6. Statics · 6 / Statics 97 6. Statics Engineering Mechanics includes both Statics and Dynamics....

18
6 / Statics 97 6. Statics Engineering Mechanics includes both Statics and Dynamics. In this chapter we will review Statics, which involves the forces and moments that act on bodies in static equilibrium: ladders, bridges, levers, beams, and trusses, to name a few. We will also include the properties of areas, volumes, and masses, sometimes referred to as mensuration. We will review the subject of Dynamics in Chapter 7. 6.1 Forces, Moments, and Resultants Forces are classified as body forces or surface forces. A body force is most often due to gravity but can also result from an electric or magnetic field; it is most often positioned at the centroid of the body. A surface force occurs when one body acts on another but can also be caused by friction, such as air moving over an airfoil. If a force is due to a distribution over a small distance or a small area, we assume the force to act at a point resulting in a concentrated force. A vector is used to represent a force, as will be demonstrated by examples. A system of forces can be concurrent, such that all the forces can be positioned at a single point, or non-concurrent, as occurs with forces acting parallel to each other. Most often forces act in a plane (two- dimensional), but they may act spatially (three-dimensional). A force F acting at point B creates a moment M about a point A is defined by the vector relationship = M r×F (6.1) where r is the vector from A to B. If F and r are in the xy-plane, as is often the case, then the moment M is found using the right-hand rule: place r and F end to end, as shown in Fig.6.1, and wrap your fingers such that r is turned into F; your thumb points in the direction of M, perpendicular to the plane of F and r. x z y F r r F M Fingers rotate and thumb points in direction of M A B Figure 6.1 A moment due to a force. The resultant of a system of forces and moments is a force and moment that is equivalent to the total system at any point. A couple is a pair of equal but oppositely directed forces (see Fig.6.2); its resultant is simply a moment equal to the magnitude of one of the forces times the distance between the forces. A couple is often signified by a curved symbol as shown in Fig.6.2.

Transcript of 6. Statics · 6 / Statics 97 6. Statics Engineering Mechanics includes both Statics and Dynamics....

6 / Statics 97

6. Statics Engineering Mechanics includes both Statics and Dynamics. In this chapter we will review Statics, which involves the forces and moments that act on bodies in static equilibrium: ladders, bridges, levers, beams, and trusses, to name a few. We will also include the properties of areas, volumes, and masses, sometimes referred to as mensuration. We will review the subject of Dynamics in Chapter 7. 6.1 Forces, Moments, and Resultants Forces are classified as body forces or surface forces. A body force is most often due to gravity but can also result from an electric or magnetic field; it is most often positioned at the centroid of the body. A surface force occurs when one body acts on another but can also be caused by friction, such as air moving over an airfoil. If a force is due to a distribution over a small distance or a small area, we assume the force to act at a point resulting in a concentrated force. A vector is used to represent a force, as will be demonstrated by examples. A system of forces can be concurrent, such that all the forces can be positioned at a single point, or non-concurrent, as occurs with forces acting parallel to each other. Most often forces act in a plane (two-dimensional), but they may act spatially (three-dimensional). A force F acting at point B creates a moment M about a point A is defined by the vector relationship =M r×F (6.1) where r is the vector from A to B. If F and r are in the xy-plane, as is often the case, then the moment M is found using the right-hand rule: place r and F end to end, as shown in Fig.6.1, and wrap your fingers such that r is turned into F; your thumb points in the direction of M, perpendicular to the plane of F and r.

x

z

yF

rr

F

M

Fingers rotate andthumb points indirection of MA

B Figure 6.1 A moment due to a force.

The resultant of a system of forces and moments is a force and moment that is equivalent to the total system at any point. A couple is a pair of equal but oppositely directed forces (see Fig.6.2); its resultant is simply a moment equal to the magnitude of one of the forces times the distance between the forces. A couple is often signified by a curved symbol as shown in Fig.6.2.

98 6 / Statics

Figure 6.2 A couple.

EXAMPLE 6.1 Find the component of the force 1 15 12 + 9= −F i j k in the direction of the force 2 2 + + 2 .=F i j k Also, find the angle between the two vectors.

Solution: The unit vector in the direction of F2 is

22

2

2 + + 23= =

F i j ki F The component of F1 in the direction of F2 is

1 22 + + 2(15 12 + 9 ) 10 4 + 6 123⋅ = − ⋅ = − =i j kF i i j k

The angle is found using 1 2 1 cos ,F θ⋅ =F i since 1 2 1 2 cosF F θ⋅ =F F . We have

2 2 2

1

12 12cos 0.5657. 55.55°15 +12 +9F

θ θ= = = ∴ =

EXAMPLE 6.2 At the point (2, 4) find the resultant of 1 15 12= −F i j which acts at (0, 2, 0), 2 2 + =F i j which acts at (2, 2, 0), and the couple M = 20 which acts in the plane of F1 and F2.

Solution: The resultant force is

1 2 (15 12 ) (2 ) 17 11= + = − + + = −R F F i j i j i j Next, find the moment about (2, 4) produced by each force:

1 1 1 (2 2 ) (15 12 ) 24 30 54= × = + × − = − − = −M r F i j i j k k k 2 2 2 (0 2 ) (2 ) 4= × = + × + = −M r F i j i j k

The total moment is 1 2 20 54 4 20 38= + + = − − + = −M M M k k k k k .

6.2 Equilibrium A body is in equilibrium if the resultant of all forces acting on the body is zero and the resultant moment about every point is zero. This is stated as 0 and 0A= =∑ ∑F M (6.2)

d

F

F

M = Fd

6 / Statics 99

where A is some arbitrary point. These two vector equations can be written as the six scalar equations

0 00 00 0

x x A

y y A

z z A

F MF MF M

= =

= =

= =

∑ ∑∑ ∑∑ ∑

,

,

,

(6.3)

Most often, the problems you will face on the exam involve forces acting in a single plane, selected as the xy-plane. Then, only three of the six equations are useful, namely 0 0 0x y zF F M= = =∑ ∑ ∑ (6.4) When solving problems involving forces and moments, it is extremely important to draw a free-body diagram, a sketch showing all forces and moments and where they act, and all dimensions. Any body that has only two forces acting on it is a two-force member and the two forces must be equal, opposite, and co-linear, as shown in Fig.6.3a. If three non-parallel forces act on a body, they must be coplanar and intersect at a point, as on the three-force member in Fig.6.3b. If they are parallel forces, such as the three forces of Fig.6.3c, they could act as shown.

a) two-force member

b) three-force member c) parallel forces

Figure 6.3 Plane force systems. When drawing free-body diagrams, it is important to realize that a force acts in tension in the direction of a rope or cable; it acts normal to a roller or ball, and at a wall there exists a force and a moment. EXAMPLE 6.3 Find the reaction at the wall of the beam loaded as shown.

Solution: The reaction at the wall will consist of a force and a moment. The upward force is found by summing forces in the vertical direction:

wall 100 50 40 4 310 NF = + + × =

The moment is found by taking moments about the end at the wall:

20 N

20 N

F1

F2 F3F2

F1F3

������������������������������������������������������������������������������

2 m 2 m4 m

40 N/m100 N 50 N

100 6 / Statics

wall 100 2 50 8 160 6 1560 N mM = × + × + × = ⋅

Note: the force due to the distributed load is positioned at the center of the distribution. EXAMPLE 6.4 A weight is suspended by two ropes, as shown. Determine the tension in each rope.

Solution: Let T1 be the tension in rope 1 and T2 the tension in rope 2. Summing forces in the x- and y-directions gives

x-dir: 1 2 1 2cos45 cos30 or 0.707 0.866T T T T° = ° = y-dir: 1 2 1 2400 sin 45 sin30 or 400 0.707 0.5T T T T= ° + ° = +

These two equations are solved simultaneously to provide

1 2359 N and 293 NT T= = 6.3 Trusses and Frames A truss is an assembly of two-force members coupled together with pins, as in some bridge structures; forces are located only at the pin connections and a member can be either in tension or compression. A frame member may have forces acting on it at any point on the frame; it is typically much heavier than a truss member. Examples illustrate. EXAMPLE 6.5 Find the force in link CE, CD, and EF in the truss shown on the left. All links are of length L except CD which has length L/2.

Solution: Cut the truss so that the unknown forces are exposed, as shown on the right above. Sum forces in the vertical direction:

400 N

45o 30o����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

Rope 1 Rope 2

4000 NE

B C D

AF

2000 N

4000 N

B C

AF

2000 N

FCD

FCE

FEF

6 / Statics 101

cos30 4000 0. 4620 NCE CEF F° + = ∴ = −

Moments about point E gives

4000 2 2000 cos30 cos30 . 11240 NCD CDL L F L F× + × ° = × ° ∴ =

Sum forces in the horizontal direction to obtain

11240 4620cos60 2000 0. 11550 NEF EFF F+ + ° − = ∴ = −

The minus sign means members CE and EF are in compression.

EXAMPLE 6.6 What is the magnitude of the force acting on the pin at A?

Solution: Sketch a free-body diagram (it’s not done here, but it’s very helpful). There will be unknown force components Fx and Fy at A. There will be only a vertical force FC at C since BC is a two-force member (it could actually be a rope). So,

400cos45 283 NxF = ° =

Sum moments about point A and find (assume FC in tension acting downward)

20 400 0.707 40 400 0.707 20 . 848 NC CF F× × + × × = × ∴ =

Sum vertical components to obtain

2 2848 400 0.707 1131 N. 1131 283 1166 NyF F= + × = ∴ = + =

We weren’t concerned about the direction of the force at A, only the magnitude.

6.4 Friction

The maximum frictional force that can exist between two solid surfaces in contact, without motion, is found by using the coefficient of static friction µ in the equation F Nµ= (6.5) where N is the normal force between the surfaces. The frictional force always opposes the impending motion. If a rope or a belt is wrapped around a stationary cylinder, the maximum frictional force F1 in the direction of impending motion is

1 2F F eµθ= (6.6) where F2 resists the impending motion and θ is the total angle of contact.

400 N

A

BC20 cm 20 cm

40 cm

45o

102 6 / Statics

EXAMPLE 6.7 Determine the minimum and maximum weight W needed to avoid motion.

Solution: First, always sketch a free-body diagram. It is shown for impending motion up the plane by observing that T = W (it’s a frictionless pulley). Sum forces in the direction of N to obtain

600cos30 520 NN = ° =

Then, summing forces in the direction of T gives

max 600sin300.4 520 300 508 N

W Nµ= + °= × + =

For the minimum force, motion would be impending down the plane so the frictional force would change direction and

min 600sin300.4 520 300 92 N

W Nµ= − + °= − × + =

EXAMPLE 6.8 A small child can resist a large force by wrapping a rope two times around a post. If the coefficient of friction is 0.4, what force can 20 N resist?

Solution: The desired force is found using the Eq.6.6 with 4θ π= rad (720o):

0.4 41 2 20 3050 NF F e eµθ π×= = × =

6.5 Area and Volume Properties

The coordinates of the centroid C of a composite area A or a composite volume V are defined by ; n n n n n n n n

c c c cx A y A x V y Vx y x yA A V V= = = =∑ ∑ ∑ ∑, , (6.7)

The moments of inertia (the second moments of an area) are 2 2 and x y

A AI y dA I x dA= =∫ ∫ (6.8)

The polar moment of inertia of an area about a point is

30oW

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

600 N

Frictionless pulley

µ = 0.4

600 NT

NF = µN

6 / Statics 103

2 2

x y zA

J x y dA I I I= + = + =∫ ( ) (6.9) where the x- and y-axes pass through the point. The radius of gyration is defined as that distance where the area is considered to be concentrated to produce the moment of inertia, i.e., , ,yx

x y pII Jr r rA A A= = = (6.10)

The product of inertia with respect to the xy-axes is xy

AI xydA= ∫ (6.11)

The transfer theorem relates the moment of inertia about the centroidal axis cx and an arbitrary axis x ʹ parallel to the centroidal axis by

2' cx xI I Ad= + (6.12)

where d is the distance between the two parallel axes. The mass moment of inertia is defined as 2 2 2

x ym m

I y dm I x dm I r m= = =∫ ∫, , (6.13)

where r is the radius of gyration (k is often used) about the selected axis and m is the mass. Properties of areas and masses are provided for selected shapes in Tables 6.1 and 6.2, respectively, after the examples, which will illustrate the above relationships.

EXAMPLE 6.9 For the composite area shown, determine the location of the centroid, the second moment about the x-axis, and the radius of gyration about the x-axis. All dimensions are in cm.

Solution: Using the appropriate formulas, there results

6 60 8 30 (12 4 5 / 3 ) 12.5 8.93 cm60 30 12.5cx π ππ

× + × + + × ×= =+ +

5

125

Semi-circle

y

x

104 6 / Statics

2.5 60 (5 5 / 3) 30 5 12.5 4.23 cm60 30 12.5cy ππ

× + + × + ×= =+ +

3 3 4 2

2 2 412 5 12 5 5 530 (5 5 / 3) 5 3100 cm3 36 8 2xI π π × × × ×= + + × + + + × =

3100 4.90 cm60 30 12.5x

xIr A π= = =+ +

Note that the transfer theorem was used for the triangle and the semi-circle. Also, note that semi-circle circle

1( ) ( ) .2c cx xI I=

EXAMPLE 6.10 Locate the x-coordinate of the centroid and calculate xI for the area shown.

Solution: The x-coordinate of the centroid is

4 43 2 5 2

0 04 4

3 21 2

0 0

2 4 64 55 2 4 cm2 16 343c

xydx x dxxdAx dA ydx x dx

×= = = = = =

×∫ ∫∫

∫ ∫ ∫/ /

//

/ ./

The moment of inertia of a rectangle about its base is 3 /3bh so, using the strip shown,

4

3 3 2 5 2 4

0

1 1 1 2 4 4 27 cm3 3 3 5xA

I y dx x dx= = = × × =∫ ∫ / / .

EXAMPLE 6.11 If the area in Example 6.10 is rotated about the x-axis, find the mass moment of inertia xI in terms of the mass m assuming a uniform density ρρρρ. Solution: First, find the mass:

4 42 2

0 0

1 4 82V

m dV y dx xdxρ ρ π ρπ ρπ πρ= = = = =∫ ∫ ∫

The mass moment of a cylinder about its axis is 2 /2mR so

4 4 32 2 2 2

0 0

1 4 32 4 /32 2 2 2 3 3xV

I y dV y y dx x dx mρ ρπ ρπρ π ρπ= = × = = × = =∫ ∫ ∫

y

x

x = y2

��������������������������������������������������������

dx2 cm

6 / Statics 105

Table 6.1 Properties of selected areas.

Shape

Centroid / 2cx b= / 3cy h= 0cx = 4 / 3cy a π=

Second Moment

3

3

/ 12/ 3

c

x

I bhI bh=

=

3

3

/ 36/12

c

x

I bhI bh=

=

4

4

/ 4/ 2

cI aJ aππ=

=

4 / 8xI aπ=

Table 6.2 Mass moments of inertia.

Shape Mass m ALρ= 2m R hρπ= 34 / 3m Rρπ=

Mass Moment

2

2

0, / 3/12

x y

yc

I I mLI mL≅ =

=

2

2 2

2 2

/ 2(3 ) /12

(3 4 ) /12

y

xc

x

I mRI m R hI m R h

=

= +

= +

22 / 5cI mR=

Chb x

Chx

b

aC

C

x

xa

C xR

xC

C xL

h

R

y

y

Sphere

106 6 / Statics

Practice Problems

6.1 The component of 6 5 2= + −A i j k in the direction of 2 2= − +B i j k is: (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4

6.2 A couple: (A) Is a force and a moment. (B) Can be replaced with a moment. (C) May vary in magnitude from point to point. (D) Can be replaced by a force and a moment.

6.3 The angle between the two vectors in Problem 6.1 is nearest:

(A) 173o (B) 83o (C) 52o (D) 7o

6.4 A system is composed of two forces and a moment: 1 3 4 = −F i j at (2,0,0) , 2 6 4= +F i j at ( 2,4,0)− , and 20=M k . The resultant acting at the origin is: (A) 9 , 40= =R i M k (B) 9 8 , 60= + =R i j M k (C) 9 , 60= =R i M k (D) 9 8 , 40= + =R i j M k

6.5 The moment produced about the z-axis by 1 23 4 5 and 2 3= − + = + −F i j k F i j k acting at (0,2,4) and (2,0,2) , respectively, is: (A) −12 (B) 0 (C) 6 (D) 12

Equilibrium 6.6 Three forces hold a body in equilibrium. They:

(A) may be coplanar. (B) may be parallel. (C) may all pass through a single point. (D) Any of the above.

6 / Statics 107

6.7 The tension in the rope is nearest: (A) 356 N (B) 343 N (C) 313 N (D) 293 N

6.8 A force and a moment are needed at A to hold

the rigid member as shown. The magnitude of the force is nearest:

(A) 76 N (B) 98 N (C) 114 N (D) 207 N

6.9 The magnitude of the force at A is nearest:

(A) 175 N (B) 200 N (C) 225 N (D) 250 N

6.10 The magnitude of the moment at A needed for equilibrium is nearest:

(A) 600 N m⋅ (B) 1200 N m⋅ (C) 1950 N m⋅ (D) 2400 N m⋅

Cantilever beam

6.11 The sphere is in equilibrium as shown. The magnitude of the force on the left is nearest:

(A) 980 N (B) 1220 N (C) 1530 N (D) 1700 N

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

400 N

rope

45o

60o

400 N45o

30oF

A 10 cm6 cm

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

3 m3 mA

200 N100 N/m

����������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

3 m3 mA

200 N100 N/m������

������������������������������

30o

200 kg

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

108 6 / Statics

Trusses and Frames 6.12 Find the force in member BD. All members are of length L. (A) 1000 N comp (B) 1000 N ten (C) 732 N comp (D) 732 N ten

6.13 The magnitude of the force acting at A in the truss of Problem 6.12 is nearest:

(A) 4320 N (B) 3100 N (C) 2750 N (D) 2370 N 6.14 Find the force in member BF. All members are of length L. (A) 1580 N comp (B) 1580 N ten (C) 1820 N comp (D) 1820 N ten

6.15 Find the force in member BF. All members are of length L except BE. (A) 0 N (B) 1580 N (C) 1820 N (D) 3050 N

6.16 The force in member FE in the truss of Problem 6.15 is nearest:

(A) 1580 N (B) 3050 N (C) 1820 N (D) 0 N

2 kN

3000 NA

BC

DE

2 kN

3000 NA

B

G

CD

EF

2 kN

4000 NA B

C

D

E

F

6 / Statics 109

6.17 Find the force in member CD. (A) 600 N (B) 900 N (C) 1050 N (D) 1200 N

6.18 Find the force in member BD. (A) 0 N (B) 607 N (C) 710 N (D) 8600 N

Friction 6.19 The minimum force P that will prevent impending motion down the plane is nearest:

(A) 12 N (B) 43 N (C) 66 N (D) 89 N

6.20 A 10-m-long rope lies in a straight line on a table. What length hanging from the table’s

edge will cause the rope to slid off if the coefficient of friction is 0.5? (A) 1.67 m (B) 2.5 m (C) 3.33 m (D) 5.0 m

6.21 The coefficient of friction for both surfaces is 0.2. The force P that will cause impending motion is nearest: (A) 93.2 N (B) 136 N (C) 227 N (D) 455 N

���������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

30o

80 cm80 cm

40 cm

400 N

500 N/mA B

C

D

40 cmE

60o

60o

600 N

A

B

C

DE

60 cm40 cm

��������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

µ = 0.2

30o

P 20 kg

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������������

P

51 kg

110 6 / Statics

Area and volume properties 6.22 Find xc of the area bounded by the y-axis, the line y = 4, and the curve x2 = 4y.

(A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6 6.23 The second moment about the x-axis for the area of Problem 6.22 is nearest:

(A) 9.26 (B) 17.98 (C) 27.64 (D) 36.57 6.24 Determine yc for the area shown. The circle represents a hole.

(A) 4.94 cm (B) 5.28 cm (C) 5.59 cm (D) 5.91 cm

6.25 The second moment of the area of Problem 6.24 about the x-axis is nearest:

(A) 5100 cm4 (B) 5800 cm4 (C) 6900 cm4 (D) 8200 cm4 6.26 If the mass of each short rod is m, the mass moment of inertia about the y-axis is:

(A) 5.78 2ml (B) 6.67 2ml (C) 7.45 2ml (D) 7.82 2ml

The mass per length m’ is the same for all rods

Solutions to Practice Problems 6.1 A The unit vector in the direction of B is

2 2 2

2 2 2 2 = 32 1 2B− + − +=+ +

i j k i j ki . Then

2 2 12 5 4(6 5 2 ) 13 3B− + − −⋅ = + − ⋅ = =i j kA i i j k

6.2 B

8 cm18 cm

45o 45o

4 cm radius

x

l

ll2

y

6 / Statics 111

6.3 B 2 2 2 2 2 2cos . 12 5 4 6 5 2 2 1 2 cosAB θ θ⋅ = − − = + + × + +A B 3cos 0.1240 and 82.98.062 3θ θ∴ = = = °× 6.4 C 1 2 (3 4 ) 8 ,= − × − =M i i j k 2 (2 4 ) (6 4 ) 8 24 32 ,= − × + = + =M i j i j k k k and

1 2 9 .= + =R F F i The total moment is 8 32 20 60= + + =M k k k k . 6.5 B The moment about the origin is

1 1 2 2 (2 4 ) (3 4 5 ) (2 2 ) (2 3 )= × + × = + × − + + + × + −M r F r F j k i j k i k i j k The z-component of M is 6 6 0.− + = 6.6 D If three forces are not parallel, they must be coplanar and pass through a single point

either on or off the body. 6.7 D Sum forces perpendicular to the rigid member so the force in the rigid member does not

enter the equation (the third triangle angle is 75o): 400cos45 cos15 . 293 NT T° = ° ∴ = 6.8 C Sum moments about A: 10 sin30 6 400sin 45 . 339 NF F× ° = × ° ∴ = Sum forces in the x- and y-directions to find Fx and Fy at A:

400cos45 339cos30 0. 11 N 114 N339sin30 400sin 45 0. 113 Nx xy y

F FFF F

+ ° − ° = ∴ = ∴ =+ ° − ° = ∴ =

6.9 A There can only be a vertical force at the right end so there is only a vertical force at A. It

is found by taking moments about the right end: 6 200 3 100 3 1.5. 175 NA AF F= × + × × ∴ = 6.10 C 200 3 100 3 4.5 1950 N mAM = × + × × = ⋅ 6.11 A Let N1 be on the left and N2 be on the right. Sum forces in the direction of N1, normal

to N2: 1 200 9.81cos60 980 NN = × ° = 6.12 D Sum moments about A (FC is vertical) to obtain 2 3000 2000 cos30 . 634 NC CL F L L F× = × − × ° ∴ = Cut the truss through BC, BD, and DE. Sum vertical force components on the right-

hand part: cos30 634. 732 NBD BDF F° = ∴ = 6.13 B Sum forces: 2 23000 634 2366 N, 2000 N. 2366 2000 3100 Ny x AF F F= − = = ∴ = + =

112 6 / Statics

6.14 C Sum moments about A (FD is vertical) to obtain 3 3000 2000 cos30 . 1577 ND DL F L L F× = × + × ° ∴ = Cut the truss through BC, BD, and DE. Sum vertical force components: cos30 1577. 1820 NBF BFF F° = ∴ = 6.15 A At point F only member BF has a component normal to AE, so FBF = 0. 6.16 A Take moments about C and the vertical force at A is 2 4000 2000 2 cos30 . 3732 NA AL F L L F× = × + × ° ∴ = cos30 3732. 4310 NAF A AF FEF F F F° = = ∴ = = since we recognize that FFB = 0. 6.17 D Take moments about A: 1.6 400 2 400 0.4. 600 NB BF F× = × + × ∴ = in vertical direction At C the vertical component of the force in link CD must resist FB so sin30 600. 1200 NCD CDF F° = ∴ = 6.18 B Sum moments about A: 600 cos30 . 520 NE EF L L F× = × ° ∴ = On the right-hand member, take moments about C: sin30 0.6 520 0.7sin30 . 607 NBD BDF F°× = × ° ∴ = where we used the length of AC and CE as 70 cm. 6.19 C First, draw a free-body diagram. If motion impends down the plane, the frictional force will act up the plane, as shown. Sum forces in the normal

direction: sin30 196cos30N P= ° + ° Up the plane: 0.2 196sin30 cos30N P= ° − ° Solve for P and find 66.3 NP =

6.20 C Let m be the mass per meter and x be the length that hangs from the table. The normal

force is then (10 – x)mg so that the frictional force is 0.5(10 – x)mg. Impending motion occurs when the hanging weight equals the frictional force (we assume the tension in the rope remains constant as the rope turns the corner from the table top to the hanging portion):

(10 ) . 0.5(10 ) and 3.33 mxmg x mg x x xµ= − ∴ = − =

P

N

196 NµN

6 / Statics 113

6.21 B Draw a free-body diagram. If motion impends, the frictional forces will act as shown. Sum forces in the y- and x-directions and take moments:

1 2

2 1

2 1

500 N NP N NRP R N R N

µµµ µ

= += −= +

The three equations are solved: P = 136 N

6.22 A

4 4 2

0 0

1 3 3 12 44 332 32 32 2cA

x xdA x xdy ydyA= = = = × =∫ ∫ ∫( )

where 4 4

3 2

0 0

42 4 32 33A xdy ydy= = = × =∫ ∫ / / . 6.23 D Select a horizontal strip (a vertical strip could also be used or a double integral). The

transfer theorem for the strip would give 2 31 ( )12x cdI dI y dA x dy= + = 2y xdy+

Neglect the term with (dy)3 and integrate:

42 7 2

0

2 4 36 577xI y ydy= = × =∫ / . 6.24 A 1 1 2 2 3 3

21 2 3

4 144 (3 8) 81 12 16 4.94 cm144 81 4cy A y A y Ay A A A

ππ

+ − × + + × − × ×= = =+ − + − × 6.25 B

3 32 4 2 21 1 2 22 2 3/ 43 36x

b h b hI A d R R dπ π = + + − + ×

3 3

2 4 2 2 418 8 18 9 81 11 4 / 4 4 12 5799 cm3 36 π π× × = + + × − × + × × = 6.26 B The mass moment about the y-axis is

2 2 2,1 ,2 ,3 0 (2 )(2 ) / 3 0 (2 ) 6.67 y y y yI I I I m l m l ml = + + = + + + =

P

N1

N2

µN2

µN1

500 N

114 6 / Statics