1

UVIJANJE ŠTAPOVA

2

VAŽNO

• Posmi�no naprezanje τ

ρτ ⋅=o

t

IM

3

Maksimalno posmi�no naprezanja τ

• za:2d

r ==ρ0W

M tmaks =τ

4

• Polarni moment tromosti:

• Polarni moment otpora:

[ ]44

o 32d

= I cmπ

[ ]33

16cm

dWo

π=

5

Kut uvijanja (torzije) ϕ

• Krutost presjeka štapa na uvijanje:

[ ]rad o

t

IGlM

⋅⋅=ϕ

oIG ⋅

6

Dimenzioniranještapova optere�enih na uvijanje

• Uvjet �vrsto�e :

• Uvjet krutosti:

τ τmakst

o

dop

MW

= ≤

dopo

t

dop

IGM

lϑϕϑ

ϑϑ

≤⋅

==

≤

m/,do, oodop 01250 =ϑ

7

Unutarnje sile

• Moment uvijanja

• Uzdužna sila

• Popre�na sila

• Moment savijanja

0≠tM

0

00

===

y

z

M

T

N

8

Štapovi po obliku presjeka:

9

Štapovi po zakrivljenosti:

10

Štapovi po popre�nom presjeku:

11

Optere�enje štapa momentom�iji je vektor kolinearan sa

uzdužnom osi štapa

1. Ravni štap

2. Kružnog popre�nog presjeka

3. Konstantnog popre�nog presjeka

12

Optere�enje štapa momentom uvijanja

13

Pretpostavke o deformiranju štapa:

14

• a) da su se kvadrati pretvorili u romboidešto je karakteristi�no za deformaciju �istogposmika

• b) da se razmak izme�u popre�nih linija(kružnica) nije promijenio, niti sepromijenila duljina l ni promjer d

• c) da izvodnice i dalje ostaju pravci

15

1. pri deformiranju štapa popre�ni presjeci ostajuravni i okomiti na uzdužnu os štapa(Bernoullijeva hipoteza ravnih presjeka)

2.popre�ni presjeci zaokre�u se oko osi štapa kaokruti diskovi, polumjeri u popre�nimpresjecima ostaju pravci i zaokre�u se za isti kuttj. ne deformiraju se u svojoj ravnini(hipoteza o krutosti presjeka)

3. razmak izme�u popre�nih presjeka ne mijenja se pri deformaciji štapa što zna�i da u smjeru osištapa nema normalnih naprezanja σx = 0,

16

I.

II.

III.

17

Pretpostavke o deformiranju

I. Geometrijska analiza

II. Hooke-ov zakon:

III. Uvjeti ravnoteže:

γτ ⋅= G

0M 6. 0F 3.

0M 5. 0F 2.

0M 4. 0F 1.

zz

yy

xx

=Σ=Σ

=Σ=Σ=Σ=Σ

18

I. Geometrijska analiza

γ − kut smicanja [rad]ϕ − kut uvijanja (torzije) [rad]

19

ϑϕϑϕ =�⋅=dxd

dxd

ϑ⋅ρ=γ

ϑ⋅ρ=ϕ⋅ρ=ϕ⋅ρ==γ=γdxd

dxd

CAAA

tg,

20

II. Hooke-ov zakon

ϑργτ ⋅⋅=⋅= GG

ϑργ ⋅= 1. ad

21

III. Uvjeti ravnoteže:

�� =⋅τ⋅ρ+−=ΣA

tx 0dAMM

.4ad

0M 6. 0M 5. 0M 4.

0F 3. 0Fy 2. 0F 1.

zyx

zxx

=Σ=Σ=Σ=Σ=Σ=Σ

22

Relativni kut uvijanja

oA

2

A

2t

At

IG dAG dAG M

dAM

⋅ϑ⋅�� =⋅ρ⋅ϑ⋅�� =⋅ϑ⋅⋅ρ=

�� ⋅τ⋅ρ=

ot IGM ⋅⋅= ϑ

[ ]rad/m o

t

IGM⋅

=ϑ

ϑ

23

Kut uvijanja (torzije) ϕ

• Krutost presjeka štapa na uvijanje:

lIG

MIGdxM

dxl

O

t

O

tl

⋅⋅

=⋅⋅=⋅= ��

00

ϑϕ

[ ]rad O

t

IGlM

⋅⋅=ϕ

OIG ⋅

( ) ( )2kN/cm 077 8

3,012000 21

12E

G =+

=ν+

=Modul posmika:

24

Posmi�no naprezanje τ

ρρϑργτ ⋅=⋅

⋅⋅=⋅⋅=⋅=O

t

O

t

IM

IGM

GGG

ϑργτ ⋅⋅=⋅= GG

ρτ ⋅=O

t

IM

25

Maksimalno posmi�no naprezanja τ• za:

2d

r ==ρ

O

t

O

t

O

tmaks W

M

dIMd

IM ==⋅=

2

2τ

O

tmaks W

M=τ2dI

W OO =

26

Dimenzioniranještapova optere�enih na uvijanje

• Uvjet �vrsto�e :

dopO

tmaks W

M τ≤=τ

dopO.dopt

dop

tO

WMili

MW

τ⋅≤

τ≥

potr.

27

Dimenzioniranještapova optere�enih na uvijanje

• Uvjet krutosti:

0

0

r

dop

odop

3602

)m/74,1do44,0

)m/0,1do25,0

ϕ⋅π⋅=ϕ

⋅⋅=ϑ

=ϑ

(rad 10 10

( 2-2-

dopo

t

dop

IGM

lϑϕϑ

ϑϑ

≤⋅

==

≤

28

• Polarni moment tromosti:

• Polarni moment otpora:

[ ]4cm32

π4

O

d = I

[ ]33

O cm16d

Wπ=

29

Dimenzioniranje

• Uvjet �vrsto�e :

• Uvjet krutosti:

Mjerodavna je ve�a vrijednost promjeraštapa d.

d t

dop

≥ ⋅⋅

163

M

π τ

d t

dop

≥ ⋅⋅ ⋅32

4

M G π ϑ

30

• Dopušteno posmi�no naprezanje za:

- �elik

• Dopušteni kut uvijanja:

[ ]rad/m 1074,11044,0 22 −− ⋅−⋅=dopϑ[ ]metruradijan /

[ ]/m 0,125,0 °−=dopϑ[ ]metrustupanj /

2

2

kN/cm 9,5 275 S

kN/cm 7,5 235 S

=τ

=τ

dop

dop

31

Dopušteni moment uvijanja

Uz poznate vrijednosti , i• iz uvjeta �vrsto�e:

• iz uvjeta krutosti:

kao dopušteno optere�enje usvajamomanju vrijednost.

dop

3

dopO,

.dopt 16d

WM τ⋅π=τ⋅=

dop

4

dopO,,dopt 32

dGIGM ϑ⋅π⋅=ϑ⋅⋅=

dopτdopϑ G

tM

32

Dijagram posmi�nih naprezanja u štapuprstenastog popre�nom presjeku

optere�enog na uvijanje

- Polarni moment tromosti

- Polarni moment otpora

( ) [ ]444

cm 32

πdDIo

−=

( ) [ ]344

cm D16

d - D

⋅⋅= π

oW

τ ρ= MI

t

o

τmakst

o

MW

=

33

Ponekad nam može biti poznata snaga Pkoju prenosi vratilo i broj okretaja vratila n, pa trebamo odrediti momenta uvijanja Mt.

1. Ponavljanje: - snaga P [W]- broj okretaja n [okret/min.]

2. Rad:

J)(Nm MW

J)(Nm sFW

=ϕ⋅=

=⋅=

3460n2

PP M 3 .ad t ⋅π⋅=ω

=

) t Kut( ⋅ω=ϕ

ω⋅=ϕ⋅== tt Mdtd

Mdt

dWP

��

���

�⋅π⋅=���

��

�⋅π⋅=ϕ=ωs

okr

60n2

minokr

n2dtd

3. Snaga P – rad u vremenu:

4. Kutna brzina ω:

35

Moment uvijanja

nP

M t ⋅⋅=

π30

n2

P60Mt ⋅π⋅

⋅=

��

� =okr./min

Wm N

36

Glavna naprezanjakod uvijanja

37

Trajektorije naprezanja* kod uvijanja

* linije …………..!

38

Lom štapa optere�enog na uvijanje

• a) od elastoplasti�nog materijala

• b) od krhkog materijala

39

Lom štapa optere�enog na uvijanje

• a) od elastoplasti�nog materijala

40

Lom štapa optere�enog na uvijanje

b) od krhkog materijala

41

Uvijanje štapova tankih stijenkizatvorenog profila

Bredtov izraz:

tAM t

maks ⋅⋅=

02τ

.konstt =⋅τ

A0 – površina srednjeg presjeka (crta to�ka)

42

Uvijanje štapa neokruglogpresjeka

43

Raspodjela posmi�nih naprezanjau štapovima neokruglog presjeka

optere�enim na uvijanjea)pravokutni presjek b) elipti�asti presjek

44

1. Primjer

[ ] [ ]rad/cm 10 4,36 = rad/m 10 36,4180

25,0180

kN/cm 4,2N/cm 2400

min/.okr 120nW10 60 kW 60P

5-3-dop

oo

oodopdop

22

3

⋅⋅=ϑ

=π⋅=π⋅ϑ=ϑ

==τ

=⋅==

Koliki je promjer �eli�ne osovine, koja prenosisnagu P = 60 kW pri n = 120 okr./min akodopušteno posmi�no naprezanje iznosi τdop = 2400 N/cm2, a dopušteni relativni kutuvijanja ϑdop = 0,25 °/m.

45

[ ][ ]

cm kN 5,477Nm 775 4 120

10 60 30M

min/.okrW

]Nm[ n P 30

M

3

t

t

==⋅π

⋅⋅=

=⋅π⋅=

3

dop

t.potr o

32dopo

tmaks

cm 1994,25,477

M

W

cm

cm kN

cmkN

WM

==τ

≥

��

�=

��

�τ≤=τ

[ ] cm 10,0

199 16

W 16

d 16d

W 3 O3

O ≥π⋅≥

π⋅≥→π=

Rješenje:

a) uvjet �vrsto�e:

46

Uz zadane uvjete potreban promjer osovined ≥ 10,8 [ cm ].

45

dop

to

dopo

t

cm 13561036,48077

5,477G

MI

IG

M

=⋅⋅

=ϑ⋅

=

ϑ≤⋅

=ϑ

−

[ ]cm 8,101356 32I 32

d 32d

I 44 O4

O ≥π

⋅≥π⋅≥→π=

• b) uvjet krutosti:

47

2. Primjer

Prstenasta osovine prenosi moment uvijanjaMt = 7,5 kNm/m. Omjer unutrarnjeg i vanjskogpromjera osovine k = d/D = 0,8.

• a) Odredite dimenzije prstenaste osovine ako jedopušteno posmi�no naprezanjeτdop = 2400 N/cm2

• b) Odredite promjer osovine punog popre�nogpresjeka za iste uvjete te

• c) Usporedite slu�ajeve a) i b) poekonomi�nosti

48

Zadaci za vježbu

3. Za prijenos okretnog momenta do radnog alata (krune) kojim se izra�uje bušotina u tlu, koristi se cijev dužineL = 25 m s promjerima D =120 mm i d = 110 mm. Akopogonski motor kod bušenja na toj dubini predaje osovinisnagu od 13,5 kW kod 100 okreta u minuti, koliko jemaksimalno posmi�no naprezanje na površini profila i koliki je kut uvijanja ϕ na dužini L= 25 m, ako je modulposmika G = 8 106 N/cm2.

• (Rješenje: τmaks = 1 293 N/cm2 i ϕ = 0,067 rad = 3,8°)

4. Koliki je minimalni promjer �eli�ne osovine koja prenosisnagu P = 46 kW pri brzini vrtnje n = 1 480 okr./min. Zadano je dopušteno naprezanje τdop = 1.200 N/cm2; modul posmika G = 8 106 N/cm2, a uvijanje osovine nesmije biti ve�e od 0,25° po metru dužine osovine.

• (Rješenje: dmin = 54,2 mm)

49

5. Odredite dopuštenu snagu koju može prenositiosovina promjera d = 20 mm, ako je dopuštenonaprezanje τdop = 100 N/mm2 i broj okretajaosovine n = 100 okr. /min.

• (Rješenje: Pdop = 1 640 W)

6. U popre�nom presjeku osovine nastaje moment uvijanja Mt = 2 000 Nm. Odredite da li osovinapromjera d = 65 mm zadovoljava uvjete �vrsto�ei krutosti, ako je zadan modul pomika G = 80 GPa, dopušteno naprezanje τdop = 40 N/mm2

i dopušteni relativni kut uvijanja ϑdop = 0,85 °/m.

• (Rješenje: Promjer osovine zadovoljava zadaneuvjete �vrsto�e i krutosti.)

50

2. Primjer

Prstenasta osovine prenosi moment uvijanjaMt = 7,5 kNm/m. Omjer unutrarnjeg i vanjskogpromjera osovine k = d/D = 0,8.

• a) Odredite dimenzije prstenaste osovine ako jedopušteno posmi�no naprezanjeτdop = 2400 N/cm2

• b) Odredite promjer osovine punog popre�nogpresjeka za iste uvjete te

• c) Usporedite slu�ajeve a) i b) poekonomi�nosti

51

Rješenje

a) Prstenasta osovinauvjet �vrsto�e: τ τmaks

t

o

dop

MW

= ≤

[ ][ ]

32

dop

tpotr. o cm 312,50 =

cm/kNcm kN

2,4

0 75 =

M Wτ

≥

kN/cm 4,2N/cm 2400

8,0D/dk

m/kNcm 750 m/kNm 5,7M

22.dop

t

==τ

====

52

• Vanjski promjer

( ) ( )D =16 W

1 - k =

16 312,50 1 - 0,8

= 13,9 cm 140 mmo

43

43

π π⋅ ≈

d = ⋅ ⋅ k D = 0,8 140 = 112 mm

• Unutrašnji promjer

( ) ( ) [ ]334

4

4

4

4

4

44

o cm 312,50 = D16

k - 1

DD

16

Dd

-DD

D16

d-D W ⋅π=

⋅

π

���

�

=⋅

π=

53

b) Promjer osovine punog popre�nog presjeka

[ ]331

o cm 312,50 = 16

d W

π=

dWo≥ ≥ ⋅ ≈

16 163

π π 312,50

11,7 cm = 117 mm

54

c) Omjer težina prstenaste i pune osovinebit �e jednak omjeru površina njihovihpresjeka

• Prstenasta je osovina gotovo dva putalakša od pune (φ 117). Me�utim njihovaizrada je tehnološki mnogo složenija, a ako se izra�uje tokarenjem nema uštedematerijala (φ 140).

( )1A2A ≈→≈=−=

π

π⋅−

=21

515,07,11

2,110,14

4d

4dD

AA

2

22

21

22

1