 7 а У -± а у 2) (7 а У + |ау2|;

2) (6 + х ) ( х - 6); 7) (0,Зр3 + 0,2д4)(0,Зр3 -0 ,2д 4);

3) (4й-1)(4& + 1); 8) (х4 - у 4)(х4 + у4)(х8 +у8);

4) <8пг + Зі/)(Зі/-8/ге); 9) ( т 6 -га5) ( - т 6 - п 5);

5) ( * 7 - ? 5) ( * 7+ **); Ю) (і,8в11+ { * 8) (| і8-1 ,8 в 11).

121. Упростите выражение:1) (с + 2 ) (с -2 ) -4 с (с -1 ) ;

2) (4а -1 ) (4а+1)+(9 + а) (а - 9);

3) (5х - 7у) (5х + 7у)+(7х - 5у) (7х + 5у);

4) (/п -1 ) (6 - т ) -(1 0 - /п) ( т +10).

122. Решите уравнение:1) (х + 3 )( ;е -3 )-х (х + 4 ) = 0;

2) Зх(1 + 12я:)-(6л:-1)(6;с + 1) = 2,5:е;

3) ( х - 5 ) ( * + 5 )-(2 *+ 1)(л ;-2 ) = 1 - х 2.



1) х2 -1 0 0 ; 6) т8 - га10; ;

2) 36-81&2; 7) 0,16р4 - д 6;

3 )9 х 2 -6 4 у2; 8) 1,21г8 -2 2 5 *14;

4) 0,09а2 -1,44£>2; 9) -4 + 1 6 9 * У 8;

* 1 * 4У4 - & 1 0 ) 2 ^ х 4у4 - 1 ^ а 6Ь8.


1) (2 а -3 )2 -8 1 ; 3) т6 - (т 2 -З )2;

2) (ЗЬ- 4)2 - (Ъ+7)2; 4) (а - Ъ - с)2 - (а +Ъ - с)2.


125. Решите уравнение:1) ж2 -8 1 = 0; 3) 25ж2 + 36 = 0;

2) 9ж2-49ж = 0; 4) (Зж+1)2 -1 0 0 = 0.126. Докажите, что при любом натуральном га значение вы

ражения:1) (8га + 2)2 - 36 делится нацело на 8;

2) (4га+17)2 -(га -4 )2 делится нацело на 3.


127. Представьте в виде многочлена выражение:1 )(ж -4 )2; 6) (0,4а-5Ь)2; 11) (-7ж+Зу3)2;

2) ( 5 - х ) 2; 7 ) (8 * + 1 у )2; 12) ( - 5 -2 а )2;

3) (0 ,5а-Ь)2; 8)(Ь 2 -3 )2; 13) ( г і а + і|&)2;

4 )(З ж -2 )2; 9) (у2 -2 у )2; 14) (брц2 -щ>2)2;

5) (5/га+ Зга)2; 10) (/га3 + га2)2; 15) (2*4 + 5ж3Ь6)2-128. Упростите выражение:

1) (дс — 5)2 — 7; 5) ж (ж -2 )-(ж -3 )2;

2 ) 6 у + (у -3 )2; 6 ) ( 8 р - ? ) 2 - ( 4 р - 9 ) ( 1 6 р + 3 9 ) ;

3) (4а - 56)2 - 1 6а (а - Зй); 7) у (З у -2 )2- 9 у (4 + у)2;

4) (4/га + Зга)2 + (2/га-6га)2; 8) (ж+4)2 -(ж -2 ) (ж+ 2);

9) (8а - ЗЬ) (8а+ЗЬ) - (6а - 5Ь)2;

10) (та - 3) (/га+ 4) - (/га+ 2)2 + (4 - /га) (/га+4).129. Решите уравнение:

1 ) ( ж + 7 ) 2 - ( ж - 8 ) 2 = - 1 5 ;

2) (4х + 1)2 +(3-2ж)(8ж+1) = 7;

3) ж (ж+2) (6 - ж) = 14 - ж (ж - 2)2;

4) (6ж - 1)2 - (4ж - 3) (Зж+1) = 6 (2ж - 5)2 +11 Зж; *

5) (ж-2)(ж + 2) = 3(ж+4)2 -2ж(ж + 5).

Вариант 3 89

130. Упростите выражение и найдите его значение:

1) (х -4 у )2 - ( 4 х - у ) 2, если * = 1|,

2) (я2 - I ) 2 - ( х 2 -5 ) (я2 +5)+ 2 (4 - я ) 2, если * = -0 ,25 ;

3) (а+6)2 - ( а - 2 ) ( а + 2), если а = 1^;44) (х4 - 3 ) ( * 4 +3)-(ж 4 -5 )2, если * = 3.

131. Замените звездочки такими одночленами, чтобы образовалось тождество:

1) ( * - 4 ) 2 =у2- * + 16; 3) ( * - * ) 2 = 16л:6 -*+49г/4л:8;

2) (4а3 + *)2 = * + * + 25т2; 4) (Зга2 - * ) 2 = *-24га2д5 + *-



1) а 2 + 10а + 25; 5) т.8 -6т *п 5 +9п10;

2 ) 4 х 2 -4 х + 1 ; 6) 36х12 +у6 +12х6у3;

3) 64га2 -80дд + 25д2; 7) ^ а 6 - 2 а 3Ь2+ 22564;

4) 80ху + 16л:2 + ЮОу2; 8) ||а4 +10а2Ь3+49Ь6.


1) * - 4 а * + 4 а 2; 4) * - 2 6 х 5у* +169г/8;

2) 16т2+ 24тп + * ; 5) тга6 -1,2/га3 + * ;

3) 121Ьг - * + 9 д 2; 6) * -| Ь с + | с 2.

134. Решите уравнение:1) * 2 + 8*+ 16 = 0; 2) 36*2 - 60*+ 25 = 0.


1 ̂ 3) ̂+ 2 (Д — аптх п — !.■


2) (4 а -3 )2+ (За-1)2-1 , если а = 2.

136. Докажите, что выражение х2 - 1 0 * + 29 принимает положительные значения при всех значениях * . Какое наименьшее значение принимает это выражение и при каком значении х!

137. Докажите, что выражение - х 2 + 8 * -1 9 принимает отрицательные значения при всех значениях * . Какое наибольшее значение принимает это выражение и при каком значении х?


1) х2 + 4* + 7 = 0; 2) лс2-Зж +4 = 0.

139. Докажите, что выражение (а -26) (а -2 6 -6 )+ 9 прини

мает неотрицательные значения при любых значениях переменных.

Сумма и разность кубов двух выражений


1) а3+1; 3 )6 4 у3 - х 8; 5) а 9 - 6 12;

2 ) т 3 + 27; 4 )2 1 6 + твп6; 6) 343а669 + 0,027с3сг21.141. Упростите выражение:

1) ( * - 2) (х2 + 2 х +4) + (4 - * ) (ж2 + 4 х +16);

2) (* + 3 )(*2 -Зж + 9 ) - * ( * - 4 ) ( * + 4 ) ;

3) У (У + 3) (у - 3) ~(у -5 ) (у2 + 5у+25);

4) (х3 -1 )(х3+1)(х18 + 1)(х36+1)(х6 + х 3 + 1)(хв - х 3 + 1).


1) (2 + 3*) (4 - 6 * + 9 *2) - 3 * (3* - 4) (3*+ 4) = 10;

2) 16 - 2)( ̂ * 2 + х +4) - 2х ( х - 6)2 = 24*2.


1) (а+4)3 - 2 7 ; 2 ) (а - 9 ) 3 +64.

Вариант 3 91

Применение различных способов разложения многочлена на множители


1) 7 * 2 -2 8 ; 6) - 7 5Ь6 + ЗОЬ4 - 3&2;

2) За3 -1 0 8 а ; 7) 2 *6 -16у 9;

3) З*4 - 3 * У ; 8) а4 - а 3& + аЬ3-Ь 4;

4) 47п4га2 -64пг4р2; 9) * + 4у + * 2 - 16г/2;

5) 3 *2 -48*у+1921/2; 10) Хгуъ - у * - х 2у2 + у2


1) х 2 + 2ху+у2-6 4 ; 5) * Аа- 6 * 1и+ 9 * в -3 6 ;

2) т2 +16п2 + 8т п-Ъ2; 6) й3 +64а3 + 62 + 86а+16а2;

3) х 2у3- х у + у - у 3; 7) х 2- 6 х у + 9 у 2- а 2 - 2 а - 1;

4) а8+ 2 7 - З а - а 2; 8) 4 * 2 - у 2 - 4 * + 1.

146. Решите уравнение:1 ) 7 * 3 - 2 8 * = 0;

2) 81*3 + 3 6 *2+ 4* = 0;

3) х3 - 2 х 2 - 9 х +18 = 0;

4) х3 + 4х2 + 4х +16 = 0;

5) 3 *3 - 6 * 2 -7 5 *+ 1 5 0 = 0;

6) * б+ 4 *4 + 4 *3 - * 2- 4 * - 4 = 0.

147. Разложите на множители трехчлен, выделив предварительно квадрат двучлена:

1) х 2 + 2х ~ 8 ; 3) ж2 + 1 2 * + 1 1 ; ’

2 ) * 2 -6 * + 5 ;. 4 ) * 2 - 4 * - 5 .

148. Известно, что х + у = 7, ху = 6. Найдите значение выражения:1) х 2у + х у 2; 2) * 2 + у2; З ) * 3 + у3.


Связи между величинами. Функция

149. На рисунке 11 изображен график изменения температуры воздуха в течение суток. Пользуясь этим графиком, определите:1) какой была температура воздуха в 5 ч; в 11 ч; в 17 ч;2) в котором часу температура воздуха была - 3 °С; -2 °С;

О °С; 1 °С;3) какой была самая высокая температура и в котором

часу;4) в течение какого промежутка времени температура воз

духа была ниже О °С; выше О °С;5) в течение какого промежутка времени температура воз

духа повышалась; понижалась.150. На рисунке 12 изображен график движения туриста..

1)На каком расстоянии от дома был турист через 2 ч после начала движения?

2) Сколько времени он потратил на остановку?3) Через сколько часов после выхода турист был на рас

стоянии 12 км от дома?151. Закипев при температуре 100 °С, вода начала охлаж

даться. Каждую минуту ее температура понижалась на 4 °С.

Рис. И

Вариант 3 93

Рис. 12

1) Запишите формулу зависимости температуры Т воды от времени t ее охлаждения.

2) Найдите значение температуры Т, соответствующее значению времени * = 3; 8; 11.

152. Рассмотрим функцию /, заданную следующим правилом: каждому натуральному числу поставили в соответствие остаток при делении его на 6. Найдите:1) область значений функции;2)/(11),/ (20),/ (54),


153. Функция задана формулой у = -4 х + 1 . Найдите значе

ние у, если:1) х = 1; 2) лг = -3 ; 3) * = -2 ,5 ; 4) * = 9.

154. Функция задана формулой у = х ( х - 4). Заполните таб

лицу.

X - 3 -2 -1 0 1 2 3

У

155. Дана функция f(x) =*+ 6 , если * < - 4 ,8, . если- 4 < * < 3 ,Лх“, если ж ̂ 3 .

Найдите: 1 ) / ( -5 ) ; 2)/(-4); 8)7(2); 4)/(3); 5)/(5).



156. На рисунке 13 изображен график некоторой функции. Пользуясь графиком, найдите:1) значение у, если ж = -5 ; - 4 ; -3 ,5 ; -1 ; 1; 2; 4;2) значения ж, которым соответствует значение у = - 3; 2;

- 2;3) значения аргумента, при которых значение функции

равно нулю;4) область определения и область значений функции.

157. Принадлежит ли графику функции у = 2х2 - 1 точка:

1) А (0; 2); 2) В (1; 1); 3) С (0; -1 ); 4)1) ( -1 ; 2); 5) Е ( -2 ; 7)?

158. Функция задана формулой у = х2 -9 , где -3 < х ^ 4.1) Составьте таблицу значений функции с шагом 1.2) Постройте график функции, пользуясь составленной

таблицей.3) Пользуясь графиком функции, найдите, при каких зна

чениях аргумента значения функции отрицательны.159. Не выполняя построения, найдите координаты точек

пересечения с осями координат графика функции у = х2 +6х.

Рис. 13

i


Линейная функция, ее график и свойства

160. Функция задана формулой у = -Зх+ 4 . Найдите:

1) значение функции, если значение аргумента равно: -2 ; 4; 3,5;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно: 1; —2; 0.


1) у = х + 4 ‘, 3 )у = і * - 2 ; 5) у = 5 -ід г ;/ 5

2) у = 3 х -1 ; 4) у = 0 ,8 * -3 ; 6) у = -4х.

162. Функция задана формулой у= ^ х . Найдите:

1) значение у, если х =10; А-; —5; —7;62) значение х, при котором у = - 3 ; і ; 2; 0,4.

5 ,163. Постройте график функции:

1) у = 2х; 2 ) у = -4 х ; 3) {/ = -|дг; 4) у = 0,6*.

164. Постройте в одной системе координат графики линейных функций у = 2 и у = -5 .

165. Постройте график функции у = Зж + З. Пользуясь графиком, найдите:1) значение функции, если значение аргумента равно: 1; -

2; 0;2) значение аргумента, при котором значение функции

равно: - 6 ; 0; 9;3) значения аргумента, при которых функция принимает

положительные значения.166. Постройте график функции у = 0,5ж. Пользуясь графи

ком, найдите:1) значение функции, если значение аргумента равно: 2;

- 4;

2) значение аргумента, при котором значение функции равно 3;

96 Упражнения3)значеыия аргумента, при которых функция принимает

отрицательные значения.167. Не выполняя построения графика функции у =1,6* -2 ,

определите, через какие из данных точек проходит этот график:-А(1; — 0,4); В (2; 0,6); С (5;6); Д (-1 ,5 ;-3 ).


1) у = - 2*+ 1 и у = х + 4; 2) у = З х -2 и у=~^-х + 5.Ск169. Не выполняя построения, найдите координаты точек

пересечения с осями координат графика функции:1) у = 3 х + 7 ш, 3) у = 3 ,5 * -1 4 ;

2 ) У = ^ х - 7; 4) у = 6 -4 х .

170. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения графиков функций:

1) у = 1 ,3 * -4 и у = 1 2 -2 ,7 * ; 2) у = 5 + ^ * и у = -Ц ^ х -9.

171. Не выполняя построения графика функции у = З х -5 ,

найдите координаты точки этого графика, у которой:1) абсцисса равна ординате;2) абсцисса и ордината является противоположными чис

лами.172. Задайте формулою функцию, являющуюся прямой

пропорциональностью, если ее график проходит через точку М (2; -9 ).

173. Найдите значение Ъ, при котором график функцииу = ~ х + Ъ проходит через точку М (20 ;-3 ).

5174. Найдите значение k, при котором график функции

y = k x + 13 проходит через точку М (3 ; -2 ).

175. График функции y = kx + b пересекает оси координат

в точках А (0; -4 ) и В (2; 0). Найдите значения k и Ъ.

Вариант 3 97

176. Все точки графика функции y = kx + b имеют одинаковую

ординату, равную 6. Найдите значения к и Ъ.177. График функции у = кх+Ь параллелен оси абсцисс и про

ходит через точку А (-2 ; 5). Найдите значения к и Ь.178. Постройте график функции:

11 v = [x + f̂ если * < 0. [1, если х < -1,|-3* +1,если* > 0; 3) у = < -4 * -3 ,е с л и -1 < * < 1 ,

1-7, есл и *^ 1 .о\ .,_| 3*-1 ,есл и *< 2 ,

У~\5, если * ^ 2 ;

179. Постройте график функции:1 )у = | *| -2 ; 2) у = |ж| + 3а:+ 2.


Уравнение с двумя переменными

181. Какие из пар чисел (4; -5 ); ( -2 ; 5); (1; 2,5); (6; -1 5 ) явля

ются решениями уравнения * 2 + 2у - 6 = 0 ?

182. Не выполняя построения, найдите координаты точек пересечения с осями координат графика уравнения:

1) * 2 - у = 25; 2) х2 + у2 = 81.

183. Составьте какое-нибудь уравнение с двумя переменными, график которого проходит через точку С (3; -1 ).



1) ( * - 4 ) 2 +(у+2)2 =0; 2) (ж *4 )( у - 4) = 0; 3) ху+2у = 0.

185. Решите уравнение хг + 1 2 y - ix = - у 2 -4 0 .


186. Какие из пар чисел (5; 8); (1; 4); ( -3 ; 2); ( -2 ; 3) являются решениями уравнения 4у - 3 * = 17 ?

187. Принадлежит ли графику уравнения 4х~5у = 30 точка:

1) А (1; -4 ); 2) В (0; -6 ); 3) С (5; -2 )?188. Известно, что пара чисел (ж; 5) является решением урав

нения 2х - Sy = 13. Найдите значение х-

189. Постройте график уравнения:1) х + у = 3; 3) х - 3 у = -2 ;

2) 2 х - у = 5; 4) 4 * + Зу=12.

190. При каком значении о пара чисел (1; —3) является решением уравнения:1) 2 х - 7 у = а ; 2) 6 * -a y = 4?

191. При каком значении а проходит через начало координат график уравнения:1) Sx + 3y = a ; 2) 6х + 7у = а+ 4?

Системы уравнений с двумя переменными. Графический метод решения

системы двух линейных уравнений с двумя переменными

192. Какая из пар чисел (1; 3); | o ; i j ; (2; -1 ) является реше-

„ (Злг + 5и*=1, нием системы уравнении \̂ х + g ̂_ ?

193. Решите графически систему уравнений:

Гу = *+ 6 , 3) !* = - ! ’||*+г/=2; } \2х+у=з\

2.fj/ + Ä = 0, 4. { у - х = 2 ,. {4ж + у = 6; \£y-2x = S.

klfi.

Вариант З 99194. Пара чисел (3; -2 ) является решением системы урав

нений |&* + 3 y - l5 Найдите значения а и Ъ.

195. Имеет ли решения система уравнений:

п (* -3 у = 5, „ Л 2 * + 7у = 1, о Л З х -у = 4,(4д:-12у = 25; Л)\ х -3 у = 2; ä) \ l5x-5y = 20?

196. К уравнению 4 х +у = 2 подберите второе уравнение

такое, чтобы полученная система уравнений:1) имела единственное решение;2) имела-бесконечно много решений;3) не имела решений.

197. При каких значениях а система уравнений:

(2х~5ц = 4.1) _ gу - ä не имеет решении;

2) j j j* ̂ gy Z зо имеет бесконечно много решений?


198. Решите методом подстановки систему уравнений:

1v l x -3 y = 4 , f7a+2fe = 9,} \2х~у = 3; '(3a+fc = - l ;

„ Л 4 * - у = 1, (3*+4у = -2,' І 5 * + Зу=14; V \6x-7y = l l .


199. Решите методом сложения систему уравнений:

1 \1Х-У = 2' дЛ 8 * + Зу = 1,Х) \х + у = 6; (2*+5у = -21 ;

(2 *-5 у = 12, kv (5ж-3у = 11,. |4х + 5у = 24; ' \2х-4у = 2;

3Лбзс+у=10, 6 ) (4х~ 5у-2 ,’ \б*-3у = -2 6 ; ; (6 *-7 у = -1 .

ХОР____________________________200. Решите систему уравнений:


п (Зх+7у = -4 , \5ж-8і/ = 13;

2)

3)

4ж-5(/ = 12, 6л+11у = -1 9 ;

2*+ 9і/ -2 = 0, 8 * -1 5 у -2 5 = 0;

(10(а+3) = -1-6& , \б(ь+3)=8-3а ;

5) 3(2а - 5)+4(7 - 36) = 7, 2(4+ 6 )-7 (1+ 8а) = -53 ;

6)

7)

8)

т , Зл8 +Т " 4’тп 2п _ -і. 2 5 ’

х + 2 У~3 _6

ж-24

У-41,

= 1;4 2

Зх-2у 4х + 5 _ 7%-10 8 ’

х + 2у.3 4

6х-5у 2х + у _2 5 ~

201. Прямая у=Их+Ъ проходит через точки А (2 ;-1 ) и Б (1 ;-3 ) . Запишите уравнение этой прямой.

202. Имеет ли решения система уравнений:(4х+у = 2, |ж+у = 3,

1) <Зж-2у = 7, 2 ) \ 2 х - у = 3,[2ж -5у= 8; [*+ 4 у = 6 ?



1) (х -2 у )г +(х + 2)2 = 0;

2) (х + 3 у -2 )г + х г -10ху + 25у2 =0;

3) 12 х —у —3 1 + (ж + Зу—5)2 = 0.

а б в



205. За 5 ручек и 4 карандаша заплатили 50 грн. Сколько стоит ручка и сколько карандаш, если 3 ручки дороже, чем 2 карандаша, на 8 грн?

206. Моторная лодка за 2 ч движения по течению реки и 5 ч движения против течения прошла 120 км. За 7 ч движения против течения она прошла на 52 км больше, чем за 8 ч движения по течению. Найдите скорость лодки по течению и ее скорость против течения.

207. Петя и Митя собирают марки. Если Петя отдаст Мите 10 своих марок, то у обоих мальчиков марок станет поровну. Если же Петя отдаст Мите 50 марок, то у него останется в 5 раз меньше марок, чем станет у Мити. Сколько марок в коллекции каждого мальчика?

208 .3а 7 тетрадей и 4 ручки заплатили 130 грн. После того как тетради подешевели на 40 % , а ручки — на 20 % , одна ручка стала дороже одной тетради на 6 грн. Сколько стоила первоначально тетрадь и сколько — ручка?

209. Один металлический сплав содержит 12% меди, а другой — 30 % меди. Сколько килограммов каждого сплава надо взять, чтобы получить 180 кг сплава, содержащего 25 % меди?

210. Сумма удвоенного количества десятков и количества единиц двузначного числа равна 11. Если поменять местами цифры этого числа, то получим число, которое на 9 меньше данного. Найдите данное число.

102 Контрольные работы

КОНТРОЛЬНЫЕ РАБОТЫ Вариант 1

Контрольная работа № 1 Тема. Линейное уравнение с одной переменной

1.° Решите уравнение:1) 9 * - 7 = 6х + 14; 2) 3 (4 -2 х ) + 6 = - 2 * + 4.

2.° В первом мешке было в 3 раза больше муки, чем во втором. Когда из первого мешка взяли 4 кг муки, а во второй добавили 2 кг, то в мешках стало поровну муки. Сколько килограммов муки (было в каждом мешке сначала?

3.* Решите уравнение:1) (12у + 18)(1,6-0,2у) = 0; 2) 4 ( 2 * - 1 ) - 3 * = 5л:-4.

4.* Первой бригаде надо было отремонтировать 180 м дороги, а второй — 160 м. Первая бригада ремонтировала ежедневно 40 м дороги, а вторая — 25 м. Через сколько дней первой бригаде останется отремонтировать в 3 раза меньше метров дороги, чем второй?

5.** При каком значении а уравнение (2 + а) х = 10:

1) имеет корень, равный 5; 2) не имеет корней?

Контрольная работа № 2 Тема. Степень с натуральным показателем. Одночлены.

Многочлены. Сложение и вычитание многочленов

1.° Найдите значение выражения 1,5-62- 2 3.2.° Представьте в виде степени выражение:

1) * 8 -ж2; 2) ж8 : ж2; 3) (ж8)2; 4) < 2 ^ 1 .

3.° Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:

1) -З а2Ь4 -За2 -&5; 2) (-4 а 266)3.4.° Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение

(5х 2 + 6х -3)-(2х 2~Зх -4).

Вариант 1 103

5.* Вычислите:

6.* Упростите выражение 125авЬ3 -(-0,2а2Ь4)3.

7.* Вместо звездочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество:

(5а8 - 2аЬ+6Ь) - (*) = 4а3 + 8Ь.

8.* Докажите, что значение выражения (З п + 16)-(6 -2л )


9.** Известно, что 2а263 = 9. Найдите значение выражения:

Контрольная работа № 3 Тема. Умножение одночлена на многочлен.

Умножение многочлена на многочлен. Разложение многочленов на множители

1,° Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение:

2.° Разложите на множители:1) 5аг -20аЬ ; 2) 7а:3 -14л:6; 3) З а -З Ь + а х -Ь х .

1) 2х± 9 _ х^ 2 ==3; 2) (2*-3)(ж+7)=(*+4)(2л:-3) + 3.4 0

6.* Найдите значение выражения 1 8 х у + 6 х -2 4 у -8 , если

1) -6 а гЬ3; 2) 2а466.

1) Зх(х3 -4 х + 6 );

2) (ж-3)(2л:+1);

3) (4а-7Ь)(5а+66);

4) (у+2)(у2 + у -8 ) .

3.° Решите уравнение 4 *2 -12л: = 0.4.° Упростите выражение 2 а (З а -5 ) - (а -3 ) (а -7 ) .

5.* Решите уравнение:

= У = 0 ,4 .

7.* Докажите, что значение выражения 165 - 8 6 кратно 3.в.** Разложите на множители трехчлен л:2 + 8 х +15.


Контрольная работа № 4 Тема. Формулы сокращенного умножения

1.° Представьте в виде многочлена выражение:1) (а + 7)2; 3) (та-6)(/п+6);

2 )(З х -4 у )2; 4) (5а + 8Ь)(8Ь-5а).2.° Разложите на множители:

1) а2 - 9 ; 3 )2 5 х2 -1 6 ;

2) Ь2 +10& + 25; 4) 9х2 - 1 2 х у +4у2.

3.° Упростите выражение ( х - 1)2 - ( х + 3)(х-3 ).4.’ Решите уравнение

(2у - 3)(3у+1) + 2 (у - 5)(у + 5) = 2 (1 - 2у? + 6у.5.* Представьте в виде произведения выражение

(6 а -7 )2 (4 а -2 )2.

6.* Упростите выражение (а+ 1)(а-1)(а2 + 1 )-(9 + а2)2 и най

дите его значение при а = А-.37.** Докажите, что выражение Хг - 4 х + 5 принимает положи

тельные значения при всех значениях х.

Контрольная работа № 5 Тема. Сумма и разность кубов двух выражений. Применение различных способов разложения

многочлена на множители1.° Разложите на множители:

1)/п3 + 27п3; 3) -За2 + 18а-2 7 ; 5 ) а 4 -1 6 .2)ж 3- 6 4 ху2; 4) 2аЬ + 10& -2а-10 ;

2.° Упростите выражение (2а-1)(4а2 +2а + 1) и найдите его

значение при а = ~ .

3.* Разложите на множители:1) х2 - у 2+ х - у , 3) ас4 - с 4 - а с 2 + с2;

2) 4х2- 4 х у + у 2- 9 ; 4 ) 4 - т 2 + 2 т п -п 2.


3) л:3 -4л:2 -9л :+ 36 = 0.

4.* Решите уравнение:1) 6л:3 -24л: = 0;

2) 25#3-10л:2+л: = 0;

5. Докажите, что значение выражения 2 +5 делится нацело на 21.

6.** Известно, что а + Ь = 5, аЬ = - 2. Найдите значение выра-А

жения ( а -Ь ) ,

Контрольная работа № 6 Тема. Функции

1.° Функция задана формулой у = -25с + 7 . Определите:1) значение функции, если значение аргумента равно 6;2) значение аргумента, при котором значение функции

равно -9 ;3) проходит ли график функции через точку А (-4 ; 15).

2.° Постройте график функции у = 8 х - 2 . Пользуясь графиком, найдите:1) значение функции, если значение аргумента равно 2;2) значение аргумента, при котором значение функции

равно -5 .3.* Не выполняя построения, найдите координаты точек пе

ресечения графика функции у = 0,5л:-3 с осями коор

динат.4.* При каком значении к график функции у = к х - 6

проходит через точку А ( -2 ; 20) ?

5.** Постройте график функции У = |_^-2х, если х < 2, если л:>2.

Контрольная работа № 7 Тема. Системы линейных уравнений с двумя

переменными1.° Решите методом подстановки систему уравнений

\х-8у = 8,) 2 * - у = 6.


2.° Решите методом сложения систему уравнений

(4 *-5 у = ~83,(2я + 5 у - 2 9 .

у —х + 2 у - - 1

4.* Из двух сел, расстояние между которыми равно 20 км, одновременно вышли навстречу друг другу два пешехода и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого пешехода, если известно, что первый пешеход проходит за 4 ч на 12 км больше, чем второй за 3 ч.

5.* Решите систему уравнений:

„ /7* + 5г, = 18, „Л3*-2г/ = 6,1 ■’ \4х- Зу = 5; ' \12х - 8у = 20.

~ •• тт “ (4х+7у = 6,6. При каком значении а система уравнении \а х -\4у = -\2

имеет бесконечно много решений?

Контрольная работа № 8

Т ем а. Обобщение и систематизация знаний учащ ихся

1.° Упростите выражение (4х - Зу)2 - (2х+у) (Зх - 5у).

2.° Разложите на множители:

1 )2 5 х3у2 -4 х у 4; 2) 4 5 - 30а + 5а2.

3.° График функции у — кХ + Ь пересекает оси координатв точках А (0; 4) и В (--2; 0). Найдите значения к и Ъ.

. . _ - (4х+у = -10,4. Решите систему уравнении \̂ х _2у = -19

5.’ Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение третьего и четвертого из этих чисел на 34 больше произведения первого и второго.

6.** Решите уравнение я2 + 1/2 +10ж+6у + 34 = 0.


Вариант 2

Контрольная работа № 1 Т ем а. Линейное уравнение с одной переменной

1.° Решите уравнение:1) 1 1 * -9 = 4л:+19; 2) 7х -5 (2х + 1) = 5х + 15.

2.° В первом мешке было в 4 раза больше сахара, чем во втором. Когда из первого мешка взяли 10 кг сахара, а во второй досыпали 5 кг, то в мешках стало поровну сахара. Сколько килограммов сахара было в каждом мешке сначала?

3.* Решите уравнение:1) (14у +21)(1,8-0,310 = 0; 2) 2 (4 * + 1 ) -х = 7* + 3.

4.’ В одном контейнере было 200 кг яблок, а в другом — 120 кг. Из первого контейнера брали ежедневно по 30 кг, а из второго — по 25 кг. Через сколько дней в первом контейнере останется в 4 раза больше яблок, чем во втором?

5.” При каком значении а уравнение (а -3 ) х = 8:1) имеет корень, равный 4;2) не имеет корней?

Контрольная работа № 2 Тема. Степень с натуральным показателем. Одночлены.

Многочлены. Сложение и вычитание многочленов1.° Найдите значение выражения 2,5• 24 - 7 2.2.° Представьте в виде степени выражение:

I ) * 7 -* 5; 2) х7 : х5; 3) (х7)5; 4)х

3.° Преобразуйте выражение в одночлен стандартного вида:

1) -4лг3га5 • 5га2 • т4; 2) (-Зт7п2)4.4.° Преобразуйте в многочлен стандартного вида выражение

(7*2 - 4х + 8) - (4 *2 + х - 5).5.* Вычислите:

1> ^ *>(■№


6.* Упростите выражение 8х3у4 (-0 ,5х2у5)3.

7.* Вместо звездочки запишите такой многочлен, чтобы образовалось тождество:

(7/га4 - 9 т 2п + га2) - ( * ) = 3/га4 + 6т2п.

8.* Докажите, что значение выражения (7га + 1 9 )-(3 + 5га)

кратно 2 при любом натуральном значении га.

9.** Известно, что Зт4п = -2 . Найдите значение выражения:

1) -1 2 /га4га; 2) 3тга8га2.

Контрольная работа № 3 Т ем а. Умножение одночлена на многочлен.

Умножение многочлена на многочлен. Разлож ение многочленов на множители

1.° Представьте в виде многочлена стандартного вида выражение:1) 5а(а4 - 6 а 2 + 3); 3) (6/га+ 5га)(7/га-Зга);

2) (х + 4 )(З х -2 ); 4) (* + 5 )(*2 + * - 6 ) .


1) 1 8 * у -6 * 2; 2) 15а6 -З а 4; 3 ) 4 * - 4 у + с х -су .

3.° Решите уравнение Зх2 +9х = 0.4.° Упростите выражение 7Ъ (2Ь + 3) - (Ь+6) (Ь - 5).

5.’ Решите уравнение:1 \ Зх-7 х - 3 _ 1 .' 8 6 ’

2) (Зх +4) (4х - 3) - 5 = (2х + 5) (6* - 7).

6.* Найдите значение выражения 24а6 + 3 2 а -З Ь -4 , если

а = 0,3, Ъ = - 1|.

7.* Докажите, что значение выражения 274 - 9 5 кратно 8.

8.** Разложите на множители трехчлен х 2 -9х+\Ъ.


Контрольная работа № 4 Т ем а. Формулы сокращенного умножения

1.° Представьте в виде многочлена выражение:1) ( с -6 )2; 3) (5 -а )(5 + а);

2) (2а-ЗЬ)2; 4) (7х + 10у)(10у-7х).

2.° Разложите на множители:1) Ь2- 4 9 ; 3 )1 0 0 - 9л:2;

2) с2- 8 с+ 16; 4) 4а2 +20а& + 2562.

3.° Упростите выражение (дг - 2) (л: + 2) - (л: - 5)2.4.’ Решите уравнение

4 (3у +1)2 - 27 = (4у + 9) (4у - 9) + 2 (5у + 2) (2у - 7).5.* Представьте в виде произведения выражение

(4Ь-9)2 -(3& + 8)2.

6.* Упростите выражение (3 -6 )(3 + й)(9 + Ь2) + (4 + Ь2)2 и най

дите его значение при Ь = А-.2

7.** Докажите, что выражение х2 —14х + 51 принимает поло- жительные значения при всех значениях х.______________

Контрольная работа № 5 Т ем а. Сумма и разность кубов двух выражений. Применение различных способов разложения

многочлена на множители1.° Разложите на множители:

1)&3- 8 с 3; 3 ) -7 а 2 + 14а-7 ; б )а 4 -1 .2) 49х гу - у * ; 4) 5аЬ -15Ь -5а+ 15;

2.° Упростите выражение (За+1)(9а2 -З а + 1) и найдите его

значение при а = 1.

3.* Разложите на множители:1) а + Ъ + а 2 - Ь 2; 3) х 3у2- х 3 - х у 2+ х;

2) 9а2 -6ай + 62-1 6 ; 4) 1 - х 2+ 4 х у -4 у 2.


4.* Решите уравнение:

1) 2х3 ~ 5 0 *= 0 ; 3) х3 + 2х2 - 3 6 * -7 2 = 0.

2) 16*3 + 8 *2 + х = 0;

5.* Докажите, что значение выражения Зэ - 4 3 делится нацело на 23.

6.** Известно, что а - Ь ~ 7, а Ъ - - 4. Найдите значение выра

жения (а+Ь)2.

Контрольная работа № 6 Тем а. Функции

1.° Функция задана формулой у = 8 * - 3. Определите:1) значение функции, если значение аргумента равно 2;2) значение аргумента, при котором значение функции

равно -1 9 ;3) проходит ли график функции через точку В ( - 2; -13).

2.° Постройте график функции у = -2х+ 5 . Пользуясь графиком, найдите:1) значение функции, если значение аргумента равно 2;2) значение аргумента, при котором значение функции

равно-1 .3.* Не выполняя построения, найдите координаты точек пе

ресечения графика функции у = -0,8л:+4 с осями координат.

4.* При каком значении й график функции у = Ь х - 4 проходит через точку В (14; - 32)?

_ „ - , . (—2, если я: < -4 ,5. Построите график функции у = (0>5* >если _ 4 .

Контрольная работа № 7 Т ем а. Системы линейных уравнений с двумя

переменными1.° Решите методом подстановки систему уравнений

(х+4у = -6 ,(3# -у = 8.


2.° Решите методом сложения систему уравнений7х + 3у = 43,4лг-3у = 67.

3.° Решите графически систему уравнений I? + ̂ ~{2.x —у = о.

4.* Из двух городов, расстояние между которыми равно 52 км, одновременно выехали навстречу друг другу два велосипедиста и встретились через 2 ч после начала движения. Найдите скорость каждого велосипедиста, если известно, что первый велосипедист проезжает за 3 ч на 18 км больше, чем второй за 2 ч.

5.* Решите систему уравнений:п (Зх-2у = 5, /5лг—4у = 8,

; (11х + 3у = 39; } |15*-12у = 18.

е •• тт - (—Зх + аы = -6 ,6. При каком значении а система уравнении |дл;_ 3у _^8

имеет бесконечно много решений?

Контрольная работа № 8 Тем а. Обобщение и систематизация знаний учащ ихся

1.° Упростите выражение (7а + 2Ь)2 - (За-Ь) (4а+ 56).


1) З6от2/13- 4 9 т 4га; 2) 50 + 20х + 2х2.3.° График функции у = к х + Ь пересекает оси координат

в точках А (2; 0) и Б (0; -4 ). Найдите значения А и Ъ.л • ■г» » \3х — и = 17,4. Решите систему уравнении +" _ ^

5.* Найдите четыре последовательных натуральных числа таких, что произведение второго и четвертого из этих чисел на 31 больше произведения первого и третьего.

6.** Решите уравнение х 2 + у2 - 8 х +12^ + 52 = 0.

7 asz m_2015_ru

Education

Transcript of 7 asz m_2015_ru