7-Algoritma Devide & Conquer(2)

8/3/2019 7-Algoritma Devide & Conquer(2)

http://slidepdf.com/reader/full/7-algoritma-devide-conquer2 1/4

2/18/20

A LGORITMA DIVIDE &

CONQUER(2)Strategi Algoritmik

S1 Teknik Informatika

UK Maranatha

1

S t r a t e gi A l g o/ S 1 I F / F T I / UKM/ MA / 2 0 1 0

QUICK SORT

Teknik mem-partisi tabel:

1. pilih x ∈∈∈∈ { A1, A2, ..., An} sebagai elemen pivot,

2. telusuri tabel dari kiri sampai ditemukan

elemen A p ≥≥≥≥ x

3. telusuri tabel dari kanan sampai ditemukan

elemen Aq ≤≤≤≤ x

4. pertukarkan A p ⇔⇔⇔⇔ Aq

5. ulangi (2), dari posisi p + 1, dan (3), dari posisi

q – 1 , sampai kedua penesuluran bertemu di

tengah tabel

2


3

CONTOH QUICK SORT

1 4 5 9 0 11 8 10 7 6

left right

1 4 5 9 0 11 8 10 7 6

left right

1 4 5 0 9 11 8 10 7 6

left right

CONTOH QUICK SORT

4

1 4 5 0 9 11 8 10 7 6

left right

1 4 5 0 9 11 8 10 7 6

right left

QUICK SORT

5

Karena posisi right < left, maka pivot ditukar dgn

nilai yg ditunjuk left

1 4 5 0 9 11 8 10 7 6

right left

1 4 5 0 6 11 8 10 7 9

right left

CONTOH QUICK SORT

6

Kondisi akhir setelah penukaran pivot

Nilai-nilai di sebelah kiri < nilai pivot

Nilai-nilai di sebelah kanan > pivot

1 4 5 0 6 11 8 10 7 9

1 4 5 0 11 8 10 7 9



2/18/20

QUICK SORT

Kasus terbaik terjadi bila pivot adalah elemen

median sedemikian sehingga kedua subtabel

berukuran relatif sama setiap kali pembagian.

n

n/2 n/2

n/4 n/4 n/4 n/4

n/8 n/8 …..

Kompleksitas : O(n 2log n) 7


QUICK SORT

Kasus terburuk terjadi bila pivot selalu elemen

maksimum/minimum tabel

n

1 n-1

1 n-2

1 n-3

Kompleksitas : O(n2)2

1 1

8


QUICK SORT

Kasus rata-rata terjadi jika pivot dipilih secara

acak dari elemen tabel, dan peluang setiap

elemen dipilih menjadi pivot adalah sama.

Kompleksitas waktunya:T avg(n) = O(n 2log n).

9


PERHITUNGAN P ANGKAT

Misalkana ∈ R dan n adalah bilangan bulat

tidak negatif, maka

an = a × a × … × a (sebanyak n kali), jika n > 0

= 1 , jika n = 0

10


A LGORITMA BRUTE FORCE

function Exp1(input a,n:integer)→integer

{Menghitung an,a>0dan nbilangan bulat tak-negatif

Masukan:a,n

Keluaran:nilai perpangkatan.

}

Deklarasi

k,hasil :integer

Algoritma:

hasil←1

for k←1to ndo

hasil←hasil *a

endfor

return hasil

Kompleksitas algoritma O(n)

11


A LGORITMA DIVIDE & CONQUER

Algoritma menghitungan:

Untuk kasus n = 0, maka an = 1.

Untuk kasus n > 0, bedakan menjadi dua kasus

lagi:

jika n genap, maka an = an/2 ⋅ an/2

jika n ganjil, maka an = an/2 ⋅ an/2 ⋅ a

Contoh :

35 = 32 .32 .3 = ((32)2 .3

= ((31)2)2 .3 = ((30)2 .3)2 )2 .3

= ((1)2 .3)2 )2 .3 = ((3)2 )2 .3

= (9)2 .3 = 81 . 3 = 24312




2/18/20


function Exp2(input a :real, n : integer) → real

{ mengembalikan nilai a^n, dihitung dengan metode Divide and Conquer }

Algoritma:i f n = 0 t h e n

return 1

else

x←Exp2(a, n div 2)

if odd(n) then { fungsi odd memberikan true jika n ganjil }

return x * x * a

else

return x * x

endif

endif

Kompleksitas algoritma O( 2log n)

13


PERKALIAN M ATRIKS

Misalkan

A dan B dua buah matrik berukuran n × n

(asumsikan n = 2k , k = 1, 2, …).

Perkalian matriks:C = A × B

Elemen-elemenhasilnya:

∑=

=+++=

n

k kjik njin ji jiijbabababac

1

2211L

14


A LGORITMA BRUTE FORCE

function KaliMatriks1(input A,B:Matriks,input n:integer)→

Matriks

{Memberikan hasil kalimatriks Adan Byangberukuran n× n.

Masukan:matriks integerAdan B,ukuran matriks (n)

Keluaran:matriks C=A× B.

}

Deklarasi

i,j,k:integer

C:Matriks

Algoritma:

for i←1to ndo

for j←1to ndo

Ci,j←0{inisialisasi penjumlah }

for k← 1to ndo

Ci,j ← Ci,j +Ai,k *Bk,j

endfor

endfor

endfor

return C

Kompleksitas algoritma O( n3)15



Matriks A dan B dibagi menjadi 4 buah matriks

bujur sangkar.

Masing-masingmatriks bujur sangkar

berukurann/2 × n/2

Elemen-elemenmatriksC adalah:C 11 = A11 ⋅ B11 + A12 ⋅ B21

C 12 = A11 ⋅ B12 + A12 ⋅ B22

C 21 = A21 ⋅ B11 + A22 ⋅ B21

C 22 = A21 ⋅ B12 + A22 ⋅ B22

2221

1211

A A

A A

2221

1211

B B

B B

2221

1211

C C

C C X =

16


C ARA PEMECAHAN

Misalkan matriks A adalah :

Matriks tsb dibagi menjadi 4 sub matriks :

−10945

3215

1012521

16843

521

43

1012

168

945

15

−10

32

A11 = A12 =

A21= A22 =

17



function KaliMatriks2(input A,B:Matriks,input n:integer)→

Matriks

{Memberikan hasil kalimatriks Adan Byangberukuran n× n.

Masukan:matriks integerAdan B,ukuran matriks (n)

Keluaran:matriks C=A× B.

}

Deklarasi

i,j,k:integer

A11,A12,A21,A22,

B11,B12,B21,B22,

C11,C12,C21,C22:Matriks

Algoritma:

if n=1then

return A× B{perkalian biasa }

else

Bagi Amenjadi A11,A12,A21,dan A22yangmasing-masing

berukuran n/2× n/2

Bagi Bmenjadi B11,B12,B21,dan B22yangmasing-masing

berukuran n/2× n/2

C11← KaliMatriks2(A11,B11,n/2)+KaliMatriks2(A12,B21,n/2)




return C{Cadalah gabungan C11,C12,C13,C14}

endif

Kompleksitas algoritma O( n3)

18




2/18/20

PERKALIAN MATRIKS STRASSEN

19


DC

B A

Misalkan matriks X dan Y adalah :

X = Y =

Perkalian Matriks XY menjadi :

Kompleksitas : O(n log2

7 ) = O( n2.81)

H G

F E

++

++

DH CF DGCE

BH AF BG AE


Hasil Perkalian XY dihitung sbb :

Dimana

• P1 = A(F – H)

• P2 = (A + B)H

• P3 = (C + D)E

• P4 = D(G – E)

• P5 = (A + D)(E + H)

• P6 = (B – D)(G + H)

• P7 = (A – C)(E + F) 20


−−++

++−+

735143

216245

PPPPPP

PPPPPP


Baris 1 kolom1

P5 + P4 – P2 + P6 =

(A + D)(E + H) + D(G – E) – (A + B)H + (B – D)(G + H) =

AE+AH+DE+DH+DG–DE – (AH+BH)+BG+BH–DG–DH =

AE+AH+DE+DH+DG–DE –AH –BH + BG + BH –DG –DH =

AE + BG

21


L ATIHAN

Gunakan algoritma perkalianmatriks Strassen

untuk matriks sbb :

A = B =

22


84

23

69

51

REFERENSI

Materi kuliah IF 2251 Strategi Algoritmik :

http://kur2003.if.itb.ac.id/

Mata kuliah IF 2251 Strategi Algoritmik (sem.4)

23


7-Algoritma Devide & Conquer(2)

Documents

Transcript of 7-Algoritma Devide & Conquer(2)