熱輻射的統計物理

普朗克定律、史蒂芬－波茲曼定律、韋恩定律三個熱輻射最重要的定律，在高中地科就曾經介紹過，但是它們背後的原理究竟是甚麼？不令人意外地，還是統計學。

熱輻射三大定律的介紹普朗克定律（Planck’s Law）普朗克定律描述黑體在各個立體角輻射出不同頻率的光的功率，公式為

Bν (ν ,T )=2hc2

ν3

ehν

kB T−1

其因次為每單位立體角、每單位頻率、每單位面積下光子每單位時間內所作的功。韋恩定律（Wien’s Law）韋恩定律描述黑體輻射中，光子所作功率最高的頻率和溫度的關係，公式為

T λ=const ≈2897.…(μm)

史蒂芬－波茲曼定律（Stefan-Boltzmann’s Law）史蒂芬－波茲曼定律描述黑體表面熱輻射的功率，公式為

P(T )=π2 (k BT )4

60c2h3

這三個定律在高中介紹恆星表面溫度與表面顏色的關係，以及地球能量收支平衡時，都曾經出現過。現在我們一步一步利用統計力學，推導這三個公式。

Bose-Einstein 分布假設在M個狀態下，有 N個相同的粒子，每個狀態可以容納的粒子沒有上限，則總共可能的組合數為

W =HNM=CN

M+N−1

則其亂度為

S=kB ln (W )=k B ln (CNM+N −1 )=k B ln( ( M+ N−1 ) !

N ! ( M−1 )! )→kB ( ( M +N−1 ) ln ( M +N−1 )−N ln ( N )−( M−1 ) ln ( M−1 ) )

→kB ( ( M+N ) ln (1+n )+( M +N ) ln ( M )−Nln (n )−Nln ( M )−MlnM )→ M k B((1+n ) ln (1+n )−nln (n ))

n= NM

現在假設在連續能量譜上，每M個狀態組成一個子集合（這M個狀態彼此能量差距無限接近），其中有 N_i個粒子，i延伸至無限。則整個系統的總位能為

Ω sys=E−TS−μ N

¿ M∑i

ni(εi−μ)−k BT ((1+n i ) ln (1+ni )−n i ln (n i ))

根據熱力學第二定律，自然狀態下此一總位能需傾向於最小值。在 n_i加總為 1限制下，可用 Lagrangian multiplier求出滿足這個條件的粒子分布。

∂∂ni [Ωsys−λM∑

ini ]N ,V

=( (ε i−μ )−kB Tln (1+n i )+kB Tln (ni )−λ ) M=0

→ (εi−μ )+k BTln ( ni

1+ni)− λ=0

→ ln( ni

1+ni)= 1

kB T (λ−(ε i−μ )) , ni=1

e( εi−μ )kB T −1

if λ=k B T

符合這種能階分布的系統被稱為 Bose-Einstein分布。光的頻譜分布、頻譜能量分布

光子滿足 Bose-Einstein分布。不僅如此，由於一般條件下光子可以被表面吸收或釋放，這樣的過程下光子的總數並不守恆，其化學位能永遠會趨向零。因此光子的能階分布即為

n (ε ,T )= 1

eε

kBT −1

光子的能量為ε=h|ν|=c|p|

由於

d p=4 π|p|2d|p|=4 πc3

ε2d ε= 4 πc3h3

ν2d ν

又根據統計力學的基本理論，同一能量下的總組合數為整個相空間（動量和位移組成的 2*n*d維空間）上各點組合數的加總（積分）

n (|p|, T ) d p∫ d xh3

=4 π Vh3

|p|2n (|p|, T ) d |p|= 4 πc3h3

ε2n ( ε ,T ) d ε

¿ 4 π (hν )2

c3h31

ehν

kBT −1d ε=4 πV

c3ν2

ehν

kBT −1d ν

因此n ( ν ,T )=8πV

c3ν2

ehν

kB T−1

最後還要再乘二是因為每個能階都有兩個線性獨立的偏振方向的狀態。我們可據此求出不同光子的頻譜分布：

N (T )=∫ n (ν ,T ) d ν=∫ 8 πVc3

ν2

ehν

k BT −1d ν=8 πV

c3 ( kB Th )

3

∫ u2

eu−1du

¿8 πV ( kB Tch )

3

∫ u2

eu ∑n=0

e−nudu=8 πV ( kB Tch )

3

∑n=1

∫ u2e−nu du

¿8 πV ( kB Tch )

3

∫ t2e−t dt∑n=1

1n3

=V ( kB T )3

π2 (ch )3Г (3 ) ξ (3 )=

2V (k B T )3

π 2 (c h )3ξ (3 )

ρ (ν ,T )=n ( ν ,T )N (T )

= 12ξ (3 ) ( h

kB T )3 ν2

ehν

kBT −1

則我們可以求出整個頻譜所含有的總能量：ε ( ν ,T )=n ( ν ,T ) ε (ν )=8 πhV

c3ν3

ehν

kB T −1

E (T )=∫n (ν ,T )ε ( ν ) d ν=∫ 8πhVc3

ν3

ehν

kB T−1d ν

¿ 8πhVc3 ( k BT

h )4

∫ u3

eu−1d u=8 πV

(ch )3(k B T )4∫ u3

eu ∑n=0

e−nudu

¿ 8πV(ch )3

(k BT )4∑n=1

∫u3 e−nu du=8 πV(ch )3

(k B T )4∫ t 3e−t dt∑n=1

1n4

¿V (kB T )4

π2 (ch )3Г ( 4 )ξ (4 )=

6V (kB T )4

π2 (ch )3ξ (4 )

又因為ξ (4 )= π4

90

E (T )=π2V (k BT )4

15 (ch )3

於是就可以得出光的頻譜能量分布：ρε ( ν ,T )= ε ( ν ,T )

E (T )=15

π 4 ( hk BT )

4 ν3

ehν

kBT −1

將上式對頻率微分，求出的極值即為韋恩定律。黑體輻射功率

由於光子前進的角度是隨機的，每一個特定的立體角出現的機率都是 1/(4pi)。而任一立體角度的光子在一個極短的時間區間 δt內打到某一極小平面的機率是

δ W (Ω ,T )dA=c× cosθ×δ t × E (T )V

× dΩ4 π

因此單位時間內光子對此一極小平面 dA所作的功率即為dWdA

(T )=∫0

π2

∫0

2π π2 (k BT )4

15c2h3× cosθ× sinθ dϕdθ

4 π=

π2 (kB T )4

60c2h3=σT 4

此即史蒂芬－波茲曼定律。注意我們關心的是黑體表面受由內向外的光壓造成的對外作功，因此 theta只從 0積分到 pi/2。此時可以算出單位時間內不同頻率、不同立體角發射出來的光子對該立體角所作功率：

dWdA

(ν ,Ω ,T )=d WdA

( Ω,T )× ρε (ν ,T )=π2 (k B T )4

15c2h3× 14 π × 15

π4 ( hk B T )

4 ν3

ehν

kB T −1

¿ 8 π3h4 π3 c2

ν3

ehν

kB T −1=2h

c2ν3

ehν

kB T−1

此即普朗克定律。附錄： (4)ξ 的求法

看起來很可怕的 zelta函數，因為剛好是偶數所以可以用傅立葉級數求出它的值：f ( x )=x5 ,0≤x ≤1 ; f ( x )= f (x+1 )∀ x

f ( x )= ∑n=−∞

∞

cn e i2 πnx

cn=∫0

1

x5 e−iπnx dx= x5 e−i2πnx

−i2 πn |0

1

+5

i 2πn∫01

x4 e−i2πnx dx

¿ 1−i2πn

+ 5i2πn ( x4 e−i2 πnx

−i2 πn |0

1

+ 4i 2πn∫0

1

x3e−i2πnx dx)¿ 1−i2πn

+ 54 π2n2

− 5π2n2 ( x3 e−i2 πnx

−i 2πn |0

1

+ 3i 2πn∫0

1

x2e−i2πnx dx)¿ 1−i2πn

+ 54 π2n2

+ 5i2 π3n3

− 15i 2π3n3 ( x2 e−i 2πnx

−i2 πn |0

1

+ 2i 2πn∫0

1

x e−i2 πnx dx)¿ 1−i2πn

+ 54 π2n2

+ 5i2 π3n3

− 154 π4n4

+152π4n4 ( x e−i2 πnx

−i2πn |0

1

− 1−i2πn∫0

1

e−i2πnx dx)¿ 1−i2πn

+ 54 π2n2

+ 5i2 π3n3

− 154 π4n4

− 15i 4 π5n5

c−n=cn ,c−n+cn=2ℜ [cn ]= 52π2n2

− 152 π4n4

f (1 )=12=c0+∑

n=1

∞

( 52π2n2

− 152 π4n4 )ei2πnx=1

6+∑

n=1

∞

( 52π2n2

− 152π4n4 )

∑n=1

∞ 152π 4n4

=(∑n=1∞ 52π2n2 )−13=52× 1

6−13= 112

ξ (4 )=∑n=1

∞ 1n4

= 212

× π 4

15= π 4

90

如果是 Zelta(odd)或者其他非整數的值，就只能用逼近的方法求解。當然轉換成其他形式的級數可能會逼近得更快。

ξ (3 )=∑n=1

∞ 1n3

=1+ 18+ 127

+…=1.2020569…