6 13 2

8

4

5 7 4 0

7

9

9 8 27 5 7 4 0 4 3 6 1

4

1

2 3

5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

12

6 7

8 9 10 11

2 9

28

2

8 2

2

7

7 2

6

2

6 2

2

2

1

1 8

1

7

17

1

6

16

1

2

12

1

1

1

71

7

1

7 1

1

4

4 1

1

1 73

36

3

36

3

5

5 3

4

3

4 3

3

363

35

3

5 3

4

3

4 3

3

3

Ordinamento dell’array

Max-Heapfy(A,i) l = 2i, r =2i+1 m = i if l A.heapsize and A[l] > A[m] m = l if r A.heapsize and A[r] > A[m] m = r if m i t = A[i], A[i] = A[m], A[m] = t Max-Heapfy(A,m)

Build-Max-Heap (A) A.heapsize = A.length for i = A.lenght/2 downto 1 Max-Heapfy(A,i)

Heap-Sort (A) Build-Max-Heap(A) for i = A.length downto 2 t = A[i], A[i] = A[1], A[1] = t A.heapsize = A.heapsize - 1 Max-Heapfy(A,1)

Paragonare tra loro algoritmiAbbiamo una scala di complessità:

vogliamo inserire ogni algoritmo in questa scala

1

log

log

...

2

...

2

3

nn

nn

n

n

n

Un algoritmo può richiedere tempi diversi per input della stessa taglia. Ad esempio il tempo per ordinare n oggetti può dipendere dal loro ordine iniziale.

complessità massima

complessità minima

complessità media

1

log

log

...

2

...

2

3

nn

nn

n

n

n

Nell’analizzare la complessità tempo di un algoritmo siamo interessati a come aumenta il tempo al crescere della taglia n dell’input.

Siccome per valori “piccoli” di n il tempo richiesto è comunque poco, ci interessa soprattutto il comportamento per valori “grandi” di n (il comportamento asintotico)

Inoltre, siccome la velocità del processore influisce sul tempo calcolo per una costante moltiplicativa noi valuteremo la complessità a meno di una tale costante.

Questo giustifica le seguenti definizioni:

Notazione asintotica O (limite superiore asintotico)

} ogniper )()(0

che tali ed 0 esistono:)({ ))((

0

0

nnncgnf

ncnfng

)(nf

)(ncg

0nO(g(n))

Scriveremo f(n) = O(g(n)) per dire che f(n) è una delle funzioni dell’insieme O(g(n))

f(n) = O(g(n)) si legge: f(n) è “o grande” di g(n)

Se f(n) = O(g(n)) rappresenta il tempo calcolo richiesto da un algoritmo diciamo che O(g(n)) è un limite superiore asintotico per la complessità tempo di tale algoritmo.

esempi)(552)( 22 nOnnnf

infatti 22 5520 cnnn per c = 4 ed n0 = 5

)1(sin2)( Onnf infatti 1sin20 cn

per c = 3 ed n0 = 1

)()( 201

22 nOanananf

Vedremo che in generale per a2 > 0

Notazione asintotica .(limite inferiore asintotico)

} ogniper 0)()(

che tali ed 0 esistono:)({ ))((

0

0

nnncgnf

ncnfng

)(nf

)(ncg

0n

Se f(n) = (g(n)) rappresenta il tempo calcolo richiesto da un algoritmo diciamo che (g(n)) è un limite inferiore asintotico per la complessità tempo di tale algoritmo.

Scriveremo f(n) = (g(n)) per dire che f(n) è una delle funzioni dell’insieme (g(n)).

f(n) = (g(n)) si legge: f(n) è “omega” di g(n)

esempi)(552)( 22 nnnnf

infatti 5520 22 nncnper c = 1 ed n0 = 10

)1(sin2)( nnf

infatti nc sin210 per c = 1 ed n0 = 1

)()( 201

22 nanananf

Vedremo che in generale se a2 > 0

Notazione asintotica .(limite asintotico stretto)

)}()()(0

ogniper che tali ed 0,

esistono:)({ ))(())(())((

21

0021

ngcnfngc

nnncc

nfngngOng

)(nf

)(1 ngc

0n

)(2 ngc

Se f(n) = (g(n)) rappresenta il tempo calcolo richiesto da un algoritmo diciamo che (g(n)) è un limite asintotico stretto per la complessità tempo di tale algoritmo.

Scriveremo f(n) = (g(n)) per dire che f(n) è una delle funzioni dell’insieme (g(n)).

f(n) = (g(n)) si legge: f(n) è “theta” di g(n)

esempi)(552 22 nOnn )(552 22 nnn

22

221 5520 ncnnnc

per c1 = 1, c2 = 4 ed n0 = 10

)(552 22 nnn Dunque

)1(sin2 On )1(sin2 n)1(sin2 nDunque

)(552)( 32 nnnnf

per ogni n n0 allora 5520 231 nnnc

altrimenti

321

552

nnnc per ogni n n0. Assurdo!

)(552)( 2 nnnnf

per ogni n n0 allora ncnn 22 5520

altrimenti

n

c

nn2

2

552 per ogni n n0. Assurdo!

Metodo del limiteSpesso è possibile determinare dei limiti asintotici calcolando il limite di un rapporto. Ad esempio se

0)(/)(lim kngnfn

allora per ogni > 0 esiste n0 tale che per n ≥ n0

kngnfk )(/)(

Preso 0 < < k e posto c1 = k e c2 = k + )()()( 21 ngcnfngc

))(()( ngnf e quindi

Se diciamo che

Attenzione: quando il limite del rapporto non esiste questo metodo non si può usare.

)(

)(lim

ng

nfn ))(()( ngnf

))(()( ma ))(()( ngnfngnf ed in questo caso

Se diciamo che0)(

)(lim ng

nfn ))(()( ngonf

))(()( ma ))(()( ngnfngOnf ed in questo caso

In generale )(...)( 01kk

k nanananf

per ogni funzione polinomiale di grado k con coefficiente ak > 0. Inoltre

baba nn per )()(

bann ba e ogniper )(log)(log

)()log( kk nnn

hknn hk per )()(

nbn baa logloglog perché

)()( )log(

)()()(lognnk

kh

bOaOnnO

nOnOnO

)()( )log(

)()()(lognnk

kh

bann

nnn

Per 0 < h < k e 1 < a < b :

esiste un algoritmo che risolve il problema con questa complessità

limite superiore: O(n2)

1

log

log

...

2

...

2

3

nn

nn

n

n

n

Valutare la difficoltà dei problemi

Un limite superiore per il problema dell’ordinamento

Abbiamo visto che Insert-Sort per ordinare n oggetti richiede O(n2) operazioni

Quindi O(n2) è un limite superiore

Valutare la difficoltà dei problemi

ogni algoritmo che risolve il problema ha complessità maggiore o uguale di questalimite inferiore: (n)

1

log

log

...

2

...

2

3

nn

nn

n

n

n