6-ALGEBRA 1ro (1 - 16)
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CORPORACIN EDUCATIVA
Form
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s, con
una a
utn
tica e
duca
cin i
nteg
ral Primero de SecundariaSchools
lgebra
-
Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solucin de uno de los
mayores problemas de nuestro pas, la educacin, brindando una enseanza de alta calidad.
Nuestra I.E. propone una perspectiva integral y moderna, ofreciendo una formacin
personalizada basada en principios y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros
estudiantes, impulsando sus capacidades para el xito en la vida profesional.
Es por esta razn que nuestro trabajo para este ao 2013 se da tambien con el trabajo de
los docentes a travs de Guas Didcticas que permitirn un mejor nivel acadmico y lograr
alcanzar la prctica que es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta que es:
Formar lderes con una autntica
educacin integral
DidcticoPresentacinPresentacin Somos un grupo de educadores que busca contribuir en la solucin de
uno de los mayores problemas de nuestro pas, la educacin, brindando
una enseanza de alta calidad.
En ese sentido es pertinente definir pblicamente la calidad
asocindola a las distintas dimensiones de la formacin de las personas:
desarrollo cognitivo, emocional, social, creativo, etc.
Nuestra Institucin Mentor Schools propone una perspectiva integral
y moderna, ofreciendo una formacin personalizada basada en principios
y valores; buscando el desarrollo integral de nuestros estudiantes,
impulsando sus capacidades para el xito en la vida profesional.
Es por esta razn que nuestro trabajo para este ao 2014 se da
tambin con el esfuerzo de los docentes a travs de Guas Didcticas que
permitirn un mejor nivel acadmico y lograr alcanzar la prctica que
es lo que el alumno(a) requiere, porque nuestra meta es:
Formar lderes con una autntica
educacin integral
-
Captulo 1. Operaciones Combinadas ................................................ 9
Captulo 2. Potenciacin I .................................................................... 16
Captulo 3. Potenciacin II ................................................................... 24
Captulo 4. Expresiones Algebraicas ................................................... 31
Captulo 5. Trminos Semejantes ....................................................... 39
Captulo 6. Multiplicacin Algebraica ................................................ 48
Captulo 7. Productos Notables I ......................................................... 52
Captulo 8. Productos Notables II ....................................................... 58
Captulo 9. Factorizacin I ................................................................... 65
Captulo 10. Factorizacin II .................................................................. 72
Captulo 11. Ecuacin de Primer Grado I ........................................... 78
Captulo 12. Ecuacin de Primer Grado II .......................................... 85
Captulo 13. Ecuacin Cuadrtica I ...................................................... 91
Captulo 14. Ecuacin Cuadrtica II ..................................................... 98
Captulo 15. Sistema de Ecuaciones Lineales ...................................... 105
Captulo 16. Inecuaciones de Primer Grado ........................................ 112
-
9lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Captulo
1Operaciones Bsicas
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
Ejemplos:
* - 4 - 5 - 7 = - (4 + 5 + 7) = -16
* + 3 + 4 + 8 = + (3 + 4 + 8) = +15
Efecta:
-4 - 6 - 5 =
+2+5+8=
-8 - 7 - 10 =
+8+12+13=
-12- 11 -20=
Si se tiene dos o ms nmeros enteros con el mismo signo, el resultado ser la suma precedido del signo en comn.
1. REGLA PRCTICA PARA SUMAR O RESTAR NMEROS ENTEROS
* -7+12=+(12- 7) = +5
* - 10 + 8 = - (10 - 8) = -2
Si se tiene dos nmeros con signos diferentes, el resul-tado ser la diferencia precedida del signo del mayor en cantidad.
Efecta:
-4 + 5 =
-8 + 6 =
+9- 5 =
+10- 15 =
-20+8=
Todo signo de coleccin precedido por un signo + puede ser suprimido, escribiendo luego los nmeros contenidos en su interior, cada uno con su propio signo.
2. SIGNOS DE COLECCIN: ( ); [ ]; { }
* 10 + (-4+2- 5) = 10 -4+2- 5
* 8+(12-4)=8+12- 4
Todo signo de coleccin precedido por un signo - puede ser eliminado, escribiendo luego cada uno de los nmeros contenidos en su interior, con su signo cambiado.
* -12- (4 + 3 - 1) = -12- 4 - 3 + 1
* -8 - (7 -3+2)=-8 - 7 + 3 -2
-
10 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
1. Calcula:
7 + 5 -2- 4 + 8 - 6
los sumandos pueden cambiarse de orden y agruparse.
Resolucin:
(7 + 5 + 8) -(2+4+6)20-12 8
signos diferentes se restan
2. Calcula:
273+8-164-4x2
si no hay parntesis, las multiplicaciones y las divisiones deben realizarse en primer lugar.
Resolucin
9+8- 4 - 8 17 -12 5
3. Reduce:
18(5+4)+6x(4-2)- 10
los parntesis condicionan el orden de las opera-ciones.
Resolucin:
18 9+6x2- 102+12- 10 14 - 10 4
4. Reduce:
20- 4 x [15 - (7 -42)- 3]
efectuando operaciones dentro del parntesis.
Resolucin:
20- 4 x [15 - (7 -2)- 3]20- 4 x [15 - 5 - 3]
Efectuando el corchete:20- 4[7] 20-28
-8
5. Efecta:
3{2[41-(204)]9}-[(62-29)11+2(45-27)3]
realizando operaciones dentro del parntesis.
Resolucin:
3{2[41- 5] 9}- [33 11+2(18) 3]3{2[36]9}- [3 + 36 3]3{729}-[3+12]3{8}- 1524- 159
Operaciones CombinadasSon aquellas donde intervienen las operaciones elementales (adicin, sustraccin, multiplicacin y divisin), as como tambin los signos de coleccin.
La jerarqua u orden en las operaciones combinadas es el siguiente:
* Se efectan las operaciones dentro de los signos de coleccin:(),[],{}.
* A continuacin operamos las multiplicaciones y divi-siones:x,.
* Finalmente efectuamos las sumas y restas: +, -.
En la civilizacin meso-potmica encontramos los primeros sistemas de dos ecuaciones con dos incgnitas; pero sin duda la gran aportacin algebraica babilnica se centra en el campo de la potenciacin y en la re-solucin de ecuaciones cuadrticas, tanto es as que llegaron a la solucin para ecuaciones de la forma ax2 + bx + c y tambin mediante el cambio de variable t = ax. Efectuaron un sinfn de tabula-ciones que utilizaron para facilitar el clculo, por ejemplo de algunas ecuaciones cbicas. El dominio en esta materia era tal, que incluso desarrollaron algoritmos para el clculo de sumas de progresiones, tanto aritmticas como geomtricas.
Su capacidad de abstraccin fue tal que desarrollaron muchas de las que hoy se conocen como ecuaciones diofnticas, al-gunas de las cuales estn ntimamente unidas con conceptos geomtricos.
-
11
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
1. Calcula: -8+7+12-15+20
2. Calcula: +20- 15 + 18 -7+32- 8
3. Calcula: 8+12x3-24 3
4. Calcula: (9x6+6- 15) (4 x 5 4)
5. Calcula: {(4+2)-7x2+(5x2+1)-1}
6. Calcula: (12- 15)(-6) + (18 - 13)(-8) -[(12- 16)]
1. Calcula: -10 + 8 - 7 + 10 -25
Rpta: _______
2. Calcula: -30 -15+22- 10 + 14 -12
Rpta: ________
3. Calcula: 20-8x2- 1 + 5 x 4
Rpta: _______
4. Calcula: 64 222+369x5
Rpta: _______
5. Calcula:
8+{9- [6 - (5 - 4)]}+14- 11 - {7 -1}
Rpta: _______
6. Calcula: 6 x 8 + 40 4 -32{(2247) -1}
Rpta: _______
Rpta.: _______ Rpta.: _______
Rpta.: _______ Rpta.: _______
Rpta.: _______ Rpta.: _______
-
PROBLEMAS PARA CLASE N 1
12 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Calcula:50 - {(6 -1)84x3+16(10-2)}- 5
a) 8 b) 13 c) 10d)16 e)2
Calcula: (15 -2)4+3(63)-18(10- 1)
a) 55 b) 56 c) 58d)59 e)60
Calcula:(8 - 1) - (16 -9)+4-1+9- 6 + (11 - 6) - 5
a) 8 b) 4 c) 6d)10 e)12
Calcula:68 -6x7+(39+5-2)7-7x2+8
a)68 b)26 c)40
d) 48 e) 54
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
13
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4
Completa el recuadro:3xx2+155-2=25
a) 4 b) 6 c) 5d) 7 e) 10
Calcula:[(9-4)5+(10-2)4]+9x618+2
a) 6 b) 7 c) 8d)9 e)10
Completa el recuadro:24x6x9- 7 x 3 = 141
a) 4 b) 6 c) 5d) 8 e) 10
Completa el recuadro:24x68x- 24062x1025=10
a)1 b)2 c)3
d) 4 e) 5
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
14 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Calcula:-5 + 7 - (-8).2 (-4)
a) -2 b)-1 c) 0d)1 e)2
Calcula:7 - [5 . 4 -20 (-5) + 7 - 40 (-8) -9]
a) -10 b) -16 c) -20d) -24 e)30
Calcula:18 [-5 + (-3.2+5)]
a) -3 b) -2 c)2d) 3 e) 1
Calcula:-3 - 4 - [8 . (-3 - 1) (-2)+(-7)]
a) -12 b)-14 c) -16d) -18 e) -20
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
15
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
Calcula:3 + 4 [8 . {4 -(9+3)6}]
a) 61 b) 63 c) 65d)67 e)69
Calcula:{(4+2)-7(2)+[5(2)+1]-1}
a)2 b)1 c)0d) 1 e) -2
Calcula:-20- [-3 -{20- (6 (-3) -7)}-2]
a)10 b)12 c)14d) 16 e) 18
Calcula:9- {8 - [7 -20.(-2) (-8) - (-12+7).3]}
a) 18 b) 16 c) 14d)12 e)10
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
16 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Captulo
2Potenciacin I
Ejemplos:
Ejemplos:
(5)(5)(5) ... (5) = (5)20
20factores
(m)(m)(m) ... (m) = (m)15
15 factores
As tambin, tenemos:
410 = (4)(4)(4) ... (4)
10 factores
a33 = (a)(a)(a) ... (a)
33 factores
Es aquella operacin matemtica en la cual dados dos nmeros a (base) y otro entero positivo n (exponente), se define p como la potencia ensima de a.
an = P
Exponente
PotenciaBase
Ejemplos:
34 = 81 53=125
* Base : 3 * Base : 5* Exponente : 4 * Exponente : 3*Potencia:81*Potencia:125
Exponente Natural
Exponente Cero
a0 = 1 a 0
(5)0=1(1/2)0 = 1
(-8)0 = 1 ( 3)0 = 1
Teoremas
MULTIPLICACIN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
am . an = am+n
Se tiene:am . an = (a . a . a . ... . a) (aaa ... a)
m factores n factores
Contando el total de factores:am . an = (a . a . a . ... . a . a)
m + n factores
Expresando como potencia:am . an = am+n
Demostracin:
* 35 . 33 = 35+3
* m12 . m5 = m12+5
* 6a . 64 = 6a+4
Ejemplos:
a . a . a . ... . a . a = an
n factores
-
17
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Ejemplos:
POTENCIA DE UN PRODUCTO
(ab)m = am . bm
Se tiene:(ab)m = (ab)(ab)(ab) ... (ab)
m factores
Asociando los factores iguales:(ab)m = (aaa ... a) (bbb ... b)
m factores m factores
Representando como potencia:(ab)m = am . bm
Demostracin:
(5a)4 = 54 . a4
(3 . 8)a = 3a . 8a
Pero tambin:
35 . p5 = (3p)5
73 . 53 = (7 . 5)3
POTENCIA DE POTENCIA
(am)n = amn
Se tiene:(am)n = am . am . am . ... am
n factores
Por la multiplicacin de potencias de igual base: n factores
(am)n = am+m+m+...+m
Demostracin:
Pero tambin:
mm+2 mm . m2
2a+7=22.27
Ejemplo:
Ejemplos:
de donde:(am)n = amn
(a3)4 = a3(4) = a12
(m5)n = m5n
Pero tambin:
a6 = a3(2) = (a3)2
m4p = (m4)p
LEY DE SIGNOS
4. (-)impar = -
(Exponente impar)
Base negativa
Ejemplo:
(+6)3 = (+6)(+6)(+6) =+216
3. (+)impar = +
(Exponente impar)
Base positiva
Ejemplo:
(+5)4 = (+5)(+5)(+5)(+5) =+625
1. (+)par = +
(Exponente par)
Base positiva
2. (-)par = +
(Exponente par)
Base negativa
(-3)4 = (-3)(-3)(-3)(-3) = +81
Ejemplo:
(-4)3 = (-4)(-4)(-4) = -64
-
reemplazando:(2)(2)(2)...(2)-(23)2
6 factores 26 -26 64 - 64 0 (cero)
Principales Potencias
POTENCIAS DE DOS
21=2 26 = 64 22=4 27=128 23=8 28=256 24=16 29=512 25=32 210=1024
POTENCIAS DE TRES
31 = 3 34 = 81 32=9 35=243 33=27 36=729
POTENCIAS DE CINCO
51 = 5 53=125 52=25 54=625
POTENCIAS DE SIETE
71 = 7 73 = 343 72=49
1. Calcula: 50+23+(22)2
Resolucin:
* 50 = 1 exponente cero* 23 = 8 exponente natural* (22)2=24 potencia de potencia
reemplazando:50+23+24
1 + 8 + 16
25
2. Reduce:(2)(2)(2)...(2)-(23)2
6 factores
Resolucin:
* (2)(2)...(2)=26
6 factores* (23)2=26
exponente natural
potencia de potencia
3. Reduce:
Resolucin:
Expresamos como potencia:34 -26
81 - 64 17
4. Calcula: (-23)2 + (-22)3
Resolucin:
* (-23)2=+(23)2
* (-22)3 = -(22)3
reemplazando:+(23)2 -(22)3
por potencia de potencia:26 -26
64 - 64 0 (cero)
Exponente par
Exponente impar
5. Un cubo mgico tiene tres capas con tres lneas de tres cubos cada una. Cuntos cubos tiene en total?
Resolucin:
Delafigura:* Cadafilatiene3cubos,entoncesentresfilashabr3(3)=
9cubos.* Cada capa tiene 9 cubos, entonces en tres capas
habr3(9)=27cubos.De donde se tiene:
(3)(3)(3) = 33=27cubos
3 cubos3 lneas
3 capas
(3)(3)(3)(3) -(2)(2)(2)(2)(2)(2) 4 factores 6 factores
18 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
-
19
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
Rpta.: _______ Rpta.: _______
Rpta.: _______ Rpta.: _______
Rpta.: _______ Rpta.: _______
2. Calcula: (2)(2)...(2)+(-3)5
8 factores
1. Calcula: 25+24+23
3. Calcula: 34 + (-3)(-4) + (-4)3
4. Calcula: (-2)6 + (-6)2 - 34
5. Calcula: 35 - 44+23
6. Calcula: 42 - 33+24
3. Calcula: (-3)4 + (-4)3 + (4)(3)
Rpta.: _______
1. Calcula: 26 + 62+2(-6)
Rpta.: _______
2. Calcula: (2)(2)...(2)- 43
6 factores
Rpta.: _______
4. Calcula: (-5)3 - (-11)2 + 33
Rpta.: _______
5. Calcula: -25 + 43 - 61
Rpta.: _______
6. Calcula: 26 - 34 + 42
Rpta.: _______
-
PROBLEMAS PARA CLASE N 2
20 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Calcula:(-6)2 + (-5)2 + (-4)3
a) -1 b) -3 c) -5d) -7 e) -9
Calcula:(33 -25)2 + (52 - 33)2
a)25 b)27 c)29d) 31 e) 33
Calcula:{25 + (-3)3 + 41}2
a)3 b)9 c)27d)81 e)243
Calcula:{(-7)2 - (34 - 62)}2
a)2 b)4 c)9d) 16 e) 25
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
21
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4
Calcula:(-5)3 + (-4)2 + (-3)1 + (-2)0
a) -111 b) -112 c)-113d) -114 e) -115
Calcula:-(-3)2 + (-4)3 - (-2)4
a) -87 b) -88 c) -89d) -90 e)-91
Calcula:{(-4)2 + (-2)4 + (-3)3 + 50}2
a)4 b)16 c)25d)36 e)49
Calcula:(-3)4 + (-4)3 - (-5)0
a)22 b)23 c)24
d)25 e)26
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
22 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Calcula:(3+2)2(1) + (4 + 1)(4-1) + (3 - 1)(3+1)
a) 156 b) 160 c) 166d) 168 e) 170
Calcula:
a)16 b)32 c)64d)128 e)256
(52 + 42 -23)2
(23 + 32 - 42)10
Calcula:22+23+24 + (-3)3
a) -1 b) 0 c) 1d)2 e)3
Calcula:25 + (-5)2+23 + (-3)2
a)70 b)72 c)74d) 76 e) 78
Resolucin: Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
-
23
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
Calcula:(-9)2 + (-3)4 - 53 - 62
a)1 b)2 c)3d) 4 e) 5
Calcula:((-2)3)2 + ((-3)2)2 - 102
a)41 b)42 c)43d) 44 e) 45
Calcula:63 + (-5)3 + (-4)3 + (-3)3
a) -2 b)-1 c) 0d)1 e)2
Calcula:22 - 32 + 42 + 52 - 62
a)0 b)1 c)2d) 3 e) 4
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
24 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Captulo
3Potenciacin II
Ejemplos:
= am-nam
an
a . a . a . ... a . a . a . ... a . aa . a . a . ... a . a
am
an
Demostracin:
13( )
Ejemplos:
Nota
m
( )1a =1am
m
( )ab =a . a . a . ... . a . a . ab . b . b . ... . b . b . b
m factores
m factores
m
( )ab =am
bm
m
( )ab =( )ab ( )
ab ( )
ab
...( )abm factores
am
bm( )ma
b=
2 2.2.2.2.2.2.22.2.2.2
27
24=
7 factores
4 factores
=23
3 . 3 . 3 . 3 . 33 . 3 . 3
35
33=
5 factores
3 factores
= 32
=
m factores
n factores
a . a . a . ... a . aa . a . a . ... a . a
am
an=
m factores
n factores
Demostracin:
a-n = = 1a
1an ( )
( n
)
siendo: a 0
Exponente Negativo
Teoremas
DIVISIN DE POTENCIAS DE IGUAL BASE
Se tiene:
Reduciendo factores comunes: (m > n)
Expresando los factores que quedan:
= a . a . a . ... a . a
m - n factores
a potencia: = am-n l.q.q.d
am
an
am
an
POTENCIA DE UN COCIENTE
Asociando convenientemente:
Expresando como potencia:
l.q.q.d
19
15
3-2 = = 5-1 = = 151
-
25
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Ejemplos:
5
3
-2
( )15-5
( )
1. Calcula:
Resolucin:
2. Calcula: 25
23+ +50( )13
-2
210
27
39
36
* =210-7=23 (propiedad)
* = 39-6 = 33 (propiedad)
Reemplazando:
23 + 33
8+27
35
210
2739
36+
210
2739
36+
1m
= m5
= 52=25
Ejemplo:
Nota
-n
( )1a = an
( )14 =143
=1
64
( )23 =25
35=
32
243
Reemplazando:
32+1+22
9+1+4
14
25
23+ +50( )13
-2
3. Calcula: +( ) ( )13 ( )12
0-114
-2
+
Resolucin:
Aplicando exponente negativo:
42 + 31 + 1 16 + 3 + 1
20
+( ) ( )13 ( )12
0-114
-2
+
4. Calcula:
Resolucin:
Aplicando divisin de potencias de igual base:
212-8 + 310-8 + 48-8
24 + 32 + 40
16+9+1
26
+212
28+
310
3848
48
5. Reduce:
Resolucin:
Reemplazando:
( )232
( )234
( )326
( )232
( )234
( )236
=( )232+4
=
( )236
( )326
26
3636
26.
26
2636
36. =20 . 30 = (1)(1) = 1
Aplicando potencia de un cociente:
Asociando:
Resolucin:
25
23
* = 32
* 50 = 1
* =22
( )13-2
exponente negativo
exponente cero
propiedad
-
26 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
Rpta.: _______ Rpta.: _______
Rpta.: _______ Rpta.: _______
Rpta.: _______ Rpta.: _______
315
312213
210+ + 1
24 . 36
22 . 34+ 5
5 . 66
54 . 65
-( ) ( )12-51
8
-2
- 33
218
214416
413- 8
14
812+
( )12 ( )14 ( )
16
-3-4- +
-5
216
214314
312+
412
410+
+( ) ( )14-21
2
-4
+ 10
1. Efecta:
2. Efecta:
3. Reduce:
1. Efecta:
Rpta: _______
2. Efecta:
Rpta: _______
3. Efecta:
Rpta: _______
316
312- 9
14
912+120
-( ) ( )14-31
3
0
+(23)2
4. Calcula:
5. Calcula: ((-1)3)2+(22)2 - 32 - 50
6. Efecta:
4. Reduce:
Rpta: _______
5. Calcula: ((32-23)2)4
Rpta: _______
6. Efecta: (32)3+(24)2 - (33)2
Rpta: _______
-
27
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
PROBLEMAS PARA CLASE N 3
Efecta:
a) -25 b)25 c)125d) -125 e)250
(22)3
(23)2-(23)2+(22)3
Efecta: (22)(22)...(22) -(25)2 + 50
5 factores
a) -1 b) 0 c) 1d)2 e)5
Calcula:
a) -2 b)-1 c) 0d)1 e)2
(-5)(-5) ... (-5)(-5)(-5) ... (-5)
18 factores
20factores
+( ) ( )15-21
6
-2
+ (-22)3
Reduce:
a) -1 b) -3 c) -5d) -7 e) -9
Resolucin:
Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
28 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4Reduce:
(4-1++2-1 + 1)3
a)1 b)8 c)27d)64 e)125
14
Efecta:(32)2 -(23)2 - (41)2
a)1 b)2 c)3d) 4 e) 5
Efecta:
a) 6 b) 8 c) 10d)12 e)14
(63)4
(62)6+ +23(2
6)4
(28)3
Calcula:
a)2 b)4 c)6d) 8 e) 10
515
512( )15
-2
- (42)(32)+
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
29
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Efecta:
a)1 b)8 c)27d)64 e)125
{ }1/2
( )14 ( )12 ( )
13
-2-3-3+ +
Reduce:
a)3 b)9 c)2d) 4 e) 5
Efecta:(23)(23)...(23) -(22)(22)...(22)+23
6factores9factores
a) 6 b) 7 c) 8d)9 e)10
{ }3
( )16 ( )15 ( )
13
-23-1-1+ -
Reduce:
a)20 b) 4 c) 8d)64 e)1024
{ }10
( )15 ( )15 ( )
17
-2-2-2+ -
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
30 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
Reduce:
a)2 b)4 c)6d) 8 e) 10
( )112 ( )115 ( )
119
-2
+ --2-2
Reduce:
a)12 b)13 c)14d) 15 e) 16
{ }( )13-4
( ) ( )13 ( )14
-3-212
-3
{ }++21+ +12 -Calcula:
a)22 b)23 c)24
d)25 e)26
Calcula:
a)4 b)25 c)36d)49 e)64
{ }2
( )114 ( )16
-2-2
( )115-2
+ -
-3-3
( )113 ( )0
( )1214 ( )
16+
- --2
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
31
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Captulo
4Expresiones Algebraicas
Trminos Algebraicos
I. CONSTANTE
Ejemplos:
II. VARIABLE
Todo aquello que no cambia.
El nmero de das en una semana. El nmero de departamentos del Per. Las dimensiones de esta hoja. El nmero de dedos en tu mano.
Generalmente las constantes se representan con nme-ros. As, los das de la semana son 7 y las dimensiones deestahojason210x297mm.
Todo aquello que cambia o vara.
El nmero de personas en el Per. La cantidad de estrellas en el universo. El tiempo. La temperatura.
Generalmente las variables se representan con letras.
As, el nmero de personas en el Per se puede repre-sentar mediante la letra x, indicando de esta manera que es una cantidad que cambia con el transcurso del tiempo.
Ejemplos:
Existen constantes que suelen re-presentarse con letras, una de stas es el nmero (pi del alfabeto griego). Aparece espontneamente y en los lu-gares ms inesperados. Por ejemplo, la probabilidad de que dos enteros positivos cualesquiera sean primos entre s es 6/2. El valor aproximado de es 3,14; pero, en realidad, la expansindecimalesinfinitaynosigueningunapautaconocida.En1949JohnvonNeumannutilizlacom-putadora electrnica ENIAC para calcular las primeras 2037cifrasdecimalesde.En1986DavidM.Baileyextrajo29360000cifrasenunCray2delaNasa.En1989elmatemticoGregoryChudnovskyutilizdossupercomputadoras para calcular ms de mil millones de dgitos. Con39cifrasbastaparacalcularlalongituddeunacircunferencia que abarque todo el universo con un error menor que el radio de un tomo de hidrgeno. Por qu entonces calcular pi con tantas cifras? La respuesta es sencilla: una computadora, como toda mquina, debe ser probada en su potencia y contra posibles defectos antes de comenzar a funcionar.
Importante
En la naturaleza existen muchos
ejemplos de variable. La presin
atmosfrica y el tiempo medidos
por el barmetro y el reloj de
arena,mostrados en la figura,
son algunos de stos.
-
32 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
III. TRMINO ALGEBRAICO
Ejemplos:
Ten en cuenta
Una constante tambin se considera trmino alge-braico.
Ejemplo:
7;;2sontrminosalgebraicos
Generalmente las variables tienen nmeros escri-tos en la parte superior derecha, stos reciben el nombre de exponentes.
Ejemplo: 4x 7
Los exponentes de las variables deben ser siempre nmeros racionales.
Ejemplo:
2x3
5x 2
7x
3x
6x 3
Luego, la ltima expresin no es un trmino alge-braico.
Un trmino algebraico puede tener ms de una variable.
Ejemplo: 7x3y4
Exponente
-12
Nmero Racional
Nmero Racional
34
Nmero Racional
34
- Nmero Racional
Nmero Irracional
Ejemplos:
Es una expresin matemtica que une a las constantes y a las variables mediante la operacin de multipli-cacin.
Multipliquemos la constante7 con lavariablex,as:
7x Esta expresin matemtica se llama Trmino
Algebraico.
Partes de un Trmino Algebraico
Untrminoposeegeneralmente2partes:
Parte Constante. Parte Variable.
5 x7y4
Parte Parte Constante Variable
Albert Einstein, fsico y matemtico, public en 1916laTeorageneraldelarelatividad.Enelladem-ostrquelavelocidadde la luz(300000km/senelvaco) es la nica constante en el universo, es decir, mientras todo cambia, la velocidad de la luz, represen-tada por la letra c, permanece invariable.
-
3. Utilizando trminos algebraicos representa las siguientes proposiciones:
a) Dos veces el nmero de postulantes a la uni-versidad. __________
b) Cinco veces el dinero que gast. _________
c) Menos tresveceselnmerodecolegiosdel
Per. __________
d) Menos ocho veces el rea de un cuadrado.
__________
5. Indica en los siguientes casos, cules son trminos semejantes? Coloca s o no.
x2;2x2 ; _______ son trminos semejantes.
3x3;2x3 ; _______ son trminos semejantes.
7x5; 5x7 ; _______ son trminos semejantes.
3y5x2;2x2y5; _______ son trminos semejantes.
3xy; 7xy ; _______ son trminos semejantes.
5x2y;2xy2; _______ son trminos semejantes.
4. Indica el valor de verdad de las siguientes propo-siciones:
a) 2;3y7sonconstantes. ()
b) J;WyTsonvariables. ()
c) Eneltrminoalgebraico:2x3, la parte cons-tantees2ylapartevariableesx3. ( )
d) 4x5 y 7x5 son trminos semejantes. ( )
6. Representa con ayuda de trminos algebraicos las siguientes frases:
a) El dinero de una persona.
b) El quntuple de la temperatura ambiental.
c) Siete veces la distancia de la Tierra al Sol.
d) Menoscuatroveceseltiempotranscurrido.
2. Completa la siguiente tabla:
Trmino Algebraico
Parte Constante
Parte Variable Exp.
5x-9y2
4x-1wz3
-25x3y8w-4
-14x-4w5z3
1. Relaciona las siguientes proposiciones con su respectiva constante.
a) La cantidad de meses de un ao. b) Los colores del semforo. c) Das de la semana. d) Las vocales.
( ) 7 ( ) 5 ()12
( ) 3
33
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Para ReforzarPara Reforzar
-
34 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
2. Completa el siguiente cuadro:
Trmino Algebraico
Parte Constante
Parte Variable
3x
x
5x3
-2x2y
x3yz2
1. Representa mediante trminos algebraicos las siguientes proposiciones:
a) La edad de una persona. _______
b) El doble del nmero de personas en el mundo. _______
c) El triple del nmero de pasajeros que suben a un autobs. _______
d) Menos el doble de la altura de un rbol.
_______
3. Cuntas de las siguientes proposiciones son ver-daderas?
I. Los nmeros son constantes. II. Las variables se representan con nmeros. III. 5 es una variable.
a) I y III b) Slo III c) Slo II d) Slo I e) Ninguna
4. Relaciona las siguientes relaciones con su respec-tiva constante.
a) El nmero de das del mes de agosto. b) El nmero de estaciones del ao. c) La cantidad de campanadas de un reloj al
medioda. d) La cantidad de sentidos en el ser humano.
()12
( ) 5( ) 4( ) 31
5. Cules de las siguientes proposiciones son falsas?
I. 3 es un trmino algebraico. II. 3x2yw es un trmino algebraico. III. x + 3 es un trmino algebraico.
a) Slo Ib) Slo IIc) Slo IIId) I y IIIe) I y II
6. Utilizando trminos algebraicos representa las siguien-tes proposiciones:
a) Menoscuatro veces el rea de un rectngulo. b) Menoseldobledelreadeuntringulo.
c) Menostresveceselreadeuncrculo.
d) El cudruple del rea de un cuadrado.
-
35
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Si los trminos algebraicos 8xa+2y -3x10 tienen el mismo exponente para su variable. Calcula el valor de a.
a) 6 b) 8 c) 10d)12 e)15
Los trminos 16xy3b-1; 10xy11, presentan la misma parte literal, el valor de b es:
a) 8 b) 6 c) 4d) 7 e) 5
Los trminos: -36x4yb; -2xay3, tienen el mismo exponente en sus variables x e y, respectiva-mente.Encuentraelvalorde2b+3a.
a)20 b)22 c)18d)21 e)25
Los trminos 14x2b-3y, 7x9y, presentan la misma parte literal, el valor de b es:
a) 4 b) 6 c) 5d)8 e)9
PROBLEMAS PARA CLASE N 4
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
36 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4Los siguientes trminos:T1 = ax
5ym-1 ; T2 = mxb-2y7 ;T3 = bx
m-3y2a+1 Tienen la misma parte literal, determina: coef(T1) + coef(T2) + coef(T3)
a) 13 b) 16 c) 18d)21 e)23
Dados los trminos:-3xa-1y5 ; 10x5-ay-b+7
si sus partes literales son idnticas, determina ab.
a)2 b)3 c)4d) 5 e) 6
Dados 6xayb-5; -3x8ya+1, donde el exponente de x enelprimertrminoexcedeen2unidadesalexpo-nente de x del segundo trmino y los exponentes de y en ambos trminos son iguales. Cul ser el valor de ab?
a)80 b)100 c)120d) 150 e) 160
Dados 3xm+6yn-9; -3x9y4, donde el exponente de y del primer trmino excede en 3 unidades al exponente de y en el segundo trmino y los ex-ponentes de x en ambos trminos son iguales. Culserelvalorde2m- n?
a) -2 b)-3 c) -4d) -5 e) -6
Resolucin: Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
-
37
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Seala, cul de las siguientes expresiones no es algebraica?I. x3+2x2 + 4wII. x + x2 + x3 + x4 + x5 + ...III. 3wx2 -2
a) I y III b) Slo III c) Slo Id) Todas e) Slo II
Reduce los siguientes trminos de parte literal idntica:
axa-1 + bx5 + 3xb+3
a)5 b)7 c)9d) 11 e) 13
Si los siguientes trminos tienen la misma parte literal: T1 = ax
2a+1y9 ; T2 = bx9y2b+13
reduce: T1 + T2.
a)2x9y6 b) -2x9y9 c)2x6y9
d) -2x6y6 e)2x9y9
Cuntasde lasafirmacionesnosonexpresionesalgebraicas?I. x 5 + 5 x II. x5 + 5x
III. 5/x + x/5 IV. xy + yx
a)Ninguna b)1 c)2d) 3 e) Todas
Resolucin:
Resolucin:Resolucin:
Resolucin:
-
38 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
Si se cumple la siguiente identidad: mxm+1 + nya+1 3xb+1 + 5yn+3
determina mn - ba.
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
Enelsiguientetrminoalgebraicosucoeficienteesel doble de su exponente T = (c + 1)x(c-1) Deter-mina el exponente del siguiente trmino algebraico.
E=(2c+1)x3c+1
a)2 b)4 c)6d) 8 e) 10
Si los siguientes trminos tienen idnticas partes literales: T1 = abx
a+1y3zc+2 ; T2 = bcx3yb+2z4
T3 = acx2b+1ya+1z2c
Calcula: coef(T1) + coef(T3) - coef(T2)
a)2 b)4 c)6d) 8 e) 10
Si se cumple la siguiente identidad: ax5 + bx2a+1 cxb-1
determina el valor de c.
a)2 b)4 c)6d) 8 e) 10
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
39
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Captulo
5Terminos Semejantes
OPERACIONES CON TRMINOS SEMEjANTES
ADICIN
Ejemplos:
SUSTRACCIN
Son aquellos trminos algebraicos que tienen la misma parte literal,siendosuscoeficientesvaloresarbitrarios.
Sesumansuscoeficientesyseconservasuparteliteral.
3x2 + 5x2 = (3 + 5)x2 = 8x2
+
Serestansuscoeficientesyseconservasuparteliteral.
10m3 - 4m3 = (10 - 4)m3 = 6m3
-
Resolucin:
13
Resolucin:
1. Determina e l valor de m si ambos trminos son semejantes: T1 = 4x
2m-1; T2 = 1/3xm+6
Por ser trminos semejantes su parte literal debe ser idntica en ambos trminos:
4x2m-1 semejantes xm+6
De donde sus exponentes tienen que ser iguales, as tenemos:
2m- 1 = m + 6 m = 7
2. Determina a y b si ambos trminos son semejantes: T1 = 5x
a-1y6; T2 = -10x7yb+2
Siendo trminos semejantes ambas partes literales deben ser idnticas:
5xa-1y6 semejantes -10x7yb+2
De donde los exponentes de la variable correspondiente tiene que ser iguales, as tenemos:
exponente de x a - 1 = 7 a = 8 exponente de y b+2=6 b = 4
3x5 ; -8x5 ; x5;2x5
son trminos semejantes porque tienen la misma parte literal
45
Observacin
Si en una reduccin de trminos semejantes los coeficientes no se pueden operar, se deben dejar expresados.
Ejemplo:ax3 + 4x3 = (a + 4)x3
mp3 - 10p3 = (m - 10)p3+
-
3. Determina n en la siguiente identidad: 6xn+1 + 3x4 9x4
Como se ha producido una reduccin de trminos, stos tienen que haber sido semejantes, entonces tienen la misma parte literal, es decir:
6xn+1 semejantes 3x4
De donde sus exponentes tienen que ser iguales: n + 1 = 4 n = 3
Resolucin:
-
40 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
1) Reduzca los siguientes trminos semejantes:
a) 3x2 + 5x2 + 7x2 b) -9m5 - 11m5 - 13m5 c) 5x3p -2px3 + 3x3p d)2(-3x) + 3(4(-2x)) e) 3(-4m) - 5(-3m) f) -23xy + 32xy
1) Reduzca los siguientes trminos semejantes:
a) 4x3 - 11x3 + 5x3 b) 5m - 6a + 7m + 11a c) -5x5 + 8x5 -2x5 d) 6mx + 5xm
2) Determina el valor de m en cada una de las siguientes identidades:
a) 3xm + 5x3 8xm b) 4xm-1 + 7x5 11x5 c) 5x2m-1 + 8xm+12 mx25
2) Determina el valor de m en cada una de las siguientes identidades:
a)12x2m+1 + 7x11 19xm+6 b) 4x3m-2 - 3xm+4 x2m+1
3) Reduzca los siguientes trminos semejantes:
a) 3xm+2 + mx5 b) 7x2m+1 - mx7 c) 3mxm-2 + (m + 1)x3
3) Reduzca los siguientes trminos semejantes:
a) 5x2m-1 + mxm+4 b) axb + bxa + 3x3
4) Determina el valor de m si ambos trminos son semejantes:
T1 = 7x3m-1y5, T
2 = -x8y5
4) Dados los trminos semejantes: T1 = 3x
5m-1y5, T2=2x14y7n-2
Determina m + n.
5) Determina el valor de m y n si ambos trminos son semejantes:
T1 = 8x4m+1y5, T
2 = -3x9yn-2
6) Determina el valor de mn si ambos trminos son semejantes:
T1 = 4x5m-2ym+2n, T
2 = x3y5
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
5) Determina el valor de m si ambos trminos son semejantes:
T1 = 8x2m-1y4, T
2=1/2x5ym+1
6) Determina el valor de m y n si ambos trminos son semejantes:
T1 = 5x2m+3y3n-1, T
2 = x7y8
-
41
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
PROBLEMAS PARA CLASE N 5
Siendo: A=2mxm+2 . y3m+n
B = 3nx3n-2 . y4m-8
trminos semejantes, calcula: A - B y seale su coeficiente.
a) 28 b) 18 c) 10d) 20 e) 22
Siendo: A(x, y) = mxm+3y2m+n
B(x, y) = nx2n-1y3m+1
trminos semejantes, da su suma.
a) 6x5y7 b) 8x7y5 c) 9x7y5
d) 5x5y7 e) 10x5y7
Si: 4mx2n-1 + 3xp-1 = 15x3, halla m + n + p.
a) 9 b) 4 c) 3d) 7 e) 1
Si: (b3 - 7)xn + x8=21x3m+2, halla m . n + b.
a) 13 b) 48 c) 19d) 20 e) N.A.
Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:Resolucin:
-
42 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4
Si: P(x, y) = 4zx3+nym
Q(x, y) = 8x10y6-2m,halla z2 + m + n2si:P+Q=12x10ym
a) 49 b) 50 c) 51
d) 52 e) 53
Dados los trminos: R = (a3 - 1)xayb
T = a2b3x3by2a-10
son semejantes. Halla a + b.
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
Dado: P = 4mxa+3yb
2-1
Q = 3abx5ya3
si2P+Qes26x2a+1 y2b+2, halla (a + b)m
a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
Dados los trminos algebraicos: A = mxm+3y2m+n
A = mx2n-1y12
halla m + n.
a) 4 b) 6 c) 8d) 10 e) 12
Resolucin:Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
43
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Halla la sumade coeficientes de los trminos
semejantes: t1 = 3b
2x2a-10yb-1
t2 = -2axa-4y
a) -1 b) 0 c) 8d) 4 e) 24
Sean los trminos semejantes: t1 = 3ax
2a-1yb-3
t2 = 4bxa+3y2b-9
calcular a + b
a) 2 b) -2 c) 10d) 16 e) 14
Calcula a2 + b2, dados los trminos semejantes: t1 = 3ax
2a-bya+3
t2 = a2xa+3y2b+3
a) 60 b) 45 c) 74d) 13 e) 89
Sabiendo que a, b y c son constantes y que los siguientes trminos:a2(b -2)xa+5yc+2zb+4 , c2(a -2)x10-by10-az7-c
sonsemejantes.Calculalasumadeloscoeficientes.
a) 27 b) 63 c) -23d) -67 e) -75
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
-
44 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
Si los trminos: t1=2x
a+1xa+2yb-4
t2 = 3xa+3ya+3xy
sumados se pueden reducir a uno solo, calcula ab.
a) 12 b) 48 c) 44
d) 16 e) 8
Sean los trminos semejantes: t1=2
8ax5a-2y2b+3
t2 = 45b2x3a+4yb+7
calcula a - b.
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 9
Sean los trminos semejantes: t1 = ax
m ; t2 = bxn ; t3 = cx
p
si t1 + t2 = abxp
t1 + t3 = acxn
t2 + t3 = bcx
calcula:
a) 1 b) 2 c) 3d) 3/2 e) 2/3
ab + ac + bcabc
Se realiza las siguientes sumas de trminos semejantes: axm + bxn = abcxp
axn + cxp=2abcxm
bxp + cxm = 3abcxn
calcula: E =
a) 3 b) 1 c) 1/3d) 3/2 e) 2/3
a + b + cabc
Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
-
45
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Captulo
6Multiplicacin Algebraica
Conocimientos Previos
MULTIPLICACIN DE POTENCIAS DE BASES IGUALES
* 33 . 32 = 33+2 = 35
* 57 . 56 = 57+6 = 513
am . an = am+n
POTENCIA DE UN PRODUCTO
* (2x)4=24 x4 = 16x4
* (3m)5 = 35 m5=243m5
(ab)m = am . bn
POTENCIA DE POTENCIA
* (34)5 = 34(5) = 320
* (x3)6 = x3(6) = x18
(am)n = amn
LEY DE SIGNOS
* (+5)(+6) = +30* (-7)(-4) = +28* (+4)(-3) = -12* (-5)(+9) = -45
a) Multiplicacin
(+) (+) = (+)( - ) ( - ) = (+)(+) ( - ) = ( - )( - ) (+) = ( - )
* (+4)2 = +16* (-3)4 = +81* (+5)3 = +125* (-6)3 = -216
b) Potenciacin
(+)PAR = (+)( - )PAR = (+)(+)IMPAR = (+)( - )IMPAR = ( - )
MULTIPLICACIN DE MONOMIOS
Para multiplicar monomios, primero se multiplica los coeficientesyluegoseefectansuspartesliterales,as
tenemos:(3x3y4)(-5x6y2)
Aplicando la propiedad conmutativa:(3)(-5)(x3)(x6)(y4)(y2)
-15 x3+6 y4+2
De donde: -15x9y6
MULTIPLICACIN DE UN MONOMIO POR UN POLINOMIO Para multiplicar un monomio por un polinomio se aplica la propiedad distributiva y luego se procede efectuando sus coeficientesypartesliterales,astenemos:
-5x4 (3x5 - 4x7)
Aplicando la propiedad distributiva:(-5x4)(3x5) + (-5x4)(-4x7)
-15x9+20x11
De donde:-5x4(3x5 - 4x7) = -15x9+20x11
-
1. Determina la suma de coeficientes del producto, almultiplicar:
(3x3 -2x2)(-5x + 4x4)
Resolucin:
Aplicando la propiedad distributiva:
(3x3)(-5x + 4x4) + (-2x2)(-5x + 4x4)
-15x4+12x7 + 10x3 - 8x6
\Sumadecoeficientesdelproducto:
-15+12+10- 8 = -1
MULTIPLICACIN DE POLINOMIOS
Para multiplicar polinomios se aplica la propiedad distributiva, as tenemos:
(5x4 - 3x5)(-2x6 + 8x3)
Aplicando la propiedad distributiva:
(5x4)(-2x6 + 8x3) + (-3x5)(-2x6 + 8x3)
-10x10 + 40x7 + 6x11 -24x8
2. Determina el mayor coeficiente del producto, al multiplicar:
(5x3 -2x5)(-3x2 - 4x)
Resolucin:
Aplicando la propiedad distributiva:
(5x3)(-3x2 - 4x) + (-2x5)(-3x2 - 4x)
-15x5 -20x4 + 6x7 + 8x6
\Mayorcoeficiente:8
Fue tan famoso el libro Kitab al-jabr wa al-muqabalah, la obra ms importante del matemtico rabe Al'Khwarizmi, que parte de su ttulo dio nombre a toda una disciplina matemtica: el lgebra. Al-jabr quiere decir as como restitucin, que es lo que se intenta hacer cuando se resuelve una ecuacin, restituir el valor de la incgnita.
Si buscas esta palabra en el diccionario, encontrars quejuntoasusignificadomatemticoapareceotro
desusado, el de arte de restituir a su lugar los huesos dislocados. Por eso algebrista era tanto el matemtico dedicado al lgebra como el cirujano que se dedicaba a colocar los huesos en su sitio. Una tercera acepcin de algebrista es la de alcahuete. Algo tendr que ver.
3. Determina la cantidad de trminos del producto, al multiplicar:
(3x5 + 6x4)(2x4 - 4x3)
Resolucin:
Aplicando la propiedad distributiva:(3x5)(2x4 - 4x3) + (6x4)(2x4 - 4x3)
6x9 -12x8+12x8 -24x7
Reduciendo trminos semejantes, tenemos: 6x9 -24x7
\ # de trminos = 2
4. Determina el coeficiente del trmino de mayor exponente, al multiplicar:
(5m2 - 3m)(-2m3 + 7m4)
Resolucin:
Aplicando la propiedad distributiva:
5m2(-2m3 + 7m4) + (-3m)(-2m3 + 7m4)-10m5 + 35m6 + 6m4 -21m5
Reduciendo trminos tenemos:35m6 - 31m5 + 6m4
\ Coef. del trmino de mayor exponente es 35.
-
47
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
1) Multiplica: (-2x5y3)(-3y4z3)(-5x4z2)
1) Multiplica: (-4m5n3)(3m3p4)(-2n6p5)
2) Efecta: (-2x3y4)(-3x5y3)(-4x2y5)(-x4y2)
2) Efecta: (-3x4y2)(-5x7y5)(6x8y6)
3) Efecta: (-5x4y3)(4x2y6)(2x8y5)
3) Efecta: (-8x5z5)(-4x3y5)(2x2z4y2)
4) Multiplica: -2m2n(-3mn + 4m3n2) y determina el coeficiente demayor valor del
producto.
4) Multiplica: 14xy2(-2xy3+2x4y3) ycalculalasumadecoeficientesdelproducto.
5) Multiplica: -4y4(-7y3 + 3x3) y determina el coeficiente del trmino que
contiene a x.
5) Multiplica: -3x4(-x3 + y3 + z3) ydeterminalasumadecoeficientesdelproducto.
6) Multiplica: (3m2 - 5m + 1)(-m + 4) y determina el coeficiente del trmino de
exponente uno al obtener su producto.
6) Multiplica: (2m- m2+3)(2- m2) y determina la cantidad de trminos de su
producto.
-
48 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Resolucin: Resolucin:
Resolucin:Resolucin:
Si: (7x3y2)(2xy)3 (b3 - 8)xayc,halla (a - b)c.
a) 32 b) 0 c) 1d) 105 e) 64
Si: (2mxayb)2(2x3ayb-1) 32x5y14,halla m + a + b; m > 0
a) 4 b) 8 c) 12d) 16 e) N. A.
Al efectuar: (x+1)(x2x+1)se obtiene xa+1Halla:2a+1 a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
Al efectuar:(x1)(x2+x+1)
Se obtiene xa1halla:3a1
a) 8 b) 9 c) 10d) 11 e) 12
PROBLEMAS PARA CLASE N 6
-
49
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4
Resolucin:
Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
Si: P = 4xay2b Q = 5xbya,entonces P . Q es:
a) 20xay2b
b) 20xbya
c) xayb
d) 20xa+by2(a+b) e) 20xa+bya+2b
Sabiendo que:m = xa; n = xb x2 = (mbna)c,
halla (abc).
a) 1 b) 2 c) -1d) -2 e) 0
Calcula2m+nsi:
= x5y2
a) 5 b) 7 c) 9d) 11 e) 21/2
(x3+m) (y7-n)(x3-n) (y6+n)
Halla n si:
= x4
a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
(xn-4)3 . (x4n)2
(xn-2)4 . x6n
-
50 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resolucin: Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
Multiplica:(3x2 -2)(6x+7)eidentificaquetrminonoseencuentraensuproducto. a) 18x3 b) 21x2 c) 12xd) -12x e) -14
Multiplica:(5x2 + x)(3x3 - 1)eidentificauntrminodelproducto. a) -15x5 b) 3x4 c) 5x2
d) x e) 5x5
Multiplica:(5x4 - 3x)(6x - 4x3)ydeterminalasumadecoeficientesdelostrminosnegativos. a) 4 b) -4 c) 12d) 42 e) 32
Multiplica:(-3x3 + 5x)(4x - 3x4)ydeterminalasumadecoeficientesdelostr-minos de exponente par. a) 8 b) -8 c) 2d) -2 e) -27
-
51
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
Resolucin:
Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
Multiplica:(9x-2x2)(-5x + 6x3)ysealaelcoeficientedemayorvalor. a) 54 b) 64 c) 10d) 17 e) 8
Multiplica:(3mn-2n)(-5m - 3mn)ydeterminaelcoeficientedemayorvalorenelproducto. a) 2 b) 4 c) 6d) 8 e) 10
Multiplica:(2x+1)(x+2)-2(x+1)(x+1)
a) 5x b) 4x c) 3xd) 2x e) x
Multiplica:(3x + 1)(x + 3) -(3x+2)(x+2)
a) 2x+1 b) 2x-1 c) 2xd) 3x+2 e) 3x-2
-
52 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Captulo
7Productos Notables I
1. Efecta: (x + 5)2
Resolucin:
Aplicando la identidad:(x + 5)2 = x2+2x(5)+(5)2
(x + 5)2 = x2+10x+25
Son aquellos productos que se obtiene en forma directa sin la necesidad de aplicar la propiedad distributiva.
BINOMIO AL CUADRADO
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a - b)2 = a2 - 2ab + b2
A) (a + b)2 = (a + b)(a + b)
Por multiplicacin distributiva: (a + b)2 = a(a + b) + b(a + b)
Eliminando parntesis: (a + b)2 = a2 + ab + ab + b2
Reduciendo trminos semejantes: (a + b)2 = a2+2ab+b2
B) (a - b)2 = (a - b)(a - b)
Por multiplicacin distributiva: (a - b)2 = a(a - b) - b(a - b)
Eliminando parntesis: (a - b)2 = a2 - ab - ab + b2
Reduciendo trminos semejantes: (a - b)2 = a2 -2ab+b2
Demostracin:
MULTIPLICACIN DE BINOMIOS SUMA POR DIFERENCIA
(a + b)(a - b) = a2 - b2
(a + b)(a - b) = (a + b)(a - b)
Demostracin:
Por multiplicacin distributiva: (a + b)(a - b) = a(a - b) + b(a - b)
Eliminando parntesis: (a + b)(a - b) = a2 - ab + ab - b2
Reduciendo trminos semejantes: (a + b)(a - b) = a2 - b2
2. Reduce: E = (x + 3)2 - x(x + 6)
Resolucin:
Aplicando la identidad y multiplicacin de expresiones, tenemos:
E = x2+2(3)x+(3)2 - x2 - 6x
Reduciendo trminos semejantes\ E = 9
3. Efecta: M=(x- 5)2 - x(x - 5) + 5x
Resolucin:
Aplicando la identidad y multiplicando las expresiones, tenemos:M=x2 -2(x)(5)+(5)2 - x2 + 5x + 5xM=x2 -10x+25- x2 + 5x + 5xReduciendo trminos semejantes
\M=25
-
53
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
1) Efecta:* (a + b)2
* (x + y)2
* (x + 1)2
* (a - b)2
* (x - y)2
* (x -2)2
1) Efecta:
* (x + a)2
* (m + 1)2
* (2x+1)2
* (y - a)2
* (n - 1)2
* (3x - 1)2
2) Efecta:
* (a + b)(a - b)* (x + y)(x - y)* (x + 1)(x - 1)* (a+2)(a-2)* (m - 3)(m + 3)* (b - 5)(b + 5)
2) Efecta:
* (2x+1)(2x- 1)* (3m -2)(3m+2)* (2x+5)(2x- 5)* (x2+2)(x2 -2)* (m3 - 1)(m3 + 1)* (p5+2)(p5 -2)
3) Efecta:(x+2)2 - 4(x + 1)
3) Efecta: (2x+1)2 - 4(x2 + x + 1)
5) Reduce: (x + 1)2 - (x - 1)2 + 3x
4) Efecta: (x + 1)(x - 1) - (x + 3)(x - 3)
4) Efecta: (2x+3)(2x- 3) -(2x+5)(2x- 5)
5) Efecta: (x + 4)2 - 8(x + 1) - x2
6) Efecta: (x + 5)2 - (x + 3)2 - 4x
6) Efecta: (x - 3)2 - (x -2)2+2x
-
PROBLEMAS PARA CLASE N 7
54 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Resolucin: Resolucin:
Resolucin:Resolucin:
Efecta:(x + 6)2 - (x - 4)2 -20(x+1)
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
Efecta: (x + 3)2 - (x -2)2 - 5(x + 1) a) x b) 2x c) 3xd) 4x e) 5x
Efecta:(2x-1)(2x+1)- 4(x + 3)(x - 3)
a) 15 b) 20 c) 25d) 30 e) 35
Efecta:(x + 4)(x - 4) - (x + 5)(x - 5)
a) 1 b) 4 c) 9d) 16 e) 25
-
55
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4
Resolucin:Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
Efecta: (2x+3)(2x- 3) - (x + 3)(x - 3) a) x2 b) 2x2 c) 3x2
d) 4x2 e) 5x2
Efecta:(4x + 1)(4x - 1) - 16(x + 1)(x - 1)
a) 15 b) 14 c) 13d) 12 e) 11
Si:a+b=3yab=2,calcula a2 + b2. a) 3 b) 4 c) 5d) 6 e) 7
Si a+b= 5 y ab = 8,calcula: M=a2 + b2
a) 6 b) 7 c) 8d) 9 e) 10
-
56 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
Si a2 + b2 = 13 y a + b = 5,calcula ab. a) 7 b) 6 c) 5d) 4 e) 3
Si a2 + b2 = 10 y a - b = 4,calcula ab. a) -1 b) -2 c) -3d) -4 e) -5
Siab=7yab=3,calcula:
a2 + b2
a) 52 b) 53 c) 54d) 55 e) 56
Si a -b=5yab=12,calcula: a2 + b2
a) 45 b) 46 c) 47d) 48 e) 49
-
57
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
Si a + b = 7 y a2 + b2 = 17,calcula: N = ab
a) 2 b) 3 c) 4d) 5 e) 6
Si a2 + b2=22ya-b=2,calcula: P = ab
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Efecta:4 (x+1)(x-1)(x2+1)(x4+1)+1
a) x b) x2 c) 2xd) 2x2 e) 4x
Efecta:8 (b-1)(b2+1)(b4+1)(b+1)+1
a) b b) b2 c) b2-1d) b+1 e) b-1
-
58 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Captulo
8Productos Notables II
IDENTIDAD DE STEVIN
(x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
* Partiremos de la igualdad: (x + a)(x + b) = (x + a)(x + b)
* Aplicando multiplicacin en el segundo miembro: (x + a)(x + b) = x(x + b) + a(x + b)
* Eliminando los parntesis en el segundo miembro: (x + a)(x + b) = x2 + bx + ax + ab
* Asociando convenientemente: (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab
Demostracin:
* (x+2)(x+3)=x2+(2+3)x+(2)(3) = x2 + 5x + 6
* (x + 5)(x - 1) = x2 + (5 - 1)x + (5)(-1) = x2 + 4x - 5
* (x - 8)(x + 3) = x2 + (-8 + 3)x + (-8)(3) = x2 - 5x -24
* (x - 3)(x - 4) = x2 + (-3 - 4)x + (-3)(-4) = x2 -7x+12
Ejemplos:
VALOR NUMRICO
Es el nmero resultante de reemplazar las letras o expresionesalgebraicasporcantidadesespecficas.
EQUIVALENCIA ALGEBRAICA
Son aquellas expresiones que se pueden reducir bajo ciertas condiciones indicadas.
Ejemplo:
Si a + b = 3 yab=2,calculaM=a2 + b2.Sabemos que: (a + b)2 = a2 + b2+2abReemplazando: (3)2=M+2(2) M=5
Ejemplo:
Si a - b = n y ab = n2,calcula Q = a2 + b2.Sabemos que: (a - b)2 = a2 + b2 -2abReemplazando: (n)2 = Q -2(n2)
\ Q = 3n2
-
59
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
1. Reduce: A = (x + 4)2 - (x + 3)(x + 5)
Resolucin:
Aplicando identidades:A = x2 + 8x + 16 - (x2 + 8x + 15)
Eliminando el parntesis:A = x2 + 8x + 16 - x2 - 8x - 15
Reduciendo trminos, tenemos:
\ A = 1
2. Reduce: (x+3)(x+2)- (x + 1)(x + 4)
Resolucin:
Aplicando propiedad:x2+(3+2)x+(3)(2)- [x2 + (1 + 4)x + (1)(4)]
Eliminando signos de coleccin:x2 + 5x + 6 - x2 - 5x - 4
Reduciendo trminos, tenemos:\ 2
3. Reduce: (x + 3)(x + 4) - x(x + 7)
Resolucin:
Aplicando propiedad:x2 + (3 + 4)x + (3)(4) - x2 - 7x
Eliminando parntesis:x2+7x+12- x2 - 7x
Reduciendo trminos, tenemos:\ 12
4. Reduce: (x + 4)2 -(x+9)(x- 1)
Resolucin:
Aplicando identidad:x2+2(x)(4)+(4)2 - [x2+(9-1)x+(9)(-1)]
Eliminando signos de coleccin:x2 + 8x + 16 - x2 -8x+9
Reduciendo trminos, tenemos:\ 25
5. Si x + y = 6 xy = -2, calcula N = x2 + y2.
Resolucin:
Sabemos que: (x + y)2 = x2 + y2+2xyReemplazando: (6)2=N+2(-2)
\ N = 40
6. Si x2 + y2 = 13 x - y = 5, calcula P = xy.
Resolucin:
Sabemos que:(x - y)2 = x2 + y2 -2xy
7. Si x2 + y2 = 52
xy = 4(3) calcula R = x + y (x > y > 0)
Resolucin:
Sabemos que:(x + y)2 = x2 + y2+2xy
Reemplazando:R2=25+2(12)
R2=49Por condicin (x > y > 0)
\ R = 7
8. Si x - y = 5 xy=12, calculaM=x(x- y) + y(x + y)
Resolucin:
ReduciendolaexpresinM:M=x2 - xy + xy + y2
M=x2 + y2
Sabemos que: (x - y)2 = x2 + y2 -2xyReemplazando: 52=M-2(12)
\M=49
9. Si x + y = m(1 + 1/m) xy = m2/2+m, determina E = x2 + y2.
Resolucin:
Sabemos que:(x + y)2 = x2 + y2+2xy
{m(1+1/m)}2=E+2(m2/2+m) (m + 1)2 = E + m2+2mm2+2m+1=E+m2+2m
\ E = 1
Reemplazando:(5)2 = 13 -2P
\ P = -6
-
60 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
Rpta: _____
1) Efecta: (x + 5)(x -2)- x2 - 3(x - 4)
2) Efecta: (x + 7)(x - 1) - (x + 8)(x -2)
2) Efecta: (x+12)(x- 5) - (x + 10)(x - 3)
3) Efecta: 4(x + 1)2 -(2x+1)(2x+3)
3) Reduce: 4(x + 1)2 -(2x+5)(2x- 1)
1) Efecta: (x + 7)(x + 3) -5(2x+4)- x2
4) Si x + y = 4 y xy = 3, calcula x2 + y2.
4) Si m + n = 3 y m . n = 4, calcula m2 + n2.
5) Si x - y = 4 xy=2, calcula x2 + y2.
5) Si x - y = 5 xy = 10,
calcula x2 + y2
9
6) Si x2 + 6x = 1, calcula: (x+2)(x+4)+(x+8)(x-2)
6) Si x2+2x+4=0,calcula: (x + 3)(x - 1) + (x + 1)2
-
PROBLEMAS PARA CLASE N 8
61
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Resolucin: Resolucin:
Resolucin:Resolucin:
Efecta:(x -7)(x+2)- (x -9)(x+4)
a) 20 b) 22 c) 24d) 26 e) 28
Reduce:(x - 5)(x - 3) -(x+2)(x- 10)
a) 35 b) 30 c) 25d) 20 e) 15
Reduce:(x+9)(x- 5) -(x+2)2+49
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
Efecta:(2x+5)(2x- 1) - 4(x + 1)2 + 10
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
-
62 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4
Resolucin:Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
Reduce:(x + 16)(x - 6) - (x + 5)2 + 112
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
Efecta:(2x+7)(2x- 3) - 4(x + 1)2+27
a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Reduce:(m2 + 4)(m + 1)(m - 1) - (m2+2)(m2 -2)
a) 3m b) 3m2 c) 2md) 2m2 e) m4
Reduce:(a2 + 3)2 - (a2 + 7)(a2 - 1)
a) 8 b) 10 c) 12d) 16 e) 24
-
63
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resolucin: Resolucin:
Resolucin: Resolucin:
Sia+b=3yab=2,calcula Q = aab + bab. a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Sia+b=2yab=2,calcula P = aa+b + bab
a) -2 b) -1 c) 0d) 1 e) 2
Si a + b = 3 y ab = 4,calcula F = a(a + 1) + b(b + 1). a) 1 b) 2 c) 3d) 4 e) 5
Si a - b = 5 y ab = 8,calcula N = a2 + b2. a) 40 b) 41 c) 42d) 43 e) 44
-
64 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
Resolucin: Resolucin:
Resolucin:
Resolucin:
Si a2 + b2=27yab=23
calculaM=a+b(a>b>0) a) 10 b) 11 c) 12d) 13 e) 14
Si a2 + b2 = 4(5) y ab = 8calcula: D = a + b a) 4 b) 5 c) 6d) 7 e) 8
Si x = m + 1 y y = m - 1,determina R = x2 - y2.
a) m b) 2m c) 4md) -2m e) -4m
Si: x = y y = ,
determina: E = (x + y)2 + (x - y)2 - 1
a) n2 b) 2n c) 4nd) -n2 e) 0
n + 12
n - 12
-
65
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Captulo
9Factorizacin I
ConceptoSe denomina as, al proceso inverso a la multiplicacin algebraica. Consiste en expresar un polinomio en la multiplicacin indicada de factores primos.
(x+3)(x+2)=x2 + 5x + 6
x2+5x+6=(x+3)(x+2)
Multiplicacin
Factorizacin
Factor Primo Es aquel polinomio de grado no nulo, que no se puede expresar como la multiplicacin de polinomios.
E(x) = (x + 3)4(x + 5)6(x - 1)8
* (x + 3) * (x + 5) * (x - 1)
Expresin factorizada
FactoresPrimos
Factor o Divisor Es aquel polinomio de grado no nulo, que divide exactamente a otro polinomio.
E(x) = (x + 1)(x - 1)
* (x + 1) * (x - 1) * (x + 1)(x - 1)
Expresin factorizada
Factoreso Divisores
Mtodos para Factorizar Polinomios
Seaplicacuandoseidentificaqueexistenvariables(oexpresiones) comunes en cada trmino.
1. FACTOR COMN
Ejemplo:
E=2mx+3nx- 4p x
letra comnDe donde:
E=x(2m+3n- 4p)Ejemplo:
E=2x3 + 3x2 - 5x4
letra comn de menor exponente De donde:
E = x2(2x+3- 5x2)
Ejemplo:
E = 6 m n + 8 m p - 10 m q
2esdivisorcomn deloscoeficientesDe donde:
E=2m(3n+4p- 5q)
letra comn
Ejemplo:
E = 3x2(x+2)-5y(x+2)
factor comn
E=(x+2)(3x2 - 5y)
Se aplica cuando existe una caracterstica comn en una cantidad de trminos y por grupos.
2. AGRUPACIN DE TRMINOS
Ejemplo:
letra comn
E = ax + ay + bx + by
letra comn
-
66 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Ejemplo:
P = x2 + xz - xy - yz
Agrupamos convenientemente:
P = (x2 - xy) + (xz - yz) P = x(x - y) + z(x - y)
Extraemos el factor comn:P = (x - y)(x + z)
letra comn
letra comn
Agrupamos convenientemente:E = (ax + ay) + (bx + by)
E = a(x + y) + b(x + y)
Extraemos el factor comn:E = (x + y)(a + b)
1. Luego de factorizar: P(x, y) = 15x3y6 -20x5y5+25x7y3, indica el nmero
de factores primos.
Resolucin:
P(x, y) = 5x3y3
P(x, y) = 5x3y3(3y3 - 4x2y2 + 5x4)
x y 3y3 - 4x2y2 + 5x4
# de factores primos = 3
15x3y6
5x3y3( (- 20x5y5
5x3y3+ 25x
7y3
5x3y3factor comn
Factoresprimos
2. Factoriza e indica el nmero de factores primos: P(x, y) = x2(x+1)+2y2(x + 1) + xy(x + 1)
Resolucin:
P(x, y) = (x + 1)[x2+2y2 + xy]
x + 1 x2+2y2 + xy
Factoresprimos
3. Luego de factorizar: P(x) = x3 + x2+x+1,indicalasumadecoeficientes
del factor cuadrtico.
Resolucin:
Agrupando convenientemente:
P(x) = x3 + x2 + x + 1
P(x) = x2(x + 1) + (x + 1)
P(x) = (x + 1)[x2 + 1]
4. Factoriza: M=ax+ay+az+bx+by+bz
Resolucin:
Agrupando convenientemente:M=ax+ay+az+bx+by+bz
M=a(x+y+x)+b(x+y+z)
M=(x+y+z)(a+b)
5. Factoriza: 6xy - 10 + 4y - 15x
Resolucin:
Agrupando convenientemente: 6xy - 15x + 4y - 10
3x(2y-5)+2(2y- 5)(2y-5)(3x+2)
6. Factoriza: 12mnp-20mp+18np- 30p
Resolucin:
Reservamos el factor comn:2p[6mn-10m+9n- 15]
Agrupamos en el corchete:2p[(6mn-10m)+(9n- 15)]
2p[2m(3n- 5) + 3(3n - 5)]
Reservamos el factor comn del polinomio:
2p[(3n-5)(2m+3)]
El suizo universal
Los cuadrados latinos son una invencin del suizo Euler. Son creaciones ligeramente ms sencillas que los cuadrados mgicos, ya que en ellos, si bien tambin se parte de una configuracin cuadradadivididaencasillas,sloseexigequeencadafilayencada columna exista un elemento tomando de entre dos categoras sin que se repita ninguna. El primer problema propuesto al respecto proviene de Euler, quienpropusoen1782elproblemadelosoficiales.
Factor cuadrtico: x2 + 1Sumadecoeficientes:1+1=2
-
67
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
1) Factoriza: A = x2m + x2n + x2q
2) Factoriza: C = 3x2+6xy+9xz
3) Factoriza: D = x3 - 3x2 + 4x5
4) Factoriza: G = x2yz + xy2z + xyz2
5) Factoriza:
C = x(z + 1) + y(z + 1) + (z + 1)
6) Factoriza: x2(x + y) + z2(x + y) + y2(x + y)
2) Factoriza: A = 3amc + 6anc - 3ac
4) Factoriza: H = x2y2 + xy
5) Factoriza: x(y + z) + y(y + z) + z(y + z)
6) Factoriza: x(x2 + y) + y2(x2 + y)
1) Factoriza: B = x3a + x3b + x3c
3) Factoriza: F = x4 -2x3 + 3x4
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
-
PROBLEMAS PARA CLASE N 9
68 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Factoriza: x3z + x2z2 + xz3
a) x b) x2 + z2 c) z2 + x d) x2+ z2 + 1 e) x2 + z
Resolucin:
Factoriza: 2x2y+2xy2 + xyz a) xy b) y c) x + y d)2x+z e)2y+z
Resolucin:
Factoriza: ax - ay + bx - by a) a - b b) a+ x c) b + y d) x - y e) x - a
Resolucin:
Factoriza: mn + mb + an + ab a) m + n b) a + b c) m + a d) b + m e) a + n
Resolucin:
-
69
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4
Factoriza: ac - a - bc + b a) a + 1 b) b + 1 c) a + b d) c - 1 e) c + 1
Resolucin:
Factoriza: a2 - ab + ac - bc
a) a + b b) a - c c) b + c d) b - c e) a - b
Resolucin:
Factoriza: ac - ad + bd - bc a) a - b b) a - c c) b + d d) b - d e) a + c
Resolucin:
Factoriza: 2am-3an+2mb- 3bn
a) m -2n b) 2m-3n c) 2m- n d) 2m+3n e) m- n
Resolucin:
-
70 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Factoriza: 4mp+2mq+2np+nq a) 2m+p d) m+q b) 2q+p e) n+p c) 2m+n
Resolucin:
Factoriza: 2m2n + m2 + 6mn + 3m
a) n + 1 b) n -1 c)2n- 1 d)2n+1 e)2n+m
Resolucin:
Factoriza: 15xy+20x+6y+8
a)5x+2 b)3y+2 c)5x+4 d) 6y + 8 e) 5x + y
Resolucin:
Factoriza: 2t5 + 5t3 + 6t2 + 15
a) t3 + 3 b) t2+2 c)2t2 + 5 d) t3 + 1 e) t2 + t3
Resolucin:
-
71
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
Factoriza: m2n2 + an2 + bm2 + ab
a) m2 + a b) m2 + n2 c) m2 + b d) a + b e) n2 + a
Resolucin:
Factoriza: m3p2+2m3 + p2+2
a) m3 b) m3 + 1 c) m3+2 d) p2 e) p2 + 1
Resolucin:
Factoriza: m2n - m2 + 3mn - 3m
a) n b) m c) m - 3 d) m - 1 e) n + 1
Resolucin:
Factoriza: x3y -2x2y + 3xy - 6y
a)x+3 b)x+2 c)y+2 d) y e) x
Resolucin:
-
72 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Captulo
10Factorizacin II
Se aplica para trinomios de la forma:
ASPA SIMPLEMtodos para Factorizar Polinomios (continuacin)
Se aplica cuando los polinomios a factorizar presentan una de las siguientes formas:
IDENTIDADES
a2 - b2 = (a + b)(a - b)a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 - 2ab + b2 = (a - b)2
Ejemplo:
E = x2 - 16
Identifiquemoslaforma:E = x2 - 42
De donde:E = (x + 4)(x - 4)
Ejemplo:
E = 4x2 -25
Identifiquemoslaforma:E=(2x)2 - 52
De donde:E=(2x+5)(2x- 5)
Ejemplo:
E = 4m2 -9n2
Identifiquemoslaforma:E=(2m)2 - (3n)2
Dedonde: E=(2m+3n)(2m- 3n)
Ax2 + Bx + C
Procedimiento:
* Se identificalaformageneral.* Se descomponen el trmino cuadrtico y el trmino
independiente en dos divisores.* Se multiplican los divisores obtenidos en aspa y los
productos obtenidos en suma deben comprobar el tercer trmino.
* Se eligen los factores en forma horizontal.
Ejemplo:
M=x2 + 11x + 30 x 6 6x + x 5 5x 11x comprueba
en factores:M=(x+6)(x+5)
M=2x2 - 5x + 2
2x-1 -x +
x -2 -4x
-5x
comprueba
en factores:M=(2x- 1)(x -2)
Ejemplo:
-
73
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
1) Factoriza: x2 - 36
2) Factoriza: 4m2 -9
3) Factoriza: 8x2 - 18y2
4) Factoriza: 27m2 - 3
5) Factoriza: (x + 3y)2 - 4y2
6) Factoriza: x2 + 8x + 16
2) Factoriza: 4m2 -25n2
3) Factoriza: 100x2 - y2
4) Factoriza: 98m2 - 18a2
5) Factoriza: (x + m)2 - y2
1) Factoriza: x2 -49
6) Factoriza: x2+7x+12
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
-
PROBLEMAS PARA CLASE N 10
74 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Factoriza: 4x2 - 4x + 1 a) 4x - 1 b) x + 4 c) x - 4 d)4x+1 e)2x+1
Resolucin:
Factoriza: 9x2(x2 - 1) - (x2 - 1) a)x+2 b)x-2 c)3x- 1 d) x + 3 e) x - 3
Resolucin:
Factoriza: 25x2(4x2 - 1) - (4x2 - 1) a) x + 5 b) x -5 c)2x- 1 d)x+2 e)x-2
Resolucin:
Factoriza: x2 -11x+24 a) x - 3 b) x - 6 c) x - 4 d) x -12 e)x-2
Resolucin:
-
75
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4 Factoriza: 8m2+2+8m a) m+2 b) 4m+1 c) m+1 d) m+8 e) 2m+1
Resolucin:
Factoriza: 3x2 - 8x + 4 a) 3x - 1 b) 3x + 1 c) 3x - 4 d) 3x + 4 e) 3x -2
Resolucin:
Factoriza: 6x2 + 5x - 4 a)2x+1 b)3x-2 c)3x+2 d)3x+4 e)2x- 3
Resolucin:
Factoriza: 6x2 + 13x - 5 a) 3x -1 b)2x- 5 c) 3x - 5 d)3x+5 e)2x+1
Resolucin:
-
76 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Factoriza: 4x2+12xy+9y2
a) 4x + 3 b) 4x -3 c)2x+9 d)2x-3 e)2x+3
Resolucin:
Factoriza: 10x2 -9xy+2y2
a) 2x+y b) 2x-y c) 5x+2y d) 5x - y e) 5x + y
Resolucin:
Factoriza: x2 + 4x -32
a) x -2 b)x- 4 c) x - 6 d) x -8 e)x+2
Resolucin:
Factoriza: x2 + 8x -20
a) x -10 b)x+2 c)x-2 d) x + 4 e) x + 5
Resolucin:
-
77
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
Factoriza: a4 - 13a2 + 36
a) 2a2 b) 2a2 + 13 c) 4a d) 4a+7 e) 2a2 - 18
Resolucin:
Factoriza: m4 - 5m2 + 1
a) 2m b) 4m+1 c) 3m+1 d) 4m + 3 e) 4m
Resolucin:
Factoriza: (x - y)3 - 5(x - y)2 + 4x - 4y
a) 3a -5 b)2a- 7 c) 3a + 4 d) 3a -2 e)4a- 5
Resolucin:
Factoriza: (a - b)3 - (a - b)2 -2(a- b)
a) 3(a - b) b) 3(a - b) -1 c)2(a- b) - 1 d)2(a- b) + 3 e) 3(a - b) + 1
Resolucin:
-
78 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Captulo
11Ecuacin de Primer Grado I
CONCEPTOS PREVIOS
Se llama igualdad a la relacin que nos indica que dos expresiones tienen el mismo valor. As, si las expresiones P y S tienen el mismo valor, decimos que son iguales y escribimos: P = S.
Donde P se llama el primer miembro y S el segundo miembro.
IGUALDAD
Esunaigualdadabsoluta,puesseverificaparacualquiervalor numrico de las variables.
IDENTIDAD
Ejemplos:
(x + y)(x2 - xy + y2) x3 + y3
(x + y)3 x3 + 3x2y + 3xy2 + y3
DEFINICIN DE ECUACIN
Una ecuacin es aquella relacin de igualdad que se establece entre dos expresiones matemticas.
A(x, y, z, ..., w) = B(x, y, z, ..., w)
A(x, y, z, ..., w) - B(x, y, z, ..., w) = 0
Forma general:
F(x, y, z, ..., w) = 0
Ejemplo:
3x+2=2x- 33x+2-(2x- 3) = 0
x = -5
SOLUCIN DE UNA ECUACIN
Es aquel valor, que asignado a la variable de la ecuacin hace que la igualdad se cumpla.
Ejemplo:
En la ecuacin:2x + 1 = x2
99
se cumple la igualdad si:x = 3
CONjUNTO SOLUCIN DE UNA ECUACIN (C.S.)
Es aquel conjunto formado por todas las soluciones de dicha ecuacin. Si la ecuacin no tiene solucin, entonces su conjunto solucin es el conjunto vaco .
Observacin
Resolverunaecuacinsignificahallar su C.S.
-
79
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
1. Resuelve: 5(x - 1) = 3(x + 1)
Resolucin:
5x - 5 = 3x + 3 5x - 3x = 5 + 32x=8x=8/2 x = 4C.S.={4}
2. Resuelve: 2(x+1)+4(x-1)=3(x+2)+1
Resolucin:
2x+2+4x- 4 = 3x + 6 + 1 6x -2=3x+7 6x -3x=7+23x=9x=9/3 x = 3C.S.={3}
Resolucin:
SacamoselMCM(2,4)=4
Multiplicamosatodopor4:
4 . + 4 . = 3 . 4
2x+x=123x=12x=12/3 x = 4C.S.={4}
3. Resuelve: x
2x4
+ = 3
x2
x4
4. Resuelve: x+2
4x + 3
5+ = 2
Resolucin:
SacamoselMCM(4,5)=20
Multiplicamosatodopor20:
20+20=2.20
5(x+2)+4(x+3)=405x+10+4x+12=409x+22=40
x+24( ( x + 35( (
9x=18x=18/9 x = 2C.S.={2}
Resolucin:
MCM(5,2,3)=30
Multiplicamosatodopor30:
30 - 30 + 30 =3.30
6(x+2)- 15(x -4)+10(x+1)=906x+12-15x+60+10x+10=90 16x -15x+82=90
x=90-82 x = 8C.S.={8}
x-42( (x+25( (
5. Resuelve: x+2
5x - 42
- = 3x + 13
+
x+13( (
ECUACIN LINEAL
Son aquellas ecuaciones polinomiales que se reducen a la siguiente forma general:
P(x) = ax + b = 0 / a 0
ax + b = 0ax + b + (-b) = (-b) + 0
Resolucin:
ax + 0 = -b ax = -b
(como a 0 a-1 0) a-1 . ax = a-1 . (-b) 1 . x = (-b)
x = - \ C.S. = {-b/a}
1a
ba
Ejemplo:
3x+9=0 C.S. = {-3} x = -3
1 raz 1 solucin
Se observa:# Races = # Soluciones = 1
-
80 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
1) Resuelve: 7x+2=3x+14
2) Resuelve: 3(x+1)=2(x+3)
1) Resuelve: 4x+5=2x+7
3) Resuelve: 3(x+1)+2x=2(x+1)+4
3) Resuelve: 3(x -1)+2(x+1)=4(x+1)
x+23
x + 34
=
5) Resuelve:x + 3
5x+2
4=
4) Resuelve: 2x+3+5x=4x+6+x
5) Resuelve:
6) Resuelve:2x+1
57x - 1
13=
6) Resuelve: 3x -2
75x + 1
16=
4) Resuelve: 7x+2+9x=6x+10+8x
2) Resuelve: 3(x -1)=2(x+1)
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
-
PROBLEMAS PARA CLASE N 11
81
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Resuelve:
a)1 b)2 c)3 d) 4 e) 5
Resolucin:
x2
x4
+ = 3
Resuelve:
a)2 b)4 c)6 d)8 e)12
Resolucin:
x3
x6
+ = 3
Resuelve:
a)10 b)12 c)24 d) 36 e) 48
Resolucin:
x3
x4
+ = 8x12
+
Resuelve:
a)12 b)13 c)14 d) 15 e) 16
Resolucin:
x2
x4
+ = 15x16
+x8
+
-
82 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4
Resuelve:
a)1 b)2 c)3 d) 4 e) 5
Resolucin:
x + 12
x+23
+ = 2
Resuelve:
a)1 b)2 c)3 d) 4 e) 5
Resolucin:
x+24
x + 35
+ = 2
Resuelve:
a)2 b)4 c)6 d) 8 e) 10
Resolucin:
x + 35
x + 43
+ = 3
Resuelve:
a)1 b)2 c)3 d) 4 e) 5
Resolucin:
x + 12
x+27
+ = 4
-
83
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resuelve:
a)1 b)2 c)3 d) 4 e) 5
Resolucin:
3x + 12
2x- 15
- =+ x + 14
5
Resuelve:
a)2 b)4 c)6 d) 8 e) 10
Resolucin:
x+25
x - 42
- =+ x + 13
3
Halla x en:
a)16 b)28 c)20 d) 30 e) 18
Resolucin:
5x7
- 4 = x -12
Halla el valor de "x" en:
a)10 b)11 c)12 d) 14 e) 16
Resolucin:
x2
- x = x4
-9
-
84 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
Halla el valor de x en la siguiente ecuacin:
a)1/2 b)1/4 c)-1/4 d) -1/2 e)1
Resolucin:
x6
=+ 32
x2
+ 53
Halla el valor de x en:
a)9 b)8 c)7 d) 6 e) 5
Resolucin:
8x3
=+ 12
5x4
-2
Halla el valor de x en:
a) -15 b) -25 c)-35 d) -45 e) -55
Resolucin:
3x7
3 + - 2x5
= x3
413
+
Halla x en:
a)1/5 b)2/5 c)3/5 d) 4/5 e) 1
Resolucin:
x + 34
- x - 12
= x6
+ 1
-
85
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Captulo
12Ecuacin de Primer Grado II
(a + b)(a - b)(a - b)
x =
x = a + b
ECUACIN LINEAL PARAMTRICA
Son aquellas ecuaciones polinomiales que se reducen a la siguiente forma general:
A(m) x = B(m)donde A(m) y B(m) son expresiones en funcin del parmetro m.
Ejemplo 1:
(m+1)x=m+2
\ x = m+2m + 1
Ejemplo 2:
(m -2)x=m2 - 4
x =
x =
\x=m+2
m2 - 4m -2(m+2)(m-2)
(m -2)
1. Resuelve en x: 2mx+3m=5(m+1)- 3
Resolucin:
2mx+3m=5m+5- 32mx=2m+2
x =
x =
2m+22m
m + 1m
2. Resuelve en x: 2(x- a) + 3(x - b) = 4(x + a + b)
Resolucin:2x-2a+3x- 3b = 4x + 4a + 4b 5x -2a- 3b = 4x + 4a + 4b
5x -4x=4a+4b+2a+3b x = 6a + 7b
Resolucin:
4(2x-m)=2(3x+m) 8x -4m=6x+2m 8x -6x=4m+2m2x=6mx=6m/2
x = 3m
3. Resuelve en x: 2x- m
23x + m
4=
4. Resuelve en x: m(x+1)+n(x+1)=2(m+n)
Resolucin:
mx+m+nx+n=2m+2nmx+nx=2m+2n- m - n
x(m + n) = m + n
x = 1
5. Resuelve en x: ax + b2 = a2 + bx
Resolucin:
ax - bx = a2 - b2
x(a - b) = a2 - b2
x = a2 - b2
a - b
-
86 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Resolviendo en claseResolviendo en clase
Para ReforzarPara Reforzar
1) Resuelve en x: 3x+m+1=2x+2m
1) Resuelve en x: 2x+n-2=x+3n
2) Resuelve en x: 2x+a+b+3x=3b+2a
2) Resuelve en x:
3x+4x+2a+2b=5x+3a+b
3) Resuelve en x: 3(x+a)=5a+2
3) Resuelve en x: 3(x+b)=2(x+a)
4) Resuelve en x:
2(x+m)+2n+3x=4(x+n)
4) Resuelve en x:
2(x- a) + 3(x - b) = 4(x + a + b)
2x- m2
3x + m4
=
5) Resuelve en x:
2x+K3
x+K2
=
5) Resuelve en x:
3x + a + b2
x + a + b2
=
6) Resuelve en x:
6) Resuelve en x: x + m + n
2x + m+ n
3=
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
Rpta: ________
-
PROBLEMAS PARA CLASE N 12
87
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Clave:
1
Clave:
1
Clave:
2
Clave:
2
Para el alumno:Para el alumno:Para el profesor:Para el profesor:
Resuelve: a(x - a) + b(x -b)=2ab
a) a + b b) 1/a + 1/b c) a - b d) a e) ab
Resolucin:
Resuelve: m(x - n) + n(x + m) = m + n
a) m b) n c) m + n d) 1 e) 0
Resolucin:
Resuelve: m(x - m) - n(n -x)=2mn
a) m + n b) m - n c) mn d) 1/m e) 1/n
Resolucin:
Resuelve: m(x+1)+n(x+1)=2(m+n)
a)1 b)2 c)3 d) 4 e) m + n
Resolucin:
-
88 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
3
4
3
4
Resuelve en x: a(x + a) + b(-x+b)=2ab
a) a + b b) b - a c) ab d) a e) b
Resolucin:
Resuelve en x: a(x+b)+b(x+a)=ab(a+b+2)
a) ab b) a c) b d) a + b e) a - b
Resolucin:
Resuelve en x: ax + b2 = bx + a2
a) a + b b) a - b c) ab d) ab + a e) ab + b
Resolucin:
Resuelve en x: ax + b3 = bx + a3
a) a2 + ab + b2 b) a2 - ab + b2 c) ab d) a + b e) a2 + b2
Resolucin:
-
89
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
5
6
5
6
Clave:Clave:
Clave:Clave:
Resuelve en x: a2(x - a) + b2(x - b) = abx
a) a + b b) a - b c) ab d)2ab e)a2 + b2
Resolucin:
Resuelve en x: m2(x - m) + n2(x + n) = -mnx
a) m + n b) m - n c) m2 + mn + n2
d) m2 - mn + n2
e) 1
Resolucin:
Resuelve:
a) 1 b) 3b c) 5b d) -3b e)24b
Resolucin:
x - b2
x + b3
= 4b+
Resuelve:
a) 5n b) -5n c) 5n/4 d) -5n/4 e) 5n/6
Resolucin:
x + n3
x - n2
x + 4n6
+ =
-
90 Formando lderes con una autntica educacin integral
lgebra - 1ro Sec.
Clave:Clave:
Clave:Clave:
7
Sello y Firma del Profesor
7
8 8
NOTA
Resuelve: a(x - a) + b(x + b) = 0
a) a + b b) a -b c)2a d) b - a e) a
Resolucin:
Resuelve: x2 + (m + n)x = -mn da como respuesta una solucin:
a) m b) n c) -m d) -2n e)-2m
Resolucin:
Resuelve:
a) a + b b) a - b c) a d) b e) b - a
Resolucin:
x - ab
x - ba
+ =2
Resuelve:
a) a[(b + c)/(b - c)] b) b[(a + c)/(a - c)] c) c[(a - b)/(a + b)] d) (b + c)/(b - c) e) N.A.
Resolucin:
x+ax - a
bc
=
-
91
lgebra - 1ro Sec.
Formando lderes con una autntica educacin integral
Captulo
13Ecuacin Cuadrtica I
Ejemplo:
2x2 + x + 1 = 0 ; x2+2=0
ax2 + bx + c = 0 ; a 0
RESOLUCIN DE LA ECUACIN CUADRTICA
* Por Factorizacin
A. Aspa Simple
Ejemplos:
x2 - 4x -12=0 x -6 x+2
(x -6)(x+2)=0 x1 = 6 ; x2 = -2
2racesdiferentes
C.S. = {6, -2}
2soluciones
4x2 - 4x + 1 = 0 2x-1 2x-1
(2x