6. VARIABILE ALEATOARE - Analiza matematica. MPT ... · 6. VARIABILE ALEATOARE 6.1. Variabile...

6. VARIABILE ALEATOARE

6.1. Variabile aleatoare. Repartiţii de probabilitate. Funcţii de repartiţie

O variabilă aleatoare este o cantitate măsurată în legătură cu un experiment aleator, de exemplu, numărul de produse cu defecţiuni în producţia zilnică (lunară) a unei fabrici, numărul de utilaje defecte într-o secţie, numărul de solicitanţi, la un moment dat, într-o bază de aprovizionare, concentraţia poluării într-un mediu chimic etc. Să considerăm că într-un experiment aleator s-a realizat rezultatul ω şi printr-o operaţie de măsurare, acestuia îi asociem numărul real f(ω). În acest mod putem să stabilim o funcţie f : Ω → R. Această funcţie se numeşte variabilă aleatoare dacă mulţimea ω : f(ω) < x a evenimentelor elementare ω pentru care f(ω) < x este un eveniment, oricare ar fi x real, adică

(6.1.1) ω : f(ω) < x ∈ K,

pentru orice x real. Într-o formă mai generală, fiind dat un câmp de probabilitate (Ω, K, Ρ), o funcţie f : Ω → R se numeşte variabilă aleatoare reală, dacă pentru orice mulţime boreliană de pe dreapta reală ( )RBA∈ ( ) KAf 1 ∈− . Condiţia din definiţie, referitoare la K, este necesară pentru a permite studiul probabilităţilor valorilor lui f, în cazul în care aceasta are o mulţime finită sau numărabilă de valori sau a probabilităţilor intervalelor de valori ale lui f, în cazul în care aceasta are o mulţime infinită nenumărabilă de valori. În cazul în care mulţimea Ω este finită sau numărabilă, conceptul de variabilă aleatoare coincide cu cel de funcţie reală definită pe Ω. Variabile aleatoare pot fi definite şi pe baza conceptului echivalent de funcţie măsurabilă.

Variabile aleatoare - 6 112

O variabilă aleatoare f : Ω → R se numeşte simplă, dacă mulţimea valorilor ei

f(Ω) este finită. În acest caz f se poate exprima sub forma ,xfn

1iAi i∑

=χ= unde

KA,x)(fR,x in,1iii ∈=Ω∈ = şi funcţia χA i este indicatorul mulţimii Ai , adică:

(6.1.2) χ ωωωA

i

ii

pentrupentru

AA( ) =

∈∉

⎧⎨⎩

10

Evenimentele A A Ai n, , ,2 K se pot alege astfel încât să constituie o desfacere (o partiţie) a lui Ω. O variabilă aleatoare f : Ω → R se numeşte discretă dacă mulţimea valorilor ei f(Ω) este finită sau numărabilă. Fie acum (Ω, K, P) un câmp de probabilitate şi ( )nR

n B,R spaţiu măsurabil cu

familia mulţimilor boreliene nRB (generat de mulţimile deschise din R n ). O funcţie

K, nRB măsurabilă f : Ω → R n se numeşte vector aleator n-dimensional dacă

( ) KAf 1 ∈− pentru orice A ∈ nRB . Pentru n = 1 vectorul aleator f este o variabilă

aleatoare reală. Dacă f : Ω → R n este un vector aleator atunci funcţia RB:P nRf →

definită prin ( ) ( )( )P A P f Af = −1 este o probabilitate pe nRB şi se numeşte repartiţia

(distribuţia) vectorului aleator f. Din cele de mai sus rezultă că fiecărei variabile aleatoare (vector aleator) îi corespunde o probabilitate pe ( )RB,R , respectiv

( )R Rn

n, B de unde rezultă importanţa studiului acestor probabilităţi, la care se

reduce, de altfel, studiul variabilelor aleatoare cu valori în R ( R n ). Propoziţia 1. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilităţi şi f : Ω → R o variabilă aleatoare. Atunci au loc: ω ∈ Ω : f(ω) ≤ x ∈ K, ω ∈ Ω : f(ω) ≥ x ∈ K şi ω ∈ Ω : f(ω) > x ∈ K, oricare ar fi x ∈ R Demonstraţia rezultă din faptul că oricare din familia de intervale (-∞, x] : x ∈ R, [x, +∞) : x ∈ R, (x, +∞) : x ∈ R constituie sisteme de generatori pentru RB .

6.1. Variabile aleatoare. repartiţii de probabilitate. Funcţii de repartiţie 113

Propoziţia 2. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate şi f, g : Ω → R două variabile aleatoare. Atunci: ω ∈ Ω : f(ω) < g(ω) ∈ K, ω ∈ Ω : f(ω) ≤ g(ω) ∈ K, ω ∈ Ω : f(ω) = g(ω) ∈ K Demonstraţie: Să notăm cu r r1 2, ,K şirul numerelor raţionale. Atunci:

ω ∈ Ω : f(ω) < g(ω) = ( ) ( ) ω<Ω∈ω<ωΩ∈ω∞

=gr:rf: k

1kk IU .

Teorema1. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate. Dacă k, α ∈ R, α > 0 şi f, g sunt

variabile aleatoare reale (f, g : Ω → R), atunci f + g, f - g, f ⋅ g, 1g

dacă g ≠ 0, f + k,

kf, f α sunt de asemenea variabile aleatoare. Teorema2. Dacă ( )fn n≥1 este un şir de variabile aleatoare reale ( fn : Ω → R) şi

funcţia f definită pe Ω cu valori în R este limita punctuală a şirului ( )fn n≥1, adică

( ) ( )f fn

nω ω=→∞lim pentru orice ω ∈ Ω, atunci f este deasemenea o variabilă

aleatoare reală. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate. Dacă mulţimea valorilor unei variabile aleatoare f : Ω → R conţine un interval mărginit sau nemărginit (are cardinalul strict mai mare decât cel al numerelor naturale), atunci variabila aleatoare se numeşte continuă, de exemplu, dacă o variabilă aleatoare reprezintă temperatura într-un proces de prelucrare termică, atunci aceasta variază într-un interval, deci variabila este una continuă. Mai sus am prezentat câteva definiţii şi proprietăţi utile ale variabilelor aleatoare, care se găsesc expuse mai pe larg şi mai complet în cursurile şi tratatele de teoria probabilităţilor. Nu vom insista asupra acestora, mai ales din motivul că în aplicaţiile practice ale teoriei probabilităţilor, dar şi teoretic se lucrează mai puţin cu variabilele aleatoare însăşi şi mai mult cu legile de probabilitate (repartiţie) corespunzătoare, care oferă informaţii asupra valorilor variabilelor aleatoare şi a probabilităţilor cu care iau aceste valori. Pentru a descrie o variabilă discretă trebuie cunoscute valorile reale şi probabilităţile ( )p P f xi i= = . , i ∈ N cu care aceste valori sunt luate. Mai sus am

notat ( ) ( ) ( )P f x P f xi i= = ∈ =ω ωΩ: şi vom folosi această notaţie în continuare,


adică vom înţelege P(f ∈ A) = P(ω ∈ Ω : f(ω) ∈ A) = = ( )( )P f A−1 . Cu această

notaţie, în cazul unei variabile aleatoare discrete vom avea: (6.1.3) ( ) ∑

∈=∈

Axi

i

pAfP .

Ţinând seama că evenimentele ( )Ai i∈N , unde ( ) A f xi i= ∈ =ω ωΩ: formează

un sistem complet de evenimente, adică Ω=∈U

NiiA şi A Ai j∩ = ∅ pentru orice i ≠

j rezultă că :

(6.1.4) ∑∞

==

1ii 1p .

Repartiţia unei variabile aleatoare discrete se obişnuieşte să se descrie cu ajutorul unui “tablou” de forma:

(6.1.5) fx x xp p p

i

i: 1 2

1 2

K K

K K

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Să presupunem că variabila aleatoare f ia valorile xi = i, i ∈ N cu

probabilităţile p pqii= −1 cu p + q = 1, p, q > 0. Această variabilă aleatoare este

descrisă complet din punct de vedere al teoriei probabilităţilor de “tabloul”:

fp pq

ipqi:

1 21

K

K

K

K−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

O variabilă aleatoare cu o astfel de repartiţie se numeşte variabilă aleatoare geometrică sau cu repartiţie geometrică. Dacă variabila aleatoare f este simplă, în (5) avem în rândul superior al tabloului un număr finit de valori, iar în cel inferior acelaşi număr de probabilităţi al căror sumă este 1. Să considerăm o variabilă aleatoare care ia valorile i = 0 cu probabilitatea p0 şi i = 1 cu probabilitatea p1, acesteia îi va corespunde tabloul:

f p p:0 1

0 1

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ cu p p0 1 1+ = .

Fie acum f o variabilă aleatoare reală definită pe câmpul de probabilitate (Ω, K, P), cum f este o funcţie ( )RB,K măsurabilă şi ( ) ( )Rx:x,BBR ∈∞−= , repartiţia lui f este complet determinată de probabilităţile:


(6.1.6) ( ) ( ) ( )F x P f xf = ∈ <ω ωΩ: .

Definiţia 1. Funcţia Ff : R → [0, 1], definită prin (6) se numeşte funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare f. Această funcţie de repartiţie nu determină în mod unic variabila aleatoare f, în sensul că pot exista variabile aleatoare reale diferite la care corespund prin (6) aceeaşi funcţie de repartiţie. Din punctul de vedere al teoriei probabilităţilor aceste variabile aleatoare sunt considerate echivalente şi le vom identifica. Definiţia 2. Fie acum A ∈ K cu P(A) > 0, atunci funcţia: Ff A, : R → [0, 1] definită prin:

(6.1.7) ( ) ( ) ( )F x P f xf A A, := ∈ <ω ωΩ

se numeşte funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare f condiţionată de evenimentul A. Fie f o variabilă aleatoare discretă care ia valorile xn cu probabilităţile

( )P P f xn n= = , atunci rezultă că:

(6.1.8) ( )F x Pnx xn

=<∑ ,

sumarea din (8) fiind făcută pentru toate valorile lui n ∈ N, pentru care x xn < . Funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare discrete se numeşte funcţie de repartiţie de tip discret. Să notăm ( ) ( )S F x F xx = + − −0 0 saltul funcţiei F în punctul x. Dacă x este un punct de continuitate al lui F atunci Sx = 0 iar în caz contrar Sx > 0. Atunci:

(6.1.9) F x Sxx x

nn

( ) =<∑ ,

unde xn n∈N este mulţimea punctelor de discontinuitate ale funcţiei de repartiţie.

Deoarece funcţia F creşte prin salturi în punctele de discontinuitate graficul său va fi o funcţie în scară. Să considerăm următorul exemplu simplu. Exemplul 1. Înaintea punerii pe piaţă, un produs finit (utilaj) este supus la trei probe succesive de funcţionare. Probabilitatea ca să treacă de oricare din cele trei probe este de 0,8. Dacă se presupune că cele trei încercări sunt independente una de alta, să se determine:


a) Distribuţia variabilei aleatoare care reprezintă numărul de probe trecute până la prima nereuşită;

b) Să se determine funcţia de repartiţie şi să se construiască graficul funcţiei de repartiţie al variabilei aleatoare de la punctul a).

Rezolvare: Notăm cu f variabila aleatoare cerută, ea va avea o distribuţie de forma:

f P f P f P f P f: ( ) ( ) ( ) ( ) .0 1 2 3

0 1 2 3= = = =⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Din modul cum a fost definită variabila aleatoare f rezultă: P(f = 0) = 0,2 P(f = 1) = 0,8 ⋅ 0,2 = 0,16 P(f = 2) = 0,8 ⋅ 0,8 ⋅ 0,2 = 0,128 P(f = 3) = 0,8 ⋅ 0,8 ⋅ 0,8 = 0,512 deci:

f:, , , ,

.0 1 2 3

0 2 0 16 0 128 0 512⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

Să notăm cu F funcţia de repartiţie corespunzătoare variabilei aleatoare f. Atunci avem:

F x

pentru xpentru xpentru xpentru xpentru x

( ),,,

=

≤< ≤< ≤< ≤>

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

0 00 2 0 10 36 1 20 448 2 3

1 3

Graficul lui F este următorul:

0,20,36

10,488

x1 2 3

F(x)


Propoziţia 3. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate, c ∈ R şi f, g variabile aleatoare reale simple, definite pe Ω având distribuţiile date prin:

fxp

i

i i n:

,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟=1

şi gyq

j

j j m: .

,

⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

=1

Atunci variabilele aleatoare cf, f + g, f ⋅g sunt deasemenea variabile aleatoare simple, având distribuţiile date prin:

cfcxp

f gx y

p f gx y

pi

i i n

i j

ij i n j m

i j

ij i n j m: : : ,

, , , , , , ,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

+⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟ ⋅

⋅⎛

⎝⎜

⎞

⎠⎟

= = = = =1 1 1 1 1

unde pij este probabilitatea realizării simultane a evenimentelor A f xi i= = şi

B g yj j= = , adică ( )P P A Bij i j= ∩ . Mai mult, între probabilităţile de mai sus

au loc relaţiile:

p p q p pijj

m

i

n

ij ji

n

ij ij

m= = =

== = =∑∑ ∑ ∑1

11 1 1, .,

Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate şi f, g : Ω → R două variabile aleatoare. Pe baza conceptului de independenţă definit pentru evenimente se definesc variabilele aleatoare independente. Dacă f şi g sunt două variabile aleatoare simple, cu repartiţiile considerate mai sus, atunci ele sunt independente dacă sistemele complete de evenimente ( )Ai i n=1, şi

( )B j j m=1, sunt independente, adică ( ) ( ) ( )P A B P A P Bi j i j∩ = ⋅ , pentru orice

i n= 1, şi j m= 1, sau punând în evidenţă variabilele însăşi şi valorile lor, f şi g sunt independente dacă ( ) ( ) ( )jiji ygPxfPyg şi xfP =⋅==== ,

oricare ar fi i n= 1, şi j m= 1, . În cazul când variabilele f şi g sunt discrete cu o infinitate de valori relaţiile de definiţie sunt aceleaşi, doar că indicii i şi j parcurg mulţimi numărabile. Dacă f şi g sunt variabile aleatoare continue, atunci acestea sunt independente dacă:


P(f < x şi g < y) = P(f < x)⋅ P(g < y), pentru orice x şi y din R. O familie de variabile aleatoare ( )fi i I∈ , cu I cel mult numărabilă, definite pe

acelaşi câmp de probabilitate sunt independente dacă, pentru orice submulţime finită de indici i i i In1 2, , ,K ⊂ are loc:

( )P f x f x f xi i i i i in n1 1 2 2< < < =, , ,K

( ) ( ) ( )= < ⋅ < <P f x P f x P f xi i i i i in n1 1 2 2L ,

oricare ar fi x x xi i i n1 2, , ,K din R.

Exemplul 2. Variabilele aleatoare simple f şi g sunt date prin distribuţiile de probabilitate:

f: , , ,1 2 3

0 1 0 2 0 7⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ şi g: , , ,

4 5 60 4 0 5 0 1⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

Se cere să se scrie distribuţiile variabilelor aleatoare f + g, f⋅g şi f 2 .

Rezolvare: Să notăm cu ( )xi , i = 1,2,3 şi ( )y j , j = 1,2,3, valorile variabilelor f,

respectiv g. Atunci evenimentele A f xi i= = , i = 1, 2, 3 şi respectiv

B g yj j= = , j = 1, 2, 3, formează sisteme complete de evenimente. Se verifică

imediat că şi evenimentele C A Bij i j= ∩ , i,j = 1,2,3 formează un sistem complet de

evenimente. Variabila aleatoare f + g ia valorile x yi j+ , i, j = 1, 2, 3 cu

probabilităţile ( ) ( ) ( ) ( )P C P A B P A P Bij i j i j= ∩ = ⋅ (între variabilele f şi g nu a

fost dată nici un fel de dependenţă deci le considerăm independente, ceea ce este echivalent cu faptul că sistemele de evenimente definite de ele sunt independente).

Variabila aleatoare f ⋅ g ia valorile x yi j⋅ , i, j = 1, 2, 3 cu probabilităţile ( )P Cij iar

variabila aleatoare f 2 ia valorile xi2 , i = 1, 2, 3 cu probabilităţile

( ) ( )P A A P Ai i i∩ = . Vom obţine astfel:


f g+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟:

. , , , ,,

50 04

60 13

70 39

80 37

90 07

f g⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟:

, , , , , , , ,4

0 045

0 056

0 018

0 08100 1

120 3

150 35

180 07 ;

f 2 10 1

40 2

90 7

:, , ,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

În continuare vom prezenta câteva proprietăţi ale funcţiei de repartiţie asociate unei variabile aleatoare. Teorema 3: Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate şi f o variabilă aleatoare reală definită pe Ω. Atunci funcţia de repartiţie asociată acestei variabile aleatoare F: R → [0, 1], prin F(x) = P(f < x) are următoarele proprietăţi: 1) F este monoton crescătoare, 2) ( ) ( )lim , lim

x xF x F x

→−∞ →∞= =0 1

3) F este continuă la stânga în orice punct x ∈ R. Demonstraţie: Fie x x1 2, ∈R . Dacă x x1 2< , atunci f x f x< ⊂ <1 2 şi

datorită proprietăţii de monotonie a probabilităţii, ( ) ( )P f x P f x< ≤ <1 2 , rezultă

( ) ( )F x F x1 2≤ .

2) Fie xn n∈N un şir descrescător cu limn

nx→∞

= −∞ , atunci şirul f xn n<∈N

este un şir descendent şi:

I∞

=∞→∅=<=<

1nnnn

xfxflim .

De mai sus rezultă că:

( ) ( ) ( ) ( )lim lim limn

nn

n nF x P f x P f x P→∞ →∞

= < = < = ∅ = 0,

deci ( )limn

F x→−∞

= 0 .


Analog, să considerăm un şir arbitrar yn n∈N , crescător, cu limn

ny→∞

= ∞ ,

atunci şirul f xn n<∈N este un şir ascendent de evenimente şi

U∞

=∞→Ω=<=<

1nnnn

.yfyflim

Din relaţia de mai sus, ţinând seama de comutarea limitei cu probabilitatea pentru şiruri ascendente sau descendente rezultă:

( ) ( ) ( )lim lim limn

nn

nn

nF y P f y P f y P→∞ →∞ →∞

= < = <⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= =Ω 1.

Deşi o funcţie de repartiţie F este definită pe R nu pe R vom nota F(-∞) = = ( )lim

xF x

↓−∞= 0 şi ( ) ( )F F x

x∞ = =

↑∞lim 1.

3) Să luăm un şir crescător ( )zn n∈N , arbitrar, convergent către x. Atunci şirul de

evenimente f zn n<∈N este ascendent şi:

U∞

=∞→<=<=<

1nnnn

xfzfzflim .

Ţinând seama de aceste egalităţi avem:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

F x F z P f z

P f z P f x F x

nn

nn

nn

− = = < =

= <⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= < =

→∞ →∞

→∞

0 lim lim

lim

ceea ce arată că funcţia F este continuă la stânga în punctul x, cum acesta a fost ales arbitrar, rezultă că funcţia de repartiţie F este continuă la stânga pe R. Se poate demonstra că proprietăţile 1), 2) şi 3) din teorema de mai sus caracterizează complet funcţia de repartiţie a unei variabile aleatoare, în sensul că, fiind dată o funcţie F : R → [0.1] cu proprietăţile de mai sus, atunci există un câmp de probabilitate (Ω, K, P) şi o variabilă aleatoare f : Ω → R a cărei funcţie de repartiţie este funcţia f dată. Având în vedere şi posibilitatea utilizării rezultatelor stabilite de analiza matematică, referitor la funcţiile reale de variabilă reală, s-a impus în Teoria probabilităţilor utilizarea funcţiilor de repartiţie în locul variabilelor aleatoare, în studiul unor fenomene şi experimente aleatoare.


Teorema 4. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate, f : Ω → R o variabilă aleatoare şi F : R → [0, 1], funcţia sa de repartiţie. Atunci are loc: 1) Pentru orice x ∈ R, F(x + 0) = F(x) + P(f = x) şi F este continuă în x ∈ R dacă şi

numai dacă P(f = x) = 0; 2) Pentru intervalele mărginite, de extremităţi a şi b (a < b) are loc: P(a ≤ f < b) = F(b) - F(a) P(a < f < b) = F(b) - F(a + 0) P(a ≤ f ≤ b) = F(b + 0) - F(a) P(a < f ≤ b) = F(b +0) - F(a +0). Demonstraţie: 1) Pentru a calcula limita la dreapta în punctul x, considerăm un şir descrescător ( )xn n∈N cu lim

nnx x

→∞= . Şirul de evenimente f xn n<

∈N este un

şir descendent şi are limita:

( ) .xfxfxflim1n

nnn≤=<=<

∞

=∞→I

De aici rezultă:

( ) ( ) ( ) ( )F x F x P f x P f x P f xn

nn

nn

n+ = = < = <⎛⎝⎜

⎞⎠⎟= ≤

→∞ →∞ →∞0 lim lim lim .

În acelaşi timp putem scrie:

f x f x f x≤ = < =U , cu f x f x< = = ∅I ,

de unde rezultă:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )P f x P f x P f x F x P f x≤ = < + = = + = sau

F(x + 0) = F(x) + P(f = 0) = 0, relaţie ce arată că f este continuă în x dacă şi numai dacă P(f = x) = 0. Pentru a demonstra egalităţile din 2) observăm că:

a ≤ f < b ∪ f < a = f < b şi a ≤ f < b ∩ f < a = ∅, de unde rezultă:

P(a ≤ f < b) + P(f < a) = P(f < b). Ţinând seama de definiţia funcţiei de repartiţie rezultă:

P(a ≤ f < b) = F(b) -F(a).

a < f < b ∪ f = a = a ≤ f <b şi a < f < b ∩ f = a = ∅,


din cele două egalităţi de mai sus avem:

P(a < f < b) ≠ P(f = a) = F(b) - F(a). Cum F(b) - [F(a) + P(f = a)] = F(b) - F(a + 0), rezultă că:

P(a < f < b) = F(b) - F(a + 0). În mod analog se demonstrează şi ultimele două egalităţi ale punctului 2). Fie acum ρ : R → [0, ∞), spunem despre funcţia ρ că este integrabilă pe R dacă este integrabilă pe orice interval compact [a, b] ⊂ R cu a < b. Pentru o astfel de

funcţie se defineşte integrala improprie ( )∫∞−

ρx

dxx prin:

( ) ( )∫ ∫∞−

−∞↓ρ=ρ

x x

aadttlimdtt .

Spunem că integrala improprie de mai sus este convergentă dacă limita din membrul drept există şi este finită. Această integrală improprie stă la baza definiţiei densităţii de repartiţie a unei variabile aleatoare. Definiţia 3. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate, f: Ω → R o variabilă aleatoare şi F funcţia sa de repartiţie. Dacă există o funcţie ρ: R → [0, ∞) integrabilă pe R, astfel ca:

( ) ( )∫∞−

ρ=x

,dttxF

atunci funcţia ρ se numeşte densitatea de repartiţie sau densitatea de probabilitate a variabilei aleatoare f. Teorema 5. Dacă variabila aleatoare f admite densitatea de repartiţie ρ, atunci:

1) ( ) ( )∫ ρ=<≤b

adxxbfaP ;

2) ( )∫∞

∞−

=ρ 1dxx .

Demonstraţie: P(a ≤ f ≤ b) = F(b) - F(a) = ( ) ( ) =ρ−ρ∫ ∫∞− ∞−

b adxxdxx


( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫∞−∞−∞−

ρ=ρ−ρ+ρ=aab

a

a.dxxdxxdxxdxx

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .1FFaFlimbFlimdxxlimdxxab

b

ab

a=∞−−∞=−=ρ=ρ

−∞↓∞↑∞↑−∞↓

∞

∞−∫∫

Teorema 6. Fie ρ densitatea de repartiţie corespunzătoare variabilei aleatoare f. Dacă ρ este continuă într-un punct x din R, atunci funcţia de reparatiţie F asociată variabilei aleatoare f este derivabilă în x şi F’(x) = ρ(x). Reciproc, dacă funcţia de repartiţie F este derivabilă pe R, atunci f admite o densitate de repartiţie ρ şi F’ = ρ. Demonstraţie: În condiţiile teoremei:

( ) ( ) ( )∫ ρ=−x

adttaFxF ,

şi integrala din membrul drept este o funcţie derivabilă în x, iar derivata ei este ρ(x), deci F’(x) = ρ(x). Dacă F este derivabilă pe R, atunci putem scrie:

( ) ( ) ( )∫ ′=−x

a,dttFaFxF pentru x ∈ R.

Deoarece funcţia de repartiţie F este crescătoare rezultă că F’(x) ≥ 0 pentru orice x ∈ R. Dacă în egalitatea de mai sus trecem la limita pentru a → - ∞, obţinem:

∫ ∞−∈′=

x ,Rx orice pentru ,dt)t(F)x(F

rezultă astfel, că funcţia ′F satisface condiţiile Definiţiei 3, pentru a fi o densitate de repartiţie a variabilei f. Observaţia 1. Fie ρ şi F densitatea, respectiv funcţia de repartiţie a variabilei aleatoare f. Să presupunem că ρ este continuă pe un interval I ⊂ R, atunci F este derivabilă şi deci continuă pe I. Dacă a, b ∈ I şi a < b putem scrie:

( ) ( ) ( ) ( )P a f b P a f b P a f b P a f b≤ < = < < = ≤ ≤ = < ≤ =

( ) ( )∫ ξρ−=ρ=b

aabdx)x( ,


unde ξ ∈ (a, b) (ρ fiind continuă am aplicat o teoremă de medie integralei de mai sus, care asigură existenţa lui ξ astfel ca ultima egalitate scrisă să fie adevărată). Din cele de mai sus rezultă că:

( ) ( ) ( )ρ ξ ξ=≤ ≤−

∈P a f b

b aa b, , . unde


( ) ( ) ( )∫ ρ=−x

adttaFxF ,


( ) ( ) ( )∫ ′=−x



∫ ∞−∈′=




( ) ( )∫ ξρ−=ρ=b

aabdx)x( ,



( ) ( ) ( )ρ ξ ξ=≤ ≤−

∈P a f b

b aa b, , . unde


( ) ( ) ( )∫ ρ=−x

adttaFxF ,


( ) ( ) ( )∫ ′=−x



∫ ∞−∈′=




( ) ( )∫ ξρ−=ρ=b

aabdx)x( ,



( ) ( ) ( )ρ ξ ξ=≤ ≤−

∈P a f b

b aa b, , . unde

Fie x0 un punct arbitrar din (a, b). Datorită continuităţii funcţiei ρ trecând la limită pentru b - a → 0 şi ( )x a b0 ∈ , rezultă că ξ → x0 şi are loc egalitatea:

( ) ( )ρ x

P a f bb ab a

a x b

00

0

=≤ ≤−− →

< <

lim ,

ce justifică denumirea de densitate de probabilitate a variabilei aleatoare f, atribuită funcţiei ρ.

Exemplul 3. Se dă funcţia ( )ρ ρ: , .R R→ =+ − xk

e ex x

a) Să se determine constanta k astfel ca funcţia ρ să fie densitatea de repartiţie a unei variabile aleatoare f;

b) Dacă f1 şi f2 sunt două variabile aleatoare independente şi identic repartizate, având aceeaşi densitate de repartiţie, cea a lui f, să se calculeze P( f1 < 1 şi f2 > 1).

Rezolvare:

a) ρ(x) este integrabilă pe R şi ( ) .2

kdxx π=ρ∫

∞

∞− Pentru ca ρ să fie o densitate de

repartiţie se impune kπ2

1= , de unde rezultă k =2π

.

b) Dacă variabilele f1 şi f2 sunt independente atunci:

P f( 1 1< şi ( ) ( )f P f P f2 1 21 1 1> = < ⋅ > =)

= P( f1< 1) ⋅ ( )[ ]1 12− < =P f ( )∫ ∫∞− ∞−=ρ−⋅ρ

1 1 dx)x(1dx)x(

= ⋅ −⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

21

2π π

arctg e arctg e .

6.2. Variabile aleatoare independente 127

6.2. Variabile aleatoare independente

Variabilele aleatoare cu proprietatea de independenţă joacă un rol contral în toria probabilităţilor.

Definiţia 1. Fie (Ω, Κ, Ρ) un spaţiu cu măsură de probabilitate complet aditivă şi F= (fα ) I∈α o familie de variabile aleatoare reale definite pe (Ω, Κ, Ρ). Vom spune că F este o familie de variabile aleatoare independente, dacă pentru orice parte finită J ⊂ I şi orice submulţimi boreliene ale mulţimii numerelor reale (Bα ) J∈α are loc egalitatea:

( ) ( )( )∏∈α

α−

α−

∈α=⎟

⎠⎞⎜

⎝⎛ ∩

J

11

JBfPBfP .

Observaţia 1. Dacă F1 este o subfamilie de variabile aleatoare a familiei F, adică F1 ⊂ F , atunci independenţa familiei F implică, evident independenţa subfamiliei F 1 . Acest concept de independenţă a fost introdus de matematicienii H. Steinhaus şi M. Kac. Să analizăm o caracterizare a independenţei unei familii finite de variabile aleatoare simple. Fie ( ) n,1iif = o astfel de familie şi fie ( )

jr,1jjix = valorile pe care le poate lua

variabila aleatoare if . Aceste variabile aleatoare generează familiile de partiţii ale lui

Ω i ( ) n,1iiD = definite prin ( )ir,1j

jii AD == şi ( ) jij

i xf:A =ωΩ∈ω=

Cu aceste notaţii are loc: Propoziţia 1. Familia de variabile aleatoare simple ( ) n,1iif = sunt independente dacă şi

numai dacă partiţiile ( ) n,1iiD = sunt independente.

Demonstraţie. Fie familia de indici ( ) n,1iiq = , cu 1 ≤ iq ≤ ir , pentru orice n,1i = .

Să notăm iqii xB = , n,1i = şi să presupunem că variabilele n1,i ,if = sunt

independente. Atunci


( ) ( )( )∏=

−

=

− =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ n

1ii

1i

n

1ii

1 BfPBfP I .

Ţinând seama de faptul că ( ) iqiii ABf =−1 egalitatea de mai sus devine

( )∏==

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ n

1i

qi

n

1i

qi

ii APAP I ,

cea ce arată prin arbitraritatea indicilor iq , că partiţiile ( ) n,1iiD = sunt independente.

Reciproc, fie ( ) n,1iiB = o familie de submulţimi boreliene de pe dreapta reală.

Atunci

( ) UiIj

jii

1i ABf

∈

− = , unde ijii B xsi Nj:jI ∈∈=

Cu notaţiile de mai sus obţinem

( )

( )∑ ∑ ∏ ∑∏≤≤∈

≤≤∈ = ∈==

≤≤∈ == ∈=

−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

nl1Ij

nl1Ij

n

1i Ij

ji

n

1i

ji

n

1i

ji

nl1Ij

n

1i

ji

n

1i Ij

ji

n

1ii

1i

ll ll i

jl

ll

l

i

APAAP

APAPBfP

I

U IUUI

( )( )∏ ∏= =

−

∈=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

n

1i

n

1ii

1i

Ij

ji BfAP

i

U

Am obţinut astfel relaţia care indică independenţa variabilelor aleatoare

( ) n,1iif = .

Cu ajutorul funcţiilor de repartiţie asociate, un criteriu de independenţă pentru o familie de variabile aleatoare este dat prin teorema următoare. Teorema 1. Condiţia necesară şi suficientă pentru ca o familie de variabile aleatoare ( ) IfF ∈αα= să fie o familie de variabile independente este ca:

6.2. Variabile aleatoare independente 129

( ) ( ) ( ) ( )n21n21n21

xF...xFxFx..., , x,xF ... ααααααααα ⋅⋅⋅= , pentru orice

I,...,, n21 ⊂ααα şi Rx,...,x,xn21⊂ααα , unde F

n21 ... ααα este funcţia de

repartiţie a variabilei aleatoare n-dimensionale ( )n21

f,...,f,f ααα , iar i

Fα este funcţia

de repartiţie a variabilei aleatoare n,1i,fi

=α . Observaţia 2. În cazul în care variabilele aleatoare ( ) If ∈αα admit densităţile de

probabilitate ( ) I∈ααρ , atunci condiţia de independenţă din teorema de mai sus este echivalentă cu:

( ) ( ) ( ) ( )n211n21n21

x...xxx,...,x,x... αααααααααα ρ⋅⋅ρ⋅ρ=ρ ,

unde n21 ... αααρ este densitatea de probabilitate asociată variabilei aleatoare n-

dimensionale n21 ... f ααα . Un alt concept pentru independenţa unei familii de variabile

aleatoare este următorul:

Definiţia 2. Spunem că o famlie de variabile aleatoare ( ) IfF ∈αα= este o familie de

variabile aleatoare independente k câte k, dacă orice subfamilie F k formată din k variabile aleatoare arbitrare din familia F este o familie de variabile aleatoare independente.

Observaţia 3. Este evident că orice familie de variabile aleatoare F independente este o familie de variabile aleatoare independente k câte k, pentru orice k finit şi k ≤ card(F).

Pentru cazul a două variabile aleatoare independente are loc următoarea proprietate caracteristică.

Teorema 2. Variabilele aleatoare f şi g sunt independente dacă şi numai dacă variabilele aleatoare f+a, g+b sunt independente pentru orice a, b din R.

Pentru demonstraţia teoremei se consideră submulţimile boreliene ale dreptei reale [ ]'

111 b ,bB = , [ ]'222 b ,bB = şi se utilizează relaţia de definiţie a independenţei.

Aplicaţie. Fie vectorul aleator bidimensional h = (f, g) dat prin tabloul:

f, g 2 3 4 5 1 1/16 0 0 1/16 2 0 1/4 3/8 1/4

.


Să se studieze independenţa variabilelor aleatoare f şi g. Rezolvare. Variabilele aleatoare marginale f şi g sunt definite prin:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛8/78/1

21:f , ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛16/58/34/16/15432

:g

Deoarece P(f = 2 şi g = 3) = 41

≠ P(f = 2 şi g = 3) = 41

87⋅ rezultă că

variablele aleatoare f şi g nu sunt independente. În paragraful următor vom stabili o măsură a gradului de dependenţă

6.3. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare

Variabilele aleatoare sunt caracterizate complet prin funcţiile lor de repartiţie şi atunci când acestea există, prin densităţile de repartiţie. De multe ori însă, este necesară şi suficientă o caracterizare mai sumară a variabilelor aleatoare. De exemplu, pentru a determina numărul de maşini necesar pentru obţinerea unui produs într-o cantitate dată, este suficient să cunoaştem produsul mediu realizat de fiecare maşină într-o unitate de timp. Astfel de caracterizări mai sumare sunt date prin anumite caracteristici numerice ca: valoarea medie, momentele, dispersia, abaterea medie pătratică ale unei variabile aleatoare.

6.3.1. Caracteristici numerice ale varibilelor aleatoare discrete

Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate şi f : Ω → R o variabilă aleatoare discretă.

fxp

i

i i I:⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∈

,

unde I este cel mult numărabilă şi ∑∈

=Ii

i 1p , pi > 0 ,

Definiţia 1. Numărul real notat cu M(f) şi definit prin:

(6.3.1) ( ) ∑∈

=Ii

iixpfM

se numeşte valoarea medie a variabilei aleatoare f.

6.3. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare 131

Dacă f este o variabilă aleatoare simplă (mulţimea de indici I este finită), atunci suma din (1) conţine un număr finit de termeni şi M(f) are sens totdeauna. Pentru variabilele aleatoare discrete cu o infinitate de valori distincte (I mulţime numărabilă) suma din (1) conţine o infinitate de termeni şi necesităţile privind posibilitatea schimbării ordinii termenilor într-o serie, impun cerinţa ca seria ∑

∈Iiiixp ,

care defineşte valoarea medie să fie nu numai convergentă, ci absolut convergentă. Valoarea medie a unei variabile aleatoare măsoară tendinţa centrală a repartiţiei valorilor variabilei aleatoare. Valoarea M(f) reprezintă numărul în jurul căruia se constată o apropiere a valorilor variabilei aleatoare. Să considerăm variabila aleatoare care asociază, în experienţa aleatoare a aruncării unui zar, numărul de puncte aflat pe faţa superioară a zarului. Aceasta va avea tabloul de repartiţie:

f:1 2 3 4 5 616

16

16

16

16

16

⎛

⎝

⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟

şi valoarea medie ( ) ∑ ∑= =

==⋅⋅

===6

1k

6

1kkk 5,3

27

61

276k

61xpfM .

Observaţia 1. Dacă variabila aleatoare f : Ω → R este simplă:

n,1kk

k

px

:f=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛,

atunci valoarea medie ( ) ∑=

=n

1kkkxpfM este media ponderată a valorilor ( )xk k n=1,

cu ponderile ( )pk k n=1, .

Propoziţia 1. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate şi f, g : Ω → R variabile aleatoare discrete. Dacă valorile medii M(f) şi M(g) există, atunci şi variabilele aleatoare f + g şi λf, cu λ ∈ R, au valori medii şi au loc următoarele relaţii: a) M(f + g) = M(f) + M(g), b) M(λf) = λM(f), c) dacă în plus variabilele f şi g sunt independente, atunci există şi M(f ⋅ g) şi are loc

M(f ⋅ g) = M(f) ⋅ M(g).


Demonstraţie: Deoarece f şi g sunt discrete, au distribuţiile de forma:

Jjj

j

Iii

i

gy

:g,px

:f∈∈

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛,

cu I şi J cel mult numărabile. Variabila aleatoare f + g are distribuţia:

( ).yg,xfPr unde ,r

yxjiij

jjIiij

ji ===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +

∈∈

M(f + g) = ( ) =+=+ ∑∑∑∑∑∑∈∈∈∈∈ ∈ Ii

ijJj

jJj

ijIi

iIi Jj

jiij ryrxyxr

= ).g(M)f(MqypxJj

jjIi

ii +=+∑∑∈∈

Distribuţia variabilei aleatoare λf este λ

λx

pfi

i i I

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ =∈

, ( ) deci M

= = =∈ ∈∑ ∑λ λ λp x p x M fii I

i i ii I

( ).

Dacă f şi g sunt independente, atunci r p qij i j= şi:

M fg x y p q x p y q M f M gi jj Ji I

i j i ii I

jj J

j( ) ( ) ( ).= = = ⋅∈∈ ∈ ∈∑∑ ∑ ∑

În general, valoarea medie a produsului a două variabile aleatore diferă de produsul valorilor medii ale celor două variabile aleatoare. O legătură între aceste valori medii este dată de inegalitatea lui Schwartz.

Teorema 1. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate şi f, g : Ω → R două variabile

aleatoare discrete astfel încât ( )M f 2 şi ( )M g2 există. Atunci are loc

(6.3.2) ( ) ( ) ( )M f g M f M g⋅ ≤ ⋅2 2 .

Demonstraţie: Să considerăm variabila aleatoare ( )h f gα α= − 2 , unde α ∈ R.

Observăm că hα ≥ 0 pentru orice α ∈ R şi deci, la fel ( )M hα ≥ 0, pentru orice α ∈ R. În baza Propoziţiei 1 avem:


( ) ( ) ( ) ( )M h M f M fg M gα α α= − +2 2 22 .

Obţinem astfel inegalitatea:

( ) ( ) ( )M f M fg M g2 2 22 0− + ≥ ∈α α α, pentru orice .R

Considerăm membrul stâng al inegalităţii de mai sus ca un trinom de gradul doi în α, fiind pozitiv sau nul pentru orice α ∈ R, rezultă că discriminantul său

( )[ ] ( ) ( )∆ = − ⋅M fg M f M g2 2 2 este negativ sau 0, deci avem:

( )[ ] ( ) ( )M fg M f M g2 2 2≤ ⋅ ,

de unde rezultă inegalitatea (2) şi teorema este demonstrată. Fie f : Ω → R o variabilă aleatoare discretă şi A un eveniment din K (A ∈ K)

astfel că P(A) > 0. Să presupunem că f are distribuţia de probabilitate xp

i

i i I

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∈

, cu I

mulţime numărabilă.

Definiţia 2. Dacă seria ( )x P f xii I

A i∈∑ = este absolut convergentă, atunci valoarea:

(6.3.3) ( )M f A x P f xii I

A i( ) = =∈∑

se numeşte valoarea medie condiţionată a variabilei aleatoare f, de evenimentul A. Dacă în loc de evenimentul A considerăm un sistem complet de evenimente

( ) ,AJjj ∈

cu J cel mult numărabilă şi ( )P A j > 0 atunci are loc următoarea relaţie de

legătură între valoarea medie a lui f, M(f) şi valorile medii condiţionate ale lui f,

( )M f A j , şi anume:

(6.3.4) ( ) ( ) ( )M f P A M f Ajj J

j= ⋅∈∑ .


Definiţia 3. Fie f : Ω → R o variabilă aleatoare discretă xp

i

i i I

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∈

pentru care există

M(f). Atunci variabila aleatoare g : Ω → R, care are distribuţia de probabilitate dată

prin gf M f

pi i I:

( )−⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∈

se numeşte variabilă “abatere” de la valoarea medie a lui f.

Ţinând seama că valoarea medie a unei variabile aleatoare constante este constanta însăşi, rezultă că M(g) = M(f) - M(M(f)) = M(f) -M(f) = 0. Definiţia 4. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate şi f : Ω → R o variabilă aleatoare discretă. Pentru orice n ∈ N (n ≥ 1), valoarea medie a variabilei aleatoare f n ,

(6.3.5) ( ) ( )M f M fnn= ,

dacă există se numeşte momentul de ordinul n al variabilei aleatoare f. Valoarea medie a variabilei aleatoare f n ,

(6.3.6) ( ) ( )M f M fnn=

se numeşte momentul absolut, de ordinul n, al variabilei aleatoare f. Să notăm, pentru simplificarea scrierii, M f f( ) = şi să presupunem că această valoare medie există.

Valoarea medie a variabilei aleatoare ( )f f n− ,

(6.3.7) ( )[ ]m f M f fnn( ) = −

se numeşte momentul centrat de ordinul n al variabilei aleatoare f. Dacă variabila aleatoare discretă f, considerată mai sus, are distribuţia

fxp

i

i i I:⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∈

, valorile medii şi momentele considerate mai sus există, atunci acestea au

exprimările:

(6.3.8) ( ) ( ) ( )∑∑∑∈∈∈

−===Ii

niin

Ii

niin

Ii

niin fxP)f(mxPfM,xPfM .

Definiţia 5. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate şi f : Ω → R o variabilă aleatoare discretă. Momentul centrat de ordinul doi al variabilei aleatoare f, dacă există, se


numeşte dispersia sau varianţa variabilei aleatoare f şi se notează cu

( ) ( )D f f2 sau 2σ . Dacă f are distribuţia dată prin fxp

i

i i I: ,⎛⎝⎜

⎞⎠⎟∈

atunci:

(6.3.9) ( ) ( ) ( ) .fxP)f(mffD 2i

Iii2

22 −==σ= ∑∈

Valoarea D(f) = σ(f) = m f2 ( ) se numeşte abaterea medie pătratică a variabilei aleatoare f. Dacă valoarea medie a unei variabile aleatoare este o valoare numerică în jurul căreia se constată o grupare a valorilor variabilei aleatoare, dispersia şi abaterea medie pătratică sunt indicatorii cei mai utilizaţi pentru a caracteriza împrăştierea valorilor unei variabile aleatoare în jurul valorii medii. Teorema 2. Dacă dispersia ( )D f2 a variabilei aleatoare discrete f există, atunci au loc egalităţile

(6.3.10) ( ) ( )[ ]D f M f M f22

2= −( )

(6.3.11) D f D f2 2 2( ) ( ),= ∈λ λ pentru orice R .

Demonstraţie:

( ) ( )[ ] ( )[ ]D f M f f M f f M f f f f22

2 2 22( ) = − = − = − ⋅ + =

( ) ( ) [ ]= − + = −M f fM f f M f M f2 22

22 ( ) ( ) ( )

( )[ ] ( )[ ] ( )D f M f f M f f M f f D f2 2 2 2 22

2 2 2( ) ( )λ λ λ λ λ λ= − = − = − =

(amintim că f M f= ( ) ). Teorema 3. Dacă variabilele discrete f şi g sunt independente are loc:

(6.3.12) ( )D f g D f D g2 2 2+ = +( ) ( ).


Demonstraţie: Fie variabilele aleatoare abateri f f f1 = − şi g g g1 = − , unde

( )f M f= şi ( )g M g= . Dacă f şi g sunt independente rezultă că f1 şi g1 sunt independente.

( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]D f g M f g f g M f f g g22 2+ = + − + = − + − =

( ) ( )[ ] ( )= + = + = + + =M f g M f g M f f g g2 1 1 1 12

12

1 1 122

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= + ⋅ ⋅ + = + =M f M f M g M g M f M g12

1 1 12

12

122

( ) ( )= +D f D g2 2 .

Exemplul1. Să aruncăm o monedă de trei ori şi să considerăm variabila aleatoare f, care ia ca valori numărul care indică de câte ori s-a obţinut faţa pe care este marcat banul. f ia valorile 0, 1, 2 sau 3. În această experienţă aleatoare există 8 cazuri

posibile. Variabila f ia valorile de mai sus cu probabilităţile ( )P f = =018

,

( )P f = =138

, ( )P f = =238

şi ( )P f = =318

.

Distribuţia de probabilitate a variabilei aleatoare f poate fi reprezentată prin următoarea histogramă, iar tabelul următor conţine elemente utile calculului valorii medii şi dispersiei variabilei aleatoare f.

0 1 2 3

18

28

38

f

P(f) f D(f) fP(f) f 2 f P f2 ( ) 0 1

8 0 0 0

1 38

38

1 38

2 38

68

4 128

3 18

38

9 98

Total 88

M = 1,5 M2 3= ,0


Din tabelul de mai sus avem M(f) = 1,5 , M f2 3 0( ) ,= , iar dispersia

( ) ( ) ( )[ ] ( )σ22

2 23 0 15 3 0 2 25 0 75f M f M f= − = − = − =, , , , , . Abaterea medie

păratică este σ = =0 75 0 87, , . Exemplul 2. Un jucător este dispus să încerce la un joc de noroc până la prima

nereuşită. Ştiind că la fiecare încercare în parte, şansele de reuşită sunt de 13

, să se

scrie distribuţia variabilei aleatoare a numărului de încercări necesare până la prima reuşită şi funcţia de repartiţie asociată acestei variabile aleatoare. Să se calculeze valoarea medie şi dispersia acestei variabile aleatoare. Rezolvare: Fie f numărul încercărilor necesare până la prima reuşită. Se observă că

P f( )= =113

, ( ) ( ) ( ) ( ) 2212132

31

322 =⋅=⋅=== APAPAAPfP I

unde A1 este evenimentul “la prima încercare avem reuşită”, iar A2 este evenimentul “la a doua încercare se obţine o reuşită”. După acelaşi raţionament se stabileşte că

( )P f kk

k= =−2

3

1. Variabila aleatoare f va avea distribuţia dată prin:

f

nn

n:

1

13

2

23

3

23

232

2

3

1L

L

L

L−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

.

( ) ( ) ∑<≤

=<=xn1

npxfPxF este o funcţie în scară cu o infinitate de trepte.

( )M f nn

n= ⋅ + ⋅ + ⋅ + + ⋅ + =−

113

22

33

23

232

2

3

1L L

= + ⋅ + ⋅⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + + ⋅

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ +

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−13

1 223

323

23

2 1L Ln

n.

Pentru a calcula suma de mai sus notăm u =23

. Ţinând seama că u ∈ (0, 1) şi

utilizând seria geometrică avem 1

11 2

−= + + + +

uu u L , relaţie, care înmulţită cu u


şi derivată în raport cu variabila u, va avea în membrul drept suma din paranteză a valorii medii M(f). Se obţine M(f) = 3. Pentru a calcula dispersia variabilei aleatoare f, folosind formula (10) obţinem

( ) ( ) ( )[ ] ( )D f M f M f M f2 2 2 2 9= − = − . Distribuţia variabilei aleatoare f 2 este

dată prin fn

n

n

2

2

2

2

2

3

2

1

2

23

3

23

23

:1

13

L

L

L

L−

⎛

⎝

⎜⎜⎜

⎞

⎠

⎟⎟⎟

.

Se obţine ( ) ( )M f f2 215 15 9 6= = − =, D şi ( )D f = =6 2 72, . Cele de mai sus

arată că, în medie, jucătorul are nevoie de 3 încercări pînă la prima reuşită, iar D(f) = 2,72 arată că abaterea (medie pătratică) de la valoarea medie 3, la care ne putem aştepta în acest experiment aleator, este de 2,72.

10.3.2. Caracteristici numerice ale variabilelor aleatoare continue

Vom considera, pentru început, câteva consideraţii asupra integralei Riemann-Stieltjes, absolut necesare în cele ce urmează. Fie [a, b] ⊂ R, a < b un interval închis şi mărginit. Mulţimea de puncte ∆ = x x xn0 1, , ,K , cu a x x x x bn= < < < < =0 1 2 L se numeşte o diviziune a segmentului [a, b].

Numărul ( )ν( ) max∆ = −≤ ≤

−1

1k n

k kx x se numeşte norma diviziunii ∆.

Fie f, g : [a, b] → R două funcţii mărginite şi în plus presupunem că g este crescătoare. Definiţia 6. Suma:

(6.3.13) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]σ ξ ξ∆ f g f g x g xi i i ii

n, , = − −

=∑ 1

1,

unde [ )ξ i i ix x∈ −1, , poartă numele de sumă Riemann-Stieltjes a funcţiei f în raport cu funcţia g. Definiţia 7. Spunem că funcţia f este integrabilă Riemann-Stieltjes (R-S) în raport cu g pe [a, b], dacă există un număr real I cu proprietatea că pentru orice ε > 0, există δ(ε) > 0, astfel încât, oricare ar fi o diviziune ∆ a lui [a, b] cu norma ν(∆) < δ(ε) să avem:


(6.3.14) ( )σ ξ ε∆ f g Ii, , − < ,

oricare ar fi alegerea punctelor [ )ξ i i ix x i n∈ =−1 1, , , . Numărul I este prin definiţie integrala Riemann-Stieltjes a lui f în raport cu g pe [a, b] şi se notează prin:

(6.3.15) ( ) ( )∫=b

axdgxfI .

Observaţia 2. Dacă g(x) = x se obţine integrala Riemann, dg(x) nu reprezintă întotdeauna diferenţiala funcţiei g, funcţia g poate să nu fie diferenţiabilă pe [a, b] şi integrala R-S să existe. Teorema 4. Condiţia necesară şi suficientă ca f să fie integrabilă R-S, în raport cu g, pe [a, b], este ca oricare ar fi şirul de diviziuni Nnn ∈∆ , cu şirul normelor

( ) ν ∆n n∈Ntinzând la 0, şirul sumelor integrale R-S ( ) σ ξ∆ n

f g i n, ,

∈N să fie

convergent la I. Pentru calculul unei integrale R-S putem folosi definiţia, în anumite condiţii, calculul integralei R-S se reduce la calculul unei integrale Riemann. Teorema 5. Dacă funcţia f este continuă pe [a, b] şi g derivabilă cu derivata continuă pe [a, b], atunci:

(6.3.16) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ ′=−b

a

b

adxxgxfRxdgxfSR .

De asemenea are loc următorul rezultat de reversibilitate (formula de integrare prin părţi), care se utilizează, de obicei, când nu sunt îndeplinite condiţiile din teorema de mai sus, dar schimbând rolul lui f cu g ele devin satisfăcute. Teorema 6. Dacă f este integrabilă (R-S) în raport cu g pe [a, b], atunci g este integrabilă (R-S) în raport cu f pe [a, b] şi are loc:

(6.3.17) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫∫ −−=b

a

b

axdfxgagafbgbfxdgxf

Să presupunem acum că integrala ( ) ( )∫b

axdgxf există şi este finită, pentru

orice b > a. Dacă limita:

(6.3.18) ( ) ( )∫∞→

b

abxdgxflim


există şi este finită, spunem că integrala (R-S) a funcţiei f(x), în raport cu g(x), pe [a, +∞), este convergentă (are sens) şi este dată de:

(6.3.19) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞→=

a

b

abxdgxflimxdgxf .

Integralele R-S pe intervalele nemărginite (-∞, +∞), (-∞, a) pot fi reduse la cea definită mai sus. Să considerăm acum, cazul general al unei variabile aleatoare f, discrete sau continue. Fie F funcţia sa de repartiţie, aceasta este o funcţie crescătoare, I(x) = x, funcţia identică şi fie ∆ o diviziune a intervalului [a, b). Atunci suma:

(6.3.20) ( ) ( ) ( )[ ] ( )∑∑=

−=

−∆ <≤ξ=−ξ=ξσn

1kk1kk

n

1k1kkkk xfxPxFxF,F,I

împărţită cu P(a ≤ f < b) = F(b) - F(a) poate fi considerată ca o aproximaţie a valorii medii a variabilei aleatoare pe intervalul [a, b), aproximarea fiind cu atât mai bună cu cât norma diviziunii ∆ este mai mică. Se poate atunci considera integrala R-S a funcţiei identice I(x) = x în raport cu funcţia de repartiţie F:

(6.3.21) ( )

( ) ( )∫=ξσ∆→∆ν

b

ak0xxdF,f,Ilim ,

împărţită cu F(b) - F(a), ca valoare medie a variabilei aleatoare f pe intervalul [a, b). Deoarece funcţia I(x) este continuă, iar F este crescătoare, integrala există şi este independentă de alegerea punctelor [ )ξk k kx x∈ −1, .

În ipoteza că ( )∫∞

∞−xxdF este absolut convergentă, adică ( )∫

∞

∞−xdFx este

absolut convergentă, cum ( ) ( )( )limba

F b F a→∞→−∞

− = 1, suntem conduşi la a defini

valoarea medie a variabilei aleatoare f, M(f) prin:

(6.3.22) ( ) ( )∫∞

∞−= xxdFfM .

Dacă f este o variabilă aleatoare discretă, luând punctele diviziunii ∆, în aşa fel ca ele să nu coincidă cu valorile variabilei aleatoare f, iar punctele ξk chiar

valorile variabilei aleatoare f, ţinând seama că dacă în intervalul [ )x xk k−1, nu se

găsesc valori ale variabilei aleatoare f, atunci ( )P x f xk k− ≤ < =1 0 , din (22) obţinem:


( ) ∑∈

=Ik

kkvpfM ,

unde ( )p P f vk k= = , iar vk sunt valorile variabilei aleatoare discrete f, adică exact relaţia de definiţie (1). Pe baza celor de mai sus are loc: Definiţia 8. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate, f : Ω → R o variabilă aleatoare şi

F funcţia sa de repartiţie. Dacă ( )∫∞

∞−xxdF este convergentă, variabila aleatoare f are

valoarea medie:

(6.3.23) ( ) ( )∫∞

∞−== xxdFfMf .

În cazul când variabila aleatoare f admite o densitate de repartiţie ρ continuă pe porţiuni, atunci F este derivabilă în orice punct x în care ρ este continuă şi

( ) ( )′ =F x xρ . În acest caz integrala din (23) se reduce la o integrală Riemann şi f are valoarea medie:

(6.3.24) ( ) ( )∫∞

∞−ρ== dxxxfMf .

Pornind de la aceste exprimări ale valorii medii, ale unei variabile aleatoare f, atunci când integralele care intervin, sunt corect definite, există şi sunt finite, celelalte caracteristici numerice ale unei variabile aleatoare continue se exprimă prin: a) Momentul de ordinul k:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−ρ=== dxxxxdFxfMfM kkk

k .

b) Momentul absolut de ordinul k:

( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−ρ=== dxxxxdFxfMfM kkk

k .

c) Momentul centrat de ordinul k:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫∞

∞−

∞

∞−ρ−=−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −= dxxfxxdFfxffMfm

kkkk ,

d) Dispersia:

∫ ∫∞

∞−

∞

∞−

−=−== dx)x(f)fx()x(dF)fx()f(m)f(D 222

2 .


e) Abaterea medie pătratică:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxfxxdFfxfMfD22

2f ρ−=−==σ= ∫∫∞

∞−

∞

∞−

Cu exprimările de mai sus se constată că proprietăţile caracteristicilor numerice ale unei variabile aleatoare discrete rămân valabile şi în cazul continuu, deci sunt, în general, valabile. Fie f o variabilă aleatoare şi M(f) valoarea sa medie (deseori interesează frecvenţa abaterilor de la valoarea medie) depăşind o anumită limită L > 0 sau (a evenimentului opus) frecvenţa abaterilor sub limita L. Răspunsul este dat de:

Teorema 7. (Inegalitatea lui Cebîşev). Dacă σ2 este dispersia variabilei aleatoare f, atunci probabilitatea ca modulul abaterii |f - M(f)| să ia valori mai mari decât un număr

L > 0 este mai mică decât σ2

2L, adică:

(6.3.25) ( )( )P f M f LL

− ≥ ≤σ2

2 ,Ö

sau:

(6.3.25’) ( )( )P f M f LL

− < > −12

2σ

.

Demonstraţie: Să notăm λσ

=L

, rezultă 12

2

2λ

σ=

L. Se impune λ > 1. Ţinând seama

că L = λσ inegalitatea lui Cebîşev se mai scrie sub forma:

(6.3.26) ( )( ) 2

1λ

λσ ≤≥− fMfP ,

unde σ = D(f) este abaterea medie pătratică a variabilei aleatoare f. Fie: ( ) ( ) A f M fλ ω ω λσ= ∈ − ≥Ω: . Atunci avem:

( ) ( )( )[ ] ( ) ( )( )[ ]

( ) ( )( )[ ]σ λ λ

λ λ

2 2 2 2

2

= = − = ⋅ − +

+ ⋅ −

D f M f M f P A M f M f A

P A M f M f A

/

/

Deoarece ( )[ ]f M f− ≥2 0 rezultă că ( )( )[ ]M f M f A= ≥2 0/ λ

6.4. Funcţia caracteristică asociată unei variabile aleatoare 143

Din egalitatea de mai sus se obţine inegalitatea:

( ) ( )( )[ ] ( )σ λ λ2 2 2= ≥ − ⋅D f M f M f A P A/ .

Pe de altă parte, din modul cum a fost definită mulţimea Aλ , rezultă că pe această

mulţime ( )[ ]f M f− ≥2 2 2λ σ , de unde avem ( )( )[ ]M f M f A− ≥2 2 2/ λ λ σ . Am

obţinut astfel inegalitatea ( )σ λ σ λ2 2 2≥ P A , care implică ( )P Aλ

λ≤

12 , ceea ce

arată că inegalitatea (6.3.26) este demonstrată, ea fiind echivalentă cu inegalităţile (6.3.25) şi (6.3.25’). Teorema este complet demonstrată.

6.4. Funcţia caracteristică asociată unei variabile aleatoare

Un instrument de studiu al variabilelor aleatoare, uşor de mânuit, conducând la calcule mai simple şi cu aplicaţii în studiul proceselor stocastice, îl constituie funcţiile caracteristice. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate, f : Ω → R o variabilă aleatoare, atunci

funcţia ( ) ( )g ei t fω ω= ⋅ ⋅ , unde i = −1 este unitatea imaginară, iar t este un parametru real, este o nouă variabilă aleatoare, ea are însă valori complexe. Variabila g se mai poate exprima g(ω) = cos tf(ω) + i sin tf(ω) şi are modulul egal cu unitatea, ( )g ω = 1. Evident, dacă f este o variabilă aleatoare discretă atunci şi g este discretă şi

la fel dacă f este continuă g este continuă. Definţia 1. Se numeşte funcţie caracteristică a variabilei aleatoare f, aplicaţia ϕ : R → C, definită prin relaţia:

(6.4.1) ( ) ( )xdFeeM)t( xtifti ∫∞

∞−

⋅⋅⋅⋅ ==ϕ .

Dacă f este o variabilă aleatoare discretă dată prin:

(6.4.2) fxpi

k

k k:

,

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

= ∞1,

atunci funcţia caracteristică asociată lui f este definită prin:


(6.4.3) ∑=

⋅⋅ ⋅=ϕn

1kk

xti pe)t( k .

Dacă f este o variabilă aleatoare continuă şi are densitatea de repartiţie ρ(x), atunci funcţia caracteristică asociată lui f este dată prin:

(6.4.4) ( ) ( )∫∞

∞−

⋅⋅ ρ=ϕ dxxet xti .

Din cele prezentate până acum, rezultă că, unei variabile aleatoare f i se asociază o funcţie de repartiţie F continuă la stânga şi o funcţie caracteristică continuă. Mai mult, aceste funcţii caracterizează, probabilistic, variabila aleatoare f, putând-o înlocui în diverse calcule, mai ales, când acestea se simplifică prin folosirea uneia sau alteia din funcţiile asociate. Teorema 1. Funcţia caracteristică, a unei variabile aleatoare f, admite următoarea dezvoltare în serie de puteri:

(6.4.5) ( ) ( )∑∞

==ϕ

0n

nnn

t!nfMit ,

unde ( )M f n este momentul de ordinul n al variabilei aleatoare f.

Demonstraţie: Într-adevăr înlocuind în ( ) ( ) ( )∫∞

∞−

⋅⋅⋅⋅ ==ϕ xdFeeMt xtifti funcţia ei t x⋅ ⋅

cu dezvoltarea ei în serie de puteri ∑∞

=

⋅⋅ =0n

nnnxti

!nxtie obţinem ( ) ( )∑

∞

==ϕ

0n

nnn

t!nfMit .

Această egalitate permite să se calculeze, mai uşor, pe baza funcţiei caracteristice, momentele de orice ordin ale variabilei aleatoare f, şi anume avem:

( ) ∑∞

==ϕ

0n

nn tCt , unde ( )

!nfMiC

nn

n = , dar ( )

Cd tn dtn

n

nt

==

ϕ

! 0

.

Din cele de mai sus rezultă:

( ) ( )0t

n

n

nn

dttd

i1fM

=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ ϕ= .

6.4. Funcţia caracteristică asociată unei variabile aleatoare 145

Teorema 2. Dacă variabila aleatoare f admite o repatiţie continuă, atunci densitatea de repartiţie a variabilei aleatoare f, ρ(x) este dată, cu ajutorul funcţiei caracteristice ϕ corespunzătoare, prin:

( ) ( )∫∞

∞−

⋅⋅− ϕπ

=ρ dtte21x xti .

Exemplul 1. Se dă funcţia caracteristică a unei variabile aleatoare f,

( ) ( )ϕ t eit= +14

12

. Să se scrie funcţia de repartiţie corespunzătoare variabilei

aleatoare f.

Rezolvare: ( ) ( )ϕ t e e eit it it= + = + +14

114

12

14

2 2 , de unde rezultă că variabila

aleatoare ia valorile 0, 1, 2 cu probabilităţile 14

12

14

, , , adică distribuţia lui f este

f:0 1 214

12

14

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ .

Funcţia de repartiţie corespunzătoare este:

( )F x

pentru x

pentru x

pentru xpentru x

=

≤

< ≤

< ≤

>

⎧

⎨

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

0 014

0 134

1 21 2

.

Exemplul 2. Să se scrie funcţia de repartiţie corespunzătoare variabilei f, pentru care

este dată funcţia caracteristică ϕ( )teit

= −⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

−12

12

1

.

Rezolvare: Observăm că eit

212

1= < . Să notăm e

rit

2= , atunci:


( ) ( ) ∑∑∞

=

⋅⋅+

∞

=

− ==−

=−=ϕ0n

tin1n

0n

n1 e2

1r21

r11

21r1

21t .

Deducem că variabila aleatoare f are distribuţia de probabilitate dată prin:

fn

n:

0 112

12

122

L L

L L

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟

şi funcţia de repartiţie:

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

=<≤−

≤<

≤

=

∑−

=+

K,3,2n,nx1npentru2

1

1x0pentru21

0xpentru0

)x(F1n

0k1k

.

6.5. Dependenţa variabilelor aleatoare. Corelaţie. Coeficient de corelaţie

Fie f şi g două variabile aleatoare, ele pot fi independente, între ele poate exista o dependenţă funcţională, de exemplu, f = h(g) sau pot fi dependente, dar nu funcţional, adică între ele poate exista o dependenţă de natură aleatoare. Covarianţa şi coeficientul de covarianţă reprezintă măsuri ale gradului de dependenţă aleatoare a două variabile. Fie (Ω, K, P) un câmp de probabilitate şi f, g : Ω → R două variabile aleatoare. Fie f , g valorile lor medii. Definiţia 1. Se numeşte corelaţie sau covarianţă a variabilelor aleatoare f şi g valoarea:

(6.5.1) ( )( )[ ]cov( , )f g M f f g g= − − .

Din definiţia de mai sus, rezultă imediat că, covarianţa are următoarele proprietăţi: a) cov (f, g) = cov (g, f) - proprietate de simetrie;

6.5. Dependenţa variabilelor aleatoare. Corelaţie. Coeficient de corelaţie 147

b) cov (αf, βg) = αβ cov (f, g) - proprietate de omogenitate; c) cov (f, g) = M(f⋅g) - M(f) ⋅ M(g).

Ultima proprietate stabileşte legătura între covarianţa variabilelor aleatoare f şi

g, şi valorile medii ale lui f⋅g, f şi g. Dacă cov (f, g) = 0, se spune că variabilele aleatore sunt necorelate. Se observă imediat că, dacă variabilele aleatoare f şi g sunt independente, atunci M(f⋅g) = M(f)⋅M(g) şi din c) rezultă că ele sunt necorelate. Dacă variabilele f şi g sunt necorelate, atunci are loc M(f⋅g) = M(f)⋅ ⋅M(g), dar ele nu sunt în mod obligatoriu independente. O măsură standardizată a dependenţei a două variabile aleatoare o reprezintă coeficientul de corelaţie. Definiţia 2. Se numeşte coeficient de corelaţie al variabilelor f şi g valoarea:

(6.5.2) ( ) ( )ρ f g

f g

D f D g,

cov ,

( ) ( )=

2 2.

Dacă variabilele f şi g sunt discrete şi iau valorile ( )xi i∈N , respectiv ( )y j j∈N şi

(p P f xij i= = şi )g y j= i, j ∈ N atunci:

( )( )( )

)g(D)f(D

pgyfxg,f

22

1i 1jijji∑∑

∞

=

∞

=−−

=ρ .

Din inegalitatea lui Schwartz rezultă imediat că oricare ar fi două variabile aleatoare f şi g : Ω → R:

(6.5.3) ( )ρ2 1f g, ≤ .

Mai mult, are loc: Teorema 1. Între două variabile aleatoare f şi g există o relaţie liniară dacă şi numai dacă:

(6.5.4) ( )ρ2 1f g, = .

Pe lângă cele arătate mai sus există şi alte măsuri ale gradului de dependenţă a două variabile, dintre care amintim coeficientul de contingenţă. Exemplul 1. Fie vectorul aleator h = (f, g) dat prin tabloul:


Să se studieze independenţa şi necorelarea variabilelor aleatoare f şi g. Rezolvare: Variabila aleatoare f ia valorile 1 şi 2 cu probabilităţile

( )P f = = + =11

161

1618

, ( )P f = = + + =214

318

14

78

. Valoarea aleatoare g ia

valorile: 0, 1, 2, 3, 4 cu probabilităţile ( )P g = =01

16, ( )P g = =1

14

, ( )P g = =238

,

( )P g = =314

şi ( )P g = =41

16, adică distribuţiile lui f şi g sunt date prin:

f:1 218

78

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ , g:

0 1 2 3 41

1614

38

14

116

⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟ .

Pentru produsul f⋅g se obţine distribuţia:

f g⋅⎛

⎝⎜⎜

⎞

⎠⎟⎟:

0 1 2 3 4 6 81

160

14

07

1614

0 .

Calculând valorile medii corespunzătoare obţinem M(f) = 158

, M(g) = 2, M(f⋅g) =

154

, cov(f, g) = M(f⋅g) - M(f) ⋅ M(g) = 158

- 154

⋅ 2 =0. Deci variabilele aleatoare f şi

g sunt necorelate, dar P(f = 2 şi g = 1) = 14

≠ P(f = 2) ⋅ P(g = 1) = 78

14⋅ , ceea ce arată

că f şi g nu sunt independente.

0 1 2 3 4

11

160 0 0

116

2 014

38

14

0

fg

6. VARIABILE ALEATOARE - Analiza matematica. MPT ... · 6. VARIABILE ALEATOARE 6.1. Variabile...

Documents

Transcript of 6. VARIABILE ALEATOARE - Analiza matematica. MPT ... · 6. VARIABILE ALEATOARE 6.1. Variabile...