6.- Funciones trigonometricas

Capítulo 6

Funciones Trigonométricas

Otros ejemplos de funciones numéricas muy importantes son las funciones trigonométricas. Fre-cuentemente en la escuela secundaria se definen las razones trigonométricas en un triángulo rectángulo:

sen� =cateto opuesto

hipotenusa; cos� =

cateto adyacentehipotenusa

; tan� =cateto opuesto

cateto adyacente

donde � es uno de los ángulos agudos del triángulo.

6.1 Las funciones trigonométricas en los realesComo la razón entre un par de lados de un triángulo no varía si cambiamos el triángulo por otrosemejante (por el teorema de Tales), siempre podremos suponer que la hipotenusa tiene longitud 1, loque permite una representación geométrica muy conveniente:En el cuarto de circunferencia de radio 1 (figura 6.1) tenemos

sen� = y; y cos� = x;

donde (x; y) son las coordenadas del punto P de la circunferencia determinado por el ángulo agudo�, medido desde el semieje x > 0.

P(x,y) C

AxBO

Y

α

Las coordenadas del punto P en la circunferencia determi-nado por el ángulo agudo �, medido desde el semieje x > 0

Figura 6.1

Por la semejanza de los triángulosOPB yOCA vemos que el segmento «tangente a la circunferen-cia» AC tiene longitud

y

xes decir AC = tan� y por esto la razón

sen�

cos�se llama tangente.

Obtenemos tres funciones definidas así:

82 Funciones Trigonométricas

� al ángulo � le corresponde el punto P en la circunferencia unitaria donde la corta el lado delángulo central � (medido como antes en el sentido antihorario desde el semieje x > 0).

� a P le corresponde su abscisa x si queremos definir cos�,

� su ordenada y si hablamos de sen�

� la razóny

xsi queremos definir tan�

En resumen las tres funciones se construyen así:

� 7! P 7! y = sen�; � 7! P 7! x = cos�; � 7! P 7! y

x= tan�

Hasta ahora esto vale sólo para ángulos agudos medidos en la forma indicada arriba pero, si te-nemos una manera de medir el ángulo en una forma general, podremos extender esta función a otrosnúmeros reales. La manera más natural de hacer esto es considerando la longitud de la circunferenciade radio 1, esta es un número real llamado 2�. Dicho de otro modo, � es la longitud de una semicircun-ferencia de radio 1. A un ángulo cualquiera �, le corresponde un único punto P sobre la circunferenciay a este punto una única longitud medida del arco que une el punto A con P girando en sentidoantihorario (contrario al movimiento de las agujas del reloj).

Este número r, con 0 � r < 2� se llama la medida en radianes del ángulo �. También se diceque es la medida en radianes del arco AP , (recorrido en sentido antihorario, figura 6.2). Entonces,

Arcos y ángulos

Figura 6.2

establecemos:

Definición: un radián es la medida del ángulo que se forma cuando selleva sobre la circunferencia una longitud igual al radio.

En el caso del círculo radio 1 (figura 6.3), llamado también círculo trigonométrico, Obtenemos dos

Un radiánFigura 6.3

funciones reales:

� sen� = y, ordenada de P .

� cos� = x, abscisa de P .

6.2 Inversas de las funciones trigonométricas 83

para � medido en radianes, con 0 � � < 2�, tenemos, sen : [0; 2�)! R y cos : [0; 2�)! R.La función tangente está definida en todos los puntos menos aquellos donde se anula x, es decir:

tan : [0;�

2) [ (

�

2;3�

2) [ (

3�

2; 2�)! R:

Ahora si x 2 R es un número real positivo podemos definir senx y cos x de la manera siguiente:Considerando � = x como una longitud que se enrolla en la circunferencia unitaria en sentido antiho-rario, después de dar cierto número de vueltas, se llega a algún punto P . Entonces, senx y cosx sonrespectivamente la ordenada y la abscisa de este punto P . De manera precisa, si hacemos la divisiónentera de x por 2� obtenemos x = 2�n+r donde n 2 N y 0 � r < 2�, entonces definimos senx = senr

y cosx = cos r.Si x es negativo, se repite el procedimiento anterior, pero damos vueltas en el otro sentido, es decir

en sentido horario.Ahora tenemos las dos funciones senx y cos x definidas en todoR y observamos que: Img( senx) =

Img(cosx) = [�1; 1] es decir, que sus valores son los números en [�1; 1]. Además son periódicas deperíodo 2�, esto quiere decir que:

senx = sen(x+ 2k�)

cosx = cos(x+ 2k�)

�para todo k 2 Z

Por otro lado, si vemos sus gráficas, (figuras 6.4 en la página 84 y 6.5) entonces es muy fácil verdónde éstas funciones crecen, dónde decrecen y dónde alcanzan sus máximos y mínimos (los detallesde graficación se verán más adelante en el curso).

La tercera función, la tangente, no está definida en todo R puesto que hay que excluir los puntosdonde se anula el coseno. El dominio de tanx es R � f �

2+ k� j k 2 Zg.

Analizando el signo de la función sen�cos�

cuando � da una vuelta a la circunferencia, y analizandoel crecimiento y decrecimiento de la función, se puede construir su gráfico como en la figura 6.6 (losdetalles de graficación se verán más adelante en el curso).

También, si vemos el comportamiento del segmento AT , notamos que es una función periódica deperíodo 2�

tan(x+ 2k�) = tanx

siempre que esté definida en x. Pero también, si analizamos más detalladamente, vemos que tiene unperíodo menor pues tan(x+ k�) = tanx para cualquiera que sea k 2 Z si tanx está definida. Vemostambién que tanx es siempre creciente (en cualquier intervalo contenido en su dominio) y no tienemáximos ni mínimos.

6.2 Inversas de las funciones trigonométricasConsideremos la función senx. Si tenemos un punto cualquiera r 2 [�1; 1], vemos que la preimagende r consta de infinitos puntos. La preimagen se llama el arcoseno de r, es decir el arco cuyo seno es r.Si � es tal que sen� = r entonces:

arcsenr � f�+ 2k� j k 2 ZgPero también vemos en la figura 6.7, que sen� = sen(�� ) y como (� � �) + 2k� = ��+ (2k + 1)�obtenemos finalmente que la preimagen de � es:

arcsenr = f�+ 2k� j k 2 Zg[ f��+ (2k + 1)� j k 2 ZgDicho en palabras, todos los ángulos cuyo seno es r, con �1 � r � 1, se obtienen de cualquier � consen(�) = r, sumándole � a todos los múltiplos enteros pares de � y restándole � a todos los múltiplosenteros impares de �.

Igualmente si r 2 [�1; 1] y si cos� = r entonces todos los ángulos cuyo coseno es r se obtienen apartir de � así, (figura 6.8):

arccos r = f�+ 2k� j k 2 Zg[ f��+ 2k� j k 2 Zg


La función seno

Figura 6.4

La función coseno

Figura 6.5

La razón entre seno y elcoseno, la tangente

Figura 6.6


x

y

α

π−α

Ordenada= sen� = sen(� � �)

Figura 6.7

x

y

α−α

cos� = cos(��), coseno es una función par

Figura 6.8


porque cos� = cos(2� � �) = cos(��). Entonces puede escribirse así:

arccos r = f2k� � � j k 2 ZgFinalmente si r 2 R y tan� = r entonces arctan r = f�+ k� j k 2 Zg.Ninguna de estas funciones trigonométricas es inyectiva, pero restringidas a intervalos adecuados

se obtiene, por ejemplo:

sen : [��2;�2]! [�1; 1] es biyectiva , cos : [0; �]! [�1; 1] es biyectiva

tan : (��2;�

2)! R es biyectiva

Se pueden definir funciones inversas restringidas a esos intervalos. Estas funciones inversas sellaman, por abuso de lenguaje, arcsen, arccos y arctan y sus gráficas, (figuras 6.9, 6.10 y 6.11) sepueden obtener por reflexión de las gráficas anteriores respecto a la diagonal principal (la recta y = x).

Gráficos de senx y arcsenx

Figura 6.9

Gráficos de cosx y arccos x

-1 1 2 3

-1

1

2

3

y=cos(x)

y=arccos(x)

π

π

Figura 6.10

Es costumbre evitar la notación sen�1 x, cos�1 x o tan�1 x, para designar las funciones arcsenx,arccos x y arctanx, para evitar confusión con las funciones cosecante, secante y contangente.

Ejemplo: ¿Cuál tiene más puntos: Un segmento o la recta entera?Esta pregunta tiene una bella respuesta utilizando la función tangente: tan : (��

2;�

2)!

R que es una biyección. Entonces el segmento obtenido (� �2;�2) tiene el mismo número de

puntos que la recta R. Cualquier otro segmento tiene el mismo número de puntos que elsegmento (��

2;�2), como se ve con una proyección. Esto es sólo posible porque la recta y

un segmento cualquiera son continuos.


Gráficas de tanx y arctan x

Figura 6.11

Ejercicios

1. ¿Para qué valores de x es j cos x j < 1

2?

Resp: fx+ k� j �3< x <

2�

3; k 2 Zg, (figura 6.12).

Ejemplo en el círculo trigonométrico

Figura 6.12

2. Para qué valores de x es cosx <1

2. Resp: fx+ 2k� j �

3< x <

5�

3; k 2 Zg, (figura 6.13).

3. Recordando las definiciones:

csc� =1

sen�; sec� =

1

cos�; cot� =

1

tan�:

(a) Pruebe que estas funciones están representadas por la longitud de los siguientes segmentosen la circunferencia unitaria de la figura 6.14.

OQ = csc�; OC = sec�; TQ = cot�

(b) Analice cómo varían estos tres segmentos cuando el punto P recorre la circunferencia.(c) Encuentre el dominio de cada una de las tres funciones csc x , sec x, tanx y dibuje sus gráfi-

cas.


Otro ejemplo en el círculo trigonométrico

Figura 6.13

Otras funciones trigonométricas OQ = csc� ,OC = sec�, TQ = cot�

T Q

CP

AO 1

α

α

Figura 6.14

La Trigonometría (lecturarequerida)

6.3 Las identidades trigonométricasLas funciones trigonométricas están conectadas por una serie de relaciones que se estudian bajo elnombre de trigonometría. Todas estas relaciones se derivan de las definiciones de seno, coseno, tangentey del teorema de Pitágoras:

sen2x+ cos2 x = 1

De manera que toda la trigonometría no es más que una serie de variaciones sobre el Teorema dePitágoras. Es muy importante que repase toda la trigonometría, porque será utilizada constatemente.Para comenzar ese repaso demuestre las siguientes fórmulas:

tan2 x+ 1 = sec2 x cot2 x+ 1 = csc2 x

6.3.1 Fórmulas para la suma de dos ángulos

A0

C

BDP

ETα

β

x

y

α

Hallar fórmulas para las funciones trigonométricas aplica-das a sumas de ángulos en términos de las funciones trigo-nométricas en los sumandos.

Figura 6.15

A partir del dibujo en la figura 6.15: Pruebe las igualdades siguientes:

CD = sen� cos� ; PE = DT = sen� cos �

OE = cos� cos � ; DP = TE = sen� sen�

Luego, pruebe las siguientes fórmulas,

sen(�+ �) = sen� cos � + sen� cos�

sen(�� ) = sen� cos � � sen� cos�

cos(�+ �) = cos� cos � � sen� sen�

cos(�� ) = cos� cos � + sen� sen�


tan(�+ �) =tan�+ tan �

1� tan� tan�

tan(�� ) =tan�� tan �

1 + tan� tan�

6.3.2 Fórmulas para el ángulo doble

Tomando � = � en las fórmulas anteriores, obtenga:

sen2� = 2 sen� cos�; cos 2� = cos2 �� sen2�; tan 2� =2 tan�

1� tan2 �

6.3.3 Fórmulas para el ángulo medio

A partir de las fórmulas anteriores demuestre que para 0 � � � �=2:

sen�

2=

r1� cos�

2; cos

�

2=

r1 + cos�

2; tan

�

2=

r1� cos�

1 + cos�

6.3.4 Conversión de productos en sumas y viceversa

Pruebe que:

senA+ senB = 2 sen(A+B

2) cos(

A�B

2)

senA� senB = 2 sen(A�B

2) cos(

A+B

2)

cosA+ cosB = 2 cos(A+B

2) cos(

A�B

2)

cosA� cosB = �2 sen(A+B

2) sen(

A�B

2)

senx cos y =1

2( sen(x+ y) + sen(x� y))

senx seny =1

2(cos(x� y)� cos(x+ y))

cos x cos y =1

2(cos(x+ y) + cos(x� y))

6.4 Teoremas de Euclides y Pitágoras

En la figura 6.4, notamos el triángulo rectángulo �ABO y tres cuadrados, con lados iguales a los deltriángulo, evocando el planteamiento de un teorema conocido,

El Teorema de Pitágoras: jAOj2 + jBOj2 = jABj2 o bien, el área del cuadrado mayor es igual a la sumade las áreas de los dos cuadrados menores.

Hay varias pruebas directas de este teorema que el estudiante puede encontrar. Mostraremos sinembargo una prueba que ilustra otros hechos,

Primer Teorema de Euclides: el área del rectángulo�AELC es igual al área del cuadrado �AOHG.1

Queda para los lectores el encargo de probar el Teorema de Euclides. Esto puede hacerse porejemplo, observando la misma figura 6.4 y comparando las áreas mencionadas en el teorema con elárea del paralelogramo AOMF , la cual puede calcularse (usando la fórmula base por altura) en dosformas distintas (notar que el triángulo rectángulo �ABO es congruente con triángulo �AFG).

El Teorema de Pitágoras es una consecuencia del Teorema de Euclides; el área del cuadrado másgrande, visualmente igual a la suma de las áreas de los dos rectángulos, es la suma de las áreas de losdos cuadrados menores, y eso da la prueba.

1También el área del rectágulo �BCLK es igual al área del cuadrado �OBIJ

6.5 Ejercicios 91

O

A

B

IJM

F

H

G

E

K

L

C

ZZZZZZZ

ZZZZZZZ

��

��

��

Figura 6.16 Teoremas de Pitágoras y de Euclides

6.5 Ejercicios1. Demuestre el teorema del coseno:

a2 = c

2 + b2 � 2bc cos�

2. Demuestre el teorema del seno:a

sen�=

b

sen�=

b

sen

3. Demuestre la fórmula de Herón de Alejandría:

AreaABC =pp(p� a)(p� b)(p� c)

donde p es el semiperímetro del triángulo,

p =1

2(a+ b+ c)

4. Sea f(x) = cos( arcsenx). Demuestre que f : [�1; 1]! R puede también definirse con la fórmula

f(x) =p

1� x2

¿Por qué no vale f(x) = �p1� x2?

5. Encuentre una fórmula para sen(arccos x).

6. Encuentre una fórmula para sen(arctanx).

7. Calcule

(a) arcsen(�1)

(b) arcsen(1

2)

(c) tan( arcsen(1

5))

8. Dibuje el gráfico de sen( arcsenx). (¡Cuidado!)

9. Escribir las siguientes expresiones sin usar signos de valor absoluto:


(a) j1 + senxj(b) j sen 53j

(c) j cos 2j(d) j1 + 2 senx cos xj

10. Resolver la ecuación: j senxj = cos x

11. Resolver las siguientes inecuaciones y representar graficamente el conjunto de sus soluciones:

(a) j sen x� 1

2j � 1

4

(b) j cos x� 1p3j < 1

100

12. Bosquejar la gráfica de:

(a) f(x) = 2 sen(x+ �4)

(b) f(x) = 1

2cos(x� �

2)

(c) f(x) = 2 tan(x+ �4)

(d) f(x) = 1

3cos(3x)

13. Demuestre que:

(a) cos��

4� x

�=

cos x+ senxp2

(b) sen��

4� x

�=

cosx� senxp2

:

14. (*) Usando inducción (y algo de números complejos) demuestre la fórmula (de Moivre) :

[r(cos � + i sen�)]n = rn(cos n� + i senn�)

6.- Funciones trigonometricas

Documents

Transcript of 6.- Funciones trigonometricas