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Abitur Ubungsaufgaben

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  • Hessen Mathematik Leistungskurs Analysis: bungsaufgabe 1

    Gegeben ist die Funktionenschar fk mit fk(x) = x ln x k x, k 0

    a) Geben Sie den maximalen Definitionsbereich von fk an und untersuchen Sie die Funktio-nenschar auf Nullstellen und Symmetrieeigenschaften.

    b) Untersuchen Sie das Verhalten von fk fr x (Fallunterscheidungen bezglich k).

    c) Es sei k = 1. Ermitteln Sie die Koordinaten der Extrem- und der Wendepunkte und bestim-men Sie die Art der Extrema.

    d) Skizzieren Sie den Graphen von f1 unter Verwendung der bisher erzielten Ergebnisse im Intervall [0; 5].

    e) Bestimmen Sie die Mazahl der Flche zwischen dem Graphen der Funktion fk und der x-Achse im Intervall [1; x0] in Abhngigkeit von k. (x0 bezeichnet die Nullstelle von fk.) Diskutieren Sie die Vernderung der Mazahl dieser Flche, wenn k variiert.

    f) Gegeben ist das Dreieck ABC mit A(x0 | 0), B(x0 + 3 | 0) und C(x0 + 3 | y); x0 bezeichnet die Nullstelle von fk. C ist auch der Schnittpunkt der Tangente durch A mit der Strecke BC. Daraus ergibt sich die y-Koordinate von C. Diskutieren Sie die Abhngigkeit der Dreiecks-flche von k.

    g) Straenstck: Erweiterung durch eine Gerade am linken Rand Der Graph von f1 eignet sich hervorragend zur Planung und Umsetzung der Trassenfh-rung eines Abschnittes der Umgehungsstrae von Rodorf. Allerdings bedarf es noch einer Ergnzung am linken Rand. Hier muss ein entsprechender gerader Verlauf fr das Inter-vall [1; b] mit b > 0 angepasst werden. (1) Wieso bedarf es der Forderung b > 0? (2) Entwickeln Sie einen geeigneten Vorschlag!

    1

  • Hessen LK Analysis: bungsaufgabe 1

    Hinweise und Tipps

    Teilaufgabe a Bercksichtigen Sie die charakteristischen Elemente des Funktionsterms (ln und Differenz-

    term). Welchen Definitionsbereich hat ln(x)? Bei der Berechnung der Nullstellen ist eine Fallunterscheidung notwendig.

    Teilaufgabe b Grenzwertuntersuchungen haben auch etwas mit der Frage zu tun, welcher Term in diesem

    Bereich dominiert.

    Teilaufgabe c Da nach Punkten gefragt wird, muss auch die y-Koordinate berechnet werden. Welche Bedingungen mssen Extrempunkte erfllen? Wann liegt ein Wendepunkt vor?

    Teilaufgabe d Beachten Sie das angegebene Intervall und seine eckigen Klammern. Eine Wertetabelle kann fr die Zeichnung hilfreich sein.

    Teilaufgabe e Es wird die Stammfunktion mit dem Parameter k bentigt. Da der Term ein Produktterm ist, wird dafr die partielle Integration bentigt. Hierbei ist da-

    rauf zu achten, welche Teilfunktion bei einer ihrer Ableitungen zu einer konstanten Funktion wird.

    Fhren Sie Fallunterscheidungen fr k durch.

    Teilaufgabe f Zeichnen Sie eine Skizze des Dreiecks. Welche Gren spielen hier eine Rolle? Liefert die Lage der Punkte oder die Bestimmung der Mazahl der Flche Anstze zur L-

    sung?

    Teilaufgabe g Anpassungen bedeuten immer eine durch Intervalle definierte Funktion. Dabei ist am Berhrpunkt der beiden Teilfunktionen auf Stetigkeit (die Graphen hngen zu-

    sammen) und Differenzierbarkeit (der Graph ist knickfrei) zu achten.

    2

  • Hessen LK Analysis: bungsaufgabe 1

    Lsung

    a) Definitionsbereich Bei dieser Funktion liegt kein Sachproblem vor, aber der Minuend enthlt den Teilterm ln x. Die Funktion mit dem Funktionsterm ln x ist nur fr x > 0 definiert. Diese Bedin-gung stellt die erste Einschrnkung fr den Definitionsbereich von fk dar. Der Parameter k hat aufgrund seiner Stellung im Teilterm (Subtrahend) berhaupt keinen Einfluss auf den Definitionsbereich. Daraus folgt: Der maximale Definitionsbereich ist Dk = 0+. Nullstellen Die Bedingungsgleichung fr die Existenz von Nullstellen der Funktion fk lautet fk(x) = 0. Fr den konkreten Ansatz ergibt sich daher

    x ln x k x = 0 Zur weiteren Lsung wird die Eigenschaft eines Produktterms

    a b = 0 a = 0 b = 0 verwendet. Umformung der linken Seite in einen Produktterm:

    x (ln x k) = 0 x = 0 ln x k = 0

    Die Lsung der ersten Gleichung liegt nicht im Definitionsbereich der Funktion, fr die zweite Gleichung gilt:

    k

    ln x k 0ln x k e

    x e

    =

    = =

    Fallunterscheidungen fr k: 1. Fall: k = 0 Die Nullstelle liegt bei x0 = 1. 2. Fall: k > 0 Die Nullstelle liegt rechts von 1. Je grer der Wert von k ist, desto grer ist der Wert der Nullstelle. 3. Fall: k < 0 Die Nullstelle liegt links von 1 und nhert sich mit wachsendem Betrag von k dem Wert null. Symmetrien Es geht um die Standardsymmetrien Achsensymmetrie zur y-Achse (AS) und Punkt-symmetrie zum Koordinatenursprungspunkt (PS). Alternative Lsung 1 (argumentativ) Aufgrund des eingeschrnkten Definitionsbereiches hat fk keine Standardsymmetrie. Alternative Lsung 2 (rechnerisch) Ansatz fr AS:

    fk(x) = fk(x) Konkret ergibt sich damit fr die vorliegende Funktion:

    x ln x k x = (x) ln (x) k (x) Der Teilterm ln (x) liefert den entsprechenden Widerspruch. fk ist nicht achsensymmetrisch.

    3

  • Hessen LK Analysis: bungsaufgabe 1

    Ansatz fr PS: fk(x) = fk(x)

    Konkret ergibt sich damit fr die vorliegende Funktion: x ln x k x = [(x) ln (x) k (x)]

    Der Teilterm ln (x) liefert den entsprechenden Widerspruch. fk ist nicht punktsymmetrisch. Insgesamt gilt damit: fk ist nicht symmetrisch.

    b) fk ist aufgrund von Eigenschaften seiner Funktionenklassen (Logarithmusfunktion und ganzrationale Funktion) im Innern des Definitionsbereiches stetig und differenzierbar. Aus dieser Tatsache folgt, dass das Lsungsverfahren Funktionengrenzwert angewendet wer-den kann. Fall k > 0: Es gilt:

    kx x

    x

    lim (f (x)) lim [x (ln x k)]lim (x ln x) (i)

    =

    =

    =

    wegen der Dominanz der beiden Teilfunk-tionen g(x) = x und h(x) = ln x in diesem Bereich

    Die Schreibfigur soll hier signalisieren, dass der Grenzwert eigentlich nicht real exis-tiert (Grenzwerte mssen reelle Zahlen sein). Das Ergebnis stellt aber eine durchaus ntzliche Information ber den Verlauf des Graphen dar. Wegen der Eigenschaft (i) ergeben sich fr die Flle k < 0 und k = 0 die gleichen Infor-mationen fr das Verhalten von fk in diesem Bereich.

    c) Nachtrag: Mit k = 1 ergibt sich fr die Nullstelle x0 = e. Da e eine irrationale Zahl ist, muss zur Darstellung im Koordinatensystem eine Entscheidung bezglich einer geeigneten Nherung getroffen werden. Vorschlag: x0 2,7 Extrempunkte Bedingungen fr die Existenz von Extrempunkten lauten:

    f '(x) = 0 f ''(x0n) 0 Die erste Bedingung steht fr die Tatsache, dass am Extrempunkt xn eine waagrechte Tan-gente vorliegen muss. Die zweite Bedingung fordert den Verlauf des Graphen der 1. Ab-leitungsfunktion an dieser Nullstelle x0 mit einer positiven Steigung f ''(x0n) > 0 (Tiefpunkt von f an dieser Stelle) oder mit einer negativen Steigung f ''(x0n) < 0 (Hochpunkt von f an dieser Stelle). Daher mssen zunchst die 1. und die 2. Ableitungsfunktion von f1 gebildet werden. Aufgrund der Termstruktur von f1 werden dafr die Ableitungsregeln Produkt-, Ketten-, Summen-, Differenz-, konstante Faktoren- und konstante Summandenregel bentigt. Dazu kommt noch die Besonderheit der Ableitungsfunktion fr die natrliche Logarithmus-funktion.

    4

  • Hessen LK Analysis: bungsaufgabe 1

    '

    1

    ''

    2

    1f (x) x 1 ln x 1 mit u(x) x v(x) ln xx

    11 ln x 1 u '(x) 1 v '(x)2

    ln x1 1f (x) mit (ln x) 'x x

    = + = =

    = + = =

    =

    = =

    Notwendige Bedingung fr die Existenz von Extrempunkten von f1: '

    1

    0

    f (x) 0ln x 0 e

    x ex 1

    =

    = =

    =

    Hinreichende Bedingung fr die Existenz von Extrempunkten von f1: ''

    1f (x0n) 0, d. h. ''1f (x0n) > 0 (Tiefpunkt) oder ''1f (x0n) < 0 (Hochpunkt) Untersuchung an der Nullstelle:

    ''

    11f (1) 11

    = =

    1 > 0 An dieser Stelle existiert ein Tiefpunkt. Berechnung der y-Koordinate:

    f(1) = 1 ln 1 1 = 1 Emin(1; 1) Wendepunkte Lsungsvariante 1 (argumentativ): Funktionen, die nicht gebrochenrational und /oder intervallweise definiert sind und nur einen echten Extrempunkt haben, besitzen keinen Wendepunkt. Lsungsvariante 2 (rechnerisch): Die notwendige Bedingung fr die Existenz eines Wendepunktes, f ''(x) = 0, ist nicht erfllt, da 1

    x0= keine reellen Lsungen hat.

    d)

    5

  • Hessen LK Analysis: bungsaufgabe 1

    e) Die Bestimmung einer Flchenmazahl setzt zunchst die Angabe der Stammfunktion Fk der vorliegenden Randfunktion fk voraus. Stammfunktion Vorberlegung 1: Wegen des Teilterms t(x) = x ln x muss auf jeden Fall die partielle Integration zur Bestim-mung der Lsung eingesetzt werden. Es empfiehlt sich daher, gleich den gesamten Funk-tionsterm als Produkt darzustellen:

    fk(x) = x (ln x k) Vorberlegung 2: Das Verfahren der partiellen Integration liefert allerdings nur dann brauchbare Lsungen, wenn das Prinzip Hoffnung im Funktionsterm vorhanden ist. Anmerkung zum Prinzip Hoffnung: Ein Faktorterm, in der Regel mit u(x) bezeichnet, muss in der Darstellung einer seiner Ab-leitungsfunktionen ein konstanter Term werden. Mit der Formel

    u(x) v '(x)dx u(x) v(x) u '(x) v(x)dx = kann dann das Integral

    u '(x) v(x)dx unter Verwendung der konstanten Faktorenregel elementar berechnet werden. Dies ist aber nur dann mglich, wenn der Faktorterm v '(x) zweimal integrierbar ist. Es ist daher von entscheidender Bedeutung, zu Beginn die richtige Wahl fr die Verwen-dung der Teilfunktionen u(x) und v '(x) zu treffen. Vorberlegung 3: Es liegt zunchst ziemlich nahe, z. B. aus Erfahrungen mit vergangenen Anwendungen die-ser Integrationsregel u(x) = x zu whlen. Mit u '(x) = 1 erscheint das Prinzip Hoffnung hier schnell erfllt. Damit ergibt sich aber die Notwendigkeit fr v '(x) = ln x und damit die Suche nach einer St