Practica 2. Algebra Lineal, 2013.Cambio de Base. Transformaciones Lineales. Matrices asociadas a

una transformacion lineal.2do ano: Lic. en Matematica y Profesorado.

1. (a) Sean B1 = {(1, 0), (1, 1)} y B2 = {(0, 1), (−1,−1)} bases de IR2.

i. Hallar la matriz de cambio de base MB1,B2 de B1 en B2.ii. Hallar la matriz cambio de base MB2,B1 de B2 en B1.iii. Comprobar que MB2,B1 = M−1

B1,B2.

iv. Verificar que MB1,B2 [(1, 2)]B1 = [(1, 2)]B2 .

(b) Sean B1 la base canonica de IR3 y B2 = {(1, 1, 0), (1, 1, 1), (0, 1, 1)}.i. Hallar MB1,B2 la matriz de cambio de base de B1 en B2.ii. Hallar la matriz cambio de base MB2,B1 de B2 en B1.iii. Comprobar que MB2,B1 = M−1

B1,B2.

iv. Verificar que MB1,B2 [(1, 2, 0)]B1 = [(1, 2, 0)]B2 .

(c) Sean B1 = {1, x, x2, x3} y B2 = {x − 1, x(x − 1), x2(x − 1), x3} bases del IR espaciovectorial de los polinomios de grado menor o igual a 3.

i. Hallar MB1,B2 la matriz de cambio de base de B1 en B2.ii. Hallar la matriz cambio de base MB2,B1 de B2 en B1.iii. Comprobar que MB2,B1 = M−1

B1,B2.

iv. Verificar que MB1,B2 [1 + x + x2]B1 = [1 + x + x2]B2 .

2. Determinar cuales de las siguientes aplicaciones son transformaciones lineales:

(a) L : IR3 → IR3 definida por L(x, y, z) = (x− y, x2, 2z).

(b) L : IR3×1 → IR3×1 definida por L

xyz

=

2x− 3y3y − 2z

2z

(c) T : IR2×2 → IR2×2 definida por T

(x yz w

)=

(x + y −yz + w −w

)(d) f : C → C definida por f(z) = z (considerando a C como IR-espacio vectorial y como

C-espacio vectorial).

(e) f : IR[x] → IR3, f(p) = (p(0), p′(0), p′′(0)).

(f) tr : Kn×n → K, definida tr(A) =∑n

i=1 aii.(Esta aplicacion es conocida con el nombrede traza).

(g) Sea B ∈ Kn×n fija, con B 6= 0. f : Kn×n → Kn×n definida por:

i. f(A) = BA.ii. f(A) = BA−AB.iii. f(A) = A + B.

(h) T : Z2xZ2 → Z2xZ2 la aplicacion entre Z2-espacios vectoriales dada por T (a, b) =(a, b)� (0, 1) donde el producto � esta definido por

(a, b)� (c, d) = (ac + bd, ad + bc + bd).

1

(i) I : C([0, 1]) → C([0, 1]), dada por (I(f))(x) =∫ x0 f(t)dt.

3. (a) Probar que existe una unica transformacion lineal f : IR2 → IR2 tal que f(1, 1) = (−5, 3)y f(−1, 1) = (5, 2). Para dicha f , determinar f(5, 3) y f(−1, 2).

(b) ¿Existira una transformacion lineal f : IR2 → IR2 tal que f(1, 1) = (2, 6); f(−1, 1) =(2, 1) y f(2, 7) = (5, 3)?

4. En cada uno de los siguientes casos definir una transformacion lineal f : IR3 → IR3 queverifique lo pedido.

(a) (1, 1, 0) ∈ Nu(f) y dim(Im(f)) = 1.

(b) Nu(f) ∩ Im(f) = {(1, 1, 2)}.(c) Nu(f) ⊆ Im(f).

(d) f 6= 0 y f ◦ f 6= 0.

(e) f 6= Id y f ◦ f = Id.

(f) Nu(f) 6= (0, 0, 0), Im(f) 6= (0, 0, 0) y Nu(f) ∩ Im(f) = {(0, 0, 0)}.

5. Sea T : IR3 → IR4 definida por T (x, y, z) = (x− z, z, 0, x + y + z).

(a) Hallar h : IR4 → IR4 tal que Nu(h) = Im(T ).

(b) Hallar h ◦ T .

(c) Hallar las dimensiones del nucleo y la imagen de T .

6. Calcular el nucleo y la imagen de algunas de las tranformaciones lineales del ejercicio 2.Decidir, en cada caso, si T es suryectiva, inyectiva o biyectiva. En el caso que sea biyectiva,calcular T−1.

7. Sean V un K-espacio vectorial y T : V → V una transformacion lineal. Probar que sonequivalentes

(a) Im(T ) ∩Nu(T ) = {0}.(b) T (T (x)) = 0 ⇒ T (x) = 0.

8. Sean V un K-espacio vectorial de dimension finita y T : V → V una transformacion linealtal que Im(T 2) = Im(T ). Probar que Im(T ) ∩Nu(T ) = {0}.

9. (a) Sea T la transformacion lineal de V en V , siendo V un espacio de dimension finita ydonde se usa la misma base ordenada para V como dominio y codominio de T . Encontrarla representacion matricial de T en cada uno de los siguientes casos:

i. T (v) = v siendo V = IR2.ii. T (p) = p′ siendo V = IR2[x].

(b) Sean V = IR2[x], W = IR1[x]. Se define F (p) = (p−p(0))/x. Sea B = {1+x, x+x2, x2+1}base de V y C = {1 + x, 1 − x} base de W. Encontrar la representacion matricial de Fen las bases dadas.

(c) Sea M =(

1 23 4

)y T la tranformacion lineal T : IR2×2 → IR2×2 definida por T (A) =

MA. Hallar la representacion de T en la base canonica de IR2×2.

2

(d) Sea A =(

2 5 −31 −4 7

), L(v) = Av. Encontrar la representacion matricial de L rela-

tiva a las bases de IR3 y IR2 dadas por B = {(1, 1, 1), (1, 1, 0), (1, 0, 0)}, C = {(1, 3), (2, 5)}respectivamente.

10. Sean T (a, b) = (4a− b, b + 2a), B = {(1, 0), (0, 1)} y C = {(1, 3), (2, 5)}.

(a) Hallar la matriz camio de base de B a C, la matriz cambio de base de C a B, comprobarque una es la inversa de la otra.

(b) Hallar la matriz que representa T en la base B y la matriz que representa T en la baseC. Compruebe el teorema de cambio de base.

11. Sea T : C2 → C2 la transformacion lineal definida por T (x, y) = (y, 0), B la base usual de C2

como C-espacio vectorial y B′ = {(1, i), (−i, 2)}.

(a) Hallar la matriz de T respecto de las bases B,B′.(b) Hallar la matriz de T respecto de las bases B′,B.

(c) Hallar la matriz de T en la base B′.(d) Hallar la matriz de T respecto de la base {(−i, 2), (1, i)}.(e) Calcular el determinante de la matriz hallada en a).

(f) ¿Puede decir cuanto vale el determinante de las matrices del inciso b) al d) sin hacer lascuentas? Si no puede, calcule y concluya. Justifique su conclusion.

12. Sea V un K-espacio vectorial, B = {b1, ..., bn} una base ordenada de V y T : V → V unatransformacion lineal.

(a) ¿Cual es la matriz de T en la base B si T (bj) = bj+1 para j = 1, ..., n− 1; y T (bn) = 0?

(b) Demostrar que Tn = 0 y Tn−1 6= 0.

(c) Sea f cualquier operador lineal sobre V tal que fn = 0 y fn−1 6= 0. Demostrar queexiste una base ordenada B1 de V tal que la matriz [f ]B1 coincide con la matriz halladaen (a).

(d) Demostrar que si M y N son matrices de Kn×n tales que Mn = Nn = 0, con Mn−1 6= 0y Nn−1 6= 0, entonces son semejantes.

13. Sea V un K-espacio vectorial. T : V → V transformacion lineal se dice que es idempotente oun proyector, si T 2 = T . Mostrar que si T es idempotente, entonces T |Im(T )= 1Im(T ) (y sedice que T proyecta V sobre T (V )).

14. Sea V un K-espacio vectorial y S un subconjunto finito de V ; supongamos que S = {x1, . . . , xn};

(a) Probar que la aplicacion FS : Kn → V , definida por FS(k1, . . . , kn) = k1x1 + . . . + knxn

es una transformacion lineal.

(b) Verificar que FS es inyectiva ⇐⇒ S es linealmente independiente.

(c) Verificar que FS es suryectiva ⇐⇒ S genera a V.

(d) Si S es una base de V ¿que puede decir sobre FS?. En este caso probar que:

i. {w1, ..., ws} es linealmente independiente en V si y solo si {F−1S (w1), ..., F−1

S (ws)}es linealmente independiente en Kn.

ii. {w1, ..., wr} es un sistema de generadores de V si y solo si {F−1S (w1), ..., F−1

S (ws)}es un sistema de generadores de Kn.

3

Observar que si S es base de V , teniendo en cuenta que la aplicacion F−1S es tomar

coordenadas en la base S, esto nos permite trabajar con coordenadas en una base en elsiguiente sentido, por ejemplo, para decidir si {x2 − x + 1, x2 − 3x + 5, 2x2 + 2x− 3} esuna base de IR2[x], bastara ver si {(1,−1, 1), (1,−3, 5), (2, 2,−3)} es una base de IR3.

15. Sean B = {v1, v2, v3} una base de IR3 y B0 = {w1, w2, w3, w4} una base de IR4. Sea f : IR3 →IR4 la transformacion lineal tal que

[f ]BB0 =

1 −2 1−1 1 −12 1 43 −2 5

(a) Hallar f(3v1 + 2v2 − v3). ¿Cuales son sus coordenadas en la base B0?(b) Hallar una base de Nu(f) y una base de Im(f).(c) Describir el conjunto f−1(w1 − 3w3 − w4).

16. Sea A es la matriz de f en la base B. Sin hallar f determinar la dimension de la imagen paracada uno de los siguientes casos y hallar una base para el nucleo:

(a)

A =

0 0 00 1 00 0 0

(b)

A =

1 0 00 1 00 0 0

(c)

A =

1 0 20 0 30 0 4

17. En cada uno de los siguientes casos, hallar una matriz A ∈ IR3×3 que verifique:

(a) A 6= I y A3 = I.(b) A 6= 0, A 6= I y A2 = A.

18. Sea f : IR3 → IR3 definida por f(x1, x2, x3) = (x1 + x2 − x3, 2x1 − 3x2 + 2x3,−x1 − x2 + x3).

(a) Determinar bases B y B0 de IR3 tales que

[f ]BB0 =

1 0 00 1 00 0 0

(b) Si A es la matriz de f en la base canonica, encontrar matrices inversibles C y D tales

que

C.A.D =

1 0 00 1 00 0 0

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