6. Stochastik in der Grundschule

• Gliederung:

• Einordnung der Thematik in den Mathematikunterricht der Grundschule

• Möglichkeiten für die Behandlung im Unterricht

Zum Begriff „Stochastik“

• „Stochastik“ (ursprünglich): • die Kunst des vernünftigen Vermutens, und zwar des

vernünftigen Vermutens in den für menschliches Leben offensichtlich so typischen Situationen, in denen es an sicherem und zureichendem Wissen mangelt.

Teilgebiete der Stochastik(für die Behandlung in der Schule)

• Wahrscheinlichkeitsrechnung

• Kombinatorik

• Statistik

Mathematikunterricht in der Grundschule

Allgemeine mathematische Kompetenzen:•Probleme mathematisch lösen•Kommunizieren•Mathematisch argumentieren•Mathematische Darstellungen verwenden•Nutzen mathematischer Hilfsmittel und Arbeitsweisen

Inhaltsbezogene mathematische Kompetenzen:•Zahl und Operationen•Form und Veränderung•Muster und Strukturen•Größen und Messen•Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

Standards der KMK von 2004

Kompetenz: Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

• Daten erfassen und darstellen

in Beobachtungen, Untersuchungen und einfachen Experimenten Daten sammeln

Daten mit Hilfe von Strichlisten, Schaubildern, Häufigkeitstabellen, Strecken- und Streifendiagrammen darstellen

aus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen Informationen entnehmen

Verschiedene Darstellungen des gleichen Sachverhalts miteinander vergleichen

Kompetenz: Daten, Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit

• Wahrscheinlichkeiten in Zufallsexperimenten vergleichen

Begriffe kennen: sicher; unmöglich; möglich, aber nicht sicher

Gewinnchancen bei einfachen Zufallsexperimenten (z. B. bei Würfelspielen) einschätzen

Kompetenz: Zahl und Operationen

• einfache kombinatorische Aufgaben (z. B. Knobelaufgaben) durch Probieren bzw. systematisches Vorgehen lösen

in Kontexten rechnen

Empfehlungen zu Zielen und zur Gestaltung des Stochastikunterrichts

• Bereits in der Primarstufe sollten Elemente der Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik verbindlicher Bestandteil der Pläne sein.

• Gründe:• Die Schüler werden in ihrem täglichen Leben bereits mit stochastischen

Erscheinungen (statistische Daten, Wahrscheinlichkeitsaussagen, Spiele mit Zufallsgeneratoren u.a.) konfrontiert.

• Entwicklung einer Datenkompetenz sowie einer stochastischen Denkweise ist ein grundlegendes Ziel mathematischer Bildung, das wie alle anderen einer propädeutischen Behandlung in der Grundschule bedarf.

• Quelle: http://www.mathematik.uni-dortmund.de/ak-stoch/dokument/stellung.pdf

Ziele des Stochastikunterrichts in der Primarstufe

• Am Ende der Primarstufe sollte ein Schüler• 1. Fragen kennen und stellen können, die mithilfe von Daten

beantwortet werden können,• 2. erste Erfahrungen im Erfassen und Aufbereiten von Daten mit

Strichlisten, Häufigkeitstabellen, Strecken- und Streifendiagrammen besitzen,

• 3. Informationen aus einfachen Diagrammen entnehmen können,• 4. die Wahrscheinlichkeit von künftigen Ereignissen auf der

Grundlage von Daten, Erfahrungen oder der Analyse der Bedingungen des Vorgangs vergleichen und qualitativ einschätzen können

• 5. über erste Erfahrungen mit einfachen Zufallsexperimenten verfügen

Empfehlungen zur Gestaltung des Stochastikunterrichts in der Primarstufe

• kein eigenständiges Stoffgebiet

• Aspekt der den gesamten Mathematikunterricht durchzieht

• Integration in das Sachrechnen

• Vorerfahrungen der Schüler analysieren und aufgreifen• den Schülern Möglichkeiten zu verschiedenen Lösungswegen

geben

• den Schülern ein Vorgehen auf enaktiver Ebene anbieten

Statistik in der Grundschule

• Rahmenplan Hessen Mathematik (1995)• Arbeitsbereich Mengen und Zahlen

• Ziele (S. 150):• das Runden von Zahlen und das Darstellen in und das Lesen

von Tabellen und Schaubildern

• Anregungen und Beispiele (S. 151):• Zeitungsberichte mit großen Zahlen sammeln und auswerten...• Einwohnerzahlen, Zuschauerzahlen bei Großveranstaltungen

usw. zusammenstellen, vergleichen, in Schaubildern darstellen• Hochrechnungen durchführen: Herzschläge in einer Stunde...

Daten erfassen und darstellen

• in Beobachtungen, Untersuchungen und einfachen Experimenten Daten sammeln, strukturieren und in Tabellen, Schaubildern und Diagrammen darstellen

• aus Tabellen, Schaubildern und Diagrammen Informationen entnehmen

• 1. Aufgabe:• Wie viele Jungen sind in der 4. Klasse?• 2. Aufgabe:• Wie viele Kinder besuchen diese 4. Klasse?• 3. Aufgabe:• Wie viele der Kinder sind 9 Jahre alt?• 4. Aufgabe:• Wie viele der Kinder sind älter als 9 Jahre?

Alter Anzahl der Jungen Anzahl der Mädchen

9 6 8

10 9 3

11 2 0

80,9%

68,1%

70,2%

70,2%

63,8% der Schüler lösten alle Aufgaben richtig

Aufgaben zu den Bildungsstandards

Aufgabenstellung:Die Tabelle zeigt das Alter der Jungen und Mädchen einer 4. Klasse.

• 5. Aufgabe:

• Zeichne zu der Tabelle ein Streifendiagramm.

42,9% bzw. 38,5 %

Aufgaben zu den Bildungsstandards

6. Aufgabe:Das Streifendiagramm stellt die Anzahl der Jungen (J) und Mädchen (M) der Waldschule dar.

Fülle zu diesem Streifendiagramm die Tabelle aus.

Klassenstufe Jungen Mädchen gesamt

Klasse 1

Klasse 2

Klasse 3

Klasse 4

gesamt

Aufgaben zu den Bildungsstandards

34%

Daten erfassen und darstellen

• von der ersten Schulwoche an möglich

• Themen aus der täglichen Erfahrungswelt der Kinder:• Klasse• Schule• Haustiere• Geburtstage• Geschwister• Vornamen• Anzahl der Buchstaben in Wörtern

Quelle: Das Zahlenbuch 1. Klett 2004, S. 115

Daten erfassen und darstellen

• Leitideen:

• Bereitstellung eines sinnstiftenden Anlasses (L/K)• Lernen auf eigenen Wegen (K)• Erstellen von eigenen Notationsformen (K)• Gemeinsame Reflexion der Eigenprodukte (K-K , L-K)• Fortschreitende Schematisierung bzw. Mathematisierung

• Quelle: Radatz u.a.: Handbuch für den Mathematikunterricht 1. Schuljahr. Schroedel 1996, S. 150

Daten erfassen und darstellen

Quelle: Radatz u.a.: Handbuch für den Mathematikunterricht 1. Schuljahr. Schroedel 1996, S. 152

Daten erfassen und darstellen

• Beispiel: Verkehrszählung (Klasse 3)

• Fragen bei der Durchführung:• Welche Merkmale werden erfasst?• Wie werden Daten erfasst? • Wie lange werden Daten erfasst?• Wie werden die Daten dargestellt?• Wie kann man die Daten auswerten?

Quelle:Dennhöfer, Daniela / Neubert, Bernd: Wie viele Autos fahren an unserer Schule vorbei? - Erfassen und Darstellen von Daten in der dritten Klasse. In: Grundschulunterricht 53(2006)2, S. 8 - 13

Beispiel: Verkehrszählung (Klasse 3)

• Welche Merkmale kann man bei einer Verkehrszählung erfassen?

• Vorschläge von Kindern:• Farbe der Fahrzeuge• Automarke• Auto-Kennzeichen • Fahrtrichtung (von rechts oder links)• Fahrzeugtypen• Größe der Fahrzeuge

• Problem: Welche Merkmalsausprägungen werden erfasst?

Auswertung der Daten

• Hochrechnung für den gesamten Tag:

• 1) Peter will herausbekommen, wie viele Autos am Tag bei ihm zu Hause vorbeifahren.

• Er zählt in 10 Minuten genau 10 Autos. Da nachts kaum Autos fahren, interessiert ihn nur die Zeit von 8 Uhr morgens bis 8 Uhr abends.

• Kannst du ausrechnen, wie viele Autos in diesen _______ Stunden vorbeifahren?

• (Tipp: Überlege erst, wie viele Autos in einer Stunde vorbeikommen)• 2) Kreuze an, was du zu dem Ergebnis denkst:• Das Ergebnis gibt genau wieder, wie viele Autos an einem Tag

vorbeifahren.• Das Ergebnis sagt nur, wie viele Autos ungefähr vorbeikommen.• Das Ergebnis ist nicht so gut, weil am Tag nicht immer gleich viele Autos

kommen. • Das Ergebnis muss richtig sein, weil man es ja ausgerechnet hat.• Das Ergebnis ist sehr gut, weil immer gleich viele Autos vorbeikommen.

Arithmetisches Mittel

• Peter hat diesmal mehrmals am Tag je 10 Minuten gezählt. Hier sind seine Ergebnisse:

• 17 Autos (morgens) • 5 Autos (am späten Vormittag) • 15 Autos (mittags)• 10 Autos (nachmittags)• 13 Autos (abends)• Nun will Peter wieder ermitteln, wie viele Autos täglich vorbeifahren.• 1) Dafür muss er aber erst ausrechnen, wie viele Autos es

durchschnittlich in 10 Minuten sind.• (Tipp: Falls du keine Idee hast, wie man das herausfinden könnte,

schaue in dem Briefumschlag nach.)• 2) Um die Anzahl der Autos für den gesamten Tag auszurechnen,

kannst du (wenn du willst) die Zahlen in den Taschenrechner eingeben.

Aufgabenstellungen zur Statistik

• Beispielesammlung der Universität Wien:• Wetter• Weitsprung• Drehscheibe• Buchstaben• Popcorn• Geschwister• Größenvergleich• Pulsmessung• Trumpfkarten• Mathematik• Austrocknung• Wandertag• Würfelsumme• Zahngesundheit

• Internetadresse: http://www.stat4u.at/

Fragestellungen in der Kombinatorik

• zwei Aufgabenstellungen:

• 1) Es ist festzustellen, welche Möglichkeiten es gibt, Elemente einer endlichen Menge nach bestimmten Bedingungen auszuwählen oder anzuordnen.

• 2) Es ist festzustellen, wie viele Möglichkeiten es dafür insgesamt gibt.

• Zählen, Kombinieren, Anschauen gehören zu den natürlichen Entwicklungen des Geistes, die man durch den Unterricht nicht schaffen, sondern nur beschleunigen soll; daher hier das Verfahren soviel möglich analytisch beginnen muss. Lesen und Schreiben hingegen lässt sich nur synthetisch (jedoch nach vorgängiger Analyse der Sprachlaute) lehren.

• 1. Das Kombinieren – gemeiniglich ganz und sehr mit Unrecht vernachlässigt – gehört zu den allerleichtesten und vieles erleichternden Übungen, recht eigentlich für Kinder. Dass zwei Dinge ihre Stellung rechts und links (hinten und vorn, oben und unten) wechseln können, ist der Anfang. Dass drei Dringe sich sechsfach (in einer Linie) versetzen lassen, ist die nächste Folge. Wie viele Paare man aus einer Menge vorliegender Dinge nehmen könne, ist eine der leichtesten Fragen. Wie weit man fortzuschreiten habe, müssen die Umstände bestimmen. Nur sind nicht Buchstaben, sondern Dinge und die Kinder selbst zu versetzen, zu kombinieren und zu variieren. So etwas muss man zum Teil scheinbar spielend lehren.

• Quelle:• Herbart: Umriss pädagogischer Vorlesungen. Zweite vermehrte Ausgabe. Göttingen:

Druck und Verlag der Dieterichschen Buchhandlung, 1841

Zugänge zur Kombinatorik

Quelle: Das Zahlenbuch 1. Klett 2004, S. 18

Quelle: Das Zahlenbuch 1. Klett 2004, S. 119

Zugänge zur Kombinatorik

• Bauen von Türmen

• Versucht so viele verschiedene Türme mit drei Etagen wie möglich zu bauen!

• Dabei müsst ihr beachten, dass jede der drei Farben in jedem Turm einmal vorkommt!

Bauen von Türmen

• Aufgabe 1:• „Katrin hat blaue, rote und gelbe Bausteine. Sie will Türme aus

drei Bausteinen bauen. Jeder Turm soll aus den drei Farben bestehen. Die Farben sollen in unterschiedlicher Reihenfolge vorkommen. Wie viele verschiedene Türme kann Katrin bauen?“

• Aufgabe 2:• „Stellt euch vor, Katrin hätte blaue, rote, gelbe und weiße

Bausteine. Sie möchte Türme aus den vier Farben bauen. Die Farben sollen in unterschiedlicher Reihenfolge vorkommen. Wie viele Türme kann Katrin jetzt bauen?“

Zugang zur Kombinatorik über das kartesische Produkt

• Möglicher Sachverhalt: Zusammenstellen von Kleidungsstücken

• Literaturhinweis (Reader):• JUNG / NEUBERT / TOLLE: „Kleider und Hüte für Pussy“. In:

Sache-Wort-Zahl 28(2000)34, S. 21 -24

Aufgabe zur Anwendung des kartesischen Produkts (Klasse 3)

• Ein Menü besteht aus einer Vorspeise, einem Hauptgericht und einem Nachtisch. Verschiedene Gerichte stehen zur Auswahl:

• Vorspeise: • Gemischter Salat• Milchmix• Hauptgericht:• Spagetti Bolognese • Nudelauflauf• Käsespätzle• Würstchen mit Kartoffelbrei• Nachtisch:• Mousse au chocolat• Obstsalat• Pudding

• Wie viele Möglichkeiten gibt es, unterschiedliche Menüs am Abschlussfest zu kochen?

Kombinatorik bei geometrischen Aufgaben

Kombinatorische Aufgaben

• Timo kauft sich jeden Tag nach der Schule eine Eistüte mit drei Bällchen! An dem Eisstand gibt es vier verschiedene Eissorten (Vanille, Schokolade, Erdbeere und Schlumpfeis). Timo möchte jeden Tag eine andere Eistüte essen.

• Wie viele verschiedene Eistüten kann sich Timo zusammenstellen?

Argumente für die Behandlung kombinatorischer Aufgaben in der Grundschule

• nur Rechnungen im Bereich der natürlichen Zahlen • Beitrag zur Umwelterschließung• vollständiges Verstehen von Problemen der Kombinatorik

braucht Zeit• Kombinatorische Aufgaben können zur Erreichung von Zielen

bei anderen mathematischen Inhalten beitragen. • Möglichkeiten der Differenzierung• An kombinatorischen Aufgaben können Kinder erfahren, dass

man mathematische Aufgaben unterschiedlich interpretieren kann.

• hohe intrinsische Motivation vor allem durch die Möglichkeit zum spielerisch-experimentellen Vorgehen.

• gutes Übungsfeld für das Problemlösen

Argumente für die Behandlung kombinatorischer Aufgaben in der Grundschule

• Die Aufgaben (Anordnung von drei Geschenkpäckchen bzw. Lichterketten) wirkten auf alle (!) Kinder äußerst motivierend. Alle Gruppen gelangten eigenständig zur Lösung der Aufgabe.

• Die Vorgehensweisen waren äußert unterschiedlich: Einige legten systematisch mit Plättchen, andere ungeordnet und ein Schüler präsentierte mir eine korrekte rechnerische Lösung des Problems.

• • Ich spiele mit dem Gedanken, in meiner Examensstunde etwas

zum Thema Kombinatorik zu machen - gute, motivierende und Raum für eigene Lösungswege lassende Aufgaben gibt es meiner Einschätzung nach in diesem Inhaltsbereich wie in k(aum)einem anderen!

• Quelle: Auszüge aus einer e-mail der Referendarin Julia Mellech vom 04.02.2006

Erfahrungen zu Wahrscheinlichkeiten

• Am Anfang einfache Zufallsexperimente mit • Würfel• Münze• Spielkarten• Glücksrad• Urnenmodell

Ziel:

Einschätzen und Vergleichen von Wahrscheinlichkeiten und nicht das Berechnen von Wahrscheinlichkeiten

Quelle: Neubert, Bernd: Grundschüler beurteilen ein Würfelspiel – Ein Erfahrungsbericht. – In: Stochastik in der Schule 22(2002)1, S. 25 - 29

Fragen zum „Wurmspiel“

• Für das Spiel gibt es noch drei andere Spielregeln:• Spieler 1 darf seine Spielfigur immer dann ein Feld vorrücken, wenn die

Summe der beiden Würfel 7 ist, Spieler 2 bei der Summe 3.• Spieler 1 darf seine Spielfigur immer dann ein Feld vorrücken, wenn die

Summe der beiden Würfel 12 ist, Spieler 2 bei der Summe 8.• Spieler 1 darf seine Spielfigur immer dann ein Feld vorrücken, wenn die

Summe der beiden Würfel 4 ist, Spieler 2 bei der Summe 10.• Bewertet die drei Spielregeln hinsichtlich der Gewinnchancen der

beiden Spieler. Welche Spielregel ist für Spieler 1 die günstigste, welche für Spieler 2?

• Begründet Eure Antwort!• Formuliert eine Spielregel, bei der Ihr die größten Gewinnchancen habt!• Formuliert eine Spielregel, bei der beide Spieler gleich große

Gewinnchancen haben und es ein faires Spiel ist!• Gibt es verschiedene Möglichkeiten?

Zugänge zur Stochastik

• Klassisch-kombinatorischer Weg: Berechnung

• Empirisch-statistischer Weg: Schätzung aus Beobachtungen