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衍射光栅

制作者： 赣南师范学院物理与电子信息学院

王形华

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第四章 衍射光栅

§O 序一、光栅的定义 广义地说，具有周期性的空间结构或

光学性能（如透射率、折射率）的衍射屏，统称为光栅。

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二、常见的光栅种类

1 、在一块不透明的障板上刻出一系列等宽等间隔的平行狭缝——一维透射光栅。（见图 0-1a ）2 、在一块很平的铝面上刻一系列等间隔的平行槽纹——反射光栅。 （见图 0-1b ）

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3 、晶体由于内部原子排列具有空间周期性而成为天然光栅（三维）。

4 、根据不同的情况光栅可以分为： 透射光栅、反射光栅；平面光栅、凹面

光栅、黑白光栅、正弦光栅；一维光栅、二维光栅、三维光栅等。

光栅的 衍射场具有鲜明的“多光束干涉”基本特征。

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§1 、多缝夫琅和费衍射一、实验装置和衍射花样

a ：缝宽 b ：不透明部分宽度d=a+b ：光栅常数θ ：衍射方向角度

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衍射图见图 1-2 （点光源、缝光源）

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特点：1 、出现了一系列新的极大和极小（与单缝

相比），其中那些较强的亮线叫主极强，较弱的亮线叫做次极强。

2 、主极强的位置与缝数 N 无关，但它们的宽度随 N 增大而减小。

3 、相邻主极强间有 N-1 条暗纹和 N-2 个次极强。

4 、强度分布中保留了单缝衍射的痕迹，那就是曲线的包络（外部轮廓）与单缝衍射强度曲线的形状一样。

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5 、强度分布曲线（ 图 1-3 ）

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二、 N 缝衍射的振幅分布和强度分布

1 、考虑把衍射屏上的各缝除某一条外都遮住（单缝衍射）。

振幅分布： a θ=a0sinα/ α

强度分布： Iθ=aθ2=a0

2(sinα/α)2 其中： α=πasinθ/λ 、 θ 为衍射角。2 、单缝衍射时，单缝上下平移，幕上衍射

图样不动（只取决于衍射角 θ ，与其位置无关），若让 N 条缝轮流放开，幕上获得的衍射图样完全一样。

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3 、若 N 条缝的光线彼此无关，当它们同时放开时，幕上的强度与单缝一样，只是按比例地处处增加了 N倍。

4 、 N 条缝的光波实际上是相干的，且其之间存在位相差，由于多缝干涉幕上的强度发生了重新分布 , 实际为 N 个振动的合成。

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5 、矢量法分析 △L =dsinθ δ=2π L△ /λ δ=2πdsinθ/λ δ=2β

（ OCB1 为等腰三角形）2OCsinβ= OB1 =aθ

OC= aθ /2sinβ

等腰△ OCBN 的顶角 N δ=2N β

∴ 总振幅的振幅Aθ=OBN

=2OCsin(Nβ)

=aθsin(Nβ)/sinβ

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Iθ=aθ2 (sinNβ/sinβ)2

即 : Aθ=a0(sinα/α) (sinNβ/sinβ)

Iθ=a02(sinα/α)2 (sinNβ/sinβ)2

其中： α=πasinθ/λ β=πdsinθ/λ

(sinα/α)2 : 单缝衍射因子 (sinNβ/sinβ)2 : 缝间干涉因子

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三、缝间干涉因子的特点

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1 、主极强峰值大小、位置、数目 令 ： β=kπ(k=0 、 ±1 、 2 、 3 、…… )

则 ： sinNβ=sinNkπ=0 sinβ=0 sinNβ/sinβ=N

这些地方缝间干涉因子主极大，对应于主极强。此时：（ 1 ） sinθ=kλ/d 或 dsinθ=kλ

即：凡是衍射角满足上式方向上，出现一个 主极强，主极强位置与缝数无关。

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（ 2 ） Iθ=N2I10 主极强的强度是单缝在该方向上强度的 N2 倍。

（ 3 ） ∣ θ ∣ ≦ π/2 ∣ sinθ ∣ ≦ 1

∣ k d / ∣﹤ λ

即：主极强的数目有限。若： λ d , k ≧ 只能取零，即：除零级外， 无其它主极强。

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2. 零点位置 、主极强的半宽度和次级强数目

（ 1 ）、当 Nβ 等于 π 的整数倍，但 β 不是 π 的整数倍时

sinNβ=0 sinβ≠0 sinNβ/ sinβ=0

此即为暗线（点）的位置，此时： β= （ k+m/N ） π

k=0 、 ±1 、 ±2 、 ±3 、…… m=1 、 2 、 3 、……、 N-1

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sinθ=(k+m/N) λ/d

(β=πdsinθ/λ)

故： 每个主极强之间有 N-1 条暗线，相邻 暗线之间有一个次极强，共有 N-2 个 次极强。

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（ 2 ）、主极强亮线的宽度 以主极强两侧的暗线为界，它的中心到邻近的暗线之间的角距离称为它的半角宽度△ θ ， 对于偏离幕中央不是很远的主极强 θ 很小： sinθ≈θ

k级主极强的位置： β=πdsinθk/λ

→ sinθk=βλ/πd β=kπ

→ sinθk=kλ/d → θk ≈kλ/d 相邻暗线的位置近似为： θk+ △θ ≈(k+1/N) λ/d

△θ ≈λ/(Nd) (Note: m=1)

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普遍情形：

sinθk=kλ/d

sin(θk+ θ)=(k+1/N) λ/d△sin(θk+ θ)△ - sinθk≈(dsinθ/dθ) θ=θk

θ△

=cosθk θ△ ∴ △θ=λ/Nd cosθk

若： θk ≈0 cosθk ≈1

△θ ≈ λ/Nd

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四、单缝衍射因子的作用1 、实际强度分布还要考虑单缝衍射因子作用

单缝衍射因子零点处，主极强消失，出现缺级现象。（见图 1-6 ）

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2 、在给定了缝间隔 d 之后，主极强的位置就确定下来了：

单缝衍射因子并不改变主级强的位置和半角宽度，但会改变各主级强的强度。即单缝衍射因子的作用仅在于影响强度在各主极强间的分配，所以强度分布曲线的包络线（外部轮廓）与单缝衍射强度曲线具有相同的形状。

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五．复振幅的计算 黑白光栅和正弦光栅1 ．菲涅耳衍射积分公式： ～ ～

U （ P ） =C∫∫U0 （ Q ） eikrdΣ

(Σ0)

2 ．设衍射屏具有一维周期性结构，空间周期为 d ， ～

光瞳函数为 U0 （ x ），波前 Σ 分割为宽度为 d 的 N 个窄条 Σ1、 Σ2 、 Σ3 ……、 ΣN ， θ 为衍射角， P θ 为衍射场相应点，各单元中心到 P θ 的光程为 L1 、 L2 、 L3 、… LN ，则有： L2=L1+ L, L△ 3=L+2 L, …L△ N=L1+(N-1) L△ 其中：△ L=dsinθ ( 见图 1-7)

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3. P θ 点的总复振幅 ～ ～

U （ θ ） = C∫U0 （ x ） eikrdx

N

(Σ)

～

= ΣC ∫U0 （ xj ） exp(ikrj)dxj

j=1 (Σ)

其中： rj=Lj- xjsinθ xj从各单元的中心算起。则：

～ ～

∫U0 （ x ） exp(ikrj)dx = eikLj ∫U0 （ x ） exp(-ikxjsinθ)dxj

(Σj) (Σj)

d/2 ～

= eikLj∫ U0 （ x ） exp(-ikxjsinθ)dxj

- d/2

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由于的周期性，上面的积分对各单元都是一样的，故可将 U(θ) 中的下标 j略去，则：

～ N d/2 ～

U(θ) = C (Σ eikLj)∫ U0 （ x ） exp(-ikrsinθ)dx j=1 - d/2

～ ～

=N(θ) u(θ)

其中： ～ d/2 ～

u(θ) =C∫ U0 （ x ） exp(-ikrsinθ)dx - d/2

称为单元衍射因子。

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～ N

N(θ)=Σ eikLj= eikL1 [1+eik L△ + e2ik L△ +…+e(N-1)ik L△ ]

j=1

称为 N 元干涉因子。令 β= πdsinθ/λ 、 k △ L=2β

则：

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普遍地说，衍射单元的性质要用波前上的光瞳函数 U0 （ x ）来表征。3 、黑白光栅和正弦光栅

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黑白光栅：

：

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正弦光栅： 单元光瞳函数为正比于 [1+cos(2πx/d)]

其中： β=kdsinθ/2=πdsinθ/ λ

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由此可见，它由三项组成，每项的函数形式与单缝衍射因子一样，只是缝宽和中心位置不同，三项的中心分别位于 β=0 、 ±π 处，这正

～

是 N(θ) 的 0级和 ±级的主极强所在处。除此之外，所有的其它主极强都与

～ ～ ～

u(θ) 的零点重合。所以 N(θ) 和 u(θ) 相乘的结果，只剩下 0 、 ±1 三级主极强 , ±1 主极强的振幅为0级主极强之半，强度为它的 1/4 。 ( 见图 1-9)

33作业： P17 4 、5