7 ]endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/ENM 317/icerik/3...9 Bir kimyasal konsantrasyonda reaksiyon...
Transcript of 7 ]endustri.eskisehir.edu.tr/nerginel/ENM 317/icerik/3...9 Bir kimyasal konsantrasyonda reaksiyon...
1
Hipotez TestleriENM317 Mühendislik İstatistiği
Doç. Dr. Nihal ERGİNEL
2014
ANADOLU ÜNİVERSİTESİ
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
HİPOTEZ TESTLERİ
Pek çok problemde bazı parametrelere bağlı bir
ifadeyi kabul yada red etmek için karar vermek
durumunda kalırız. Bu ifade hipotez olarak
adlandırılır. Hipotez hakkında karar verme süreci
de hipotez testi olarak adlandırılır.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Tip ve Tip hataları:
doğru yanlış
hipotezinin kabul edilmesi Hata yok Tip hatası
hipotezinin red edilmesi Tip hatası Hata yok
hipotezinin red/ kabul edilmesi rassal olarak alınan örneklerin analiz edilmesi sonucu olmaktadır. Dolayısıyla bu karar belli bir hata içermektedir.
Hipotez testlerinde iki tür hata vardır.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
2
Tip I ve Tip II hatalarının meydana gelme olasılığı
α : P( red / doğru) Tip
: P( kabul / yanlış) Tip
Testin gücü = Power = 1- = P ( red / yanlış)
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Tek parametreli hipotez testleri
Ortalamalar için Oranlar için
: µ = : p=
: µ Çift yönlü : p Çift yönlü
Tek yönlü
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Çift parametreli hipotez testleri
Ortalamalar için Oranlar için
: = : =
: Çift yönlü : Çift yönlü
Tek yönlü
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
3
Anakütle Ortalamasının Hipotez Testi
• biliniyor veya
• bilinmiyor ancak n 30 ise,
B[ ] =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
1. Durum Grafiği
2. Durum Grafiği
3. Durum Grafiği
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
4
Örnek büyüklüğünün tespiti
n =
_ _ _ _ Çift taraflı
n =
_ _ _ _ Tek taraflı
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
! bilinmiyor ve n<30 ise,
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
Bir içeceğin raf ömrü incelenmek istenmiştir. Rassal
olarak 10 örnek seçilmiş ve raf ömürleri aşağıdaki
gibidir. Buna göre firma raf ömrünün 120 günden
büyük olduğu iddiasını test etmek istemiştir. İlgili
hipotezi kurunuz ve sonucu yorumlayınız. (α=0,01)
124-108-124-106-115-138-163-159-134-139
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
5
Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı
: µ = 120 gün =
> _ _ _ _ red
: µ >120 gün
=
= 131 gün
ÇÖZÜM:
S=
=19,54
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Yorum: %99 güven seviyesinde raf ömrünün
120 günden büyük olduğunu söyleyecek
elimizde yeterli kanıt yoktur.
Sonuç: = 1,78 < = 2,82 red edilemez.
=
=1,78
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Anakütle oranının hipotez testi
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
6
Örnek büyüklüğünün tespiti
n =
_ _ _ _ Çift taraflı
n =
_ _ _ _ Tek taraflı
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK:
Bir elektronik kart üreten firma kusurlu oranının %5’ten
fazla olmayacağına garanti vermiştir. Bu garantisini
doğrulamak amacıyla müşteri 200 elektronik kartı rassal
olarak seçmiş ve incelenmiştir. Bunlardan 6 tanesinin
hatalı olduğu görülmüştür. %5 anlam seviyesinde
garantinin geçerli olup olmadığını araştırınız.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM:Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı
: p = 0,05 > _ _ _ _ _ red
: p >0,05 =
=
= -1,3
Sonuç: = -1,3 < = 1,645 red edilemez.
Yorum: %95 güven seviyesinde hata oranının %5’ten
büyük olduğunu söyleyecek elimizde yeterli kanıt yoktur.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
7
İki anakütle ortalamalarının hipotez testi
,
biliniyor.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Örnek büyüklüğünün belirlenmesi
n =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK
Plastik kovalara boya dolduran 2 makinenin doldurma miktarı anakütle
standart sapmaları sırasıyla = 0,015, = 0,018 ile normal dağılıyor.
Kalite mühendisliği bölümü boya kovalarının 2 farklı makine tarafından
eşit dolup dolmadığı konusunda şüphe etmektedir. Bu amaçla rassal
olarak 10’ar örnek alınmış ve aşağıdaki miktarlar tespit edilmiştir. Buna
göre ilgili hipotez testini kurarak, %5 anlam seviyesinde sonucu
yorumlayınız.
1. Makine: 16,03-16,04-16,05-16,05-16,02-16,01-15,96-15,98-16,02-15,99
2. Makine: 15,97-15,96-16,01-15,99-16,03-16,04-16,02-16,01-16-16,02
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
8
ÇÖZÜM
Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı
: = < veya > red
: =
= 16,015 = 0,015 =10
= 16,005 = 0,018 =10
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
=
= 1,349
Sonuç: = 1,349 < =1,96 red edilemez.
Yorum: %95 güven seviyesinde 1. makinenin
doldurduğu miktar ile 2. makinenin
doldurduğu miktar arasında fark olduğunu
söyleyecek yeterli kanıt yoktur.
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
,
bilinmiyor, iki anakütle de Normal dağılıma
sahip. =
olduğu varsayılıyor.
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
9
Bir kimyasal konsantrasyonda reaksiyon hızını artırmak için bir
madde kullanılmaktadır. Bu madde miktarı 1,5 mol/L konulduğunda
15 kez deneme sonunda ortalama reaksiyon hızı 7,5 Mmol/30 dk,
standart sapması 1,5 olarak bulunmuştur. Madde miktarı 2 mol/L
konulduğunda 12 deneme sonunda ortalama reaksiyon hızı 8,8
Mmol/30dk, standart sapması ise 1,2 olarak bulunmuştur. Bu madde
miktarını artırmak reaksiyon hızını 0,5 Mmol/30dk artırmış mıdır?
Anakütle varyanslarının eşit olduğu varsayımı ile %99 güven
seviyesinde test ediniz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı
: +0,5 = =
< veya
: +0,5 > _ _ _ _ red
= 7,5 = 1,5 =15
= 8,8 = 1,2 =12
= 1,376
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
=
=
= -1,5
Sonuç: = -1,5 < =2,787 red edilemez.
Yorum: %99 güven seviyesinde
madde miktarını artırmanın
reaksiyon hızı 0,5 birim artırdığına
dair elimizde yeterli kanıt yoktur.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
10
,
bilinmiyor, ancak eşit olmadıkları varsayılıyor:
=
– 2
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Bir video üreticisi kullandığı 2 tür mikroelektrik devrelerinin aynı
akış hızlarına sahip olup olmadıklarını belirlemek istemektedir.
Araştırma mühendisi aşağıdaki verileri elde etmiştir. Sonucu %10
anlam seviyesinde yorumlayınız. (Varyansların eşit olmadığı
varsayılıyor.)
ÖRNEK
Tasarım 1: = 24,2 2 = 10 =15
Tasarım 2: = 23,9 2 = 20 =12
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜMHipotezler Test istatistiği Karar kuralı
: = < veya
: =
> _ _ _ _ _ _ red
=
= 0,184
Sonuç: = 0,184 < =1,746 red edilemez.
Yorum: %90 güven seviyesinde
akış hızları arasında fark olduğuna
dair elimizde yeterli bir kanıt
yoktur.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
11
İki anakütle oranlarının hipotez testi
p=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Örnek büyüklüğünün belirlenmesi:
n =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK
İki farklı plastik kalıp makinesinde aynı ürün üretrilmektir. 2.
makine 1. makineye göre daha yenidir. Bu nedenle kalite
mühendisleri 2. makinenin daha az hurda oranına sahip
olduğunu düşünmektedir. Bu iddialarını kanıtlamak için her
2 makineden 750 birimlik örnekler almış ve kusurlu adetleri
sırasıyla 35 ve 18 olarak tespit etmiştir. Kalite
mühendislerinin iddiasını inceleyiniz. α= 0,01
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
12
ÇÖZÜM = 35/750 = 0,0467
= 18/750= 0,024
p=
=
= 0,0353
Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı
: = > _ _ _ _ red
: > =
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
=
= 2,382
Sonuç: = 2,382 > = 2,33 red
Yorum: %99 güven seviyesinde 2. Makinenin
hurda oranının 1. Makinenin hurda oranından
daha az olduğunu söylenebilir.
ÇÖZÜM
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Eşleştirilmiş Gözlemlerin Hipotez Testi
=
=
veya
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
13
ÖRNEK
Çelik levhanın kopma kuvveti 2 farklı yöntem ile tahmin edilmeye
çalışılmış ve aşağıdaki sonuçlar elde edilmiştir. Yöntemler
arasında fark olup olmadığını % 90 güven seviyesinde tespit
ediniz.
Çelik levha 1.metot 2.metot Farklar
1 1,186 1,061 0,125
2 1,151 0,992 0,159
3 1,322 1,063 0,259
4 1,339 1,062 0,277
5 1,2 1,065 0,135
6 1,402 1,178 0,224
7 1,365 1,037 0,328
8 1,537 1,086 0,451
9 1,559 1,052 0,507
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
= 0,2736
=0,1356
=
= 6,05
Sonuç: =6,05 > = 1,86 red Yorum: %90 güven
seviyesinde iki yöntem
arasında fark vardır.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
Anakütle varyansının hipotez testi
X N (µ, ) , µ ve bilinmiyor. , , . . . ,
olmak üzere anakütleden n birimlik örnek alınıyor.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
14
Meyve suyu dolduran bir makinenin varyansının 0,02
’yi geçmesi istenmektedir. Bu amaçla süreçten rassal
olarak 20 örnek alınmış ve örnek varyansı 0,0225
olarak bulunmuştur. Buna göre %5 anlam seviyesinde
sürecin varyansının istenilen değerden büyük olmasını
test ediniz.
ÖRNEK
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜM
Hipotezler Test istatistiği Karar kuralı
: = 0,02 =
> >
_ _ _ red
: >0,02
=
= 21,38
Sonuç:
= 21,38 <
= 30,14 red edilemez. Yorum: % 95 güven seviyesinde
varyansın 0,02’den büyük
olduğuna dair yeterli kanıt yoktur.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
İki anakütle varyansının eşitliğinin hipotez testi:
N( ) - N(
) , ,
• birbirinden bağımsız ve
•
bilinmiyor.
Varyansların eşitliğini test etmek istiyoruz.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
15
=
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÖRNEK
Bir kimyasal ayırma sürecinde iki tip kimyasal
konsantrasyon hazırlanmıştır. Her iki tip konsantrasyon
için 8’er örnek alınmış ve varyansları = 3,89 ,
= 4,02
olarak bulunmuştur. Varyansların eşitliğini test
ediniz.α=0,05
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
ÇÖZÜMHipotezler Test istatistiği Karar kuralı
:
>
veya
:
=
red
=
=0,97 = 4,99 =
= 0,20
Sonuç:
= 0,97 > = 0,20
red edilemez.
Yorum :
%95 güven
seviyesinde
varyanslar eşittir.
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________
___________________________________