6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACEcgi.di.uoa.gr/~k14/sig_sys6_04.pdf6....

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE

Σκοπός του κεφαλαίου είναι να ορίσει τον αμφίπλευρο μετασχηματισμό Laplace ή απλώς μετασχηματισμό Laplace (ΜL) και το μονόπλευρο μετασχηματισμό Laplace (ΜΜL), να περιγράψει τις βασικές τους ιδιότητες και να υπολογίσει τους αντίστοιχους μετασχηματισμούς στοιχειωδών σημάτων, που αντιμετωπίζουμε στη μελέτη γραμμικών συστημάτων. Επίσης, στο κεφάλαιο αυτό θα παρουσιαστεί η δυνατότητα που έχει ο ΜΜL να επιλύει διαφορικές εξισώσεις, οι οποίες έχουν μη μηδενικές αρχικές συνθήκες και στη συνέχεια θα εκμεταλλευτούμε τη δυνατότητα αυτή για τη μελέτη ΓΧΑ συστημάτων. Τέλος, σκοπός του κεφαλαίου είναι να αναδείξει τη σχέση που υπάρχει μεταξύ της αιτιότητας, της ευστάθειας ενός ΓΧΑ συστήματος, του πεδίου σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς του και της θέσης των πόλων αυτής στο μιγαδικό επίπεδο, όπου ορίζεται ο μετασχηματισμός Laplace.

ΕΙΣΑΓΩΓΗ Στο Κεφάλαιο 2 είδαμε ότι η είσοδος και η έξοδος ενός αναλογικού ΓΧΑ συστήματος

συνδέονται με μια διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές. Έτσι για να προσδιορίσουμε την έξοδο ενός συστήματος αν γνωρίζουμε την είσοδό του, πρέπει να επιλύουμε την αντίστοιχη διαφορική εξίσωση. Στο ίδιο Κεφάλαιο παρατηρήσαμε ότι μπορούμε να υπολογίσουμε την έξοδο ενός συστήματος αν γνωρίζουμε την είσοδό του, με τη βοήθεια του ολοκληρώματος της συνέλιξης. Στο Κεφάλαιο 3 ορίσαμε τον ΜF, ο οποίος παρέχει τη δυνατότητα μετάβασης από το πεδίο του χρόνου στο πεδίο της συχνότητας. Η ιδιότητα της συνέλιξης του ΜF μετατρέπει το ολοκλήρωμα της συνέλιξης σε ένα απλό γινόμενο των αντιστοίχων μετασχηματισμών, με τη βοήθεια του οποίου υπολογίζεται ο ΜF της εξόδου και στη συνέχεια με ένα αντίστροφο ΜF προσδιορίζεται η έξοδος του συστήματος στο πεδίο του χρόνου. Ο ΜF λοιπόν, έδωσε μια εύκολη λύση στο πρόβλημα εύρεσης της εξόδου ενός συστήματος, στην περίπτωση που γνωρίζουμε την είσοδό του και την κρουστική του απόκριση. Δυστυχώς, όμως, υπάρχουν πολλά σήματα, τα οποία συχνά συναντάμε στη πράξη, για τα οποία δεν υπάρχει ο ΜF.

Στο κεφάλαιο αυτό θα περιγράψουμε το Mετασχηματισμό Laplace (ΜL), ο οποίος μετατρέπει ένα σήμα συνεχούς χρόνου σε μια αναλυτική συνάρτηση μιγαδικής μεταβλητής. Όπως θα δούμε, πολλά από τα σήματα με πρακτική σπουδαιότητα, για τα οποία δεν υπάρχει ο ΜF, υπάρχει ο ΜL και έτσι διευρύνεται το σύνολο των σημάτων για τα οποία μπορεί να επιτευχθεί μετάβαση από το πεδίο τoυ χρόνου στο πεδίο της συχνότητας.

Στο Κεφάλαιο 4, με τη βοήθεια του ΜF υπολογίσαμε την έξοδο ενός ΓΧΑ συστήματος το οποίο βρίσκεται αρχικά σε κατάσταση ηρεμίας. Στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι αν το

Μετασχηματισμός Laplace Κεφάλαιο 6 162

σύστημα δε βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας, ο ΜΜL μας επιτρέπει να συμπεριλάβουμε τις αρχικές συνθήκες στη διαφορική εξίσωση και να προσδιορίσουμε την έξοδο του συστήματος.

Τέλος, στο κεφάλαιο αυτό θα δούμε ότι η χρήση του μιγαδικού πεδίου συχνότητας και η θέση των πόλων σ΄ αυτό μας επιτρέπει να εξάγουμε βασικές ιδιότητες των συστημάτων, όπως η αιτιότητα και η ευστάθεια. Για όλους τους παραπάνω λόγους, ο ΜL αποτελεί ένα ακόμα βασικό μαθηματικό εργαλείο για τη μελέτη ΓΧΑ συστημάτων.

6.1 Ορισμοί Ο ML αντιστοιχεί στο σήμα συνεχούς χρόνου x t( ) τη συνάρτηση

( )L x t X s x t e dtst( ) ( )= ≡ −

−∞

∞

∫ (6.1)

Η X s( ) είναι μιγαδική συνάρτηση, της μιγαδικής μεταβλητής s j= +σ ω και ονομάζεται Μετασχηματισμός Laplace (ΜL) του σήματος x t( ) . Μερικές φορές αναφέρεται και ως αμφίπλευρος ΜL, για να τονιστεί η διαφορά του από το μονόπλευρο ΜL που θα ορίσουμε στην Ενότητα 6.3. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών s j= +σ ω , πάνω στο οποίο υπάρχει η

( )X s , με άλλα λόγια το αντίστοιχο ολοκλήρωμα ορισμού συγκλίνει, ονομάζεται περιοχή σύγκλισης (ΠΣ) της ( )X s . Για ευκολία, ο ΜL του σήματος x t( ) μερικές φορές συμβολίζεται

ως L x t( ) και η σχέση μεταξύ του x t( ) και του ΜL του υποδεικνύεται ως

( ) ( )x t X sL← → (6.2) η δε περιοχή σύγκλισης δηλώνεται ως R . Σχετικά με την ύπαρξη του ΜL ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στο [1] ή [4]. Παρατηρήσεις

(1) Αν ο ΜL υπάρχει και για τιμές με σ = 0, δηλαδή, s j= ω , τότε ( )X j x t e dtj tω ω= −−∞

∞

∫ ( )

που δεν είναι τίποτε άλλο από τον ΜF της συνάρτησης x t( ) , δηλαδή,

X s F x ts j( ) ( )= =ω (6.3)

(2) Ο ΜL σχετίζεται με το ΜF και στην περίπτωση όπου η μεταβλητή s δεν είναι φανταστικός αριθμός ( σ ≠ 0 ). Πράγματι

( )X j x t e dtj tσ ω σ ω+ = − +

−∞

∞

∫ ( ) ( ) [ ]= − −

−∞

∞

∫ x t e e dtt j t( ) σ ω (6.4)

Ο ΜL της x t( ) μπορεί να ερμηνευθεί και ως ο ΜF της x t e t( ) −σ . Η παρουσία του όρου

e t−σ παρέχει τη δυνατότητα σύγκλισης του ολοκληρώματος και κατά συνέπεια την ύπαρξη του ΜL ακόμα και αν δεν υπάρχει ο ΜF της x t( ) .

6.1.1 Μετασχηματισμός Laplace στοιχειωδών σημάτων Στην παράγραφο αυτή θα υπολογίσουμε τους ΜL ορισμένων στοιχειωδών σημάτων.

Παράδειγμα 6.1 (Μιγαδικό αιτιατό εκθετικό σήμα)

Να υπολογιστεί ο ML του σήματος x t e u tat( ) ( )= − , όπου a μιγαδικός αριθμός.

Ενότητα 6.1 Ορισμοί 163

Λύση

Από τον ορισμό του ΜL έχουμε

[ ]X s e e dt e e dt a s eat stT

at stT

Ta s T( ) lim lim ( )= = =

−+ −− −

∞

→∞

− −

→∞

− +∫ ∫0 0

11 (6.5)

Αλλά lim ( )T

a s Te→∞

− + = 0 , εάν ℜ + >e a s 0 , συνεπώς παίρνουμε

( )X s s a= +1 με περιοχή σύγκλισης ℜ > −ℜe s e a (6.6)

Παρατηρούμε ότι η περιοχή σύγκλισης R του μιγαδικού αιτιατού εκθετικού σήματος είναι το δεξιό ημιεπίπεδο με σύνορο τη γραμμή που είναι κάθετη στον πραγματικό άξονα στη θέση − ℜe a , (βλέπε Σχήμα 6.1).

x t( )

t

1

ℑm

ℜe− ℜe a

(α) (β)

Σχήμα 6.1 (α) Το σήμα )()( tuetx at−= και (β) η περιοχή σύγκλισης του ML.

Παρατηρήσεις (1) Αν a = 0, τότε x t( ) είναι η συνάρτηση μοναδιαίου βήματος, ( ) ( )x t u t= και ο ΜL είναι

( ) ( ) X s L u t s= =1

με περιοχή σύγκλισης ℜ >e s 0 (6.7)

(2) Αν − ℜ <e a 0 , μπορούμε να υπολογίσουμε το X s( ) για σ = 0 , δηλαδή υπάρχει και ο ΜF και είναι

X j j a( )01

+ = +ω ω (6.8)

(3) Αν − ℜ ≥e a 0 , ο ΜF δεν υπάρχει, ενώ προφανώς υπάρχει ο ΜL.

Παράδειγμα 6.2 (Αυστηρά μη αιτιατό εκθετικό σήμα).

Να υπολογιστεί ο ΜL του σήματος

x t e u tat( ) ( )= − −− (6.9)

Λύση

Ο ΜL του σήματος είναι


( )[ ]X s e u t e dt e dt s a eat stT

s a t

TT

s a T( ) ( ) lim lim( )= − − = − = + −− −

−∞

∞

→∞− +

−→−∞

+∫ ∫0

1 1 (6.10)

Είναι ( )limT

s a Te→−∞

+ = 0 αν ℜ + <e s a 0 . Συνεπώς

X s s a( ) = +1

(6.11)

με πεδίο σύγκλισης ℜ + <e s a 0 ή ℜ < −ℜe s e a . Η περιοχή σύγκλισης R του αυστηρά μη αιτιατού εκθετικού σήματος είναι το αριστερό ημιεπίπεδο με σύνορο τη γραμμή που είναι κάθετη στον πραγματικό άξονα στη θέση − ℜe a (βλέπε Σχήμα 6.2).

Παρατηρούμε ότι τα σήματα ( ) ( )x t e u ta t= − (Παράδειγμα 6.1) και ( ) ( )x t e u ta t= − −− (Παράδειγμα 6.2) έχουν την ίδια συνάρτηση ως ML αλλά διαφορετική περιοχή σύγκλισης. Για το λόγο αυτό, πάντα εκτός από την X s( ) θα πρέπει να δίνεται και η αντίστοιχη περιοχή σύγκλισης ώστε να προσδιορίζεται μονοσήμαντα το σήμα x t( ) .

x t( )

t

− 1

ℑm

ℜe− ℜe a

(α) (β)

Σχήμα 6.2 (α) Το σήμα )()( tuetx at −−= − και (β) η περιοχή σύγκλισης του ML.

Παράδειγμα 6.3

Να υπολογιστεί ο ΜL του σήματος x t e u t e u tt t( ) ( ) ( )= +− −2 . Λύση

Ο ΜL του σήματος είναι

( ) ( ) ( )[ ]X s e u t e u t e dt e e dt e e dtt t s t t s t t s t= + = +− − −

−∞

∞− −

∞− −

∞

∫ ∫ ∫2

0

2

0 (6.12)

Κάθε ένα από τα ολοκληρώματα στην (6.12) έχουν την ίδια μορφή με το ολοκλήρωμα στην (6.5) έτσι αν χρησιμοποιήσουμε το αποτέλεσμα του Παραδείγματος 6.1 έχουμε

( )X s s ss

s s= + + + =

++ +

11

12

2 33 22 (6.13)

Το σήμα x t( ) είναι άθροισμα δύο πραγματικών εκθετικών σημάτων και από την (6.13) παρατηρούμε ότι ο X s( ) είναι ίσος με το άθροισμα των ΜL των επιμέρους σημάτων. Ο

πρώτος όρος είναι ο ΜL του e u tt− ( ) με ΠΣ ℜ > −e s 1 και ο δεύτερος είναι ο ΜL του

e u tt−2 ( ) με ΠΣ ℜ > −e s 2 . Οι κοινές τιμές του s για τις οποίες και οι δύο ΜL συγκλίνουν


είναι αυτές για τις οποίες ℜ > −e s 1. Έχουμε επομένως

e u t e u tt t L− −+ ← →( ) ( )2 2 33 22s

s s+

+ +, με ΠΣ ℜ > −e s 1 (6.14)

Σε κάθε ένα από τα τρία παραπάνω παραδείγματα ο ΜL είναι ρητή συνάρτηση, δηλαδή είναι λόγος δύο πολυωνύμων της μιγαδικής μεταβλητής s έτσι

X sN sD s( )

( )( )= (6.15)

Μια συνάρτηση X s( ) ονομάζεται αναλυτική στην περιοχή R του μιγαδικού επιπέδου S, εάν (α) είναι μονότιμη συνάρτηση στην R και (β) είναι παραγωγίσιμη σε κάθε σημείο της R. Αν η X s( ) δεν είναι αναλυτική σε ένα σημείο s0 , τότε το σημείο αυτό λέγεται σημείο ανωμαλίας. Οι ρίζες του αριθμητή N s( ) ονομάζονται μηδενικά της X s( ) και παριστάνονται με “ο” στο μιγαδικό επίπεδο. Στα σημεία αυτά η X s( ) μηδενίζεται. Οι ρίζες του παρονομαστή D s( ) , όπου η X s( ) δεν ορίζεται, ονομάζονται πόλοι της X s( ) και παριστάνονται με “x” στο μιγαδικό επίπεδο. Η περιοχή σύγκλισης του ΜL μιας συνάρτησης δεν περιλαμβάνει πόλους. Στο Σχήμα 6.3 φαίνεται η περιοχή σύγκλισης, οι πόλοι και το μηδενικό του ML του σήματος του Παραδείγματος 6.3 .

ℑm

ℜe− 1− 2

Σχήμα 6.3 Η περιοχή σύγκλισης, οι πόλοι και το μηδενικό του ML του σήματος )(tx στο Παραδείγματος 6.3 .


Να υπολογιστεί ο ΜL της συνάρτησης δ( )t . Λύση

L t t e dts tδ δ( ) ( )= =−

−∞

∞

∫ 1 με περιοχή σύγκλισης ℜ > −∞e s (6.16)


Δίνεται το σήμα x t e b t( ) = − (βλέπε Σχήμα 6.4α). Να υπολογιστεί ο ML.

Λύση Το σήμα γράφεται

x t e u t e u tbt bt( ) ( ) ( )= + −− (6.17)

Γνωρίζουμε ότι


e u t s bbt L− ← → +( ) 1 με ΠΣ ℜ > −e s b (Παράδειγμα 6.1)

e u t s bbt L( )− ← → −

−1 με ΠΣ ℜ <e s b (Παράδειγμα 6.2)

x t( )

t

1

x t( )

t1

(α) (β)

Σχήμα 6.4 Η γραφική παράσταση του σήματος tbetx −=)( για (α) 0>b και (β) 0<b .

Παρατηρούμε ότι αν b < 0, οι δύο επιμέρους όροι δεν έχουν κοινή περιοχή σύγκλισης και το σήμα x t( ) δεν έχει ΜL. Αν b > 0 έχουμε

e s b s bb

s bb t L− ← → + − − = −

−1 1 2

2 2 με − < ℜ < +b e s b (6.18)

Στο Σχήμα 6.5 φαίνονται το πεδίο σύγκλισης και οι πόλοι του ML του σήματος ( )x t .

ℑm

ℜe− b b

Σχήμα 6.5 Η περιοχή σύγκλισης του ΜL του σήματος tbetx −=)( και οι πόλοι του για b > 0.

Παράδειγμα 6.6 (Πολυωνυμικό εκθετικό σήμα).

Να υπολογιστεί ο ΜL του εκθετικού πολυωνυμικού σήματος τάξης m, που ορίζεται ως

( )x ttm e u t

mat( ) != − (6.19)

Λύση

Στο Παράδειγμα 6.1 έχουμε δείξει

e e dt s aat st− −

∞

∫ = +0

1 για ℜ > −ℜe s e a (6.20)

Παραγωγίζοντας ως προς a και τα δύο μέλη της (6.20) έχουμε


( ) ( )dda e e dt

s at e e dt

s aat st at st− −

∞− −

∞

∫ ∫=−+

=+0

20

21 1

&η (6.21)

Η τελευταία ισότητα δηλώνει ότι το σήμα ( )x t t e u tat( ) = − έχει ΜL

( ) ( )X s L t e u t

s aat= =

+− ( ) 1

2 με ℜ > −ℜe s e a (6.22)

Αν a = 0 έχουμε

( ) L t u t s=12 με ℜ >e s 0 (6.23)

Νέα παραγώγιση της (6.21) ως προς a δίνει

( )

t e e dts a

at st2

03

2− −∞

∫ =+

οπότε ( )

t e u ts a

at L2

321− ← →

+( ) (6.24)

Γενικά μπορεί να δειχθεί επαγωγικά ότι

( )

L tm e u t

s a

mat

m! ( )−+

=+

11 με ℜ > −ℜe s e a (6.25)

6.1.2 Ιδιότητες του Μετασχηματισμού Laplace Στην παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουμε μερικές ιδιότητες του ΜL. Οι ιδιότητες αυτές θα

μας βοηθήσουν στον υπολογισμό του ΜL σημάτων, χωρίς να χρειαστεί να υπολογίσουμε το ολοκλήρωμα ορισμού. Αρκετές από τις ιδιότητες θυμίζουν τις ιδιότητες του ΜF. Για τις αποδείξεις των ιδιοτήτων, όπου αυτές δεν είναι προφανείς, ο ενδιαφερόμενος αναγνώστης παραπέμπεται στο [1].

1. Γραμμικότητα

Αν x t X sL1 1( ) ( )← → με ΠΣ R1 και x t X sL

2 2( ) ( )← → με ΠΣ R2 τότε

a x t b x t a X s b X sL1 2 1 2( ) ( ) ( ) ( )+ ← → + με ΠΣ R R R= 1 2I

δηλαδή η περιοχή σύγκλισης του γραμμικού συνδυασμού είναι η τομή των επιμέρους περιοχών σύγκλισης των ( )X s1 και ( )X s2 . Σε ορισμένες περιπτώσεις είναι δυνατόν η περιοχή σύγκλισης να είναι μεγαλύτερη, όταν κάποια μηδενικά της μιας συνάρτησης ακυρώνουν κάποιους πόλους της άλλης.

2. Μετατόπιση στο χρόνο

Αν x t X sL( ) ( )← → με ΠΣ R τότε

x t t e X sL st( ) ( )− ← → −0

0 με την ίδια ΠΣ R

3. Μετατόπιση στη μιγαδική συχνότητα

Αν x t X sL( ) ( )← → με ΠΣ R τότε

e x t X s ss t L0

0( ) ( )← → − με ΠΣ R e s+ ℜ 0

όπου η σταθερά s0 , στη γενική περίπτωση, είναι μιγαδική ποσότητα. Η ΠΣ του X s s( )− 0


είναι η ΠΣ του X s( ) μετατοπισμένη κατά ℜe s 0 .

4. Κλιμάκωση στο χρόνο και στη συχνότητα

Αν x t X sL( ) ( )← → με ΠΣ σ σ1 2< ℜ <e s , τότε

x at a Xsa

L( ) | |← →

1 με ΠΣ

σ σ1 2a e s a< ℜ <

5. Παραγώγιση στη συχνότητα

Αν x t X sL( ) ( )← → με ΠΣ R , τότε

( )− ← →t x t d X sds

n Ln

n( ) ( ) με ΠΣ R

6. Ολοκλήρωση στη συχνότητα


x t

t X dL

s

( )( )← →

∞

∫ ξ ξ με ΠΣ R

7. Μετασχηματισμός Laplace παραγώγου


dx t

dt s X sL( )( )← → με την ίδια ΠΣ R

Η ΠΣ του s X s( ) μπορεί να είναι μεγαλύτερη από την R αν η X s( ) έχει ως απλό πόλο τον s = 0 ο οποίος ακυρώνεται με τον πολλαπλασιασμό με s . Επαγωγικά μπορούμε να γενικεύσουμε την παραπάνω ιδιότητα

d x t

dts X s

n

nL n( )

( )← →

8. Μετασχηματισμός Laplace ολοκληρώματος


x d s X st

L( ) ( )τ τ−∞∫ ← →

1 με ΠΣ την R e sI ℜ > 0

Η ΠΣ του ( ) ( )1 s X s μπορεί να είναι μεγαλύτερη από την R e sI ℜ > 0 αν ο πόλος στο μηδέν ακυρώνεται με αντίστοιχο μηδενικό της X s( ) .

9. Θεώρημα της συνέλιξης στο χρόνο

Αν x t X sL1 1( ) ( )← → με ΠΣ R1 και x t X sL

2 2( ) ( )← → με ΠΣ R2 , τότε

y t x t x t Y s X s X sL( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )= ∗ ← → = ⋅1 2 1 2

με περιοχή σύγκλισης την R R1 2I , δηλαδή, η περιοχή σύγκλισης του γινομένου ( ) ( )X s X s1 2⋅

Ενότητα 6.2 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace 169

είναι η τομή των επιμέρους περιοχών σύγκλισης των ( )X s1 και ( )X s2 . Είναι δυνατόν να ορίζεται και μεγαλύτερη περιοχή σύγκλισης, αν κάποια μηδενικά της μιας συνάρτησης ακυρώνουν κάποιους πόλους της άλλης. Παρατηρούμε, δηλαδή, ότι όπως και στην περίπτωση του ΜF, η συνέλιξη μετασχηματίζεται σε γινόμενο.

10. Θεώρημα αρχικής και τελικής τιμής Έστω το αιτιατό σήμα x t( ) , το οποίο δεν περιέχει κρουστικές συναρτήσεις στο t = 0 , με

ΜL X s( ) και περιοχή σύγκλισης ℜ >e s σ 0 . Τότε ισχύει

x sX ss

( ) lim ( )0+→∞

= (Αρχική τιμή)

όπου x( )0+ είναι η τιμή του σήματος x t( ) όταν η μεταβλητή t πλησιάζει το μηδέν από θετικές τιμές. Επίσης, αν η sX s( ) είναι αναλυτική συνάρτηση στο φανταστικό άξονα και στο δεξιό μιγαδικό ημιεπίπεδο, τότε ισχύει lim ( ) lim ( )

t sx t sX s

→∞ →=

0 (Τελική τιμή)

Πέρα από τα στοιχειώδη σήματα, τα οποία μελετήθηκαν στα Παραδείγματα 6.1 - 6.4,

υπάρχουν και αρκετά άλλα που επίσης συναντώνται ως συστατικά μέρη άλλων σημάτων, που αντιμετωπίζουμε στη μελέτη γραμμικών συστημάτων. Οι ΜL των σημάτων αυτών υπολογίζονται με τη βοήθεια του ορισμού και των ιδιοτήτων του μετασχηματισμού Laplace. Στον Πίνακα 6.1 υπάρχουν οι ΜL και οι αντίστοιχες περιοχές σύγκλισης για τις πλέον συνηθισμένες και χρήσιμες περιπτώσεις.

6.2 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Αν σ είναι ένας πραγματικός αριθμός, έχουμε παρατηρήσει ότι ο ΜL X s( ) του σήματος

x t( ) συμπίπτει με το ΜF του σήματος x t x t e tσ

σ( ) ( )= − σε όλα τα σημεία του μιγαδικού επιπέδου S που ανήκουν στην ευθεία ℜ =e s σ . Πράγματι

( ) ( )X s x t e dt X j x t e dt x t e dtst j t j t( ) ( ) , & ( ) ( )= + = =−

−∞

∞− + −

−∞

∞

−∞

∞

∫ ∫∫η σ ω σ ωσ

ω (6.26)

Έτσι, αν χρησιμοποιήσουμε τον τύπο αντιστροφής του ΜF, παίρνουμε,

( )x t e F X j X j e dt j t( ) ( )− −

−∞

∞

= + = +∫σ ωσ ω π σ ω ω1 12 (6.27)

ή πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέλη με e tσ έχουμε

( ) ( )x t X j e dj t( ) = + +

−∞

∞

∫1

2π σ ω ωσ ω (6.28)

με αλλαγή μεταβλητής από σ ω+ j σε s οδηγούμαστε στην εξίσωση αντιστροφής του ΜL (είναι ds j d= ω αφού η σ είναι σταθερά), ή

x t j X s e dsst

j

j

( ) ( )=− ∞

+ ∞

∫1

2πσ

σ

(6.29)


Πίνακας 6.1 Μετασχηματισμοί Laplace μερικών βασικών σημάτων

Σήμα Μετασχηματισμός Laplace Περιοχή σύγκλισης 1 δ( )t 1 Για κάθε s 2 u t( ) 1

s ℜ >e s 0

3 − −u t( ) 1s ℜ <e s 0

4 e u tat− ( ) 1s a+ ℜ > −ℜe s e a

5 − −−e u tat ( ) 1s a+ ℜ < −ℜe s e a

6 tm e u t

mat

! ( )− 1

1( )s a m+ + ℜ > −ℜe s e a

7 − −−t

m e u tm

at! ( )

11( )s a m+ +

ℜ < −ℜe s e a

8 δ( )t T− e sT− Για κάθε s 9 [ ]cos( ) ( )ω0t u t s

s202+ ω

ℜ >e s 0

10 [ ]sin( ) ( )ω0t u t ωω

02

02s +

ℜ >e s 0

11 [ ]e t u tat− cos( ) ( )ω0 s as a

++ +( )2

02ω

ℜ > −ℜe s e a

12 [ ]e t u tat− sin( ) ( )ω0 ωω

02

02( )s a+ +

ℜ > −ℜe s e a

13 ( )

( )u t

d td tn

n

n=δ

sn Για κάθε s

Το ολοκλήρωμα έχει τη έννοια ότι η ολοκλήρωση εκτελείται πάνω στην ευθεία ℜ =e s σ , η οποία πρέπει να περιέχεται στο πεδίο σύγκλισης του X s( ) .

6.2.1 Υπολογισμός του Αντίστροφου Μετασχηματισμού Laplace Ο απευθείας υπολογισμός του αντίστροφου ML μέσω της επίλυσης του ολοκληρώματος

της (6.29) απαιτεί εφαρμογή τεχνικών ολοκλήρωσης μιγαδικών συναρτήσεων. Η μέθοδος αυτή μπορεί να αποδειχθεί επίπονη διαδικασία και γι’αυτό συνήθως ακολουθούνται έμμεσοι τρόποι υπολογισμού του αντιστρόφου ML.

Αν η μορφή της συνάρτησης X s( ) είναι απλή και μπορεί εύκολα να εκφραστεί ως άθροισμα επιμέρους στοιχειωδών όρων, τότε με τη χρήση των γνωστών ML (Πίνακας 6.1) και των ιδιοτήτων του ML μπορούμε απευθείας να υπολογίσουμε τον )()(1 txsXL =− . Όπως έχουμε παρατηρήσει και στα αντίστοιχα παραδείγματα, στα περισσότερα προβλήματα που αντιμετωπίζουμε στη θεωρία των συστημάτων, ο ML έχει τη μορφή ρητής συνάρτησης. Στις περιπτώσεις αυτές ο ML μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα απλών κλασμάτων, για

Ενότητα 6.2 Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace 171

καθένα από τα οποία υπολογίζουμε τον αντίστροφο ML, με τη βοήθεια του Πίνακα 6.1. Στο Παράρτημα Β περιγράφονται οι τρόποι ανάλυσης ρητών συναρτήσεων σε απλά κλάσματα. Στα παραδείγματα που ακολουθούν εφαρμόζουμε τη μέθοδο αυτή. Παράδειγμα 6.7 (Οι ρίζες του παρoνομαστή είναι απλές και πραγματικές)

Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ΜL της συνάρτησης ( )X s , όπου

( )X ss

s s=

++ +3 7

4 32 με ΠΣ ℜ > −e s 1 (6.30)

Λύση

Οι ρίζες του παρoνομαστή είναι ρ1 1= − και ρ2 3= − . Η ( )X s μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα μερικών κλασμάτων

( )X ss

s sC

sC

s=+

+ + = + + +3 71 3 1 3

1 2( ) ( ) (6.31)

και υπολογίζουμε τις σταθερές C1 και C2 ως εξής:

( ) ( )C s X ss

ss s1 1

3 73 21 1

= + =+

+ ==−=−

και ( ) ( )C s X ssss s

2 33 7

1 13 3= + =

++ ==−

=−

Άρα

( )X s s s= + + +2

11

3 (6.32)

Ο ( ) L X s−1 είναι ίσος με το άθροισμα των αντίστροφων ML των μερικών κλασμάτων οι οποίοι βρίσκονται εύκολα με τη βοήθεια του ζεύγους (4) του Πίνακα 6.1. Τελικά ο ζητούμενος αντίστροφος ML είναι

( ) [ ] ( )x t e e u tt t= +− −2 3 (6.33)

Παράδειγμα 6.8 (Ύπαρξη πολλαπλής πραγματικής ρίζας )

Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ΜL της συνάρτησης ( )X s , όπου

( )( ) ( )X s

s ss s

=− +

− −

2

23 1

1 2 με ΠΣ ℜ >e s 2 (6.34)

Λύση

Ο παρoνομαστής έχει μια διπλή πραγματική ρίζα την ρ1 1= και μια απλή την ρ2 2= . Η ( )X s μπορεί να εκφραστεί ως άθροισμα μερικών κλασμάτων

( )( ) ( ) ( )

X sC

sC

sC

s=

−+

−+

−11 12

221

1 1 2 (6.35)

Υπολογίζουμε τις σταθερές C11 , C12 και C21


( ) ( ) ( )[ ]Cdds s X s

dds

s sss s

112

1

2

1

12 1 1

3 12 1= − − =

− +−

=

= =!

( ) ( )[ ]C s X ss s

sss

122

1

2

1

13 1

2 2= − =− +

− ==

=

( ) ( )[ ] ( )C s X ss s

sss

21 2

2

22

23 11

1= − =− +−

= −=

=

Άρα

( )( ) ( ) ( )X ss s s

=−

+−

−−

11

21

122 (6.36)

Με τη βοήθεια των ζευγών ΜL (4) και (6) του Πίνακα 6.1, ο ( ) L X s−1 προκύπτει

( ) [ ] ( )tueeettx ttt 22 −+= (6.37)

Παράδειγμα 6.9 (Ύπαρξη μιγαδικών ριζών )

Να υπολογιστεί ο αντίστροφος ΜL της συνάρτησης ( )X s όπου

( )X ss

s s=

++ +

24 132 με ΠΣ ℜ > −e s 2 (6.38)

Λύση Οι ρίζες του παρoνομαστή είναι ρ1 2 3= − + j και ρ2 2 3= − − j . Η ( )X s μπορεί να

εκφραστεί ως άθροισμα μερικών κλασμάτων

( )X sC

s jC

s j= + − + + +1 2

2 3 2 3 (6.39)

Υπολογίζουμε τις σταθερές C1 και C2

Cs

s j s j1

22 3

122 3

=+

+ + ==− +

και Cs

s j s j2

22 3

122 3

=+

+ − ==− −

Άρα

( )X s s j s j= + + + + −1 22 3

1 22 3

/ / (6.40)

Ο αντίστροφος ΜL λόγω της (4) του Πίνακα 6.1 είναι

( ) [ ] ( ) [ ] ( ) ( ) ( )x t e e u t e e e u t e t u tj t j t t jt jt t= + = + =− + − − − − −12

12 32 3 2 3 2 3 3 2( ) ( ) cos (6.41)

Στην περίπτωση που έχουμε μιγαδικές ρίζες, μπορούμε να ακολουθήσουμε έναν εναλλακτικό τρόπο, ο οποίος βασίζεται στα ζεύγη ΜL (9), (10), (11) και (12) του Πίνακα 6.1. Η ( )X s γράφεται

( )( )X s

ss s

ss

=+

+ +=

++ +

24 13

22 32 2 2 (6.42)

Ενότητα 6.3 Εφαρμογές των Μετασχηματισμών Laplace 173

Με τη βοήθεια του ζεύγους ML (11) στο Πίνακα 6.1 παρατηρούμε ότι

( ) ( ) ( )L X s e t u tt− −=1 2 3cos (6.43)

6.3 Ο Μονόπλευρος Μετασχηματισμός Laplace Στην Παράγραφο 6.1 ορίσαμε τον ML. Στην παράγραφο αυτή θα ορίσουμε το Μονόπλευρο

Μετασχηματισμό Laplace (ΜML) του σήματος x t( ) . Θα εστιάσουμε στα βασικά σημεία του ΜML και κυρίως σε αυτά που τον διαφοροποιούν από το ΜL.

Η διαφορά μεταξύ των δύο μετασχηματισμών εντοπίζεται στα όρια ολοκλήρωσης του ορισμού. Αν το κάτω όριο στο ολοκλήρωμα στη σχέση (6.1) είναι το μηδέν, τότε ορίζεται ο μονόπλευρος μετασχηματισμός Laplace

( )L Xx t s x t e dtst( ) ( )= ≡ −∞

∫0

(6.44)

Προφανώς αν δύο σήματα είναι διαφορετικά για t < 0 και ίσα για t ≥ 0 τότε έχουν τον ίδιο MML και διαφορετικό ML. Για αιτιατά σήματα, x t( ) = 0 για t < 0 , ο ΜL και ο ΜΜL συμπίπτουν. Η διαφορά αυτή μεταξύ των δύο ορισμών είναι ουσιαστική και όπως θα δούμε παρέχει στον ΜΜL τη δυνατότητα επίλυσης διαφορικών εξισώσεων, οι οποίες έχουν μη μηδενικές αρχικές συνθήκες. Όταν το σήμα περιέχει συναρτήσεις ( )δ t , ο ορισμός του ορίου στο μηδέν απαιτεί προσοχή, διότι το αποτέλεσμα θα εξαρτάται εάν προσεγγίζουμε το μηδέν από αριστερά ή από δεξιά. Στην περίπτωσή μας θεωρούμε το όριο από αριστερά ( )t → −0 και επομένως η συνάρτηση ( )δ t εμπεριέχεται στο ολοκλήρωμα. Εάν δεν υπάρχουν συναρτήσεις

( )δ t , το παραπάνω σχόλειο είναι άνευ σημασίας. Το σύνολο των μιγαδικών αριθμών s j= +σ Ω πάνω στο οποίο υπάρχει και ορίζεται η

( )X s , όπου δηλαδή το αντίστοιχο ολοκλήρωμα ορισμού συγκλίνει, ονομάζεται περιοχή σύγκλισης (ΠΣ) της ( )X s . Στον Πίνακα 6.2 αναφέρονται οι ιδιότητες του ΜΜL.

6.4 Εφαρμογές των Μετασχηματισμών Laplace Στην ενότητα αυτή θα αναπτύξουμε τις εφαρμογές των μετασχηματισμών Laplace.

Ειδικότερα θα συστηματοποιήσουμε τη δυνατότητα που παρέχει ο ΜML για την επίλυση διαφορικών εξισώσεων οι οποίες έχουν μη μηδενικές αρχικές συνθήκες και θα εφαρμόσουμε τη διαδικασία αυτή στη μελέτη ΓΧΑ συστημάτων. Τελειώνοντας, θα εξετάσουμε τη σχέση που υπάρχει μεταξύ της θέσης των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς στο μιγαδικό επίπεδο με τις ιδιότητες της αιτιότητας και της ευστάθειας ενός ΓΧΑ συστήματος.

6.4.1 Επίλυση γραμμικής διαφορικής εξίσωσης με τη βοήθεια ΜΜL Λόγω της ιδιότητας του ΜΜL που αναφέρεται στην παράγωγο και το ολοκλήρωμα μιας

συνάρτησης, έχουμε τη δυνατότητα να επιλύουμε γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές. Η γενική μορφή μιας γραμμικής διαφορικής εξίσωσης με σταθερούς συντελεστές είναι


Πίνακας 6.2 Οι ιδιότητες του Μονόπλευρου Μετασχηματισμού Laplace Ιδιότητα Σήμα Μονόπλευρος ΜL

( )x t ( )x t1 ( )x t2

( )X s ( )X1 s ( )X2 s

Γραμμικότητα ( ) ( )a x t b x t1 2+ ( ) ( )a s b sX X1 2+ Μετατόπιση στη συχνότητα ( )e x ts t0 ( )X s s− 0 Κλιμάκωση στο χρόνο ( )x a t a, > 0 ( )1

asaX

Συνέλιξη ( )x t1 0= , ( )x t2 0= για t < 0

( ) ( )x t x t1 2∗ ( ) ( )X X1 2s s⋅

Παραγώγιση στο χρόνο ∗ ( )dd t x t ( ) ( )s s xX − −0

Παραγώγιση στη συχνότητα ( )− t x t ( )d

d s sX

Ολοκλήρωση στο χρόνο ∗ ( )x dt

τ τ−∞∫ ( ) ( )1 1 0

s s s x dX +−∞

−

∫ τ τ ∗ Όταν οι αρχικές συνθήκες είναι μηδέν, οι ιδιότητες της παραγώγισης και τις ολοκλήρωσης του ΜΜL είναι οι ίδιες με τις αντίστοιχες του ΜL.

ad x t

dta

d x tdt

adx t

dt a x t g tn

n

n n

n

n( ) ( ) ( )

( ) ( )+ + + + =−

−

−1

1

1 1 0L (6.45)

με αρχικές συνθήκες

x t bdx tdt b

d x tdt

btt

n

nt

n( ) ,( )

, ,( )

==

−

−=

−= = =0 00

1

1

10

1L (6.46)

Τα βήματα που ακολουθούμε για την επίλυση της είναι 1. Παίρνουμε το ΜΜL και στα δύο μέλη της εξίσωσης. Λόγω της γραμμικότητας ο ΜML

του αριστερού μέρους ισούται με το άθροισμα των ΜML των επιμέρους όρων. 2. Λύνουμε την εξίσωση που προκύπτει ως προς τον ΜML X( )s της συνάρτησης ( )x t . 3. Βρίσκουμε τον L X−1 ( )s , δηλαδή τη λύση x t( ) .

Εφαρμόζουμε τα παραπάνω στο παράδειγμα που ακολουθεί. Παράδειγμα 6.10

Να επιλυθεί η διαφορική εξίσωση

dx t

dt x t x d u tt( ) ( ) ( ) ( )+ + =

−∞∫3 2 ξ ξ (6.47)


με αρχικές συνθήκες x( )0 2− = και x d( )ξ ξ−∞

−

∫ =0

0 .

Λύση

Εφαρμόζοντας ΜΜL και στα δύο μέρη της (6.47) και χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες που αναφέρονται στην παράγωγο, το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης και τις αρχικές συνθήκες έχουμε

s s x ss

s s x d sX XX

( ) ( ) ( )( )

( ) , &− + + + =−

−∞

−

∫0 32 2 10

ξ ξ η s s ss

s sX XX

( ) ( )( )

− + + =2 32 1

και τελικά

X( )ss

s s s s=+

+ += − + + +

2 13 2

11

322 (6.48)

Εφ’ όσον ( )x t = 0 , για t < 0 , οι ( )X s και ( )X s ταυτίζονται. Άρα ο αντίστροφος ΜΜL της ( )X s δίνει τη λύση της διαφορικής εξίσωσης που είναι

[ ]x t s e e u tt t( ) ( ) ( )= = − +− − −L X1 23 (6.49)

6.4.2 Η χρήση του μετασχηματισμού Laplace στην ανάλυση ΓΧΑ συστημάτων Στην παράγραφο αυτή θα εστιάσουμε σε εφαρμογές του ML στη μελέτη ΓΧΑ

συστημάτων βασισμένη στη γνώση των αντίστοιχων σημάτων εισόδου και εξόδου. Στο Κεφάλαιο 2 είδαμε ότι η έξοδος y t( ) ενός ΓΧΑ συστήματος συνδέεται με την είσοδό του x t( ) με το ολοκλήρωμα της συνέλιξης

( ) ( )y t x t h t h x t d( ) ( ) ( )= ∗ = −−∞

∞

∫ τ τ τ (6.50)

Λόγω της ιδιότητας της συνέλιξης του ML έχουμε Y s H s X s( ) ( ) ( )= ⋅ με ℜ >e s σ (6.51)

για κάποιο σ και ( )H s είναι η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος (Ενότητα 2.5). Παρατηρούμε ότι η ( )H s δίνεται ως πηλίκο των ML της εξόδου του συστήματος προς τον

ML της εισόδου του συστήματος, δηλαδή H s Y s X s( ) ( ) / ( )= . Στο Κεφάλαιο 2, επίσης, έχουμε δει ότι αν εκμεταλλευθούμε τις φυσικές σχέσεις που

υπάρχουν μεταξύ των στοιχείων ενός ΓΧΑ συστήματος, καταλήγουμε σε μια γραμμική διαφορική εξίσωση με σταθερούς συντελεστές, η οποία έχει τη γενική μορφή

ad y t

dtb

d x tdtk

k

kk

N

k

k

kk

M( ) ( )= =∑ ∑=

0 0 (6.52)

όπου a k Nk , , , ,= 0 1 2 L και b k Mk , , , ,= 0 1 2 L πραγματικές σταθερές, οι οποίες περιγράφουν το σύστημα. Εφαρμόζοντας το ML και στα δύο μέλη της (6.52), καταλήγουμε στη σχέση


H sY sX s

b s

a sk

kk

M

kk

k

N( )( )( )= = =

=

∑∑

0

0

(6.53)

Από την (6.53) υπολογίζουμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος με τη βοήθεια των συντελεστών a k Nk , , , ,= 0 1 2 L και b k Mk , , , ,= 0 1 2 L . Παρατήρηση

Τόσο η (6.51) όσο και η (6.53), προϋποθέτουν ότι γνωρίζουμε τις εμπλεκόμενες συναρτήσεις για t > −∞ , με άλλα λόγια για μηδενικές αρχικές συνθήκες. Εάν οι εμπλεκόμενες συναρτήσεις είναι αιτιατές και οι αρχικές συνθήκες είναι μηδέν θα φτάσουμε στις (6.51) και (6.53) και με τον ΜΜL, που σ’ αυτήν την περίπτωση ταυτίζεται με τον ML. Δηλαδή η συνάρτηση μεταφοράς ( )H s έχει νόημα μόνο κάτω από μηδενικές αρχικές συνθήκες. Αν οι αρχικές συνθήκες δεν είναι μηδέν τότε η (6.53) θα έχει στο δεύτερο μέρος και έναν άλλο όρο, που θα εξαρτάται από τις αρχικές συνθήκες. Σε μια τέτοια περίπτωση η συνάρτηση μεταφοράς δεν θα ήταν συνάρτηση μόνο των σημάτων εισόδου εξόδου αλλά και των εκάστοτε αρχικών συνθηκών. Παράδειγμα 6.11

Να υπολογιστεί η συνάρτηση μεταφοράς και η κρουστική απόκριση του κυκλώματος του Σχήματος 6.6. Αν το κύκλωμα αρχικά ηρεμεί και στην είσοδό του, κατά τη χρονική στιγμή t0 0= , εφαρμόσουμε πηγή σταθερής τάσης V , να προσδιοριστεί η τάση στα άκρα της αντίστασης, ( )υR t , σε συνάρτηση με το χρόνο.

L

R( )i t

υin V= ( )υR t

∆

Σχήμα 6.6 Το κύκλωμα του Παραδείγματος 6.11.

Λύση

Εφαρμόζουμε το δεύτερο κανόνα Kirchhoff στο κύκλωμα και παίρνουμε

( )( )

( )υin t Ldi t

dt Ri t− − = 0 (6.54)

και επειδή υυ

RRi R

ddt R

didt= =, έχουμε

( )

( ) ( )d td t

RL t

RL tR

R inυ

υ υ+ = (6.55)

Το σύστημα έχει μηδενικές αρχικές συνθήκες, έτσι εφαρμόζοντας το ML και στα δύο μέλη της (6.55) παίρνουμε

( ) ( ) ( )sV sRL V s

RL V sR R in+ =

από την οποία προσδιορίζεται η συνάρτηση μεταφοράς του κυκλώματος


( )H sR L

s R L= +/

/ (6.56)

το ΠΣ είναι ℜ > −e s R L , αφού το σύστημα πρέπει να είναι αιτιατό. Η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι

( ) ( ) ( )h t L H sRL e u t

RL t

= =− −1 (6.57)

Επειδή η είσοδος είναι πηγή σταθερής τάσης, η οποία εφαρμόζεται τη χρονική στιγμή t0 0= , έχουμε

( ) ( ) ( )υinL

int V u t V sVs= ← → = (6.58)

Το σύστημα βρίσκεται σε ηρεμία και ο ML της εξόδου V sR( ) υπολογίζεται με τη βοήθεια του θεωρήματος της συνέλιξης που δίνει

( ) ( ) ( )( )( )[ ]V s H s V s

V R Ls s R LR in= =

⋅+

// = + +

V

RL

Cs

Cs R L

1 2( / ) ( )= − +

V s s R L

1 1/ (6.59)

όπου η V sR( ) έχει αναλυθει σε απλά κλάσματα και οι σταθερές C L R1 = / και C L R2 = − / έχουν προκύψει με το γνωστό τρόπο. Η έξοδος ( )υR t υπολογίζεται με τον αντίστροφο ML της V sR( ) , δηλαδή

( ) ( ) ( ) ( )υR

RL t

RL tt V u t V e u t V e u t= − = −

− −1 (6.60)

6.4.3 Παρατηρήσεις για την περιοχή σύγκλισης του μετασχηματισμού Laplace Όπως γνωρίζουμε, ο ΜL είναι συνάρτηση της μιγαδικής μεταβλητής s. Υπενθυμίζουμε ότι

οι ρίζες του αριθμητή N s( ) στην (6.15) ονομάζονται μηδενικά της X s( ) . Προφανώς στα σημεία αυτά η X s( ) μηδενίζεται. Επίσης, οι ρίζες του παρονομαστή D s( ) , όπου η X s( ) δεν ορίζεται, ονομάζονται πόλοι της X s( ) .

Για να είναι ένα σύστημα αιτιατό πρέπει η περιοχή σύγκλισης να είναι το δεξιό ημιεπίπεδο του μιγαδικού επιπέδου με σύνορο τη γραμμή που είναι κάθετη στον πραγματικό άξονα στη θέση − ℜe ak max , όπου ak με k = 1 2, ,K είναι οι πόλοι της H s( ) και max συμβολίζει τον πόλο με το μέγιστο πραγματικό μέρος (βλέπε Παράδειγμα 6.1). Με άλλα λόγια, το πεδίο σύγκλισης ενός αιτιατού συστήματος είναι το μέγιστο δυνατό δεξιό ημιεπίπεδο, το οποίο δεν περιέχει πόλους της H s( ) .

Αν ο βαθμός του πολυωνύμου του N s( ) είναι μεγαλύτερος ή ίσος από το βαθμό του πολυωνύμου D s( ) , τότε, πριν αναλύσουμε σε απλά κλάσματα, πρέπει να εκτελέσουμε τη διαίρεση N s D s( ) / ( ) . Στην περίπτωση αυτή η H s( ) περιλαμβάνει όρους της μορφής

c s kk , > 0 . Ας θεωρήσουμε τώρα ένα σύστημα στη συνάρτηση μεταφοράς, H s( ) , του οποίου υπάρχει ο όρος c s . Τότε αν η είσοδος του συστήματος είναι η ( )u t , η οποία έχει ML

ίσο με 1 / s , η έξοδος του συστήματος θα είναι η ( ) ( ) ( )y t L c s s c t= =−1 1 / δ . Παρατηρούμε ότι, η έξοδος του συστήματος δεν είναι φραγμένη, σε αντίθεση με την είσοδό του η οποία


είναι φραγμένη. Με βάση τα παραπάνω καταλήγουμε σε ένα πρώτο συμπέρασμα για να είναι ένα σύστημα ΦΕΦΕ ευσταθές θα πρέπει ο βαθμός του πολυωνύμου του N s( ) να είναι μικρότερος ή ίσος από το βαθμό του πολυωνύμου D s( ) .

Στη συνέχεια θα δούμε ότι πέρα από τη σχέση των βαθμών των πολυωνύμων N s( ) και D s( ) , η θέση των πόλων της H s( ) καθορίζει την ευστάθεια του συστήματος. Στο Παράδειγμα 2.4 έχουμε δει ότι για να είναι ένα σύστημα ΦΕΦΕ ευσταθές πρέπει η κρουστική απόκρισή του να είναι απόλυτα ολοκληρώσιμη. Στην περίπτωση όμως αυτή υπάρχει ο ΜF της, δηλαδή η απόκριση συχνότητας του συστήματος H ( )ω . Γνωρίζουμε, επίσης, ότι για να υπάρχει ο MF πρέπει το πεδίο σύγκλισης του ΜL να περιέχει το φανταστικό άξονα. Έτσι, για να είναι το σύστημα ΦΕΦΕ ευσταθές, πρέπει ο φανταστικός άξονας να περιέχεται στο πεδίο σύγκλισης του ML.

Συνδυάζοντας τώρα τα παραπάνω καταλήγουμε ότι για να είναι ένα σύστημα ταυτόχρονα αιτιατό και ΦΕΦΕ ευσταθές πρέπει 1. η περιοχή σύγκλισης να είναι το δεξιό ημιεπίπεδο του μιγαδικού επιπέδου με σύνορο τη

γραμμή που είναι κάθετη στον πραγματικό άξονα στη θέση − ℜe ak max και 2. ο φανταστικός άξονας να περιέχεται στο πεδίο σύγκλισης του ML.

Γενικότερα, η θέση των πόλων της X s( ) ενός σήματος στο μιγαδικό επίπεδο προσδιορίζει τη συμπεριφορά του σήματος. Ειδικότερα, ισχύουν τα εξής • Πόλοι στο αριστερό ημιεπίπεδο του S αντιστοιχούν σε σήματα τα οποία στο πεδίο του

χρόνου είναι πολλαπλασιασμένα με e a t− που φθίνει εκθετικά προς το μηδέν καθώς t → ∞ . Σε αντίθεση πόλοι στο δεξιό ημιεπίπεδο του S αντιστοιχούν σε σήματα πολλαπλασιασμένα με e a t , που αυξάνεται εκθετικά προς το άπειρο καθώς t → ∞ .

• Απλοί πόλοι στο φανταστικό άξονα αντιστοιχούν σε σήματα των οποίων το πλάτος παραμένει σταθερό με το χρόνο ενώ πολλαπλοί πόλοι στο φανταστικό άξονα αντιστοιχούν σε σήματα πολλαπλασιασμένα με t n .

• Μιγαδικοί συζυγείς πόλοι αντιστοιχούν σε σήματα που υφίστανται ταλάντωση (περιέχουν ημιτονικούς όρους) (Παράδειγμα 6.9). Αν το πραγματικό μέρος των συζυγών πόλων είναι μηδέν, τότε έχουμε αμείωτες ταλαντώσεις, ενώ αν το πραγματικό μέρος είναι μη μηδενικό, έχουμε ταλαντώσεις εκθετικά αύξουσες, αν οι συζυγείς πόλοι βρίσκονται στο θετικό ημιεπίπεδο, ή εκθετικά φθίνουσες, αν οι συζυγείς πόλοι βρίσκονται στο αρνητικό ημιεπίπεδο. Παρόμοια ισχύουν και για την κρουστική απόκριση ενός συστήματος ανάλογα με τη θέση

των πόλων της ( )H s στο μιγαδικό επίπεδο. Στο Σχήμα 6.7 παριστάνονται οι ιδιότητες ενός αιτιατού συστήματος και η συμπεριφορά της κρουστικής απόκρουσης του, όπως αυτή προσδιορίζεται από τη θέση των πόλων του στο μιγαδικό επίπεδο. Παράδειγμα 6.12

Να δειχθεί ότι το κύκλωμα του Σχήματος 6.6 είναι ευσταθές σύστημα.

Λύση Η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος έχει ένα πόλο στη θέση ( )− <R L/ 0 , άρα το

σύστημα είναι ευσταθές.


jω

σ

Ευσταθές Ασταθές Σχήμα 6.7 Οι ιδιότητες ενός συστήματος και η συμπεριφορά της κρουστικής του απόκρισης ανάλογα τη θέση των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς του στο μιγαδικό επίπεδο.


Ένα ΓΧΑ σύστημα έχει συνάρτηση μεταφοράς

( ) ( ) ( )H ss

s s=+

+ −1

2 1 (6.61)

Να υπολογιστεί η κρουστική απόκριση του συστήματος. Λύση

Η ( )H s αναλύεται σε απλά κλάσματα της μορφής

( )H s s s= + + −13

12

23

11 (6.62)

Για το ΓΧΑ σύστημα του παραδείγματος δεν προσδιορίζεται η περιοχή σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς. Οι πιθανές περιοχές σύγκλισης είναι οι τρεις, οι οποίες εικονίζονται στο Σχήμα 6.8. Αν το σύστημα είναι αιτιατό, η περιοχή σύγκλισης είναι ℜ >e s 1 (Σχήμα 6.8α) και η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι

( ) [ ] ( )h t e e u tt t= +−13

23

2 (6.63)

Παρατηρείστε ότι το σύστημα σ’ αυτήν την περίπτωση δεν είναι ευσταθές, δεδομένου ότι h t( ) → ∞ όταν t → ∞ . Αν το σύστημα είναι ευσταθές, η περιοχή σύγκλισης είναι η − < ℜ <2 1e s (Σχήμα 6.8β)

και η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι

( ) ( ) ( )h t e u t e u tt t= − −−13

23

2 (6.64)

Παρατηρείστε ότι το σύστημα τώρα δεν είναι αιτιατό.


ℑm

ℜe− 2 1

ℑm

ℜe− 2 1

ℑm

ℜe− 2 1

(α) (β) (γ)

Σχήμα 6.8 Οι πιθανές περιοχές σύγκλισης της συνάρτησης μεταφοράς για το σύστημα του Παραδείγματος 6.13 (α) αιτιατό (β) ευσταθές και (γ) μη αιτιατό μη ευσταθές σύστημα.

Τέλος, αν η περιοχή σύγκλισης του συστήματος είναι ℜ < −e s 2 (Σχήμα 6.8γ), το σύστημα δεν είναι ούτε αιτιατό, ούτε ευσταθές και η κρουστική απόκριση του συστήματος είναι

( ) ( ) ( )h t e u t e u tt t= − − − −−13

23

2 (6.65)

Σύνοψη Κεφαλαίου

Στο κεφάλαιο αυτό ορίσαμε τον ML και το ΜΜL, παρουσιάστηκαν οι ιδιότητές τους και υπολογίσαμε τους ΜL ορισμένων βασικών σημάτων, τα οποία συναντάμε στη μελέτη γραμμικών συστημάτων. Στη συνέχεια προσδιορίσαμε τον αντίστροφο ΜL. Είδαμε ότι αν η μορφή του ΜL είναι απλή τότε μπορούμε να υπολογίσουμε τον αντίστροφο ΜL με τη βοήθεια του Πίνακα 6.1. Αν ο ΜL δεν έχει απλή μορφή αλλά είναι ρητή συνάρτηση, τότε αναλύουμε τη συνάρτηση σε απλά κλάσματα και με τη βοήθεια των ιδιοτήτων του ΜL και του Πίνακα 6.1 υπολογίζουμε εύκολα το σήμα χωρίς να καταφύγουμε στην εξίσωση αντιστροφής.

Επίσης στο κεφάλαιο αυτό αναπτύξαμε τις εφαρμογές του ΜL. Ειδικότερα εξετάσαμε τη δυνατότητα που έχει ο ΜΜL να επιλύει γραμμικές διαφορικές εξισώσεις με σταθερούς συντελεστές, οι οποίες δεν έχουν μηδενικές αρχικές συνθήκες. Η δυνατότητα αυτή οφείλεται στις ιδιότητες του ΜΜL που αναφέρονται στην παράγωγο και το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης. Στη συνέχεια παρουσιάστηκαν οι εφαρμογές των μετασχηματισμών Laplace σε ότι αφορά τη μελέτη ΓΧΑ συστημάτων. Προσδιορίσαμε τη συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος από τη διαφορική εξίσωση που σχετίζει την έξοδο και την είσοδο του συστήματος, υποθέτοντας ότι οι αρχικές συνθήκες είναι μηδενικές. Επίσης με τη βοήθεια της διαφορικής εξίσωσης, προσδιορίσαμε το MΜL της εξόδου του συστήματος, το οποίο μπορεί να μη βρίσκεται σε κατάσταση ηρεμίας και αντιστρέφοντας το MΜL προσδιορίσαμε την έξοδο του συστήματος. Τέλος παρουσιάστηκαν τα συμπεράσματα που εξάγουμε από την περιοχή σύγκλισης και τη θέση των πόλων της συνάρτησης μεταφοράς του συστήματος στο μιγαδικό επίπεδο και τα οποία αφορούν την ευστάθεια και την αιτιότητα του συστήματος καθώς και τη συμπεριφορά της κρουστικής απόκρισης του συστήματος.

Ενότητα 6.5 Ασκήσεις 181

6.5 Ασκήσεις

6.1 Να υπολογιστεί το αιτιατό σήμα που έχει μετασχηματισμό Laplace

( )X ss

s s=

++ +3 7

4 32 (6.66)


( )X ss

s s=

−− −3 5

2 32 (6.67)


( )X ss

s=

+2 4 (6.68)


( )X ss

s s=

++ +

24 132 (6.69)


( )X ss

s s=

++

4 124

2

3 (6.70)


( ) 23

2

3155

sssssX

+++

= (6.71)

6.7 Να υπολογιστεί η συνέλιξη των σημάτων ( ) ( ) ( )x t u t u t1 1= − − και ( ) ( ) ( )x t u t u t2 2= − −

με τη βοήθεια της ιδιότητας της συνέλιξης του μετασχηματισμού Laplace.

6.8 Να υπολογιστεί ο αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace της συναρτήσεως

( )X ss s

=+ +

13 22 (6.72)

6.9 Η συνάρτηση μεταφοράς, ενός ΓΧΑ αιτιατού συστήματος, είναι

( )H ss

s s=

++ +

12 22 (6.73)

Να υπολογιστεί η απόκριση ( )y t του συστήματος όταν το σήμα εισόδου ( )x t δίνεται από την


( )x t e t= −| | , − ∞ < < ∞t (6.74)

Να προσδιορίσετε το πεδίο σύγκλισης κάθε φορά που παρουσιάζεται μετασχηματισμός Laplace.

6.10 Για το κύκλωμα RLC που περιγράφεται στο σχήμα. α) Να προσδιοριστεί η συνάρτηση μεταφοράς του συστήματος. Είναι το σύστημα ευσταθές; β) Να προσδιοριστεί η γραμμική διαφορική εξίσωση η οποία συνδέει την είσοδο του κυκλώματος υin(t) και την έξοδό του υ0(t) .

R = 3Ω

C F= 0 5,

L H= 1

( )i t

( )υin t

A B

Γ∆

( )υo t

γ) Αν η είσοδος του κυκλώματος είναι υin3t(t) e u(t)= − με τη βοήθεια του μετασχηματισμού

Laplase να υπολογίσετε την έξοδο υ0(t) για t>0, όταν οι αρχικές συνθήκες είναι υ0(0) 1= και d (t)

dt 20

t 0

υ

== .

6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACEcgi.di.uoa.gr/~k14/sig_sys6_04.pdf6....

Documents

Transcript of 6. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACEcgi.di.uoa.gr/~k14/sig_sys6_04.pdf6....