1

泉恵女学園物語・その５

おはなし DEA （包絡分析法） － 単体法への準備－

ライオネル学園大学

せん けい

ここね、先生の大学は…

2

七瀬

先生、お願いがあるんです。今度の土曜日、空いてますか？１０時に先生の研究室に伺います。一日中、空けといてくださいね。

まだかな…

3

七瀬

先生、遅刻しました。すみません！

いや、いや、こっちも忘れていたよ。何か頼みがあるんだったね。まあとりあえず、かき氷でもどう？私はコーヒーでも飲もう。

いただきます、先生。ところで、変な質問していいですか？

ああ…いいよ。

4

七瀬

先生いま、つきあってる人、いるんですか？

いないな。研究一筋さ。

じゃ、土曜日も研究ですか？すごく忙しいんですね。お邪魔しちゃったかな…。

いや、そんなことはない。週に一度くらい、こんな時間もいいものさ。

あの、高校生の身分であつかましいお願いなんですけど…。

なんでも言ってごらん♪

5

七瀬

DEA のこと、もっと教えてほしいんです。毎週土曜日、教えてもらっていいですか？

え？ まあ、いいけど…。

6

七瀬

みんな、ＯＫだって！

おじゃましまーす！

残念だったな先公！

7

七瀬

あれからみんなで、毎週土曜日、DEA について本格的に教えてもらおうってことになったんです。

OK してくれてありがとう、先生！

汚い部屋ね。

あ、グルメ本だ。センセ、借りていい？

週に一度くらい、DEAもいいものさ。

コーヒーくらい出しなさいよ。

あ、パソコン。欲しーな。

ごめんなさい。私は止めたんだけど…。

カップ汚れてる。洗ってないんですか？

このマンガ、私のものー！

あ、タバコだ。

吸うんですか？

変な本がいっぱいー。

先生、なんか元気ないですね。

8

それでは DEA の前に、まず線形計画法を教える！しっかり聞いててくれ！ 一度しか説明しないぞ！

はーい！

悲しい奴だよな。

なんか怒ってるみたい…。

9

線形計画法 (Linear Programming) は、いろんなところに役立つ。

例として、夏休みの有意義な過ごし方を計算しよう。

星野くん、君の趣味は？

読書と…ショッピングかな ?

10

1 百円

2 時間

3 気力

読書

7 百円

4 時間

2 気力

買い物

うれしさ

3うれしさ

5

それぞれの趣味を１回やるのに必要な、「時間」「お金」「気力」を、それぞれ書いて欲しい。あと、それを１回やったときの「うれしさ」もね。

こんなとこかな…。

11

さらに、夏休み中に使える「時間」「お金」「気力」の総量を、それぞれ教えて欲しい。

こんなところです。

1 百円

2 時間

3 気力

読書

7 百円

4 時間

2 気力

買い物

うれしさ

3うれしさ

5

140 百円

100 時間

120 気力

総量

12

1 百円

2 時間

3 気力

読書

7 百円

4 時間

2 気力

買い物

うれしさ

3うれしさ

5

140 百円

100 時間

120 気力

総量

さて…それでは夏休み中に「読書」「買い物」を、それぞれ何回ずつすればいいだろうか ?

読書を x1 回、買い物を x2 回する、としよう。読書のうれしさは 3 、買い物のうれしさは 5 だから、うれしさの合計は 3x1+5x2 。これを最大にすればいい !

ちなみに 3x1+5x2 のことを目的関数という。しばしば Z であらわされる。つまり Z= 3x1+5x2 。

13

1 百円

2 時間

3 気力

読書

7 百円

4 時間

2 気力

買い物

うれしさ

3うれしさ

5

140 百円

100 時間

120 気力

総量

x1,x2 を大きくすれば、 Z=3x1+5x2 はいくらでも大きくなりそうなものだ。

ところがどっこい、そうはいかない。「お金」「時間」「気力」の制約があるからだ。

たとえば読書はせいぜい 40 回しかできない。

気力は 120 しかないのに、読書 1 回で 3 気力を消費してしまうからだ。だから x1 40≦ なのさ。

14

1 百円

2 時間

3 気力

読書

7 百円

4 時間

2 気力

買い物

うれしさ

3うれしさ

5

140 百円

100 時間

120 気力

総量

つまり読書を x1 回、買い物を x2 回するなら、お金を　 x1+7x2 百円、時間を 2x1+4x2 時間、気力を 3x1+2x2 気力、消費する。ところがお金は 140 百円、時間は 100 時間、気力は 120 気力しか存在しない。

そこで次の３本の制約条件がなりたつ。

お金の制約 : x1+7x2 140 ≦ 百円、時間の制約 : 2x1+4x2 100 ≦ 時間、気力の制約 : 3x1+2x2 120 ≦ 気力。

また、 x1,x2 はいずれも正の値だ。読書や買い物を「マイナス回」行なうわけにはいかないからだ。だから、 x1 0, x≧ 2 0≧という条件がつく。 ( これらを非負条件という )

15

1 百円

2 時間

3 気力

読書

7 百円

4 時間

2 気力

買い物

うれしさ

3うれしさ

5

140 百円

100 時間

120 気力

総量

制約条件

お金の制約 : x1+7x2 140 ≦ 百円時間の制約 : 2x1+4x2 100 ≦ 時間気力の制約 : 3x1+2x2 120 ≦ 気力

非負条件

x1 0≧x2 0≧

Z=3x1+5x2

目的関数

ゆえに「夏休み問題」は、３つの制約条件、２つの非負条件のもとで、目的関数を最大にする問題なんだ。

16

さて、この問題をグラフで解こう。X 軸に x1 ， Y 軸に x2 をとって、制約条件と非負条件をグラフにする。

すると、解の許される範囲は以下の部分になる。

40 50 140

60

25

20

制約条件

Z=3x1+5x2

目的関数

お金の制約 : x1+7x2 140 ≦ 百円

気力の制約 : 3x1+2x2 120 ≦ 気力

時間の制約 : 2x1+4x2 100 ≦ 時間

x1

x2

17

目的関数の式を書き直すと、 x2=-0.6x1+0.2Z となる。これは傾き -0.6 の直線だ。ところが Z がわからない。つまり領域を通るような傾き -0.6 の直線は、どれでも答えだ。これらのうちで、 Z が最大になるのはどれだろう？

ここで x1 に 0 を入れると、 x2=0.2Z となる。つまり Z を大きくすることは、y 軸との交点（ y 切片）を大きくすることと同じなんだ。

いろいろ試すと、点 B を通るとき、 y 軸との交点は最大になる。解は　点 B(35, 7.5) 。つまり x1=35, 　 x2=7.5 。そのとき目的関数の値は Z=3x1+5x2= 142.5 。

Z=3x1+5x2

目的関数

読書を 35 回、

買い物を 7.5 回やれば

いいってことね！

C

B

A

x1

x2

18

読書を 35 回、買い物を 7.5 回やると、どの資源をどれくらい使ったかがわかる。星野くんの場合、時間と気力を使い切っている。

お金ばっかり、

ずいぶん

余っちゃったなぁー。

1 百円2 時間3 気力

読書

7 百円4 時間2 気力

買い物

140 百円100 時間120 気力

総量

35 回 7.5 回

35 百円70 時間

105 気力

読書

52.5 百円30 時間15 気力

買い物

87.5 百円100 時間120 気力

使用量

× ×

＝ ＝

-＝

52.5 百円0 時間0 気力

余り

＝＋

19

さて用語の整理をしておこう。解が存在可能な範囲を実行可能領域といい、その中の点を実行可能解という。実行可能解のうち、目的関数を最大 ( もしくは最小 ) にするものを最適解という。

そして、最適解はかならず図形の頂点のどこかだ。( この場合、点 O, A, B, C, D の頂点のうち、頂点 B だった )

Z=3x1+5x2

C

B

A

D

O

最適解

じゃあ、５つの点だけ

調べればいいのね！

x1

x2

20

星野さんの「うれしさ」つまり目的関数 Z の値を、各点について示そう。

この場合は２次元だし、制約条件も少ないので、すべての頂点について目的関数、つまり Z の値を調べられた。

しかしもっと問題が大きくなると、すべての頂点はとても調べきれない。

どうすればいいの？

C

B

A

D

O

142.5

120

100 132

0x1

x2

21

ここで線形計画法のありがたいところは、

(1) 原点から出発し(2) Ｚの値が大きくなるような頂点に移動し、(3) 数が大きくなる方向がなければ終了

… すれば、必ず最適解にたどりつくということだ。

C

B

A

D

O

142.5

120

100 132２手かかったわね。

0x1

x2

22

しつこく繰り返すが…線形計画法のありがたいところは、

(1)原点から出発し(2)Ｚの値が大きくなるような頂点に移動し、(3)数が大きくなる方向がなければ終了という手順さえ守れば、

どんなに下手な道の選び方をしても、いつかは必ず最適解にたどりつく、ということだ。

こんどは３手。

でもたどりついた！

C

B

A

D

O

142.5

120

100 132

0x1

x2

23

この性質を利用したものが単体法、もしくはシンプレックス法というものだ。これで線形計画法を簡単に解くことができる。

だが話が長くなるから、ここでいったん、休憩にしよう。

やっと終わったぜ。

はーい！

あ、コーヒーだ！

24

七瀬

だますみたいで先生に悪い…とは思ったのですが、仲の悪かった A 組と B 組が、こんな悪だくみで盛り上がるなんて、数か月前には考えられなかったことだったんです。ひさしぶりに楽しいランチタイムでした。これで第５話は終わりです。ありがとうございました。

クーラーが

ききすぎよ。

このコーヒー、

まずーい。

ＣＤの趣味、最悪だぜ。ロックにしなよ。

インスタントだって！豆の買い置きくらいしておきなさい！

あ、ホントだ。

まだまだ DEAには遠そうですね！

ごみ箱どこですか？え、このバケツ？

この電話、かけていーい？あれー、つながんなーい。

おやつは

ないんですね・・・。

資料もいっぱいー。

ほかの人たちはこないんですか？

25

泉恵女学園物語・その６

おはなし DEA （包絡分析法） － スラック変数・基底変換－

ライオネル学園大学

せん けい

楽しいランチタイムも、

あっという間に終わり…まーかせて。

予習したんだから！

永倉七瀬

26

それでは単体法の準備を続けよう。眠いだろうが、しっかり聞いててくれよ！

はーい！

こうして午後の授業は始まりました。

うぃーす

七瀬

27

1 百円

2 時間

3 気力

読書

7 百円

4 時間

2 気力

買い物

うれしさ

3うれしさ

5

140 百円

100 時間

120 気力

総量

制約条件

お金の制約 : x1+7x2 140 ≦ 百円時間の制約 : 2x1+4x2 100 ≦ 時間気力の制約 : 3x1+2x2 120 ≦ 気力

非負条件

x1 0≧x2 0≧

Z=3x1+5x2

目的関数

まず「夏休み問題」の復習だ。これは３つの制約条件、２つの非負条件のもとで、目的関数を最大にする問題だった。

40 50 140

60

25

20

28

制約条件

お金の制約 : x1+7x2 140 ≦ 百円時間の制約 : 2x1+4x2 100 ≦ 時間気力の制約 : 3x1+2x2 120 ≦ 気力

非負条件

x1 0≧x2 0≧

Z=3x1+5x2

目的関数

ここで不等号をなくすため、λ1, λ2, λ3 を導入して等式にする。これらをスラック変数という。スラック変数は、資源の使い残し量を示す。

新・制約条件お金の制約 : x1+7x2 +λ1 = 140 百円時間の制約 : 2x1+4x2 +λ2 = 100 時間気力の制約 : 3x1+2x2 +λ3 = 120 気力

スラック変数

スラックって、

英語の「余裕」のことよ。

沢渡

29

読書を35回、買い物を7.5回やると、

どの資源をどれくらい使ったかがわかる。

星野くんの場合、

時間と気力の２資源を使い切っている。

お金ばっかり、

ずいぶん

余っちゃったなぁー。

1 百円2 時間3 気力

読書

7 百円4 時間2 気力

買い物

140 百円100 時間120 気力

総量

35回 7.5回

35 百円70 時間

105 気力

読書

52.5 百円30 時間15 気力

買い物

87.5 百円100 時間120 気力

使用量

× ×

＝ ＝

-＝

52.5 百円0 時間0 気力

余り

＝＋

たとえば点 B の使いのこしは、お金 =52.5 百円、時間、気力は０だった。ゆえに λ1 =52.5, λ2 =0, λ3 =0 。他の４つの頂点についても求めよう。

C

B

A

D

O 120

100 132

0

30

すると次の表のようになる。面白いのは、どの行 (ヨコのライン ) にも、かならず０が２つ、入っていることだ。

どうして？

C

B

A

D

O

142.5

120

100 132

0

頂点 x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 ZO 0 0 140 100 120 0A 40 0 100 20 0 120B 35 7.5 52.5 0 0 143C 14 18 0 0 42 132D 0 20 0 20 80 100

沢渡

31

その理由の直感的な説明は…いま式が３本あり、変数は５つある。ゆえにどれか２つの変数を消去（０を代入する）しても、解が求まるからなんだ。

ふーん…

C

B

A

D

O

142.5

120

100 132

0

頂点 x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 ZO 0 0 140 100 120 0A 40 0 100 20 0 120B 35 7.5 52.5 0 0 143C 14 18 0 0 42 132D 0 20 0 20 80 100

新・制約条件お金の制約 : x1+7x2 +λ1 = 140 百円時間の制約 : 2x1+4x2 +λ2 = 100 時間気力の制約 : 3x1+2x2 +λ3 = 120 気力

たとえばλ2, λ3 を隠しても３変数に式３本なので答えは求まります。これこそ点 Bの解よ。

永倉沢渡

32

どの頂点も、２つの直線の交点だ。そして０になるのは、その２直線の示す条件が持つスラック変数だ。

たとえば点 C は、（１）お金の制約と（２）時間の制約の交点。だから λ1 と λ2 が０になった。

ほんとだ…

頂点 x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 ZO 0 0 140 100 120 0A 40 0 100 20 0 120B 35 7.5 52.5 0 0 143C 14 18 0 0 42 132D 0 20 0 20 80 100

40 50 140

60

25

20C

お金の余り

時間の余り

気力の余り

お金の制約式

時間の制約式

新・制約条件（１）お金の制約 : x1+7x2 +λ1 = 140 百円（２）時間の制約 : 2x1+4x2 +λ2 = 100 時間（３）気力の制約 : 3x1+2x2 +λ3 = 120 気力

沢渡

33

より一般的に言えば、次になる。

変数を n 個、制約条件の式を m 本とする。実行可能領域の頂点ならば、対応する変数 (n+m) 個のうち、少なくとも n 個が０になる。

ふーん…頂点 x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 ZO 0 0 140 100 120 0A 40 0 100 20 0 120B 35 7.5 52.5 0 0 143C 14 18 0 0 42 132D 0 20 0 20 80 100

お金の余り

時間の余り

気力の余り

新・制約条件（１）お金の制約 : x1+7x2 +λ1 = 140 百円（２）時間の制約 : 2x1+4x2 +λ2 = 100 時間（３）気力の制約 : 3x1+2x2 +λ3 = 120 気力

m個n個

沢渡

34

いよいよ単体法の説明に入る…前に、もうひとがんばり。

「基底形式」 「基底変数」 「非基底変数」 「基底解」 「基底変換」

という専門言葉を覚えて欲しい。

ふぁーい

バリエーションのない

学問だぜ！

35

基底形式お金の制約 : x1+7x2 +λ1 = 140 百円時間の制約 : 2x1+4x2 +λ2 = 100 時間気力の制約 : 3x1+2x2 +λ3 = 120 気力

制約条件の不等式を、λ で等式に書き直したものを「基底形式」といい、λ のことを 「基底変数」という。

基底変数以外の変数を、非基底変数という。 x1,x2 のことだ。

基底変数非基底変数「基底解」と

「基底変換」は？

安達

36

非基底変数、つまり x1,x2 の値をすべて 0 にすれば、基底変数 λ1 ， λ2 ， λ3 の値はあっという間に求まる。 (x1=x2=0, λ1=140 ， λ2=100 ， λ3=120)

こうして得られた解を 「基底解」というんだ。

基底形式お金の制約 : x1+7x2 +λ1 = 140 百円時間の制約 : 2x1+4x2 +λ2 = 100 時間気力の制約 : 3x1+2x2 +λ3 = 120 気力

基底変数非基底変数このくらいの方程式なら

あなたも解けるでしょ？馬鹿にしやがって！

星野 松岡

37

また基底変数をいろいろ取り替えることができる。

たとえば x1 を消去してみよう。(1) 式を２倍して (2) から引く。(1) 式を３倍して (3) から引く。すると次のようになる。

基底形式お金の制約 : x1+7x2 +λ1 = 140 ……(1)時間の制約 : 2x1+4x2 +λ2 = 100 ……(2)気力の制約 : 3x1+2x2 +λ3 = 120 ……(3)

基底形式お金の制約 : x1 + 7x2 + λ1 = 140 ……(1)時間の制約 : -10x2 - 2λ1 +λ2 = -180 ……(2)気力の制約 : -19x2 - 3λ1 +λ3 = -300 ……(3)

お金の制約 : λ1 + 7x2 + x1 = 140 ……(1)時間の制約 : - 2λ1 -10x2 +λ2 = -180 ……(2)気力の制約 : - 3λ1 -19x2 +λ3 = -300 ……(3)

順番を入れかえると基底変数を取りかえた ことがはっきりするでしょ。λ1 と x1 を入れかえたの。

x1 を消去して

順序を入れかえて

これも基底形式になってる ! やるわね。

永倉

遠藤

38

この基底変数の取り替えが基底変換 なんだ。

基底形式お金の制約 : x1 + 7x2 +λ1 = 140 ……(1)時間の制約 : 2x1 + 4x2 +λ2 = 100 ……(2)気力の制約 : 3x1 + 2x2 +λ3 = 120 ……(3)

お金の制約 : λ1 + 7x2 + x1 = 140 ……(1)時間の制約 : - 2λ1 -10x2 +λ2 = -180 ……(2)気力の制約 : - 3λ1 -19x2 +λ3 = -300 ……(3)

基底変数は λ1 ,λ2 , λ3

基底変数は x1 ,λ2 , λ3

基底変換 の結果を、いつも 基底形式 に直すのはたいへん！もっと便利な表記法がありそうでしょ？それが 単体表 なの！

シンプレックス・タブローともいうの。タブローって、表っていう意味のフランス語よ。語尾を下げて発音すると、どんな言葉もフランス語風に聞こえるわ。

永倉

39

永倉くん、よく知ってるねえ。

まーかせて。数学だけはプロだから。まず最初の表を単体表にすると、こうなります。

基底形式お金の制約 : x1 + 7x2 +λ1 = 140 ……(1)時間の制約 : 2x1 + 4x2 +λ2 = 100 ……(2)気力の制約 : 3x1 + 2x2 +λ3 = 120 ……(3)

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ1

λ2

λ3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

基底変数に入ってない変数の値はつねに０ってことに注意してね！

だから x1=x2=0 なの。

x1,x2 は基底変数ではないでしょ？

永倉

40

基底変換 はどうやるか言えるかい？

もちろん。さっきやったように、 x1 を消去してみます。すると単体表では、次のような表記法になります。

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ1

λ2

λ3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅱ(4)(5)(6)

x1

λ2

λ3

140-180-300

1 7 1 0 0 0 -10 -2 1 0 0 -19 -3 0 1

お金の制約 : x1 + 7x2 +λ1 = 140 ……(1)時間の制約 : 2x1 + 4x2 +λ2 = 100 ……(2)気力の制約 : 3x1 + 2x2 +λ3 = 120 ……(3)

ステップⅠ

お金の制約 : x1 + 7x2 + λ1 = 140 …(1)時間の制約 : -10x2 - 2λ1 +λ2 = -180 …(2)気力の制約 : -19x2 - 3λ1 +λ3 = -300 …(3)

ステップⅡ

この丸は

何ですか？

永倉

杉原

41

丸について詳しく説明すると…いま x1 を追い出そうと決めたので、タテの列が決まります。

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ1

λ2

λ3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ1

λ2

λ3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

どの行を基本にして、他の行から引くか決めたので、（この場合は第１行）、ヨコの行が決まります。

それで？

永倉

杉原

42

この２つの「輪」は、しばしば１つの図に同時に書き込みます。すると次の図になります。

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ1

λ2

λ3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ1

λ2

λ3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

もっと省略して、たんに１つの数字をマルで囲んだのが、さっきの丸だったんです。杉原さん、わかった？これがもっとも普通の書き方なので、はやく慣れてください。

了解！

この丸のついた場所を、ピボットといいます。

バスケットボールに、「ピボットフット」という言葉があります。

動かしてはいけない軸足のことです。

永倉

杉原

43

初期状態（原点）からの最初の一手（基底変換）は、「６通りしかない」ってこと、わかりますか？

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ 1

λ 2

λ 3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

ここの９つには丸をつけてはいけないんですか？

永倉

杉原

つけてはいけない。丸をつけるのは、「その列の変数を基底変数に組み入れたい」からだろ？ところが λ1, λ2, λ3 は、すでに基底変数だからだ。

44

だから原点からの最初の基底変換は、６通りしかないの。

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ 1

λ 2

λ 3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

わかりました。

40 50

140

60

25

20

図で描くと次の６通りだ。

永倉

杉原

45

もう少し詳しく調べてみましょう。どこに黒丸をつけると、どの矢印になるのでしょうか？

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ 1

λ 2

λ 3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

x1 の列に丸をつけることは、今まで非基底変数だった x1 を基底変数に組み入れることです。つまり、今まで x1 は 0 だったのに、 0 より大きくなるんですよね…。

x1=0 が 0 以上になるんだから、上の３つの丸は、それぞれ下の３つの矢印のどれかです。

40 50

140

x1

x2

永倉

杉原

46

上から３番目に丸をつけたら？

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ 1

λ 2

λ 3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

第３行に丸をつけると、第３行が基準になります。ですから第３行を３で割って、 x1 の値を１にします。すると、基底変数の値は 40 になります。ということは…この矢印？

40 50

140

60

25

20

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ1

λ2

λ3

140 10040

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 1 2/3 0 0 1/3

x1

x2

正解！

永倉

杉原

47

この表の読み方はわかるかい？

丸を説明していたら、ずいぶん話がそれてしまいました。元に戻りましょう。今、単体表のステップⅡまでを説明したのでした。

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ1

λ2

λ3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅱ(4)(5)(6)

x1

λ2

λ3

140100120

1 7 1 0 0 0 -10 -2 1 0 0 -19 -3 0 1

まるっきり！

永倉

松岡

48

この表の意味を知るために、基底解を求めてみましょう。ステップ１では、すべての資源が余っています。ステップ２では、 x1=140 。でも λ2 と λ3 はマイナス、これでは資源が不足してしまいます。

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ1

λ2

λ3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅱ(4)(5)(6)

x1

λ2

λ3

140-180-300

1 7 1 0 0 0 -10 -2 1 0 0 -19 -3 0 1

お金の制約 : x1 + 7x2 +λ1 = 140 ……(1)時間の制約 : 2x1 + 4x2 +λ2 = 100 ……(2)気力の制約 : 3x1 + 2x2 +λ3 = 120 ……(3)

ステップⅠ

お金の制約 : λ1 + 7x2 + x1 = 140 ……(1)時間の制約 : - 2λ1 -10x2 +λ2 = -180 ……(2)気力の制約 : - 3λ1 -19x2 +λ3 = -300 ……(3)

ステップⅡ

これはグラフでいうと、どこからどこに移動したか、わかるかな？

永倉

49

実はこの基底変換は、下の矢印だったんだね！x1 が 0 から 140 に増えてるだろ？

40 50 140

60

25

20

ステップⅠステップⅡ

x1

x2

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ 1

λ 2

λ 3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3

Ⅱ(4)(5)(6)

x1

λ 2

λ 3

140-180-300

1 7 1 0 0 0 -10 -2 1 0 0 -19 -3 0 1

お金の制約: x1 + 7x2 +λ 1 = 140 ……(1)時間の制約: 2x1 + 4x2 +λ 2 = 100 ……(2)気力の制約: 3x1 + 2x2 +λ 3 = 120 ……(3)

Ⅰステップ

お金の制約: λ 1 + 7x2 + x1 = 140 ……(1)時間の制約: - 2λ 1 -10x2 +λ 2 = -180 ……(2)気力の制約: - 3λ 1 -19x2 +λ 3 = -300 ……(3)

Ⅱステップ

50

ステップⅡの意味を知ろう。x1 が 140 で x2 が 0… ということは、

40 50 140

60

25

20

ステップⅡx1

x2

趣味は「読書」しかない、と考えて、しかも制約は金銭だけ、と考えれば、読書は 140 回できる、ってことね！

1 百円

2 時間

3 気力

読書

7 百円

4 時間

2 気力

買い物

140 百円

100 時間

120 気力

総量

そのとおり！ところが現実には、読書は 140回もできない。

１回２時間かかるが 100 時間しかないから 50 回以下。気力が３必要だが、 120 気力しかないから 40 回以下… ってことなんだ。

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3

Ⅱ(4)(5)(6)

x1

λ 2

λ 3

140-180-300

1 7 1 0 0 0 -10 -2 1 0 0 -19 -3 0 1

51

ゆえにステップⅡは、現実には実行不可能だ。だからステップⅡの点は、実行可能領域ではない（色が塗られていない）んだね。

40 50140

60

25

20

ステップⅡx1

x2

52

つまり基底変換は、やみくもに行ってはいけない。でないと、実行可能領域からはみ出してしまうからだ。

だって先生、さっきは、「どんなに下手な頂点の選び方をしても、　かならず最適解にたどりつく」って言ってたじゃない。

すまない。さっきの説明は舌足らずだった。どんなに下手な 実行可能領域 の頂点の選び方をしても、と言うべきだったね。

どんな基底変換をしても自動的に実行可能領域の頂点に行くのではない、ということには、十分、注意してもらいたい。

じゃあ先生、なんだい ? 遠藤くん。

遠藤

森井

53

原点からの最初の６通りの基底変換のうち、どれを選べばいいの？

選んでいいのは、左の図でいえば、実行可能解に行く２つの矢印だけだ。右の表で言えば、２つの丸だけが許される。

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ 1

λ 2

λ 3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ 1

λ 2

λ 3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

遠藤

40

50

140

60

25

20

54

どの順で基底変換すべきか、組織的に教える方法…それこそ単体法なんだ。

それでは、やっと単体法の説明に入れるぞ！

先生、ちょうど３時です。ちょっとお茶にしましょうよ！

待ってたぜ！

依存ありませんわ。

綾崎

松岡

安達

55

「恵泉女学園物語・その６」はここで終了です。つきあってくれて、ありがとう。みなさんもお茶で一服したら？

単体法って、実は手順だけなら一瞬なんです。でも、みんなで意味をじっくり考えながら学ぶのは、高校ではめったにない体験で、すごく新鮮でした。

よく「大学の勉強は役に立たない」って聞きます。そうかもしれません。でも、「本当に勉強をした」っていう体験は、きっと…

なにしてんの？お茶、お茶！

呼ばれちゃった。じゃ、またね！

永倉

56

泉恵女学園物語・その７

おはなし DEA （包絡分析法） － 単体法－

せん けい

コーヒータイムが終わりました。

かき氷、とてもおいしかったです。

永倉

57

かき氷はおいしかったかな？それでは勉強をはじめよう。

はーい

これからコーヒータイム後の授業！やっと単体法に入れそうです。

気合いれてこーぜ！

山本

58

それでは「夏休み問題」を単体法で解こう。

６種類の基底変換のうち、実行可能領域におさまる、いわば許される基底変換は、下の２つだった。そこで疑問が産まれる…。

１）どれが許される基底変換かを見分ける方法は？ （６つのうち２つしか許されないのはなぜか？）

２）許される基底変換のうちどれを選べばいいのか？ （２つのうち、どちらを選べばいいのか？）

遠藤

６つのうち２つしか許されないのはなぜ？

保坂

最初の一手はどっち？

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ 1

λ 2

λ 3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

疑問１

疑問２

40 50 140

60

25

20

x1

x2

59

それを知るために単体表を描こう。じつは今までの表はニセモノ…なんちゃって単体表 だったのだ！

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ(1)(2)(3)

λ1

λ2

λ3

140100120

1 7 1 0 0 2 4 0 1 0 3 2 0 0 1

永倉

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 Z x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ

(1)

(2)(3)(4)

λ1

λ2

λ3

140100120

0 1 7 1 0 0 0 2 4 0 1 0 0 3 2 0 0 1

1 -3 -5 0 0 0

増加臨界 θi

0 Z

140/7=20100/4=25120/2=60

説明

なんちゃって単体表

本当の単体表

本当の単体表は下なの。今までの表と大きな違いは

(1) 基底変数の欄に Z が入ってること。(2) 変数の欄にも Z が入ってること。(3)増加臨界の欄が加わったこと。

「説明」の欄もついてるけど、これはあんまり関係ないわ。

60

Z の欄には何を入れればいいのだろうか？目的関数は Z=3x1+5x2 。それを変形して 0 = Z -3x1 -5x2 。よって Z の欄には 0 、変数の欄には 1, -3, -5, 0, 0, 0 を入れる。

永倉

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 Z x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ

(1)

(2)(3)(4)

λ1

λ2

λ3

140100120

0 1 7 1 0 0 0 2 4 0 1 0 0 3 2 0 0 1

1 -3 -5 0 0 0

増加臨界 θi

0 Z

140/7=20100/4=25120/2=60

説明

本当の単体表

この状態の意味は、 x1=x2=0 のとき Z=0 。つまり読書も買い物も 0 回で、うれしさも 0 ってこと。

山本

増加臨界の欄はどうやって埋めるの？

61

いま目的関数 Z の欄には 1 -3 -5 0 0 0 が入っている。書き直せば Z=3x1+5x2 。で、今のところ x1, x2 はどちらも 0 だ。基底変換して基底変数に組み入れれば、x1 も x2 も 0 より大きい正の値になる。

つまり、ここにマイナスがある限り、基底変換で解を改善できる んだ。

永倉

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 Z x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ

(1)

(2)(3)(4)

λ1

λ2

λ3

140100120

0 1 7 1 0 0 0 2 4 0 1 0 0 3 2 0 0 1

1 -3 -5 0 0 0

増加臨界 θi

0 Z

140/7=20100/4=25120/2=60

説明

本当の単体表

ここの説明、すごく大事だから、わからなかったらじっくり復習してね！

山本

あの…増加臨界の欄の話は？

62

さて、 Z の欄には -3,-5 という２つのマイナスがある。これは目的関数が Z=3x1+5x2 という意味だった。x1 を１つ増やすと Z が 3 つ増え、 x2 を１つ増やすと Z が 5 つ増える。

だから x1 と x2 を増やすチャンスがあるのなら、より係数の大きな x2 の方を増やしたほうが賢い。だから x1,x2 のうち、まず基底変換すべきなのは x2 なんだね！

永倉

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 Z x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ

(1)

(2)(3)(4)

λ1

λ2

λ3

140100120

0 1 7 1 0 0 0 2 4 0 1 0 0 3 2 0 0 1

1 -3 -5 0 0 0

増加臨界 θi

0 Z

140/7=20100/4=25120/2=60

説明

本当の単体表

山本さん、もう少しだからガマンして！

山本

私は忘れられてしまったの？

63

基底変換すべきは x2 とわかった。さて、 x2 はどこまで増やせるだろうか？これが「増加臨界」という意味だ。

結論から言えば、「基底変数の値」を「変数」の値で割った値を計算し、それらのうち、いちばん少ない値まで は x2 を増やせる。

本当の単体表式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 Z x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ

(1)

(2)(3)(4)

λ1

λ2

λ3

140100120

0 1 7 1 0 0 0 2 4 0 1 0 0 3 2 0 0 1

1 -3 -5 0 0 0

増加臨界 θi

0 Z

140/7 = 20100/4 = 25120/2 = 60

説明

最小の

値を選ぶ

60

25

20

x1

x2

永倉

図で言えば、これら３つの矢印のうち最小値の 20 を選んだ、ってことなの！これが増加臨界の欄の説明よ。わかった？

山本

はい

64

よって、最初の一手のピボットは、 x2,λ1 の交点なんだ。

これで最初の２つの疑問…１）どれが許される基底変換か？

（ Z の欄がマイナスで、かつ増加臨界が最小）２）どれを選べばいいか？

（ Z の欄のマイナスが最大で、かつ増加臨界が最小）

に答えたことになる。

本当の単体表式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 Z x1 x2 λ1 λ2 λ3

Ⅰ

(1)

(2)(3)(4)

λ1

λ2

λ3

140100120

0 1 7 1 0 0 0 2 4 0 1 0 0 3 2 0 0 1

1 -3 -5 0 0 0

増加臨界 θi

0 Z

140/7 = 20100/4 = 25120/2 = 60

説明

最小の

値を選ぶ

永倉

右の図で言えば、６つの矢印のうち２つしか許されず、しかも↑を選ぶべき、ってことよ！

x1

65

それでは単体表で ステップⅡまで 行ってみよう。

永倉

なんで灰色の欄に、100 1 -16/7 0 5/7 0 0が入ってるかわかる？ピボット行の -5倍を引いたから！

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 Z x1 x2 λ1 λ2 λ3

増加臨界 θi 説明

Ⅰ

(1)

(2)(3)(4)

λ1

λ2

λ3

140100120

0 1 7 1 0 0 0 2 4 0 1 0 0 3 2 0 0 1

1 -3 -5 0 0 0 0 Z

140/7 = 20100/4 = 25120/2 = 60

Ⅱ

(5)

(6)(7)(8)

x2

λ2

λ3

202080

0 1/7 1 1/7 0 0 0 10/7 0 -4/7 1 0 0 19/7 0 -2/7 0 1

1 -16/7 0 5/7 0 0 100 Z (1)-(6)*(-5)

(2) / 7(3) - (6)×4(4) - (6)×2

D C

B

AO

100

0x1

x2グラフでいうと次の一手を進んだんだ。

ピボット行

最小なのでピボット行が第１行になった

66

それではステップⅢまで 行ってみよう。

永倉

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 Z x1 x2 λ1 λ2 λ3

増加臨界 θi 説明

Ⅰ

(1)

(2)(3)(4)

λ1

λ2

λ3

140100120

0 1 7 1 0 0 0 2 4 0 1 0 0 3 2 0 0 1

1 -3 -5 0 0 0 0 Z

140/7 = 20100/4 = 25120/2 = 60

Ⅱ

(5)

(6)(7)(8)

x2

λ2

λ3

202080

0 1/7 1 1/7 0 0 0 10/7 0 -4/7 1 0 0 19/7 0 -2/7 0 1

1 -16/7 0 5/7 0 0 100 Z

20*7 =14020* 7/10 = 1480* 7/19 ≒ 30

(1)-(6)*(-5)

(2) / (7)(3) - (6)*4(4) - (6)*2

ピボット行

最小なのでピボット行が第２行になった

Ⅲ

(9)

(10)(11)(12)

x2

λ2

λ3

181442

0 0 1 1/5 -1/10 0 0 1 0 -2/5 7/10 0 0 0 0 4/5 -19/10 1

1 0 0 -1/5 8/5 0 132 Z (5)-(11)*(-16/7)

(6) - (11)*(1/7)(7) / (10/7)(8) - (11)*(19/7)

最小のマイナスなのでピボット列が第２列になった

C

B

AO

100

0x1

x2

132

67

ステップⅣ。 もう灰色の欄にマイナスがない。つまりこれ以上、改善する余地がない。したがって終了だ。

永倉

C

B

AO

100

0x1

x2

132

142.5

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 Z x1 x2 λ1 λ2 λ3

増加臨界 θi 説明

Ⅰ

(1)

(2)(3)(4)

λ1

λ2

λ3

140100120

0 1 7 1 0 0 0 2 4 0 1 0 0 3 2 0 0 1

1 -3 -5 0 0 0 0 Z

140/7 = 20100/4 = 25120/2 = 60

Ⅱ

(5)

(6)(7)(8)

x2

λ2

λ3

202080

0 1/7 1 1/7 0 0 0 10/7 0 -4/7 1 0 0 19/7 0 -2/7 0 1

1 -16/7 0 5/7 0 0 100 Z

20*7 =14020* 7/10 = 1480* 7/19 ≒ 30

(1)-(6)*(-5)

(2) / (7)(3) - (6)*4(4) - (6)*2

ピボット行

Ⅲ

(9)

(10)(11)(12)

x2

λ2

λ3

181442

0 0 1 1/5 -1/10 0 0 1 0 -2/5 7/10 0 0 0 0 4/5 -19/10 1

1 0 0 -1/5 8/5 0 132 Z

18*5 = 90

42* 5/4 = 52.5

(5)-(11)*(-16/7)

(6) - (11)*(1/7)(7) / (10/7)(8) - (11)*(19/7)

Ⅳ

(13)

(14)(15)(16)

x2

λ2

λ3

7.535

52.5

0 0 1 0 3/8 -1/4 0 1 0 0 -1/4 1/2 0 0 0 1 -19/8 5/4

1 0 0 0 9/8 1/4 142.5 Z (9)-(16)*(-1/5)

(10) - (16)*(1/5)(11) - (16)* (-2/5)(12) / (4/5)

最小のマイナスなのでピボット列が第２列になった

最小なのでピボット行が第３行になった

お疲れさま！

68

これで単体法の説明は終わり。みんな、わかったかな？１回でわからなければ、何度も読み返そう！

それではテストだ！

ええーっ！

土曜日にテストなんて追試以来だな！ドキドキするぜ！

69

ある会社では２つの製品 P1,P2 を作って、それぞれ１ kg あたり 100千円と 150千円で売っている。

製品 P1 を作るためには機械M1,M2,M3,M4 を用いる。製品 P2 を作るためには機械M2,M3,M4 を用いる。それぞれの製品を 1kg作るために必要な機械の使用時間は以下の通りである。また各機械の月間の、使用可能時間も示す。

売り上げを最大にするには、 P1,P2 の生産量を、それぞれどれだけにすればいいか、単体法で解け。

製品１ 2製品 利用可能時間

M1 2 0 90M2 3 3 150M3 1 3 120M4 3 4 180

売値 100 150

問１

どひー！ まず定式化しなきゃ…。森井

70

製品１ 2製品 利用可能時間

M1 2 0 90M2 3 3 150M3 1 3 120M4 3 4 180

売値 100 150

ある会社では２つの製品 P1,P2 を作って、それぞれ１ kg あたり 100千円と 150千円で売っている。製品 P1 を作るためには機械M1,M2,M3,M4 を用いる。製品 P2 を作るためには機械M2,M3,M4 を用いる。それぞれの製品を 1kg作るために必要な機械の使用時間は以下の通りである。また各機械の月間の、使用可能時間も示す。売り上げを最大にするには、 P1,P2 の生産量を、それぞれどれだけにすればいいか、単体法で解け。

Z = x1 + x2

x1+ x2 +λ1 =

x1+ x2 +λ2 =

x1+ x2 +λ3 =

x1+ x2 +λ4 =

まず定式化してみます。空欄を埋めてみましょう。正解は次のページです。

森井

71

製品１ 2製品 利用可能時間

M1 2 0 90M2 3 3 150M3 1 3 120M4 3 4 180

売値 100 150

ある会社では２つの製品 P1,P2 を作って、それぞれ１ kg あたり 100千円と 150千円で売っている。製品 P1 を作るためには機械M1,M2,M3,M4 を用いる。製品 P2 を作るためには機械M2,M3,M4 を用いる。それぞれの製品を 1kg作るために必要な機械の使用時間は以下の通りである。また各機械の月間の、使用可能時間も示す。売り上げを最大にするには、 P1,P2 の生産量を、それぞれどれだけにすればいいか、単体法で解け。

Z = 100x1 + 150x2

2x1+ 0x2 +λ1 = 90

3x1+ 3x2 +λ2 = 150

1x1+ 3x2 +λ3 = 120

3x1+ 4x2 +λ4 = 180

これが正解です。いよいよ次は単体表の作成！次のページを埋めてください。

森井

72

値 z x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4zλ 1λ 2λ 3λ 4

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4zλ 1λ 2x2λ 4

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4zλ 1λ 2x2x1

製品１ 2製品 利用可能時間

M1 2 0 90M2 3 3 150M3 1 3 120M4 3 4 180

売値 100 150

式の番号

ステップ

基底変数

基底変数の値

変数 Z x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3

増加限界θ i 説明

Ⅰ

(1)

(2)(3)(4)

λ 1

λ 2

λ 3

140100120

0 1 7 1 0 0 0 2 4 0 1 0 0 3 2 0 0 1

1 -3 -5 0 0 0 0 Z

140/7 = 20100/4 = 25120/2 = 60

Ⅱ

(5)

(6)(7)(8)

x2

λ 2

λ 3

202080

0 1/7 1 1/7 0 0 0 10/7 0 -4/7 1 0 0 19/7 0 -2/7 0 1

1 -16/7 0 5/7 0 0 100 Z (1)-(6)*(-5)

(2) / (7)(3) - (6)*4(4) - (6)*2

最小なのでピボット行が第１行になった

最小のマイナスなのでピボット列が第２列になった

大サービス！ 参考に｢夏休み問題｣の表を途中まで見せてあげる。これを参考にがんばって埋めて！ ３ステップで終わるわ。正解は次のページよ！

森井

73

値 z x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 0 1 - 100 - 150 0 0 0 0λ 1 90 0 2 0 1 0 0 0 -λ 2 150 0 3 3 0 1 0 0 50λ 3 120 0 1 3 0 0 1 0 40λ 4 180 0 3 4 0 0 0 1 45

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 6000 1 - 50 0 0 0 50 0λ 1 90 0 2 0 1 0 0 0 45λ 2 30 0 2 0 0 1 -1 0 15x2 40 0 0.333333 1 0 0 0.333333 0 120λ 4 20 0 1.66667 0 0 0 -1.33333 1 12

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 6600 1 0 0 0 0 10 30λ 1 66 0 0 0 1 0 1.6 - 1.2λ 2 6 0 0 0 0 1 0.6 - 1.2x2 36 0 0 1 0 0 0.6 - 0.2x1 12 0 1 0 0 0 -0.8 0.6

事情が許すなら、Excel を使うとずっとラクよ！

杉原

森井

これが正解…らしいです。

正解は x1=12, 　 x2=36 。そのとき目的関数 Z の値は 6600 。資源は機械M1 は 66 時間 ,機械M2 は 6 時間、余るということさ。

74

ある会社では２つの製品 P1,P2 を作って、それぞれ１ kg あたり 100千円と 150千円で売っている。

製品 P1 を作るためには機械M1,M2,M3,M4 を用いる。製品 P2 を作るためには機械M2,M3,M4 を用いる。それぞれの製品を 1kg作るために必要な機械の使用時間は以下の通りである。また各機械の月間の、使用可能時間も示す。

生産量を最大にするには、 P1,P2 の生産量を、それぞれどれだけにすればいいか、単体法で解け。

問２

生産量って、 x1+x2 のことよね。だから売値がそれぞれ１円と思えばいいの。すると定式化は…。

森井

製品１ 2製品 利用可能時間

M1 2 0 90M2 3 3 150M3 1 3 120M4 3 4 180

売値 1 1

問１をちょっとだけ変えて問２だ！

75

ある会社では２つの製品 P1,P2 を作って、それぞれ１ kg あたり 100千円と 150千円で売っている。製品 P1 を作るためには機械M1,M2,M3,M4 を用いる。製品 P2 を作るためには機械M2,M3,M4 を用いる。それぞれの製品を 1kg作るために必要な機械の使用時間は以下の通りである。また各機械の月間の、使用可能時間も示す。

生産量を最大にするには、 P1,P2 の生産量を、それぞれどれだけにすればいいか、単体法で解け。

空欄を埋めてみましょう。正解は次のページです。

森井 Z = x1 + x2

x1+ x2 +λ1 =

x1+ x2 +λ2 =

x1+ x2 +λ3 =

x1+ x2 +λ4 =

製品１ 2製品 利用可能時間

M1 2 0 90M2 3 3 150M3 1 3 120M4 3 4 180

生産量 1 1

76

これが正解です。やさしすぎた？でも単体表の作成は、けっこうホネよ！それでは、次のページを埋めてください。

森井 Z = 1x1 + 1x2

2x1+ 0x2 +λ1 = 90

3x1+ 3x2 +λ2 = 150

1x1+ 3x2 +λ3 = 120

3x1+ 4x2 +λ4 = 180

製品１ 2製品 利用可能時間

M1 2 0 90M2 3 3 150M3 1 3 120M4 3 4 180

生産量 1 1

ある会社では２つの製品 P1,P2 を作って、それぞれ１ kg あたり 100千円と 150千円で売っている。製品 P1 を作るためには機械M1,M2,M3,M4 を用いる。製品 P2 を作るためには機械M2,M3,M4 を用いる。それぞれの製品を 1kg作るために必要な機械の使用時間は以下の通りである。また各機械の月間の、使用可能時間も示す。

生産量を最大にするには、 P1,P2 の生産量を、それぞれどれだけにすればいいか、単体法で解け。

77

問１の正解を見せてあげる！今度も３ステップで終わるわ。

森井

値 z x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 0 1 - 100 - 150 0 0 0 0λ 1 90 0 2 0 1 0 0 0 -λ 2 150 0 3 3 0 1 0 0 50λ 3 120 0 1 3 0 0 1 0 40λ 4 180 0 3 4 0 0 0 1 45

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 6000 1 - 50 0 0 0 50 0λ 1 90 0 2 0 1 0 0 0 45λ 2 30 0 2 0 0 1 - 1 0 15x2 40 0 0.333333 1 0 0 0.333333 0 120λ 4 20 0 1.66667 0 0 0 - 1.33333 1 12

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 6600 1 0 0 0 0 10 30λ 1 66 0 0 0 1 0 1.6 - 1.2λ 2 6 0 0 0 0 1 0.6 - 1.2x2 36 0 0 1 0 0 0.6 - 0.2x1 12 0 1 0 0 0 - 0.8 0.6

値 z x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4zλ 1λ 2λ 3λ 4

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4zx1λ 2λ 3λ 4

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4zx1x2λ 3λ 4

製品１ 2製品 利用可能時間

M1 2 0 90M2 3 3 150M3 1 3 120M4 3 4 180

生産量 1 1

78

どう？そろそろ単体表にも慣れた？

杉原森井

これが問２の正解です。

値 z x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 0 1 - 1 - 1 0 0 0 0λ 1 90 0 2 0 1 0 0 0 45λ 2 150 0 3 3 0 1 0 0 50λ 3 120 0 1 3 0 0 1 0 120λ 4 180 0 3 4 0 0 0 1 60

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 45 1 0 - 1 0.5 0 0 0x1 45 0 1 0 0.5 0 0 0 -λ 2 15 0 0 3 - 1.5 1 0 0 5λ 3 75 0 0 3 - 0.5 0 1 0 25λ 4 45 0 0 4 - 1.5 0 0 1 11.25

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 50 1 0 0 0 0.333333 0 0x1 45 0 1 0 0.5 0 0 0x2 5 0 0 1 - 0.5 0.333333 0 0λ 3 60 0 0 0 1 - 1 1 0λ 4 25 0 0 0 0.5 - 1.33333 0 1

ちょっと待った！

79

実はもう１ステップ、進めることができる。いま第Ⅲステップの基底変数は λ3,λ4 で、 λ1,λ2 は非基底変数だ 。ところが λ1 の係数は 0 で、 λ2 みたいに正の値ではない。これは、まだ進んでいいというサインなんだ。

値 z x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 0 1 - 1 - 1 0 0 0 0λ 1 90 0 2 0 1 0 0 0 45λ 2 150 0 3 3 0 1 0 0 50λ 3 120 0 1 3 0 0 1 0 120λ 4 180 0 3 4 0 0 0 1 60

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 45 1 0 - 1 0.5 0 0 0x1 45 0 1 0 0.5 0 0 0 -λ 2 15 0 0 3 - 1.5 1 0 0 5λ 3 75 0 0 3 - 0.5 0 1 0 25λ 4 45 0 0 4 - 1.5 0 0 1 11.25

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 50 1 0 0 0 0.333333 0 0x1 45 0 1 0 0.5 0 0 0x2 5 0 0 1 - 0.5 0.333333 0 0λ 3 60 0 0 0 1 - 1 1 0λ 4 25 0 0 0 0.5 - 1.33333 0 1

λ で、かつ非基底変数なのに0 のものがある！

基底変数

基底変数

80

なぜかって？いま第Ⅲステップの Z の行を解読しよう。すると、 z=0×λ1 - 0.333333λ2 となっている。

つまり第Ⅲステップでは λ1 は非基底解で、値が 0 なのだが、λ1 にかかっている係数が 0 だから、λ1 を基底解に組み入れ、その結果 λ1 が正の値になっても、Z が小さくはならないからだ。

値 z x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 0 1 - 1 - 1 0 0 0 0λ 1 90 0 2 0 1 0 0 0 45λ 2 150 0 3 3 0 1 0 0 50λ 3 120 0 1 3 0 0 1 0 120λ 4 180 0 3 4 0 0 0 1 60

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 45 1 0 - 1 0.5 0 0 0x1 45 0 1 0 0.5 0 0 0 -λ 2 15 0 0 3 - 1.5 1 0 0 5λ 3 75 0 0 3 - 0.5 0 1 0 25λ 4 45 0 0 4 - 1.5 0 0 1 11.25

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 50 1 0 0 0 0.333333 0 0x1 45 0 1 0 0.5 0 0 0x2 5 0 0 1 - 0.5 0.333333 0 0λ 3 60 0 0 0 1 - 1 1 0λ 4 25 0 0 0 0.5 - 1.33333 0 1

z=0×λ1-0.333333λ2

81

だから第Ⅲステップから λ1 を基底に組み入れ、 λ4 を追い出したステップⅣもまた、立派な答えなんだ。

値 z x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 0 1 - 1 - 1 0 0 0 0λ 1 90 0 2 0 1 0 0 0 45λ 2 150 0 3 3 0 1 0 0 50λ 3 120 0 1 3 0 0 1 0 120λ 4 180 0 3 4 0 0 0 1 60

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 45 1 0 - 1 0.5 0 0 0x1 45 0 1 0 0.5 0 0 0 -λ 2 15 0 0 3 - 1.5 1 0 0 5λ 3 75 0 0 3 - 0.5 0 1 0 25λ 4 45 0 0 4 - 1.5 0 0 1 11.25

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 50 1 0 0 0 0.333333 0 0x1 45 0 1 0 0.5 0 0 0x2 5 0 0 1 - 0.5 0.333333 0 0λ 3 60 0 0 0 1 - 1 1 0 60λ 4 25 0 0 0 0.5 - 1.33333 0 1 50

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 50 1 0 0 0 0.333333 0 0x1 20 0 1 0 0 1.333333 0 - 1x2 30 0 0 1 0 - 1 0 1λ 3 35 0 0 0 0 1.666667 1 - 2λ 1 50 0 0 0 1 - 2.66667 0 2

杉原

具体的にはどういうことなんですか？

82

直感的には…。問２の領域は左図の着色部分だ。で、目的関数 Z=x1+x2 の値をできるだけ大きくしようとしたら、

Z=x1+x2

A

D

BC

Z=x1+x2

D

C

線 CD にぴったり重なってしまったんだね！このとき、線 CD上ならどこでも最適解だろ？

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 50 1 0 0 0 0.333333 0 0x1 45 0 1 0 0.5 0 0 0x2 5 0 0 1 -0.5 0.333333 0 0λ 3 60 0 0 0 1 -1 1 0 60λ 4 25 0 0 0 0.5 - 1.33333 0 1 50

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 50 1 0 0 0 0.333333 0 0x1 20 0 1 0 0 1.333333 0 -1x2 30 0 0 1 0 -1 0 1λ 3 35 0 0 0 0 1.666667 1 -2λ 1 50 0 0 0 1 -2.66667 0 2

Ⅲ

Ⅳ

ステップⅢが点 D 、ステップⅣが点 C なんですね！

杉原

点 D

点 C

83

だから、点 C と点 D を線形結合させた答えは、みんな答えなんだ。

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 50 1 0 0 0 0.333333 0 0x1 45 0 1 0 0.5 0 0 0x2 5 0 0 1 - 0.5 0.333333 0 0λ 3 60 0 0 0 1 - 1 1 0 60λ 4 25 0 0 0 0.5 - 1.33333 0 1 50

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 50 1 0 0 0 0.333333 0 0x1 20 0 1 0 0 1.333333 0 - 1x2 30 0 0 1 0 - 1 0 1λ 3 35 0 0 0 0 1.666667 1 - 2λ 1 50 0 0 0 1 - 2.66667 0 2

Ⅲ

Ⅳ

杉原

D

C

（ 45,5 ）

（ 20,30 ）

点 D

点 C

2030

ｋ 45 5

＋（１－ｋ）x1

x2

=

（ 0 k 1≦ ≦ ）

数式で書くと、こうなります…。

森井

グラフで書くと、こうです。

答えのグラフ

答えの数式

84

現実問題にはまれなケースかもしれないが、少なくとも理論上はこの問題のように、最適解が無数にある可能性を知っておく必要がある。

ちなみに、最適解が１つしかなかった 問１の解答 を見てみよう。最終ステップに、非基底変数で、かつ Z の行が 0 の λ がないだろ？だから問１の場合は、たしかにここで終了なんだね！

値 z x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 0 1 - 100 - 150 0 0 0 0λ 1 90 0 2 0 1 0 0 0 -λ 2 150 0 3 3 0 1 0 0 50λ 3 120 0 1 3 0 0 1 0 40λ 4 180 0 3 4 0 0 0 1 45

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 6000 1 - 50 0 0 0 50 0λ 1 90 0 2 0 1 0 0 0 45λ 2 30 0 2 0 0 1 - 1 0 15x2 40 0 0.333333 1 0 0 0.333333 0 120λ 4 20 0 1.66667 0 0 0 - 1.33333 1 12

x1 x2 λ 1 λ 2 λ 3 λ 4z 6600 1 0 0 0 0 10 30λ 1 66 0 0 0 1 0 1.6 - 1.2λ 2 6 0 0 0 0 1 0.6 - 1.2x2 36 0 0 1 0 0 0.6 - 0.2x1 12 0 1 0 0 0 - 0.8 0.6

基底変数 どちらも0 より大きい

杉原

わかりました。

森井

それでは次の問題にいきましょう！

85

シンプレックス法で次の線形計画問題を解け。

問３

もう λ を使っての定式化 ( 基底形式への変換 ) はいいわ。いきなり単体表を埋めてちょうだい。

森井

いよいよ最後だ。がんばれー。

目的関数

Z = 2x1 + 4x2 + x3 を 最大化したい

制約条件は

x1+ 2x2 4≦

2x1+ x2 3≦

x2+ 4x3 3≦

x1, x2, x3 0≧

86

この問題の表を見せてあげる。今度は４ステップかかるわ。

森井

製品１ 2製品 3製品 制限材料１ 1 2 0 4

2材料 2 1 0 33材料 0 1 4 3

利益 2 4 1

値 z x1 x2 x3 λ 1 λ 2 λ 3zλ 1λ 2λ 3

値 z x1 x2 x3 λ 1 λ 2 λ 3zx2λ 2λ 3

値 z x1 x2 x3 λ 1 λ 2 λ 3zx2λ 2x3

値 z x1 x2 x3 λ 1 λ 2 λ 3zx2x1x3

問３

87

これであなたも単体法をマスターしました！

杉原森井

これが問３の正解。つまりx1=2/3,x2=5/3,x3=1/3、そのとき z=25/3。

値 z x1 x2 x3 λ 1 λ 2 λ 3z 0 1 - 2 - 4 - 1 0 0 0λ 1 4 0 1 2 0 1 0 0 2λ 2 3 0 2 1 0 0 1 0 3λ 3 3 0 0 1 4 0 0 1 3

値 z x1 x2 x3 λ 1 λ 2 λ 3z 8 1 0 0 - 1 2 0 0x2 2 0 0.5 1 0 0.5 0 0 -λ 2 1 0 1.5 0 0 - 0.5 1 0 -λ 3 1 0 - 0.5 0 4 - 0.5 0 1 0.25

値 z x1 x2 x3 λ 1 λ 2 λ 3z 8.25 1 - 0.125 0 0 1.875 0 0.25x2 2 0 0.5 1 0 0.5 0 0 4λ 2 1 0 1.5 0 0 - 0.5 1 0 0.66667x3 0.25 0 - 0.125 0 1 - 0.125 0 0.25 - 2 <-これは選ばない！

値 z x1 x2 x3 λ 1 λ 2 λ 3z 8.333333 1 0 0 0 1.833333 0.083333 0.25x2 1.666667 0 0 1 0 0.666667 - 0.33333 0x1 0.666667 0 1 0 0 - 0.33333 0.666667 0x3 0.333333 0 0 0 1 - 0.16667 0.083333 0.25

問３の正解こりごりだぜ！

松岡

88

七瀬

あの日は結局、夕方７時まで勉強したので、クタクタになりました。こんなに苦労するようで、経営工学科でやってけるの？…と不安にもなりました。でも私は今日はっきりと、ほんとうに心の底から納得したのです。「経営工学は素晴らしい！」って。不思議なことにあの日、先生はその口癖を一度も言いませんでした。

これで第７話は終わりです。ありがとうございました。

来週は日本茶を

持ってきましょう。

あ、テレビみよ。

おい先公、寿司でもおごりなよ。

インスタントラーメン！

下賎な食べ物ね。 ノイズだらけじゃん。電波はいってないね。

理系のままでいればよかったかな…。

あ、もうこんな時間。たいへん、弟が…。

あの機械、何に使うんですか？

疲れた…。

マージャンできないのにマージャンマンガが好きなんですか？

ゴキブリ出ますよ。

掃除してください！