四条腿的家俱问题

椅子能在不平的地面上放稳吗？• 四条腿的家俱，如椅子、桌子等，往不

平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然而稍挪动几次，就可以使四只脚同时着地。

• 试建立数学模型加以解释。

[ 模型假设 ]

• 1.椅子四条腿一样长；• 2.椅脚与地面接触处视为一点；• 3.四脚的连线呈长方形 ;• 4.地面光滑，即地面高度是连续变化

的，可视为数学上的光滑曲面。• 5.地面相对平坦，椅子在任何位置至

少有三只脚同时着地。

OC(A)

B(D)

A(C)

D(B)

B1

D1

A1

C1

•问 1 ：选择什么量来表示长方形椅子位置的改变？•用长方形绕它的对称中心 O 旋转代表椅子位置的改变。•问 2 ：这种改变如何量化？•以对角线 AC为 x 轴，中心 O为原点，建立直角坐标系。•长方形 ABCD 绕 O 逆时针旋转角 θ后，转至 A1B1C1D1 的位置，则 AC与 x 轴正半轴的夹角 θ表示了椅子位置的改变。

•问 3：椅子在某一位置是否着地如何量化？•一只椅脚着地，则它到地面的竖直距离为 0，否则大于 0。

OC(A)

B(D)

A(C)

D(B)

B1

D1

A1

C1

A,B， C， D 到地面的距离分别是关于θ的连续函数，且对于任意 θ，其函数值至少有三个为 0。

记 A,B 与 C， D 两脚到地面距离之和分别为 f(θ) 与 g(θ), 它们都是连续函数。注意：对任意 θ， f(θ)g(θ)=0

OC(A)

B(D)

A(C)

D(B)

B1

D1

A1

C1

o已知 f(θ) 和 g(θ) 是 θ 的连续函数，且g(0)=0 ， f(0)>0 ，那么一定存在 α ，使 f(α)= g(α)=0 。

o注意f(π)=g(0)=0 ， g(π)=f(0)>0

o令 h(θ)=f(θ)-g(θ), o则 h(θ)是关于θ的连续函数，o且 h(0)=f(0)-g(0)>0,

oh(π)=f(π)-g(π)<0 ，

o于是存在 α，使 h(α)=0

o即 f(α)= g(α) 。 f(α)=g(α)=0 。

进一步思考 • 思考 1 ：是否有另外的

函数模型？• 取对角线顶点到地面的

距离之和。• 思考 2 ：四脚连线还可

以是什么图形时，结论依然成立？

• 如：中心对称图形

OC(A)

B(D)

A(C)

D(B)

B1

D1

A1

C1

双煎饼问题• 桌面上放着若干块不重叠的任意形状的

均匀煎饼，问能否一刀将这些煎饼同时平分？

• 抽象为数学问题是：• 在平面 α 放置着若干个任意形状的不

重叠的封闭图形，问能否用一直线将它们的面积同时平分？

问题探索设计 • 1.确定多少个图形才有可能用一条直线将它们同时平分？

•三角形，四边形，圆形等等。•结论1：一个或两个。• 2.考察平面上只有一个封闭图形的情形•可以平分，且方式多样。• 3.双煎饼问题 •平面α放置着两个任意形状的封闭图形Q 和 P，证明一定能找到一条直线将它们同时平分。

向高维推广 对于空间的任意位置放置着的三个任意

形状的封闭图形 Q 、 P 和 R ，一定可以找到一个平面将它们的体积同时平分。

该推广被数学家戏称为“三明治问题”。 意指必有一刀切下去，能把一个火腿三

明治的火腿及上、下底面的两块面包各分为一半。

在平面 α 上，图形 Q 与 P 之间取定一点O, 过 O 画水平数轴 OX0 。将射线 OX0

绕 O 逆时针旋转至 OX,OX0 到 OX 的角为 θ （ 00≤θ≤1800 ）。可找到平分 P 、 Q 且与 OX 垂直的直线 lP,lQ ，垂足分别为 BP 与 BQ ，则 BP 与 BQ 的坐标是关于 θ 的函数，分别设为 P(θ) 与 Q(θ) ，可知 P(θ) 与 Q(θ) 均为连续函 数 。 且 P(1800)=-P(00) ， Q(1800)=-Q(00). 问题转化为，找到 θ0, 使得 P(θ0)=Q(θ0) 。

令 R(θ)=P(θ)-Q(θ) ，则它是关于 θ 的连续函数。

R(00)=P(00)-Q(00)=-P(1800)+Q(1800)=-[P(1800)-Q(1800)]=-R(1800), 即R(00)R(1800)≤0 ，所以必定存在 θ0∈[00,1800] ，使R(θ0)=0 ，即 P(θ0)=Q(θ0) 。此时图形 P 的平分线与Q 的平分线合一，该直线将图形 Q 和 P 同时平分。