觀測量的權

權的觀念與計算

緒言 觀測量含有誤差，而各觀測量的誤差大小也不相同。

為了滿足某些幾何條件，各觀測量必須加以改正。 就誤差理論而言，誤差大的其改正量也要大，誤差小的則改

正量小。 觀測量的權是在比較與其他觀測量的相對價值的一種

指標。權是用來在平差中控制觀測量改正的大小量。 精度愈高的權愈大，反之則權愈小。 因此，權與變異數成反比。換言之，改正量的大小與權成反

比。 權是相對的，因此，協變方矩陣中的變異數與協變方，

可以用餘因子 (cofactor) 代替。其關係式如下20

ijijq 第 ij 個觀測

量的餘因子 參考變異數，用來決定比例

緒言 餘因子矩陣 Q 可寫為

其中為協變方矩陣 因此，權矩陣為

20

1

Q

2

2

2

21

2212

1211

nnn

n

n

xxxxx

xxxxx

xxxxx

σ σσ

σ σσ

σ σσ

Σ

120

1 ΣQW 12

0

2

20

23

20

22

20

21

20

000

000

000

000

ΣW

xn

x

x

x

2

20

iiw

在非相關觀測量中權矩陣為對角矩陣

可用單位權( 觀測量 )變異數取代

加權平均值 觀測兩次，其中一次是另一次的二倍好，若較差的那一次的權值為 1 ，則較好的那一次的權值應為 2 。 在計算平均值時，權值為 2 的觀測量應被加兩次，而權值為 1 的觀測量則被加 1 次，再除以總次數 3 。

例如，以 EDM 丈量距離其精度為以捲尺丈量的兩倍，以EDM 丈量的結果為 152.5m ，而以捲尺丈量良的結果為 151.9m ，則其加權平均值為

3.152

21

5.15229.1511

3.1523

5.1525.1529.151

M

M

加權平均值 假設 z 有 m 個獨立的觀測量 zi，每個觀測量的標準差為 σ ，則觀測量平均值為

若將觀測量分成兩組，一組的數量為 ma另一組的數量為 mb，且 m=ma+mb，則平均值為

總平均值則為

m

zz

m

ii

1

b

m

mii

ba

m

ii

a m

z

zm

zz a

a

11

ba

m

mii

m

ii

m

mii

m

ii

mm

zz

m

zz

z a

a

a

a

1111

加權平均值

w

wz

ww

zwzwz

mm

mzmzz

ba

bbaa

ba

bbaa

第十章將證明加權平均為一組加權觀測之最或是值

例 9.1 假設一段距離 d 量測三次，得下列結果： 92.61, 權為 3 、 92.60, 權為 2 、 92.62, 權為 1 ；試計算其權平均。解：加權均值為

608.92123

)62.92(1)60.92(2)61.92(3d

若忽略權，則三個量測之簡單平均值為： 92.61

權與標準差的關係

)14.9( 2

2

2

2

2

2

2

1

2

a

am

aaaz z

z

z

z

z

z

)15.9( m

1

m

1m

m

1

m

1

m

1

2

a

2

2

aa

2

2

a

2

2

a

2

2

a

2za

由誤差傳播定律知

將對各觀測量的偏導數值代入，得

同理，得 )16.9(1 22

bz mb

權與標準差的關係

az bz(9.15) 與 (9.16) 二式中，為常數，由 (9.13) 式， 與 之權分別為 ma 與 mb ，而因權為相對的，故由 (9.15) 與(9.16) 二式，可得：

)17.9( 1

w 1

w2z

b2z

a

ba

與

可得結論：對非相關之觀測量，權與量測之變方成反比。

加權觀測量的統計學 標準偏差

由定義知，當某觀測量的精度等於 w 個單位權觀測量的平均值時，則該觀測量的權為 w 。

假設 σ0為單位權的標準誤差，若 y1 、 y2 、…、 yn 維觀測量，其標準差分別為 σ1、 σ2、… 、 σn ，權則分別為 w1、 w2、…、 wn，則由 (9.5) 式，可得

)18.9( w

w

w n

on

2

o2

1

o1

，，，

加權觀測量的統計學

標準偏差則為

(9.20) 11

1

222

22211

n

vw

n

vwvwvwS

n

iii

nn

(9.19) n/wn

www n

1i

2ii

2nn

222

211

不等權的標準誤差則為

因為等權的標準誤差為n

n

ii

1

2

加權觀測量的統計學

nnn

on

o

o

nw

w

wn

w

w

nw

w

wn

w

w

nw

w

wn

w

w

22

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

1

1

1

1

1

權為 w 的標準誤差與加權平均的標準誤差

由權與變異數關係知

)1( , ,

)1( ,

)1(

2

n2

2

21

2

1

nw

wvS

nw

wvS

nw

wvS

n

同理得標準偏差

加權觀測量的統計學

)1(

2

nw

wS

M

若令上式分母中的權為 1 ，則得加權觀測量的單位權標準偏差 ( 參考標準偏差 )S0

加權平均的參考標準誤差與標準偏差分別為

wn

wM

2

角度量測的權

3

33

2

22

1

11

nnn

，，

2

3

22

2

22

1

2 1

1

1321

Sn

SSn

SSn

S ，，

在觀測條件相同下，某平面三角形的三個內角： α1 、 α2 與 α3 ，分別被量測了 n1 、 n2 與 n3 。那麼這些角度的相對權為若干？為分析權與角度觀測次數之間關係，設 S 為角度單一觀測之標準偏差，三個角度之平均值如下：

平均值的變異數為

因觀測量的權與觀測變異數成反比，且為相對的，故三個角度的權為：

23

2322

2221

21

321

1

1

1

S

n

Sw

S

n

Sw

S

n

Sw

，， 權與觀測次數成正比

逐差水準測量的權

)(2 22/

22 Drh ND

D

lN i

2

(1)

(2)(3)

BM A=100.00

BM X水準網

右圖所示為水準網，水準線 1 、 2 與 3 的長度分別為 2 公里、 3 公里與 4 公里。水準線長度不同，其相應的高差誤差也會不相同，因此各水準線的權也會不同。而其相對權應為若干？因為逐差水準測量高差的標準誤差為

同一水準線為常數

kl

Dk

ih

Dr

2

22/

逐差水準測量的權

klw

klw

klw

33

22

11

1

1

1 ，，

因此， 3 條水準線的權分別為：

4

11

3

11

2

11

33

22

11

lw

lw

lw ，， 因為權是相對的

直接水準測量的權與其線長成反比。而水準線長度與其擺設儀器次數成正比，所以權與儀器設站次數成反比

實例例 9.2 若三角形 ABC 之三個角由同一個人，利用相同儀器觀測，觀測成果為： A=45º15’25", n=4, B=83º37’22", n=8, C=51º07’39", n=6 ；試平差改正這些角度。解：如表 9.1 所示，根據觀測次數來給定權，改正數則與權成反比；三個角度量測值的和為 180º00’26” ，故閉合差為 26” ；在第三欄之改正因子裡，為計算方便且避開分數，將改正因子乘以 24 ，而因權為相對者，故此並不影響改正。最後一列各項總和可用來重複檢核。

角 n (權) 改正因子 改正數 改正值A 4 (1/4)×24=6 (6/13)×26"=12" 45°15'13"B 8 (1/8)×24=3 (3/13)×26"= 6" 83°37'16"C 6 (1/6)×24 =4 (4/13)×26"= 8" 51°07'31"

Σ =13 Σ =26" Σ =180°00'00"

表9.1 例9.2之平差改正

實例例 9.3 類似圖 9.1 之水準網，水準線 (1), (2), (3) 之線長分別為 2, 3, 4 公里，若三段線之觀測高差分別為： ±2.120m, ±2.123m, ±2.129m ，求各段高差之加權平均，與水準點 BMX 之高程 ( 每一段均自 BMA 測至 BMX) 。

解：水準線 (1), (2), (3) 之權分別為 1/2, 1/3, 1/4 ，又因權為相對者，上列權可乘上任意數 12 而得： 6, 4, 3 ，再應用 (9.13) 式，高差之加權平均為：

m123.2346

129.23123.24120.26

平均高差

故 BMX 之高程 =100.000+2.123=102.123m ；若不考慮加權平均，僅求簡單平均，則平均高差變為 2.124m 。

實例

mM 716.190421

710.1904716.1902741.190

例 9.4 利用布卷尺量得一段距離為 190.741m ，權設為 1 ；又用鋼卷尺量得為 190.716m ，權設為 2 ；再用 EDM 量得為 190.710m ，權設為 4 。試求線長之最或是值 ( 即加權平均 ) 與加權平均值之標準偏差。

mnw

wvS

M0074.0

27

000769.0

)1(

2

解：加權平均

其中v1=190.716190.741=0.025 w1v1

2=1(0.025)2=0.00062v2=190.716190.716= 0.000 w2v2

2=2( 0.000)2=0.000000v3=190.716190.710=+0.006 w3v3

2=4(+0.006)2=0.000144wv2=0.000769

實例例 9.5 若自水準點 A 測至 B ，共四條不同之路線，資料如表 9.2 所示，為計算方便，權計算成 18/li ，試求高差之最或是值 ( 加權平均 ) 、加權平均之標準偏差、與加權觀測之標準偏差。

m7315.736918

711.73736.76745.79727.718

平均高差

表9.2 例9.5水準路線資料路線 線長(km) 高差(m) 權w v v 2 wv 2

標準偏差1 1 7.727 18 0.005 0.000023 0.000419 0.0082 2 7.745 9 -0.013 0.000181 0.001631 0.0113 3 7.736 6 -0.004 0.000019 0.000112 0.0144 6 7.711 3 0.020 0.000403 0.001208 0.019

Σ wv 2 = 0.00337

解：

實例

m0335.03

00337.0

1n

wvS

2

m0056.0336

00337.0

)1n)(w(

wvS

2

m1940.033

00337.0S m1370.0

36

00337.0S

m1120.039

00337.0Sm0079.0

318

00337.0

)1n(w

wvS

43

21

2

1

，

，，

標準偏差

若僅求簡單平均，則平均高差變為 7.730m 。

加權平均標準偏差

加權觀測量的標準偏差

作業 9.2 、 9.8 、 9.9