6 Ottobre 2004 IdF 2004

Onde GravitazionaliOnde Gravitazionali

Danilo BabusciDanilo Babusci

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masse M e m a distanza r tra loro forza attrattiva:

F = GM • m

r2

costante di Newton (6.67 x 10-11 m3 kg-1 s-2)

Prima teoria unificata della Fisica: spiegazione di maree e forma della Terra, moti astronomici e terrestri, ma …

azione istantanea attraverso lo spazio che separa le masse: con quale meccanismo ??

Newton (1687)

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Gravità NON è una forza ma la manifestazione della geometria dello spaziotempo

proposta rivoluzionaria:

struttura dello spaziotempo deformata dalla massa-energia distribuita al suo interno

Relatività Speciale: massima velocità di propagazione di un

segnale = c

Einstein (1916)

Principio d’Equivalenza: massa inerziale mi

massa gravitazionale mg

II

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Einstein: gravità è curvatura

massa del Sole distorce geometria dello spaziotempo vicino alla Terra e questa si muove liberamente lungo cammino il più possibile rettilineo ( ellisse ) in questo ambiente deformato

Newton: gravità è una forza

La Terra si muove su orbita curva intorno al Sole perché la gravità solare la costringe ad allontanarsi dal suo cammino rettilineo naturale

Newton vs Einstein

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equazioni di campo che connettono entità e natura della distorsione

dello spaziotempo alle qualità della materia gravitante che la produce

geometria spaziotempo

distribuzione massa-energia della sorgente

Equazioni di Einstein

spaziotempo dice alla materia come muoversi; materia dice allo spaziotempo come distorcersi

(J. Wheeler)

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Geometria spaziotempo

Massa-energia sorgente

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1. Orbita di Mercurio

Precessione lenta del perielio dell’orbita di circa 43” di arco/secolo

Teoria di Einstein è perfettamente in accordo con le osservazioni

Verifiche Sperimentali

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2. Curvatura della Luce

Anche la traiettoria di un raggio luminoso è affetta dalla gravità

Gravitational Lensing

Effetto osservato per la prima volta nel 1919 da Eddington durante una eclisse di Sole

Entità dello spostamento della posizione apparente di una stella in perfetto accordo con quanto previsto dalla teoria di Einstein

Verifiche Sperimentali

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Croce di Einstein

Immagine di un quasar appare “moltiplicata” per la presenza di una galassia che si trova interposta tra la Terra e la posizione del quasar

Nell’Astronomia moderna queste immagini dovute al gravitational lensing sono utilizzate per rivelare concentrazioni estese di ‘materia oscura’ di natura astrofisica

Verifiche Sperimentali

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Gravitazione = curvatura dello spazio-tempo velocità limite per la propagazione degli effetti gravitazionali

increspature nella curvatura dello spaziotempo prodotte dal moto (a simmetria non-sferica) di massa-energia, che si

propagano nello spazio alla velocità della luce

Onde Gravitazionali

Onde Gravitazionali

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Fisica Newtoniana: spaziotempo come griglia concettuale infinitamente rigida onde gravitazionali NON possono esistere: velocità e densità d’energia

Relatività Generale: coefficiente d’accoppiamento finito tra la curvatura dello spaziotempo e la distribuzione di massa-energia che produce tale curvatura

8 G

c4 =

caratterizza rigidità dello spaziotempo (-1 è legato al modulo di elasticità)

~ 10-43 N-1

Fisica newtoniana applicabile in molte situazioni reali

Onde Gravitazionali: generazione fortemente inibita; rivelazione estremamente difficile

Onde Gravitazionali

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1. verifica diretta della Relatività Generale

2. nascita dell’Astrofisica Gravitazionale

3. esistenza di fondo cosmico di O.G. “fotografia” dello stato dell’Universo ~ 10-43 s dopo Big Bang

N.B. fondo cosmico di microonde: la “foto” si riferisce a ~ 3 x 105 anni dopo B.B.

? Onde Gravitazionali

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Meccanismo di Generazione

Carica elettrica in quiete

Campo Elettrico radiale statico

Carica elettrica accelerata

“kink” viaggiante

Analogia: Onde e.m.

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Struttura del kink

a) in corrispondenza di esso tutte le linee di campo ruotano di 900 il disturbo è trasverso

b) in esso le linee di campo si addensano il campo è molto forte in una shell che circonda le 2 posizioni della carica volume V della shell r2, mentre lunghezza L r campo del kink = densità delle linee di campo L / V = r –1

c) la lunghezza del kink è 0 lungo l’asse congiungente le 2 posizioni della carica e massima nella direzione sin θ distribuzione in energia sin2 θ radiazione di dipolo

Kink e.m.

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kink come impulso ondulatorio trasverso dipolare che si allontana dalla carica con velocità c

Carica che oscilla avanti e indietro kink = onda e.m.

Campo di radiazione identico se accelero 2 cariche opposte in direzione contraria, i.e. se considero un dipolo elettrico oscillante

(carica + verso dx è elettricamente a carica – verso sx)

Potenza emessa da un dipolo elettrico d = Σi qi xi oscillante P =

2

3d

2

Dipolo Elettrico

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Meccanismo di produzione analogo a quello delle onde e.m. :

accelerazione di massa-energia (i.e. di “carica gravitazionale”)

Differenza fondamentale con le onde e.m. è conseguenza della natura puramente attrattiva della gravità

tutte le cariche gravitazionali sono + moto di una massa verso dx gravitazionalmente non equivalente a quello verso sx

impossibile costruire dipolo gravitazionale oscillante

Dipolo Gravitazionale ?

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Impossibilità della costruzione di un dipolo gravitazionale oscillante è conseguenza diretta del Principio d’Equivalenza: mi = mg

d = Σk mg(k)

xk

analogia e.m.

P

d2

d = Σk mg(k) xk

¨ = Σk mg(k) vk

˙P. d’E.

d = Σk mi(k) vk

˙ = Σk pk˙

d = 0 Σk pk = costanteconservazione

dell’impulso

Principio d’Equivalenza

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Sistema composto di 2 masse che accelerano in verso opposto (e.g. masse connesse tramite molla) è un quadrupolo

In prima approssimazione i disturbi gravitazionali associati al moto di ciascuna massa si elidono, ma, causa velocità di propagazione finita, la diversa posizione delle masse implica tempo diverso per giungere in un stesso punto P i 2 disturbi arrivano in P sfasati

l’esatta cancellazione NON si verifica

Quadrupolo Gravitazionale

O.G. sono tensorialicampo di radiazione + complicato: distribuzione angolare dell’energia

sin4 θ

P

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Natura quadrupolare diversa struttura del sistema test: anello flessibile di masse (i.e. oggetto 2-dim.) posto nel piano

alla direzione di propagazione dell’onda

Passaggio dell’onda effetto mareale: distorsione dell’anello

+

L = h L

h = intensità dell’onda

Forza Mareale

N.B. – sorgente + intensa: SN nella Galassia h 10-18 L = 1 km : L raggio protone

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Quadrupolo elettrico : Qjk = q (3 xi xk – jk r2 ) (j,k x,y,z)

Pe.m. =1

180Qjk Qjk

……

Quadrupolo di massa Qjk : Qjk {q m}

Pgr. =1

45 Qjk Qjk

……G

c5

( = media temporale)

Radiazione da quadrupolo oscillante

Emissione di Quadrupolo

+ -- +

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ω = 2 f

Cilindro rotante di massa M e lunghezza L

P =2

45 ( c5 / G )

M2 L4 ω6

M = 105 tonL = 200 m f = 1 Hz

P ~ 10-24 W

N.B. – scala di P determinata da c5

G= 3.6 x 1052 W

(maggiore della potenza emessa dall’intero Universo in forma di calore & luce)

Sorgenti di Laboratorio

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… in termini della velocità periferica v = ω L / 2

in sistemi in moto ultrarelativistico (v c) e molto compatti (L rG ) si può avere una emissione con potenza c5 / G

N.B. – Terra : v 10-6 c ; rG 10 mm P ~ 30 mW

Potenza Irraggiata

P =32

45

rG

L

2v

c

6c5

G

raggio di Schwarzschild

= 2 G M

c2

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Esempio: Cluster di stelle orbitanti (massa totale = M; raggio = R)

potenza emessa in forma di onde gravitazionali P ~

G4

c5

5

R

M

Minima dimensione del sistema: Rmin = rG Pmax =c5

G

N.B. – R < rG il sistema diviene un black hole nessuna radiazione riesce a sfuggire c5 / G è la massima energia fisicamente producibile

Sorgenti Astrofisiche

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2 stelle di massa M in orbita di raggio R intorno al comune

centro di gravità

flusso stazionario di onde con frequenza = 1/(periodo orbitale)

Esempio: M ~ MSole ; R = 107 km P 1019 W

sistema a distanza d densità di potenza che giunge sulla Terra: p ~ P / d2

d = 1 kpc p ~ 10-20 W·m-2

(1 pc = 3.26 anni-luce)

Sistemi Binari

“oggetti” +

compatti

stelle di neutroni (NS)

black holes (BH)

R ~ 103 km @ 1 kpc

p ~ 1 W·m-2

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Stella che ha esaurito il combustibile nucleare collassa sotto l’effetto della propria gravità. Il collasso del core della stella è accompagnato dall’espulsione degli strati più esterni della stella supernova (SN)

Destino del core collassante dipende dalla massa iniziale della stella:

M > 3 MSole black hole

stella di neutroni

Potenza emessa da SN: P ~ 1044 W d = 100 pc

p ~ 106 W·m-2

N.B. – in media in una galassia si verifica una esplosione di SN ogni 30 anni.

Collassi Gravitazionali

M MSole

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Fondo Stocastico

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esiste solo prova indiretta

Sistema binario PSR 1913+16: pulsar in orbita attorno a

NSmisura periodo di ripetizione

degli impulsi radio periodo orbitale T della pulsar

Onde Gravitazionali: Evidenza

T diminuisce con il ritmo previsto dall’ipotesi che la pulsar perda energia per

emissione di O.G.

osservazione del sistema per 17 anni (Hulse & Taylor)

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1. Rivelatori Risonanti

O.G. eccita modi di vibrazione longitudinali di una barra metallica

2. Rivelatori Interferometrici

O.G. produce differenza di cammino della luce lungo i bracci di un interferometro

x

y

x

L

xy

L + L

Rivelatori

2 tipi fondamentali

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Lopt. 120 kmVIRGO

Interferometri

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L = 3 KmINFN - CNRS

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Principio di funzionamento

rivelazione delle vibrazioni che si instaurano nella materia quando investita da una O.G.

? vibrazioniO.G. accelerazione mareale parti diverse del

corpo tendono a cadere in modo diverso allungamento & accorciamento del corpo stress

Interpretazione alternativa: conversione di O.G. in onde elastiche nel corpo: parte dell’energia associata alla vibrazione dello spaziotempo è assorbita dal metallo e trasformata in energia vibrazionale del corpo.

Quantisticamente: annichilazione di gravitoni creazione di fononi

Rivelatori Risonanti

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Frequenza di risonanza del modo di vibrazione longitudinale

fondamentale (R « L)

f0 = vs

2 L

Cilindro di massa M

L

R γγγγγγγγγγM

2M2

4 L

π2Leq =

Oscillatore Armonico

dissipazione accelerazione mareale

velocità del suono

x + x + ω02 x =

1τ0

=ω0

Q

1τ0

Rivelatori Risonanti

N.B. – Al 5056 : vs 5 km/s – L = 3 m

f0 ~ 1 kHzfattore di merito

2h

Leq

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Rivelatore risonante immerso in un bagno termico di O.G. provenienti da tutte le direzioni in modo uniforme

Effetti dissipativi parte dell’energia vibrazionale assorbita dall’onda è convertita in calore aumento fluttuazioni molecole della barra

rate di dissipazione

della barra =rate di assorbimento

di energia dalle O.G. Equilibrio Termico

Sezione d’Urto

Es. - Nautilus & Explorer

Q ~ 106

ω0 ~ 6 kHz σ ~ 10-16 cm2

flusso incidente di O.G. [ W m-2 ]

sezione d’urto [m2 ]

Evibr.

τ0

= σ ΦO.G.

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? cosí piccola

Analogia: è come se provassimo a rivelare un’onda radio usando un gas neutro estremamente diluito con costante dielettrica ~ 1 + 10-28

Rivelatore risonante ideale: pezzo di stella a neutroni ( ~ densità della

materia nucleare) con vs = c

Impedenza della barra di Al (con superficie = 1 m2) = vs ~ 107 Kg s-1

Impedenza dello spaziotempo = c3 / G ~ 1035 Kg s-1

attraversando la barra l’impedenza presentata all’onda aumenta di un fattore piccolissimo ( 1 + 10-28 )

Rivelazione di O.G. è un problema di adattamento

d’impedenza

Sezione d’Urto

area effettiva che la barra presenta all’onda è minore di quella atomica

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V

h

Vp

Antenna

M

Cd

Rp

Vp

Antenna

M

Cd

Rp

L0 Li

Oscillatore

Massa MTemperatura T

Fattore di Qualità QFrequenza f0

Trasduttore

Efficienza

Amplificatore

Temperatura di Rumore Tn

Filtro

=E. elettrica

E. meccanica

Elaborazione del Segnale

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Sensibilità di picco

T

M Q

½

Larghezza

di banda

Δf

Tn

½

picco di calibrazione

Sensibilità

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interferometri barre risonanti

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