山田 博仁

Electric Circuits

電気回路学

情報コース 4 セメ開講

分布定数回路

今後の講義日程8 章 分布定数線路　 8.1 線路の伝送方程式　 8.2 伝送方程式の定常解　 8.3 波の伝ぱん

　 8.4 線路の縦続行列　 8.5 波の反射　 8.6 反射係数

　 8.8 理想線路、無ひずみ線路、 RC 線路　　 8.8.1 理想線路　　 8.8.2 減衰極小条件　　 8.8.3 無ひずみ線路9 章 分布定数回路としての線路　 9.1 複合線路　 9.2 無損失線路と反射波、　　　　インピーダンスの測定　　 9.2.1 伝送式　　 9.2.2 電圧、電流の円線図　　 9.2.3 定在波比　　 9.2.4 定在波による負荷の測定

喜安、斎藤 著　電気回路

12/4

12/11

12/18

1/8

1/15

山田 博仁 著　電気回路7 章 分布定数回路　 7.1 分布定数回路とは　 7.2 伝送線路　 7.3 伝送方程式の定常解　 7.4 波の伝搬　 7.5 線路の行列表現　 7.6 線路端条件による電圧・電流分布　 7.7 波の反射と定在波　 7.8 反射係数　 7.9 各種線路　　 a 理想線路　　 b 減衰極小条件と無ひずみ線路

　 7.10 複合線路

　 7.11 無損失線路上での電圧 , 電流　　 a 線路の伝送式　　 b 線路上の電圧 , 電流の円線図　　 c 定在波比

分布定数回路とは

立体回路

分布定数回路

集中定数回路

v(x, y, z, t), i(x, y, z, t)

電圧、電流は回路部品内での位置には依存しない　　 v(t), i(t)

Maxwell 方程式を解かなければならない ( 電磁気学の範疇 )

E(x, y, z, t), H(x, y, z, t)

本章で扱う回路

これまでの章で扱ってきた回路

x

yzx, y, z ≥

zyx

x, y, z, d, l≪

l

d

ld

d≪l ≥

電圧、電流は線路上の位置に依存　 v(z, t), i(z, t) TEM 波

電圧 ( 電界 ) 、電流 ( 磁界 )は回路内の位置に依存

波長 = c/f 　　 c: 光速度、 f: 周波数c = 約 3×108 m/s なので、f = 50Hz では　 = 6,000 kmf = 3GHz では　 = 10 cm

TE, TM 波

伝送線路

x=0

ZL

受電端送電端

E

C G

R L

R: 線路単位長当りの抵抗 (/m)L: 線路単位長当りのインダクタンス (/m)

C: 線路単位長当りの容量 (F/m)G: 線路単位長当りのコンダクタンス (S/m)

x x

i

vv+v

i+i Rx Lx

Cx Gx

x

v+vi+i i

v

線路の伝送方程式

)/(

}/)({)(

tvxCvxGi

tiixLiixRv

伝送路微小区間の等価回路に対してキルヒホッフの法則を用いると、

t

vCGv

x

it

iiLiiR

x

v

)(

)(従って、

t

vCGv

x

i

x

it

iLRi

x

v

x

v

x

x

0

0

lim

lim伝送の基礎方程式

v, i は x と t の関数、即ち v(x, t), i(x, t)

2

2

2

2

2

2

2

2

)(

)(

t

iLC

t

iGLRCRGi

x

i

t

vLC

t

vGLRCRGv

x

v

電信方程式あるいは伝送方程式

基礎方程式第 1 式の両辺を x について微分し、第 2 式と以下の関係式より、

x

ti

x

titii

x

tixx

/)(lim

/)(lim

)(00

電圧或いは電流のみで表現した以下の線路方程式が得られる。

電圧 ( 電流 ) が波動として伝送線路を伝搬していく様子を表す波動方程式の一種

伝送方程式の定常解

tjx

tjx

eIxti

eVxtv

),(

),(

v(t, x), i(t, x) 正弦波交流 ( 高周波 ) の場合を考えると、

ここここ : 角周波数

Vx, Ix は位置 x の関数であるが時刻 t には依存しない ( つまり、変数分離できる ) とする

この仮定は今後様々な問題を扱う場合によく出てくるが、特に一般性は失われない

伝送の基礎方程式に当てはめると、

xxx

xxx

yVVCjGdx

dI

zIILjRdx

dV

)(

)(

xx

xx

zyIdx

Id

zyVdx

Vd

2

2

2

2

波動方程式を得る

と表せる

ただし、 R + jL=z, G + jC=y と置いた

上式より、

(8.8) 式

( 電信方程式からも直接導出できる )

波動方程式の解

xzyxzyx

xzyxzyx

eIeII

eVeVV

00

00

波動方程式の一般解

0000 ,,, IIVV は積分定数

この一般解を (8.8) 第 2 式に代入すると、

yzVIyzVI /,/ 0000

xxx

xxx

eZ

Ve

Z

VI

eVeVV

0

0

0

0

00

yzZyzj 0,

Z0: 特性インピーダンス　単位 : オーム ()

従って、

ここで、

: 伝搬定数: 減衰定数　単位 : ネーパ (Np)

: 位相定数　単位 : ラジアン (rad)

波長 =2/ 周期 T=1/f=2/

, Z0 は、伝送線路を特徴づけることから、線路の二次定数という

これに対して R, G, L, C は、線路の一次定数という

波の伝搬

)(

0

0)(

0

0

)(0

)(0

xtjxxtjxtjx

xtjxxtjxtjx

eeZ

Vee

Z

VeI

eeVeeVeV

時間依存因子 ejt を含む伝送式

ej(t±x) は、∓ x 方向に進む角周波数 ,　 位相定数の正弦波を表す

x

何故なら、 ej(t±x) =cos(t±x)+j sin(t±x)

xeV 0は波の振幅を表し、 >0 (<0) なら、 x が増大する方向に振幅が増大 ( 減少 ) する

x

)( pv

vp: 位相速度

ここで、

d

dvg

因みに、波の包絡線の形状が伝わる速度を群速度 : vg という

波の伝搬

)(0

)(0

xtjxxtjxtjx eeVeeVeV

-x 方向 ( つまり、送電端から受電端の方向 ) に位相速度 / こ進む波 ( 進行波 ) で、 >0 なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく電圧波+x 方向 ( つまり、受電端から送電端の方向 ) に位相速度 / こ進む波 ( 進行波 ) で、 >0 なら、波の伝搬に伴い振幅が指数関数的に減衰していく電圧波

)}(){(1

)(1

)()(

)()(

00

反射電圧波入射電圧波

反射電流波入射電流波

反射電圧波入射電圧波

ZVV

Z

III

VVV

xx

xxx

xxx

0

00

0

00

00

,

,

Z

eVeII

Z

eVeII

eVVeVVx

xx

xx

x

xx

xx

ZL

受電端送電端

E

x

入射波 反射波

ただし、

線路の縦続行列

xxx

xxx

eIZVZ

eIZVZ

I

eIZVeIZVV

)(2

1)(

2

1

)(2

1)(

2

1

0000

0000

000000

xIxZ

VI

xIZxVV

x

x

coshsinh

sinhcosh

00

0

000

ll

Z

lZl

DC

BA

coshsinh1

sinhcosh

0

0

特性インピーダンス Z0, 長さ l の線路に対する F 行列

ZL

受電端送電端

E

l 送電端

E ZL

受電端

DC

BAV0

I0

受電端電圧 V0 および電流 I0

で、任意点の電圧、電流を表すと

)(2

1sinh

)(2

1cosh

xx

xx

eex

eex

双曲線関数の公式

より、

1, BCADDA

線路は、対称、相反 ( 可逆 ) 回路

Vx

Ix

x x=0

任意点 x での電圧 Vx 、電流 Ix は、

出席レポート問題

※ 次回の講義 (12/11) 前までに私のメールボックスに投函か、講義に持参のこと

ZL

受電端送電端 l

Zin

伝搬定数が 　 , 特性インピーダンスが Z0, 長さ が l の線路に負荷インピーダンス ZL が接続されている。線路の入力インピーダンス Zin を求めよ

, Z0