24

6. La relatività di Galileo

La parola relatività indica semplicemente che uno stesso fenomeno può essere descritto secondo differenti punti di vista, cioè che può apparire con caratteristiche diverse relativamente a diversi osservatori. Supponiamo di avere due persone che si stanno muovendo con velocità costante l’una rispetto all’altra. Possiamo pensare che la prima guardi da terra la traiettoria di caduta di una pietra lasciata andare da un aeroplano in volo, mentre la seconda osserva restandosene a bordo dell’aereo stesso. Nella descrizione del moto che dà quella a terra, la traiettoria è un arco di parabola, quella a bordo vede invece una linea retta verticale. Sarebbe del tutto illusorio chiedersi quale delle due sia la “traiettoria vera”: entrambe sono reali, perché non abbiamo motivo di considerare il punto di vista dell’osservatore a terra superiore al punto di vista della persona sull’aereo. Il tipo disaccordo nelle osservazioni che si crea a causa del moto relativo degli osservatori si enuncia dicendo che essi stanno usando sistemi di riferimento differenti:

Sistema di riferimento: l’insieme degli oggetti rispetto ai quali un moto avviene con le stesse caratteristiche. La scelta di un sistema di riferimento non è basata sul criterio di quale sia quello vero, ma è dettata dalla semplicità nella descrizione del fenomeno. Un osservatore a bordo di un auto sceglierà l’insieme degli oggetti all’interno del veicolo come proprio riferimento, ed assumerà che lo scenario intorno si sta spostando. Analogamente, per un uomo sul pianeta Terra, è assai comodo usare il sistema tolemaico che assume la Terra ferma ed il Sole che orbita intorno ad essa. Se tuttavia si dovesse inviare una navicella spaziale su Saturno, ecco che risulterebbe più conveniente il riferimento copernicano in cui i pianeti orbitano intorno al Sole. Al di là di queste considerazioni sulla comodità nella scelta di un riferimento, le osservazioni mostrano la validità di un principio fisico, detto principio di relatività, che lega fra loro due riferimenti in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro. Cosa dice il principio di relatività? Nel 1632 Galileo, con la sua fondamentale opera scientifica Dialogo sopra ai due massimi sistemi del mondo, mise in luce come, fra tutti i movimenti possibili, il moto rettilineo uniforme occupasse un posto in un certo senso privilegiato. Questo movimento infatti non ha carattere assoluto, cioè ogni osservatore in moto rettilineo uniforme rispetto ad un altro può sostenere di essere egli stesso in quiete ed attribuire il moto al mondo circostante. Questa proprietà si esprime nel modo seguente: Principio di relatività Nessun esperimento fornisce risultati diversi in due laboratori che si muovono di moto traslatorio rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro.

La Controfisica Galileo Galilei (1564-1642) è conside-rato il padre del metodo scientifico, in quanto fu il primo a sostenere che lo studio del mondo fisico doveva essere condotto non per osservazioni occasionali ed improvvisate, ma tramite esperimenti progettati, cioè avendo chiaro da prima quali doman-de si stavano ponendo alla natura. I risultati andavano poi analizzati con gli strumenti della matematica e della geometria. La sua opera Sidereus Nuncius (messaggio dalle stelle) contie-ne l’emozionante resoconto delle osservazioni da lui fatte usando il cannocchiale per la prima volta come strumento di misura. La scoperta di corpi che non orbitavano attorno alla Terra (i satelliti del pianeta Giove) incrinò la visione Tolemaica del mon-do, che voleva invece il nostro piane-ta al centro di ogni cosa nel Cosmo. Nel suo lavoro Dialogo sopra ai due massimi sistemi del mondo, Galileo con-futa le obiezioni fisiche che sin dai tempi di Aristotele venivano rivolte al moto di rotazione della Terra, come ad esempio “Se la Terra ruota, perché le nuvole non restano indietro?”. In un controverso processo la Chiesa forzò Galileo a ritrattare le sue tesi scientifiche, condannandolo ad una punizione tutto sommato mite: la recita dei sette salmi penitenziali una volta a settimana. In conseguenza della condanna, passò la fase finale della sua vita confinato nella sua villa vicino Firenze, dove però non gli fu impedito di lavorare: infatti qui pro-dusse qui quello che è considerato il suo lavoro più importante: Discorsi e dimostrazioni matematiche sopra a due nuove scienze. Secondo una leggenda egli, ascoltando la sentenza che lo condan-nava a ritrattare avrebbe mormorato “E pur si muove!”, riferendosi alla Terra. In realtà la famosa frase è frutto della fantasia del giornalista italiano Giuseppe Baretti, che inventa l’aneddoto nel suo lavoro The Italian Library, una sorta di compendio delle vite dei letterati italiani ad uso degli inglesi, pubblicata nel 1757 a Londra dove risiedeva.

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La formulazione di questo principio da parte di Galileo avvenne attraverso alcune riflessioni sull’impossibilità di rendersi conto se un laboratorio posto nella stiva chiusa di una nave sia in moto oppure in quiete rispetto alla terra: dal “Dialogo sopra ai due massimi sistemi del mondo”, giornata seconda:

“Rinserratevi con qualche amico nella maggiore stanza che sia sotto coverta di alcun gran navilio, e quivi fate d'aver mosche, farfalle e simili animaletti volanti; síavi anco un gran vaso d'acqua, e dentrovi de’ pescetti; sospendasi anco in alto qualche secchíello, che a goccia a goccia vadia versando dell'acqua in un altro vaso di angusta bocca, che sia posto a basso: e stando ferma la nave, osservate diligentemente come quelli animaletti volanti con pari velocità vanno verso tutte le parti della stanza; i pesci si vedranno andar notando indifferentemente per tutti i versi; le stílle cadenti entreranno tutte nel vaso sottoposto; e voi, gettando all'amico alcuna cosa, non più gagliardamente la dovrete gettare verso quella parte che verso di questa, quando le lontananze sieno eguali; e saltando voi, come si dice, a piè giunti, eguali spazii passerete verso tutte le parti. Osservate che avrete diligentemente tutte queste cose, benché niun dubbio ci sia che mentre il vassello sta fermo non debbano succeder così, fate muover la nave con quanta si voglia velocità; ché (pur che il moto sia uniforme e non fluttuante in qua e in là) voi non riconoscerete una minima mutazione in tutti li nominati effetti, né da alcuno dì quellì potrete comprender se la nave cammina o pure sta ferma [..]” Ma le misure devono fornire gli stessi risultati in tutti i riferimenti? No, il principio di relatività non dice che le grandezze fisiche misurate in due riferimenti in moto rettilineo uniforme devono essere uguali. Ed è comunque palese che ciò non è vero: ad esempio la velocità di un bambino che corre su di un treno in movimento è differente quando venga misurata da terra, perché ad esse si aggiunge quella del treno. Sono invece le relazioni fra le grandezza fisiche ad essere le stesse. Questo significa che in ogni equazione fisica il primo ed il secondo membro devono cambiare entrambi con coerenza in modo che valga ancora l’uguaglianza, o come si dice, devono essere covarianti. Quindi ad esempio, nel riferimento solidale al treno in corsa, le leggi orarie del moto del bambino di cui si diceva hanno la stessa forma di quelle da noi trovate nel riferimento a terra. Saranno però differenti sono i valori di posizione e velocità che le leggi restituiscono per ogni lettura di orologio. Oppure, detto in altri termini, il modo in cui i valori di velocità e posizione nel riferimento in moto si trasformano nei corrispondenti valori del riferimento a terra, è tale per cui le leggi della fisica che li legano al tempo restano le stesse. Come si trasformano le coordinate fra due riferimenti in moto relativo? Ad ogni sistema riferimento nello spazio della geometria euclidea si possono associare tre assi perpendicolari, con un’intersezione comune che faccia da origine a tre coordinate cartesiane ( , , )x y z da usare per individuare ogni punto. Ci proponiamo ora di trovare delle trasformazioni che consentano di passare da una terna di coordinate ( , , )x y z in un riferimento, alla corrispondente terna ( , , )x y z in un secondo riferimento in moto relativo rispetto al primo. Considereremo solo moti con velocità vettoriale costante in intensità e direzione, cioè traslazioni in cui gli assi rimangono sempre paralleli a loro stessi. A questo scopo conviene scegliere uno dei tre assi lungo la direzione della velocità relativa (noi prenderemo l’assex ), ed avere gli altri due ugualmente orientati nei due sistemi. Così avremo che le coordinate y e

x

y

z

x

y

z

V

xV tP

La Controfisica Le parole di Galileo sono quanto mai veritiere se consideriamo che il moto di rotazione della Terra attorno al suo asse supera i quattrocento metri al secondo, e che quello di rivoluzione intorno al Sole raggiunge i trenta kilometri al secondo eppure a noi pare di star fermi!

26

z non cambiano passando da un riferimento all’altro, cioè y y ez z , così come non cambia la lettura di orologio, cioè t t . Indichiamo con V

la velocità di

trascinamento, cioè la velocità con cui si muove tuttoR , misurata rispetto adR . Per come sono posti gli assi deve esserci stato nel passato un istante

0t in cui le origini

dei due sistemi coincidevano. Un punto P fermo rispetto adR , di ascissa x , avrà in R una coordinata x che cambia ad ogni lettura del cronometro. La nuova ascissa si può ottenere sommando ad x lo spazio xV t percorso dal riferimento

nell’intervallo di tempo t che è trascorso rispetto all’istante 0

t in cui le origini dei due sistemi coincidevano. Abbiamo quindi le: Trasformazioni di Galileo per la posizione ed il tempo

xx x V t y y z z t t

Esercizi 32. In un riferimento R’ in moto relativo con velocità (10 ,0, 0)V m/s

rispetto ad un

altro riferimento R, si ha che quando il cronometro segna 6.5t s la posizione di una particella P risulta(5.0 ,2.5 ,4.0 ) m m m . Trovare la posizione di P nel

riferimento R sapendo che le due origini coincidevano a0

3.5t s . Applicando le trasformazioni di Galileo abbiamo:

0( ) [5.0 10 (6.5 3.5)] 35x xx x V t x V t t m m

2.5y y m , 4.0z z m , 6.5t t s Possiamo studiare il moto di caduta libera con le trasformazioni galileiane? Ritorniamo al problema posto all’ inizio del capitolo: una persona osserva da terra il moto di caduta di una pietra lasciata andare da un aereo, ed una seconda lo osserva dall’aereo. Verificheremo ora, in questo caso particolare la covarianza delle leggi di caduta prevista dal principio di relatività. Poniamo il riferimento R solidale con l’aereo, che supporremo in moto con velocità costante ( , 0, 0)

xV V

rispetto al riferimento R agganciato a terra. Dal punto di vista dell’aereo la traiettoria è una linea retta. Se indichiamo con

0t l’istante in cui coincidono gli assi verticali dei due

riferimenti (cioè quandox x ), si ha che il tempo trascorso da quel momento vale

0t t t t . Si trova quindi la legge oraria della posizione verticale, identica

nei due riferimenti perché èy y :

2 20 0

1 1( )

2 2y y g t y y g t

Il fatto che queste due espressioni siano uguali è un altro modo di dire che il moto in orizzontale dell’aereo non influenza quello in direzione perpendicolare di caduta. Vogliamo ora usare questa legge oraria per ricavare la traiettoria vista dal

La Controfisica E’ irresistibile la tentazione di pensare che il riferimento (x’, y’,z’) sia in moto e che (x,y,z) sia fermo. Ma come sappiamo il moto rettilineo uniforme non è un concetto assoluto: ogni osservatore in moto a velocità costanterispetto ad un altro ha tutto il diritto di ritener e di essere lui quello fermo e che l’altro si muove rispetto a lui.

x

y

z

x

y

z

V

27

riferimento a terra. Dalle trasformazioni di Galileo ricaviamo il tempo in funzione della posizione e della velocità ed inseriamolo:

x

x xt

V

2

0

1

2x

x xy y g

V

possiamo scegliere lo zero delle ascisse nel riferimento dell’aereo proprio in corrispondenza della posizione di lancio della pietra, cioè sostituire 0x :

20 2

12

x

gy y x

V

cioè l’equazione della parabola caratteristica di un lancio orizzontale a noi già conoscevamo. Come possiamo trasformare le velocità da un riferimento all’altro? Poniamo adesso che un punto sia in moto con velocità costante v se misurata inR : possiamo ad esempio pensare ad una hostess che cammina all’interno del nostro aereo. Intuitivamente comprendiamo che la sua velocità v

nel riferimento R si otterrà sommando a v la velocità V

dell’aereo. Diamo una dimostrazione algebrica

di questa intuizione osservando innanzitutto che con la nostra scelta di assi possiamo concentrarci solo sulla componente della velocità in direzione delle x in quanto sappiamo che i moti in direzioni perpendicolari non si influenzano, cioè che

y yv v e

z zv v . Per semplificare scegliamo

00t in modo che la trasformazione

di Galileo diventi:

xx x V t

Ad un istante successivo t t la trasformazione si scrive:

( ) ( ) ( )xx x x x V t t sottraendo a membro a membro e dividendo per t otteniamo:

x x x x

x xV v v V

t t

Nel caso generale in cui il moto relativo dei due riferimenti non avviene parallelamente all’assex , il principio di indipendenza garantisce di poter ripetere lungo ciascuno dei tre assi la dimostrazione. Si ottengono quindi analoghi risultati

per le componenti della velocità lungo ciascuno dei tre assi y y y

v v V e

z z zv v V cioè una relazione vettoriale che indica come le velocità misurate nei due riferimenti e la velocità di trascinamento siano i tre lati di un triangolo:

x

y

z

x

y

z

V

v

28

Trasformazioni di Galileo per la velocità v v V

Quindi ad esempio una persona che passeggia con velocità v

su di una chiatta trasportata dal fiume con velocità V

avrà, rispetto alla riva una velocità v le cui

intensità e direzione sono date dalla composizione secondo il triangolo di punta-coda, come in figura. Si può dimostrare che la relazione fra le velocità qui ricavata nel caso particolare del moto traslatorio rettilineo uniforme, ha una validità generale, anche in presenza di rotazioni dei riferimenti R ed R’. Da questa formula si può anche ricavare una relazione fra le accelerazioni, che mostra come in tutti i casi in cui velocità di trascinamento è costante in valore e direzione, si ha a a

. L’accelerazione non cambia passando da un riferimento R ad un altro R ’ in moto rettilineo uniforme rispetto ad R: si tratta quindi di una grandezza assoluta anziché relativa. In che modo Galileo introdusse la legge di composizione delle velocità? Nel Dialogo sopra ai due massimi sistemi del mondo, Galileo presenta la legge di composizione delle velocità nel tentativo di dissipare la convinzione errata dei seguaci di Aristotele per cui un esercito schierato ad est avrebbe avuto sempre un vantaggio. Infatti si riteneva che , se davvero fosse esistito un moto di rotazione della Terra, questo avrebbe trasportato il nemico verso le loro frecce. Viceversa l’esercito schierato ad ovest avrebbe dovuto scagliare con molto più vigore per compensare il moto di allontanamento dal terreno avversario. Ma poiché nulla di tutto ciò accadeva, si concludeva che la Terra era immobile Per confutare questa tesi, lo scienziato pisano considera una carrozza in corsa, dalla quale vengano scagliate due frecce con una balestra, una nel verso della corsa ed una in verso contrario. Seguiamo il dialogo2 fra l’interlocutore aristotelico, Simplicio, ed il personaggio che espone le tesi di Galileo, che si chiama Salviati: SIMPLICIO. Non ho dubbio che lo spazio tra la freccia e dove si trova la carrozza nel momento che la freccia si ficca in terra, sarà minore assai quando si tira verso il corso della carrozza, che quando si tira per l'opposito. Sia, per esempio, il tiro in se stesso trecento braccia, e il corso della carrozza, nel tempo che il bolzone3 sta per aria, sia braccia cento: adunque, tirandosi verso il corso, delle trecento braccia del tiro la carrozzetta ne passa cento, onde nella percossa del bolzone in terra lo spazio tra esso e la carrozza sarà braccia dugento solamente; ma all'incontro nell'altro tiro, correndo la carrozza al contrario del bolzone, quando il bolzone avrà passate le sue trecento braccia e la carrozza le sua cento altre in contrario, la distanza traposta si troverà esser di braccia quattrocento. SALVIATI. Vi sarebbe modo alcuno per far che questi tiri riuscissero eguali? SIMPLICIO. Io non saprei altro modo che col far star ferma la carrozza. SALVIATI. Questo si sa: ma io domando, facendo correr la carrozza a tutto corso. SIMPLICIO. Che si ingagliardisse l'arco nel tirar secondo il corso, e poi lo si indebolisse per tirar contro al corso. SALVIATI. Ecco dunque che pur ci è qualch'altro rimedio. Ma quanto bisognerebbe ingagliardirlo di più, e quanto poi indebolirlo? SIMPLICIO. Nell'esempio nostro, dove aviamo supposto che l'arco tirasse trecento braccia, bisognerebbe, per il tiro verso il corso, ingagliardirlo sì che tirasse braccia

2 Il testo è stato in qualche passaggio adattato in lingua corrente per una maggiore scorrevolezza. 3 Freccia usata nelle balestre.

V

v

v

V

v

v

V

v

29

quattrocento, e per l'altro indebolirlo tanto che non tirasse più di dugento, perché così l'uno e l'altro tiro riuscirebbe di braccia trecento in relazione alla carrozza,[…] SALVIATI. Sì, sì, così torna il conto giusto. Ma ditemi: quando la carrozza corre, non si muovono ancora con la medesima velocità tutte le cose che son nella carrozza? SIMPLICIO. Senza dubbio. SALVIATI. Adunque il bolzone ancora, e l'arco, e la corda su la quale è teso. SIMPLICIO. Così è. SALVIATI. Adunque, nello scaricare il bolzone verso il corso della carrozza l'arco imprime i suoi tre gradi di velocità in un bolzone che ne ha già un grado, grazie alla carrozza che verso quella parte con tanta velocità lo porta, talché nell'uscir della cocca si trova con quattro gradi di velocità; ed all'incontro, tirando per l'altro verso, il medesimo arco conferisce i suoi medesimi tre gradi in un bolzone che si muove in contrario con un grado, talché nel separarsi dalla corda non gli restano altro che due soli gradi di velocità. Ma già voi stesso avete deposto che per fare i tiri eguali bisogna che il bolzone si parta una volta con quattro gradi e l'altra con due: adunque, senza mutar arco, l'istesso corso della carrozza è quello che aggiusta le partite, e l'esperienza è poi quella che le sigilla a coloro che non volessero o non potessero esser capaci della ragione. Vediamo ora qualche esempio in cui la formula di Galileo della composizione delle velocità trova applicazione. Perché gli aerei decollano controvento? Uno dei motivi per cui gli aerei di linea decollano da piste diverse a seconda dell’ora e dei giorni è che tentano di avvantaggiarsi della velocità del vento muovendosi contro di esso. Se ad esempio per decollare si deve raggiungere una velocità v rispetto all’aria di km/h 250 , ed in quel momento sta soffiando da ovest un vento con velocità

V di km/h 30 , converrà usare per il decollo la pista che punta ad ovest,

in modo che in un riferimento solidale con la terra avente l’asse x verso ovest, l’aereo debba portarsi ad una velocità v rispetto a terra che è minore dei km/h 250 richiesti rispetto all’aria:

km/h km/h(250 30) 220x x x

v v V Cosa succede remando perpendicolarmente alla corrente di un fiume? Consideriamo una barca che attraversa un fiume in cui la corrente avanza a

km/h 3 : questa è la velocità di trascinamento V

del riferimento R’ che scorre insieme all’acqua. Il barcaiolo sta puntando verso la riva opposta remando rispetto all’acqua a km/h 4 : questo è il valore di v in R’ . In un sistema R solidale con la terra, la barca avanza diagonalmente con velocità v il cui valore si trova osservando che in questo particolare caso V v

. Pertanto il segmento che rappresenta v è ipotenusa in un triangolo rettangolo in cui V

e v

sono cateti:

km/h 2 2| | | | | | 5v V v . Quindi, ad esempio dopo un intervallo temporale

h1t , un tappo di sughero galleggiante ha continuato ad avanzare trasportato dalla corrente con velocità V

percorrendo km 3 . Per l’indipendenza dei moti in

direzioni perpendicolari, nello stesso intervallo anche la barca si è spostata di km 1 nel verso della corrente e nel contempo si è mossa con velocità v

perpendicolarmente ad essa, percorrendo km 4 in quella direzione, con il tappo di

corrente

km/h (3 )

V

km/h

(4 )v

km/h (5 )

v

xO E

V

v

v Vv

30

sughero sempre allineato a lei rispetto alla riva. Il suo spostamento complessivo è

stato allora km km km 2 2) )(3 (4 5 . E come si tratta il caso in cui le velocità non sono perpendicolari? Esaminiamo la situazione in cui, all’interno di un grande magazzino, due persone sono sulle scale mobili, una in discesa ed una in salita, incrociate come in figura. Nel riferimento R solidale all’edificio chiamiamo v la velocità dell’uomo che sale e V

quella dell’uomo che scende: il loro valore è lo stesso ma sono differenti direzione e verso. Poniamoci ora in un riferimento R’ solidale all’uomo che scende, e calcoliamo come appare da questo punto di vista la velocità v dell’uomo che sale. Si ha che R’ possiede una velocità V

rispetto al riferimento R ancorato all’edificio, e che

sommata vettorialmente secondo le trasformazioni di Galileo, al valore v che

vogliamo trovare, produce la velocità v dell’uomo che sale espressa in R. La

relazione corrispondente è v V v , e si rappresenta tramite il triangolo qui a

lato. Essendo uguali le velocità delle due scale mobili, il triangolo è sempre isoscele, ed inoltre i due lati uguali formano lo stesso angolo con l’orizzontale. Pertanto v ha direzione verticale, cioè l’uomo che scende vede l’uomo che sale muoversi

lungo una linea retta esattamente verticale. Nel caso particolare in cui 45 il triangolo è anche rettangolo e risulta 2 2| | | | | |v V v

, mentre per un valore

generico di dobbiamo addizionare le componenti dei vettori. Ricaviamo v dalla formula di Galileo, v v V

, e scriviamo le equazioni lungo gli assi:

cos cos cos cos 0x x xv v V v V v v

sin ( sin ) 2 siny y yv v V v V v

Quindi la posizione relativa delle due persone cambia solo in direzione verticale, con velocità pari al doppio della componente verticale di ciascuna scala, 2 sinyv v

.

La distanza in orizzontale fra le due persone resta identica per tutto il tragitto, essendo 0xv . Questi due risultati sulla velocità relativa sono verificabili anche da parte di un osservatore che guardi dall’esterno, il quale vede le due persone prima avvicinarsi verticalmente e poi allontanarsi si nuovo, ma sempre separati dalla stessa distanza orizzontale, quindi se ad esempio partono allineati in verticale vi rimangono per tutto il tragitto. Il lancio dei satelliti artificiali sfrutta la composizione delle velocità di Galileo? Abbiamo accennato che la legge della composizione delle velocità vale per qualunque coppia di riferimenti, non necessariamente in moto rettilineo uniforme l’uno rispetto all’altro. La legge di Galileo si applica quindi anche agli oggetti che partono da un sistema rotante come la Terra: ad esempio possiamo utilizzarla nel caso dei satelliti artificiali. Iniziamo osservando che negli Stati Uniti il lancio dei satelliti avviene da basi diverse a seconda dell’orbita in cui li si vuole immettere. Quelli destinati ad orbite che non passano per i poli partono dalla costa est, dal Kennedy Space Center in Florida, in direzione dell’Oceano Atlantico. Infatti, per andare in orbita un satellite deve raggiungere una velocità che (vista da un sistema

v

V

v

km/s8

v

yv

xv

V

xV

yV

x

y

v

v

V

v

V

v

31

rotante attorno al Sole insieme con la Terra) è di km/s8 . Ma il satellite parte da un riferimento che già sta ruotando con velocità V

, che a quella latitudine è circa

km/s0.4 , parallela ad un piano passante per l’equatore e diretta da ovest ad est. Se quindi lanciamo il satellite verso est con velocità v , essa si compone vettorialmente a V

secondo la legge di Galileo, in modo da produrre il valore v v V che poi

permetterà di portarsi in orbita a circa km200 di quota con velocità di km/s8 . Insomma si lancia il satellite nel verso di rotazione della Terra per avvantaggiarsi di essa, ma siccome nel contempo non si vuole che il razzo passi sopra ai centri abitati, si deve puntare in direzione dell’oceano: queste due cose insieme in America si possono fare dalla costa est verso l’Atlantico. Viceversa i satelliti polari vengono lanciati dalla costa ovest, nella Vanderberg Airforce Base in California, in direzione dell’Oceano Pacifico. In questo caso infatti la velocità di rotazione della Terra deve essere annullata perché se l’orbita dovrà passare sopra al Polo Nord, il moto sarà tutto in un piano verticale e non potrà avere una componente di velocità parallela all’equatore. Per fare questo, e nel contempo evitare le aree abitate, dagli Stati Uniti si deve lanciare in direzione dell’Oceano Pacifico con velocità v

, che composta vettorialmente a quella V

del riferimento, produce il giusto vettore v . E se si vuol far uscire una sonda dal sistema solare? Per far uscire una sonda spaziale dal sistema solare occorre superare la velocità di fuga dal Sole, che è circa km/s42 . Infatti, per ogni metro percorso dalla sonda, la velocità di partenza viene diminuita dall’attrazione dovuta alla gravità del Sole, gravità che però si fa via via più debole quanto più ci si allontana. La velocità di fuga è quel valore che idealmente viene reso nullo dalla gravità solare in un tragitto di lunghezza infinita. Se si possiede un valore superiore ad esso si è liberi dalla gravità del Sole, nel senso che non basterebbe al Sole nemmeno un tragitto di lunghezza infinita per rallentare la nostra velocità fino a fermarci e riportarci indietro4. Anche in questo caso, per riuscire a raggiungere la velocità di fuga dal Sole bisogna avvantaggiarsi della velocità di rivoluzione della Terra, che è di km/s30 . Se quindi lanciamo l’oggetto nel verso della rivoluzione, occorrerà imprimergli solo km/s12 , che sono comunque molti e si riesce a farlo solo su masse relativamente piccole. Inoltre ci si serve anche del cosiddetto effetto fionda, cioè si guadagna velocità lungo la strada grazie all’accelerazione dovuta alla gravità degli altri pianeti che a mano a mano si incontrano attraversando il sistema solare. Correndo nella pioggia ci si bagna meno che camminando per lo stesso tempo? Consideriamo la pioggia che in un intervallo temporale t colpisce superficie di un ombrello: se la velocità di caduta è vy , essa in t al massimo può percorrere uno spazio verticale vy ∆t, quindi l’acqua, prima di battere sull’ombrello era tutta compresa in un prisma di altezza vy ∆t, e di area di base la superficie dell’ombrello stesso, proiettata su di un piano orizzontale. Esaminiamo ora il problema da punto di vista di chi si muove, cioè ponendoci in un riferimento dove noi siamo fermi e la

4 Anche la Terra ha una sua velocità di fuga che è 11.2 m/s, quindi occorre imprimere alla sonda anche questo valore se vogliamo che lasci il pianeta, e che andrà aggiunto a quello calcolato per il Sole.

V

v

v

km/s8

'v

xv

yv

yv t

yv t

km/s42

km/s30 km/s12

32

pioggia ci viene incontro con velocità 'v . In questo riferimento il vettore

'v non è

più verticale ma inclinato, in quanto ha sia una componente verticale v’y (uguale a quella di caduta vy nel riferimento solidale a terra) sia una componente orizzontale v’x che è pari alla velocità orizzontale con cui ci stiamo muovendo, però cambiata di verso. In figura abbiamo disegnato un parallelogramma che ha per base la larghezza dell’ombrello e per lato obliquo proprio

'v . La sua altezza vy ∆t è uguale in

entrambi i casi, sia che l’ombrello avanzi o resti fermo. Pertanto il prisma che contiene l’acqua destinata a colpire l’ombrello int potrà essere più o meno inclinato ma il suo volume non cambia mai con la velocità con cui si corre, perché è sempre dato dal prodotto della superficie dell’ombrello per l’altezza vy ∆t . Ne concludiamo che correndo o camminando per cinque minuti si prende la stessa acqua. Chiaramente se si deve attraversare uno spazio converrà sempre correre perché così facendo si riduce il tempo trascorso sotto la pioggia! Esercizi 33. Dentro al vagone di un treno che fila in linea retta a 18.0 m/s , viene lanciato un aeroplanino di carta con velocità di 8.0 m/s nella direzione che va da un finestrino all’altro. Qual è l’angolo fra le rotaie e la velocità dell’aeroplanino? Qual è il valore della velocità nel sistema solidale con la terra? Costruiamo il triangolo formato dalle tre velocità v dell’aeroplanino misurata sul treno, V

di trascinamento, e v

osservata da terra. Si tratta in questo caso di un triangolo rettangolo dato che il lancio avviene conv V

, quindi: 1tan / 8.0 /18.0 0.44 tan (0.44) 24v V

Applicando il teorema di Pitagora si ha il valore della velocità nel riferimento ancorato alla terra:

2 2 2 218.0 8.0 20v V v m/s m/s

34. La corrente di un fiume ha velocità 5.0 m/s . Una chiatta deve trasportare della merce in un punto che si trova 10 km più avanti verso la foce rispetto a dove effettua il carico. Sapendo che la chiatta si muove con una velocità rispetto all’acqua di10 m/s , si dica quanto dura il viaggio complessivo di andata e ritorno. [R:7.5 h ] 35. Un Boeing 747 sta viaggiando verso ovest con una velocità di900 km/h . Ad un dato istante inizia a soffiare verso nord un vento a velocità di100 km/h . Quale diventa la velocità dell’aereo rispetto a terra? In che direzione procede ora l’aereo? [R:906 , 6 20 km/h W N ]

36. Un dirigibile vuole procedere verso nord ad una velocità rispetto al terreno di110 km/h , ma in quel momento sta soffiando un vento verso est a40 km/h . In che direzione (angolo ) e con che velocità deve muoversi rispetto all’aria per riuscire nell’intento? [R: 20 ,117 km/hN W ]

V

N

S

W E

V

N

S

W E

v

(18 m/s)

V

(8.0 m/s) '

v

33

37. Un nuotatore desidera attraversare un fiume largo 800 m e raggiungere il punto dell’altra sponda che si trova dritto davanti a lui. La corrente nel fiume ha una velocità di 3.30 m/s ed egli riesce a nuotare a 6.50 m/s . In quale direzione deve puntare? Quanto tempo impiegherà? [R:59.5 ,143 s ] 38. Una formica cammina alla velocità di 2.50 cm/s sopra ad un foglio di carta, seguendo una linea che forma un angolo di 30.0 con il bordo. Il foglio scivola su di un tavolino avanzando (senza ruotare) con velocità costante di 3.50 cm/s parallela al bordo del tavolo e del foglio. Qual è la velocità in un riferimento solidale al tavolino? Quale il suo spostamento rispetto al tavolo in5.00 s ? [R:5.80 ,12.4 ,29.1 cm/s cm ] 39. Un uomo sul tapis roulant alla stazione viaggia alla velocità V

di m/s 0.40 ,

mentre alla sua destra davanti a lui una persona avanza perpendicolarmente verso il tappeto, con velocità v in un riferimento solidale alla terra. Quanto deve essere v affinché l’uomo sul tappeto la veda avvicinarsi con un angolo di 20 rispetto alla

direzione perpendicolare al tappeto? Con che velocità si sta avvicinando misurata nel riferimento solidale al tapis roulant? [R: m/s m/s1.1 ,1.2 ] 40. Di quale angolo deve inclinare l’ombrello rispetto alla verticale una persona che sta camminando alla velocità di m/s2.0 , se vuole ripararsi completamente da un pioggia che scende alla velocità di 7.0 m/s ? [R:16 ] 41. Un colpo di fucile viene sparato contro un treno che fila alla velocità V

di valore

m/s30.0 . Sapendo che la pallottola viaggia con velocità v di m/s50.0 e che i

vagoni del treno sono larghi m4.00 si dica che distanza c’è fra i fori di entrata e di uscita e quale angolo forma la traiettoria con le pareti del treno. [R: m 2.40 , 59.1 ] 42. Ha senso affermare che un volo aereo verso est, ad esempio dall’Europa in direzione degli Stati Uniti, ha una durata inferiore del medesimo tragitto percorso al contrario in quanto nel primo caso l’obiettivo viene incontro all’aereo mentre nel secondo caso se ne allontana? [R: in fondo]

(30 m/s)

V

(50.0 m/s)

v

43

001 22

01 012

y

x x

vv gy x x

v v

0

sin 40

v

2 22 2

0 0

8.40.84

2( cos 40 )cos 40

gx x x x

v v

secondo cannone:

002 22

02 022

y

x x

vv gy x x

v v

0

sin 60

v

2 22 2

0 0

19.61.7

2( cos60 )cos 60

gx x x x

v v

uguagliamo le quote per m37.0 10x si trova la velocità iniziale:

0.84 x 22

0

8.4x

v 1.7 x 2

2

0

19.6x

v

m m/s3

02

0

(19.6 8.4) 7.0 1019.6 8.41.7 0.84 302

1.7 0.84x v

v

E la gittata massima, corrispondente ad un angolo di lancio di 45° è:

m km2

20

max

3029.30

9.81

vR

g

34. Scegliamo lo zero del riferimento R solidale con la terraferma nel punto da cui parte la barca, e sia 5.0

xV m/s la velocità di trascinamento, cioè quella del

riferimento R solidale con la corrente nel fiume. Iniziamo a contare il tempo nell’istante in cui le origini dei due riferimenti coincidono, cioè quando la chiatta parte. In R risulta:

x x xv v V

Nella fase di moto nel verso della corrente risulta 10.0x

v m/s , da cui si ricava il tempo di andata:

3 32(10 10 ) 10 10

6.7 1010.0 5.0A

x x x

xt

v V v V

0 m s s

nella fase di moto contro corrente risulta 10.0x

v m/s , da cui si ricava il tempo di ritorno, evidentemente più lungo:

3 33(0 10 10 10 10

2.0 1010.0 5.0R

x x x

xt

v V v V

) m s s

e quindi un tempo complessivo di: 2 3 3(6.7 10 2.0 10 ) 27 10

A Rt t t s s

che corrisponde a sette ore e mezza. 35. La velocità V

di trascinamento ( 100V km/h

) è diretta da sud a nord e la

velocità v rispetto all’aria ( 900v km/h ) è diretta da est ad ovest, quindi sono

perpendicolari. Esse sono cateti in un triangolo rettangolo in cui, per le trasformazioni di Galileov v V

, la velocità v rispetto alla terra è ipotenusa. Abbiamo allora:

V

v

v

N

S

W E

44

1100tan 0.111 tan (0.111) 6.33 6 20

900

V

v

Applicando il teorema di Pitagora: 2 2 2 2100 900 906v V v km/h km/h

quindi l’aereo procede in direzione ovest inclinato di 6 20 verso nord ( W 6 20 N ) alla velocità di 906 km/h . 36. Il dirigibile deve puntare verso ovest come in figura, in modo che la sua velocità rispetto all’aria v addizionata vettorialmente alla velocità di trascinamento V

del

vento produca il vettore v diretto da nord a sud nel riferimento della terra. In

questo caso risulta V v , e dal teorema di Pitagora abbiamo:

140tan 0.36 tan (0.36) 20

110

V

v

2 2 2 2110 40 117v V v km/h km/h

Quindi deve puntare 20 verso ovest rispetto alla direzione nord ( 20 N W ) con velocità117 km/h . 37. Il nuotatore deve fare in modo di avere una velocità v rispetto alla terra che sia perpendicolare alla velocità di trascinamento V

della corrente. Questo implica che

v deve essere l’ipotenusa di un triangolo rettangolo in cui v e V

sono cateti. Dal

teorema di Pitagora abbiamo la velocità v che riesce a tenere rispetto alla terra: 2 2 2 26.50 3.30 5.60v V v m/s m/s

Troviamo la direzione in cui deve puntare, espressa dall’angolo in figura:

15.60tan 1.70 tan (1.51) 59.5

3.30

v

V

dalla formula per la velocità media abbiamo il tempo impiegato: 800

1435.60

t m s m/s

38. Fissiamo un riferimento R agganciato al foglio che avanza, con gli assi x ed y paralleli ai bordi e l’origine nella posizione di partenza della formica:

cos 30 (2.50 )(0.866) 2.17 2.17x x

v v x v t t cm/s cm/s

sin 30 (2.50 )(0.500) 1.25 1.25y y

v v y v t t cm/s cm/s

Nel riferimento R agganciato al tavolino, con gli assi orientati come inR , il foglio ha una velocità di trascinamento (3.50 ,0)V cm/s

e dalle trasformazioni di

Galileo:

(2.17 3.50) 5.67x x x

v v V cm/s cm/s

(1.25 0) 1.25y y y

v v V cm/s cm/s

V

v

v

N

S

W E

V

v

v

45

Quindi la formica si muove con una velocità ed un angolo rispetto al bordo del tavolo che valgono:

2 2(5.67 ,1.25 ) 5.67 1.25 5.80v v cm/s cm/s cm/s cm/s

1 1tan ( / ) tan (1.25 / 5.67) 12.4y x

v v

ed in un tempo di 10.0 s percorre uno spazio che si può ottenere trasformando le leggi orarie della posizione da R ( 2.17x t , 1.25y t ) adR :

2.17 1.25 5.67 (5.0 ) 28.4x

x x V t t t t x s cm

1.25 (5.0 ) 6.25y

y y V t t y s cm

da cui si ha lo spostamento complessivo 2 2 2 228.4 6.25 29.1s x y cm cm

39. Anche in questo caso le tre velocità formano un triangolo rettangolo, in accordo con la formula v v V

, con R’ riferimento solidale al tappeto. Come si vede dalla figura, in questo caso V

è cateto opposto e v è cateto adiacente all’angolo di

20 sotto cui l’uomo sul tapis roulant vede l’altro avvicinarsi. Nello stesso triangolo rettangolo v è ipotenusa. Abbiamo:

m/s m/s 0.40tan20 0.36 1.1

0.36 0.36

V Vv

v

Applicando il teorema di Pitagora si ha il valore della velocità nel riferimento ancorato al tapis roulant:

m/s m/s2 2 2 20.40 1.1 1.2v V v

40. Nel riferimento in cui la persona è ferma, la pioggia le scende addosso con una

velocità orizzontale v’x opposta a quella con la quale sta camminando, ed ha un

velocità verticale pari a quella di caduta. L’angolo richiesto ha per tangente goniometrica il rapporto fra queste due componenti della velocità:

m/s m/s

2.0tan 0.29 16

7.0x

y

vmisura del cateto opposto ad

misura del cateto adiacente ad v

41. In un riferimento R’ solidale al treno, avente le ascisse parallele alle rotaie ed orientate nel verso del treno, e le ordinate che vanno da un finestrino all’altro nel verso dello sparo, la pallottola ha una velocità v di componenti:

m/s m/s(0.0 30.0) 30.0x x x

v v V

m/s m/s(50.0 0.0) 50.0y y y

v v V

In base al principio d’indipendenza dei moti in direzioni perpendicolari, per attraversare il treno la pallottola impiega un intervallo di tempo t che può essere calcolato facendo riferimento al solo spostamento di 4.00 m lungo le ordinate, cioè:

m m m s m/s

4.00 4.004.00 0.0800

50.0yy

v t tv

v

v

V

20

'v

xv

yv

v y

x

yv

xv

46

In questo intervallo lo spostamento orizzontale x della pallottola all’interno del vagone è stato:

m/s 0.0800 s m ( 30.0 )( ) 2.40x

x v t

Cioè il foro di uscita si trova 2.40 m più vicino alla coda del treno rispetto al foro d’entrata. L’angolo fra la traiettoria e le pareti del treno si trova con il solito metodo della tangente goniometrica:

m/s m/s

50.0tan 1.67

30.0y

x

vmisura del cateto opposto ad

misura del cateto adiacente ad v

42. La durata dei due voli - a parità degli effetti dovuti ai venti - è la stessa. L’affermazione proposta nell’esercizio è errata perché assume che la velocità di partenza dell’aereo sia nulla, invece esso ha la stessa velocità di trascinamento di tutti gli oggetti solidali al riferimento della Terra che ruota, e che quindi costituisce un elemento del tutto neutro rispetto agli spostamenti.