Матрицы

Элементы теории матриц.

Основные определения.

а11 а12 а13 … а1m

а21 а22 а23 … а2m

A= ……………………….

an1 аn2 аn3 … аnm

Опр.: таблицу, сост. из n строк и m столбцов наз.

матрицей.

Опр.: n*m – называется размерностью матрицы.

Опр.: Если m=n матрица наз. квадратной.

Опр.: Число n – называется порядком матрицы.

Опр.: Если m/=n матрицу называют прямоугольной.

Опр.: Матрица с элементами aij = 1, если i=j; 0, если i≠j, при n=m, наз. единичной матрицей и обозн. Е.

Опр.: Матрица, у которой все элементы нули, наз. нулевой матрицей и обозначается О.

Опр.: Элементы с одинаковым индексом кв. матрицы образуют

главную диагональ матрицы.

Опр.: Две матрицы одинак. размерности наз. равными, если равны элементы на

одинак. местах.

Действия над матрицами.

Опр.: Суммой двух матриц одинаковой размерности А и В

называется матрица С той же размерности,

элементы которой находятся по формуле: А+В=С; cij = aij + bij

Опр.: Чтобы матрицу умножить на число, надо все элементы матрицы умножить на

это число; α*А

Опр.: Разностью двух матриц одинаковой размерности

А и В называется матрица той же размерности с

элементами: cij = aij - bij; С=А-В

Опр.: Умножение матрицы: Аn*p*Вp*m=Сn*m.

Ненулевые матрицы при умножении дают 0-матрицу.

Свойства операций над матрицами.

1)А+В=В+А; 2) (А+В)= А+В, -число;

3) А*В В*А; 4) (А+В)*С= А*С+В*С;

5) А+О=А; 6) А*О=О;

7) А*Е=А, Е*А=А; 8) Ат – транспонированная; ; (At)t = A;

(A*B)t = Bt * At9)Аквадратн (n*n) – det A - детерминант А – определитель

кв. матрицы ; Det (A*B)=det A*det B

Аt

nm*

Нахождение обратной матрицы.

Опр.: Матрица, обозначаемая А-1 , называется обратной к матрице А, если

выполнены условия:

А-1*А=А*А-1=Е, где Е – единичная матрица того же порядка, что и заданная.

Опр.: Квадратная матрица, у которой определитель ≠0 называется

невырожденной.

Вывод 1: Обратная матрица сущ. для кв. матриц;

Вывод 2: Имеет ту же размерность что и данная;

Вывод 3: по свойству 9: det (A*A-1) = det E; det A*det A-1=1;

Теорема: Если у матрицы А существует обратная, то она единственная.

Теорема: Чтобы матрица имела обратную необход. и достат, чтобы она была кв-я и

невырожденная.

Опр.: Столбцы наз. линейно-независимыми, когда линейная комбинация равна 0

при всех α = 0.

Опр.: столбцы наз. линейно-зависимыми , если линейная комбинация равна 0,

не при всех α = 0.

Теорема: Столбцы матрицы можно представить в виде линейной комбинации

столбцов матрицы Е.

Теорема: Система столбцов линейно-зависима, когда хотя бы один столбец

является линейной комбинацией остальных.

Теорема о ранге матрицы:

Ранг матрицы равен максимальному числулинейно – независимых столбцов матрицы. Максимальное число линейно-независимых

строк равно максимальному числу линейно-независимых столбцов.

Опр.: Рангом матрицы наз. порядок базисного минора. Если матрица нулевая ее

ранг равен 0.

Теорема: Ранг матрицы равен числу ненулевых строк (столбцов),

полученных в результате применения элементарных преобразований,

которые позволяют выделить строчки и столбцы являющиеся линейными

комбинациями других строк (столбцов), т. е. выделить базисный минор.

Опр.: Минором порядка r называется определитель, составленный из

элементов матрицы расположенных на r строках и любых r столбцах

матрицы.

Теорема: Если в матрице все миноры порядка r+1 равны 0, то и всеминоры порядка r+2 равны 0.

Теорема о базисном миноре: В произвольной матрице каждый столбец

является линейной комбинацией столбцов, входящих в базисный

минор.

Обратная теорема: Если матрица А квадратная и

вырожденная, то хотя бы один из столбцов есть линейная комбинация

остальных столбцов, а одна из строк - линейная комбинация остальных строк.

Элементарные преобразования матрицы.

Опр.: Элементарными преобразованиями матрицы называются

следующие преобразования:

1)Умножение строки на число не равное 0;

2)Перестановка строк местами.

3)Прибавление одной строки к другой, умноженной на число;

4)Те же действия со столбцами.

Теорема: Элементарные преобразования не меняют ранг матрицы.

Опр.: Матрицы, полученные с помощью элементарных преобразований

наз. эквивалентными (~).

Матрицы

Основные определители.

Опр.: Система ЛАУ называется система уравнений вида:

а11*х1 + а12*х2 + … + а1m*хm= b1

а21*х1 + а22*х2 + … + а2m*хm = b2

аn1*х1 + аn2*х2 + … + аnm*хm = bn

n - уравнений, m – неизвестных:

х1, х2 … хm – неизвестные системы; b1, b2 … bn – свободные.

Опр.: Числа х10, х20…хm0 наз. решением системы если они обращают каждое уравнение

в равенство.

Опр.: Если СЛАУ имеет хотя бы одно решение, она называется совместной.

Опр.: Если СЛАУ не имеет ни одного решения, она называется несовместной.

Опр.: Решить систему – значит найти все ее решения или доказать, что

решений нет.

Опр.: СЛАУ у которой b1 = b2 …= bn = 0

называется однородной.

Теорема: Однородная система всегда совместна.

Опр.: Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.

Теорема о совместности СЛАУ. Теорема Кронекера – Капели.

Матрица: a11 a12 … a1m

a21 a22 … a2m

an1 an2 … anm

Матрица системы: a11 a12 … a1m * b1 A* = a21 a22 … a2m * b2 an1 an2 … anm * bn

- расширенная матрица системы.

Чтобы СЛАУ была совместна, надо чтобы ранг матрицы = рангу

транспонированной матрицы.

Необходимость: если решение сущ., т. е. числа х1, х2 … хm, такие, что столбец b -

линейная комбинация столбцов матрицы. Это значит, что добавление столбца не увеличивает числа линейно-независимых столбцов матрицы

А, по теор. о базисном миноре получаем rang A = rang A*

Достаточность: если rang A = rang A*, то базисный минор матрицы А является

базисным минором матрица А*. Это значит, что столбец b в матрице А* (по теореме о базисном миноре) - линейная комбинация

столбцов, которые входят в базисный минор. Коэффициенты этой линейной комбинации, т.

е. числа х1, х2 … хm - решение системы.

Матричный способ решения СЛАУ.

СЛАУ запишем в виде А*Х=В.

Если det A≠0, то для матрицы А сущ.

обратная А-1.

Умножим обе части СЛАУ слева на А-1:

А-1*А*Х = А-1*В;

Е*Х = А-1*В;

Х = А-1*В.

Метод Крамера.

СЛАУ имеет вид А*Х=В при det A≠0 ; Х=А-1*В.

х1 A11 A12 … An1 b1

х2 = A21 A22 … An2 * b2 =

хn A1n A2n … Ann n*n bn n*1

A1n*b1 + A2n*b2 + Ann*bn

Adet

1

Adet

1

A11*b1 + A21*b2 ………

A12*b1 + A22*b2 ………

AbAbAbAx nn

det

*...**1221111

1

AbAbAbAx nnnnn

n det

*...**2211

Ax det

11

Ax det

22

A

nxn det

1.

2.

Числители - величина определителя, разложенного по первому столбцу, тогда первый столбец это элементы b1, b2 … bn, а остальные столбцы – это столбцы

матрицы А и т.д.Если det A≠0, то СЛАУ имеет ед. реш. и опред. формулами:

Общий метод решения СЛАУ. (Метод Гаусса).

Если система совместна, т. е.rang A = rang A* = (r),то r-уравнений

СЛАУ линейно-независимы, а остальные(n - r) являются линейными комбинациями.

Решить систему значит выразить базисные неизвестные через свободные,

придавая различные значения свободнымнеизвестным.

Общий метод решения однородной СЛАУ.

Теорема: Если ранг матрицы однород.СЛАУ = r,

то система имеет (m - r) линейно - независ. решен.

Опр.: Совокупность реш., т. е. совокупность

наз. фундам-й системой реш. однор. СЛАУ.

ххх rm...,

21

Теорема: Если фундаментальная система решений однор.

СЛАУ , то общее решение однороднойСЛАУ , то есть линейная комбинация

решений - .

Опр.: =С1*1+С2*2+…Сm-r*m-r называется общим

решением однородной СЛАУ.

ххх rm...,

21

ххх rm...,

21

Теорема об общем решении неоднородной СЛАУ.

Теорема: Если фундаментальная

система решений соотв-щей однор. СЛАУ;

- некоторое решение неоднор. СЛАУ, то

сумма - решение

неоднор. СЛАУ.

Опр.: Полученное решение называется

общим решением неоднородной СЛАУ.

ххх rm...,

21

zxcxcxc rmrm

zy

...2211