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迭代法求非线性方程的根

迭代法是求解非线性方程近似根的一种方法，这种方法的关键是确定迭代函数(x) ，简单迭代法 用直接的方法从原方程中隐含的求出 x ，从而确定迭代函数 (x) ，这种迭代法收敛速度较慢，迭代次数多，因此常用于理论中 ,Newton 迭代法采用另一种迭代格式 , 具有较快的收敛速度，由牛顿迭代法可以得到很多其他迭代格式。

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迭代法迭代法• 一、简单迭代法的概念与结论• 二、 Newton 迭代法的基本思想• 三、牛顿法的几何意义• 四、牛顿迭代法的步骤• 五、例题• 六、其他注意的事项• 　　　　　　　　　

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一、简单迭代法的概念与结论一、简单迭代法的概念与结论• 简单迭代法又称逐次迭代法，基本思想是构造不动点方程，以求

得近似根。即由方程 f(x)=0 变换为 x=(x), 然后建立迭代格式，•

• 当给定处值 x0 后 , 由迭代格式可求得数列 {xk} 。如果 {xk} 收敛于 x* ，则它就是方程的根。因为：

•

• 但迭代格式有多种，迭代格式如何建立才能保证迭代法的数列收敛？有如下定理：

)(1 kk xx

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)()()( *1

* limlimlim xxxxx kk

kk

kk

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定理一：假定函数 满足下列条件：

1 、对任意 有 ； (1.1)

2 、存在正数 L<1 ，使对任意 有 (1.2)

则迭代过程 对于任意初值 均收敛于方程 的根 ，且有如下的误差估计式： (1.3)

)(x

bax ,

bxa )(

baxx ,,21

10)()( 2121 LxxLxx

)(1 kk xx bax ,0

)(xx *x

01*

1xx

L

Lxx

k

k

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实用中 (1.2)式常用 ),(1|)(| baxLx

9

证明：设方程 在区间 内有根 ， 则有 由

故据此反复递推有

)(xx ba,*x

)(1 kk xx

|||)()(||| ***1 xxLxxxx kkk

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)( ** xx

**1 xxLxx kk

*0

* xxLxx kk

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故当 时迭代值按 (1.2) 式 有 (1.4) ，据此反复递推得： 于是对任意正整数 p 有

在上式令 ，注意到 即得式 (1.3) 。证毕。

k *xxk

111 )()( kkkkkk xxLxxxx

011 xxLxx kkk

kkpkpkpkpkkpk xxxxxxxx 1211

010121

1)( xx

L

LxxLLL

kkpkpk

p *lim xx pkp

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定理二：对于迭代过程 ，如果 在所求根 的邻近连续，并且 (*)

则该迭代过程在点 邻近是 P 阶收敛的。证明：由于 。据定理一，立即可以断定迭 代过程 具有局部收敛性。再将 在根 处展开，利用条件 (*) ，则有注意到 ， 由上式得

)(1 kk xx )()( xp *x

0)()()( *)1(**/ xxx p 0)( *)( xp*x

0)( x

)(1 kk xx )( kx

!

)()()(

)(*

pxx

p

k

pk xx )( *

1)( kk xx ** )( xx pk

p

k xxp

xx )(!

)( *)(

*1

*x

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因此对迭代误差有 : 。这表明迭代过程确实为 P 阶收敛，证毕。上述定理告诉我们，迭代过程的收敛速度依赖于迭代函数 .

如果选取当 时 , 则该迭代过程只能是线性收敛。对于牛顿迭代公式 (1) ，其迭代函数为由于 , 假定 是 f(x) 的一个单根，即 ， 则由上式知 。于是依据定理二可以断定，牛顿法在根 的邻近是平方收敛的。

!

*)()(1

p

x

e

e p

pk

k )(1 kk xx

bax , 0)( x

)(

)()(

xf

xfxx

2)(

)()()(

xf

xfxfx

*x

0)( * x*x

0)( * xf

0)( * xf

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定义一：如果存在 的某个邻域 ，使迭代过程 对于任意初值 均收敛，则称迭代过程 在根 邻近具有局部收敛性。定理三：设 为方程 的根， 在 的邻近连续。且则迭代过程在邻近具有局部收敛性。

*x *: xxR

)(1 kk xx Rx 0

)(1 kk xx *x

*x )(xx )(x *x

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证明：由连续函数的性质，存在 的某个邻域 ，使对于任意 成立 。此外 , 对于任意 总有 。这是因为 ，依据定义三，可以断定，迭代过程 对于任意初值 均收敛。证毕。

*x *: xxR

Rx 1)( Lx Rx

Rx )( **** )()()( xxxxLxxxx

)(1 kk xx

Rx 0

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二二 . Newton. Newton 迭代法的基本思想迭代法的基本思想二二 . Newton. Newton 迭代法的基本思想迭代法的基本思想• 设 是 f(x)=0 的一个近似根，把 f(x) 在 处作泰勒展开

• 若取前两项来近似代替 f(x)( 称为 f(x) 的线性化 ) ，则得近似的线性方程

• 设 , 令其解为 , 得

• （ 1)

• 这称为 f(x)=0 的牛顿迭格式。

KX KX

2)(!2

)())(()()( k

kkkk xx

xfxxxfxfxf

0))(()()( kkk xxxfxfxf

0)( kxf 1kx

)(

)(1

k

kkk xf

xfxx

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它对应的迭代方程为 显然是 f(x)=0 的同解方程，故其迭代函数为

在 f(x)=0 的根 的某个邻域 内 ,

在 的邻域 R 内，对任意初值 ，应用由公式（ 1 ）来解方程的方法就称为牛顿迭代法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一 .

)( xR 0)( xf

0x

)(

)()(

xf

xfxx

1

)(

)()()(

2

L

xf

xfxfx

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)(

)(

xf

xfxx

)0)(( xf

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三、牛顿法的几何意义三、牛顿法的几何意义• 由（ 1 ）式知 是点 处 的切线

与 X 轴的交点的横坐标（如图）。也就是说，新的近似值 是用代替曲线 y=f(x) 的切线与 x 轴相交得到的。继续取点 , 再做切线与 x 轴相交，又可得 。由图可见，只要初值取的充分靠近 , 这个序列就会很快收敛于 。

• Newton迭代法又称切线法

1kx )(xfy

)()(

kk

k xfxx

xfy

))(,( kk xfx

1kx

))(,( 11 kk xfx

,2kx

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y

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四、牛顿迭代法的步骤四、牛顿迭代法的步骤

• 步一、准备。选定初始近似值 ，计算

• 步二、迭代。按公式 迭代一次，得到新的近似值 ，计算

• 步三、控制。如果 满足 或 . 则终止迭代，以 作为所求的根；否则转步四。此处 是允许误差 ,

0x )( 00 xff

)( 00 xff

0

001 f

fxx

1x )(),( 1111 xffxff

1x 1 21 f

1x 21 ,

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而 。其中 c 是取绝对值或相对误差

的控制常数，一般可取 c=1 。步四、修改。如果迭代次数达到预定指定的次数 N ，或者 则方法失败；否则以 代替 转步二继续迭代。

时。，当

时；当

cxx

xxcxxx

11

01

101

...

..,

01 f ),,( 111 ffx ),,( 000 ffx

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五 .例题例 1: 用牛顿法求下面方程的根 解 因 , 所以迭代公式为 选取 , 计算结果列于下表

从计算结果可以看出 , 牛顿法的收敛速度是很快的 ,进行了四次迭代就得到了较满意的结果 .

20102)( 23 xxxxf

1043)( 2 xxxf

)1043/()20102( 2231 nnnnnnn xxxxxxx 10 x

n 1 2 3 41.411764706 1.369336471 1.368808189 1.368808108nx

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例 2 计算 的近似值。 =10-6 x0=0.88

解： 令 x= 问题转化为求 ƒ(x)= x2-0.78265=0 的正根

由牛顿迭代公式

xk+1= xk-ƒ(xk)/ƒ'(xk)= xk/2+0.78265/2xk

迭代结果

k 0 1 2 3

xk 0.880000 0.884688 0.884675 0.884675

满足了精度要求 =0.884675

)(/)( 01 xfxfxx nnn

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0.78265

0.78265

0.78265

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六．其他注意的事项

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Newton法通常依赖初值 0x 的选取，如果 0x 选择不当，将导致迭代发散或产生无限循环；此外，每一步迭代都需要计算导

数值，有时计算f （ kx ）是不方便的。基于这两点，产生了几种 Newton迭代法的变形。

1、Newton下山法

Newton下山法是为了防止因 0x 选取不当造成迭代发散或无限循环的情况。在迭代中加入函数绝对值单调减少的条件：

k1k xfxf 。对应的迭代格式为： 1kx = kx － k

k

xf

xf

，其中称为下山因子。Newton下山法只有线性敛速。

2、割线法

如所求问题不便求导，用过 kx 点的割线的斜率来代替f （ kx ）得到迭代公式：

1kx = kx －

1kk1kk

k xxxfxf

xf

，即为割线法。收敛阶为 1.618。

3、大M法

用某一给定的数M来代替 f （ kx ）得到迭代公式： 1kx = kx － M

xf k ，这种做法更加简便。称作大M法。

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1 ） 当 用 N e w t o n 法 求 ｍ 重 根 时 ， 不 妨 设f （ x ） = xgxx

m* 0xg *

f （ x ） = xgxxxgxxmm*1m*

= xg*xxxmgxx1m*

*

k

kk

*1k x

xf

xfxxx

=

k*

kk

k*

kk*k

xgxxxmg

xgxxxmgxx

klim *

k

*1k

xx

xx

=

klim

k

*kk

k*

kk

xgxxxmg

xgxxxmg

=

0m

1m

xmg

xg1m*

*

此 时 ， N e w t o n 法 具 有 线 性 敛 速 。

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七、牛顿迭代法的优缺点

1 、优点：牛顿迭代法具有平方收敛的速度，所以在迭代过程中只要迭代几次就会得到很精确的解。这是牛顿迭代法比简单迭代法优越的地方。2 、缺点：选定的初值要接近方程的解，否则有可能的不到收敛的结果。再者，牛顿迭代法计算量比较大。因每次迭代除计算函数值外还要计算微商值。

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八、迭代的一般概念 迭代法可分为单点迭代法与多点迭代法。单点迭代法的一般形式为： xi+1=(xi) i=0,1,2,...需一个初始点 x0启动 多点迭代法的一般形式为： xi+1= (xi ， xi-1,…,xi-k+1) 需多个初始点 x0 ， x1, x2 …,xk启动

对于单点迭代： n=1

1

求方程 x3+x=2x2+3 在 x0=4附近的根。解：函数 (x)=x3-2x2+x-3写成嵌套形式 (x)=x3-2x2+x-3=((x-2)x+1)x-3

`(x)=3x2-4x+1=(3x-4)x+1

计算结果如下： N X N X

0 4.000000000000 4 2.175554938721

1 3.000000000000 5 2.174560100666

2 2.437500000000 6 2.174559410293

3 2.213032716315 7 2.174559410292

8 2.174559410292

练习

1

设 (x ) 在有根区间 (a,b) 上存在二阶导数，且满足 （ 1 ） (a)(b)<0 ； （ 2 ） `(x)0 ， x(a,b) ； （ 3 ） ``(x) 不变号， x(a,b) ； （ 4 ）初值 x0 (a,b) ；且使 (x0)``(x0)>0 。则牛顿迭代序列 {xi} 收敛于 (x)=0 在 (a,b) 内唯一的根。

判别 Newton 法收敛的充分条件