断熱量子計算のエラー評価と計算能力

サマチャレ 5 期・ 7 期合同 研究発表会 2015 年 3 月 6 日

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http://www.dwavesys.com/d-wave-two-system

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量子コンピュータ？

量子的な重ね合せ状態を利用した超並列計算

例：素因数分解（ Shor のアルゴリズム）探索問題（ Grover のアルゴリズム）

古典情報

0 or 1量子情報

0 and 1

断熱量子計算ADIABATIC QUANTUM COMPUTATION

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Schrödinger 方程式

仮定：

主張：　　　　とすると、

意味：ハミルトニアンをゆっくり変化させると、エネルギー固有状態をたどる

断熱定理 | Adiabatic Theorem

時間依存のハミルトニアン

合計時間

断熱定理

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2 タイプの断熱量子計算

1. ユニバーサル断熱量子計算通常の量子計算（量子回路モデル）と等価D. Aharonov, W. van Dam, J. Kempe, Z. Landau, S. Lloyd, and O. Regev (2007)

2. 断熱量子最適化（量子アニーリング）D-Wave で使われているT. Kadowaki and H. Nishimori (1998)E. Farhi, J. Goldstone, S. Gutmann, and M. Sipser (2000)

注目 !!

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最適化問題

多数の選択肢から、ベストな解を探す問題例：最短路問題、最長しりとり、巡回セールスマン問題など

物理では、基底状態を探す問題に対応ランダム Ising 模

型

NP 困難問題

基底状態？

： Pauli-Z 演算子

どれにしよう？

断熱量子最適化（量子アニーリング）

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断熱計算ハミルトニアン

基底状態が既知のハミルトニアン

最適化問題に対応したハミルトニアン

断熱的 断熱的

の基底状態 の基底状態

最適化問題の答え

計算精度

現実の時間発展は有限時間

状態　　　は基底状態からずれる

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非断熱的 非断熱的

計算精度は？ ？

断熱近似によるエラー評価JANSEN-RUSKAI-SEILER

ADIABATIC APPROXIMATION

S. Jansen, M. Ruskai, and R. Seiler, J. Math. Phys. 48 102111 (2007)

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Jansen-Ruskai-Seiler の不等式条件：ハミルトニアンが 2 階微分可能

結論：

計算を間違える確率

境界項 主要項

：時刻　のエネルギーギャップ

0 1

エネルギー

：計算にかける時間

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局所断熱時間発展

ハミルトニアンをギャップに応じて変化

計算エラーギャップの最小値

ゆっくり素早く を小さくできる

主要項

局所断熱時間発展をしないとエラー

エネルギーギャップの振る舞い

量子相転移点　　エネルギーギャップ最小ギャップ　　 と系のサイズ

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エネルギーギャップ

量子相転移点

常磁性相

横磁場など

OR効率的なアルゴリズム

非効率的なアルゴリズム

まとめ

断熱量子計算の計算エラーの解析 Jansen-Ruskai-Seiler 不等式による厳密評価

量子相転移点のエネルギーギャップのサイズ依存性が重要

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断熱量子計算　 断熱的時間発展 ( 固有状態をたどる ) を利用した量子計算

エネルギーギャップ　 基底エネルギーと第一励起エネルギーの差

有限サイズスケーリング