金融工学金融工学

• 裁定取引• オプション価格付け• ポートフォリオ最適化

良く聞かれます良く聞かれます

• 最適化の話をすると必ずと言っていいほど出るのが「最適な株の買い方を教えて下さい」

• 最適ってどういうこと？ などつっこみどころ満載なんですが、最も大きなずれは「最適化」と「予測」の違い　「最適な」ではなく、「最も儲かる（値上がりする）」株、あるいは「値上がりする確率の高い株」が知りたいのです。

• 予測は予測。未来のことを知ることはほぼ無理です。良い予測方法があるなら、こっちが知りたい

• では、「金融工学」は何をしているのでしょうか？

予測の難しさ、儲けることの難しさ予測の難しさ、儲けることの難しさ

• 将来を予測することは難しい　 どの企業が成長するか、予測するのは難しい

• 仮に予測できたとしても、その情報で儲けることもまた、難しい　 みんながその予測を知っていたら、その企業の株は妥当な価格まで値上がりしてしまう

• 儲けるためには「みんなは値上がりしないと思っているが、自分だけは値上がりすることが分かっている」という状況が必要。　これはなかなか難しいだろう。

金融工学の正義金融工学の正義

• 金融工学を理解するには、まずベースとなる価値観を知ることが大事

• 「金融工学」というと儲かることが全てのように感じるが、実は他の価値観がいくつもある　 「安全さ」「妥当さ」「頑強さ」．．．

• 各々の状況で何が最適化できるかを考えることが大事　（実問題では、儲けを最大化する問題設定は考えにくい）

オプションオプション

• 金融商品の一つにオプションというものがある

• ある証券／ものを、未来のある時点で、値段○○で売る（あるいは買う）権利（相手がその価格で買い取ってくれる）、という、権利に値段がついた商品である。

• 例えば、輸出を行う企業が、為替変動のリスクを減少させたいときに使う。　－ 円高が進むと、売却で得たドルで買える円が少なくなるので、あらかじめ「円を○○円で買える権利」を購入し、円高になったら権利を行使し、安い値段で円を買う。　－ 円安に振れたら「権利を行使しない」という選択肢がある

利得 価格

オプションの価格付けオプションの価格付け

• オプションは単なる権利なので、実現は簡単

• 問題は、いくらで売買すればいいのか分からないこと + 市場原理に従えば、株と同じく、適切な価格におち付くであろうことが予測される。 + しかし、マイナーな金融商品でマーケットへの参加者が少なく、見えにくい要因が絡むような場合、適正な価格形成が行われるとは考えにくい

• せめて、なんらかの基準価格の様なものが欲しいあるいは、ある程度機械的に得られる、妥当な価格が欲しい

　　（現在の価格と差異があれば、裁定取引をする）

予測と価格予測と価格

• オプションは、ある程度その証券の価格の予測ができないと、価格の決定は無理　 　何も分からないのであれば、何も妥当でない

• 逆に確率的な予測が有れば、その予測に基づいた価格は決められる

例） 30% で 100 円、 20% で 80 円、 50% で 120 円になると予測される証券に対する、「 90 円で買う権利」の値段

　 + 30% で 10 円得、 20% で損得なし、 50% で 30 円得なので　　利得の平均は 18 円。これがオプションの妥当な価格になる

より現実的な予測を使ってより現実的な予測を使って

• 先の予測は、離散的で、あまりに非現実的　 　実際の価格の予測は、ある主のモデルを仮定し、正規分布のようになるだろう

• 分布が分かれば、各事象の利得を確率積分して、妥当な価格が得られる。

　価格 Z のオプションの価格　　 ΣX Pr[X=k] × (max{k －Z,0})

• この積分がうまくできれば、価格が求まる

ブラックショールズ方程式ブラックショールズ方程式

• 株価の変動は、 1 単位時間に一定割合、上下すると考えられることが多い　 　価格 x が確率 p で αx になり、確率 1-p で (1 ／α ） x 、　　　　あるいは βx になる

• このときの時刻 T （権利を行使できる時刻）での価格の分布は、正規分布のような解析しやすい分布にはならない

• これを「ブラックショールズ方程式」につっこむと、積分値を解析的に求めることができる

• 詳細は確率の先生に聞いて下さい

アメリカンオプションアメリカンオプション

• 確率の変動がこのような場合でないときは、うまく積分できないことが多い　 その場合は、なんらかの計算的な方法で価格を　　　　求めるしかない + ありうる事象を列挙 + 価格シミュレーション + サンプリング．．．

• 好きなタイミングで権利を行使できるオプション（アメリカンオプション）でも、解析解を求めることは難しいので、同じアプローチが取られる• 算定が不正確な分、価格を高めに設定することが多いようだ

ポートフォリオポートフォリオ

• 複数の種類の株や証券を持つ、その持ち方のことをポートフォリオという　 例： A社の株を 100 株、 B社を 2000 株、国債を 2000口

• 過去の株価の推移から、将来の銘柄 j の価格の期待値 rj 、分散 σj 、株価の相関 σij などを調べることができる（期待値がどれほど正確かはあやしいが、分散や株価の相関はアテになるだろう）

• 株価の推移が相補的な株を買えば、分散を小さくできる　例： 輸入業と輸出業　（円高／円安に関して相補的）　　　 洋服会社と遊園地　（暖冬に関して相補的）

分散の最小化分散の最小化

• 仮に予測ができたとして、　儲けを最大化したい　 期待値最大の株を買う

• が、これでは安全性というものがない　収益の期待値が同じなら、分散が小さいほど良い　 大もうけもないが、大損もない。世の中、変動幅が　　大きいと言うこと自体が、コスト要因になる

• 複数種類の株を持つことで分散を小さくできるが、相関の高い株を選んでしまうと、分散は小さくならない　 最適化が必要

分散・共分散行列分散・共分散行列

• 要素 σij が、事象 i と j の共分散（相関係数）になっている行列 A を共分散行列という　（ σij ＝ E[ （ Ri-E[Ri] ）（ Rj-E[Rj] ） ] ）

• 銘柄 i を xi 買ったとすると、 cij xi xj が、銘柄 i と j を同時に買うことのリスクの指標になるだろう　　（ cii xi

2 は銘柄 i を買うこと自体のリスク）

• これの総和を最小化、期待収益は一定する、とすれば、凸２次計画になる　　　（分散共分散行列は半正定値なので）

　　　　 min Σij E[ （ Ri-E[Ri] ）（ Rj-E[Rj] ） ] 　＝　 xTA (=[σij] ） x

　　 s.t. 　 Σ rixi ρ≧ 、 Σ xi = 1 、 xi 0≧

分散共分散最小化分散共分散最小化

• これの総和を最小化する、とすれば、凸２次計画になる　 マーコビッツモデルという

• マーコビッツモデルは、凸 2次計画なので、 1000銘柄ぐらいまではなんとか解ける逆に銘柄選択肢が大規模な最適化になると解けない

• そうはいっても、世界規模のポートフォリオを最適化する、債権、先物、金属、通貨など複合的な金融商品を保有する、という場合には、多種の選択肢を準備する必要があるので、大規模問題が解きたい

行列の分解行列の分解

• 証券なり金融商品が複数のカテゴリ（国や種類）に分かれているときは、多くの場合、カテゴリ間の相関は低いことが多い　 問題を分解して、子問題を解き、相関がある部分を調整して、という作業を繰り返すアプローチが使える

• ただし、「全ての変数についていっぺんに解いた場合」よりも求解時間は長くなる。メモリに乗り切らない、という状況を回避できるところがよい

要因で動きを説明要因で動きを説明

• 証券同士の相関係数を全て調べなければならないのが、マーコビッツモデルのつらいところ

• 実際の所は、これほど各証券がたがいに異なる動きをして、複雑な要因を持っているわけではない　 例えば、「円高」「不景気」「猛暑」などのイベントと同じように連動することがおおい

• と思うと、実は各証券の動きは、いくつかの要因を使って簡単に説明できそうだ

• それなら、そのように説明された変数同士の相関はもっと簡単な形で表されるはず

マルチファクターモデルマルチファクターモデル

• 証券同士がいくつかのイベントの起こり方で説明できるのであれば、各証券をイベントの変数を使って表してしまおう

　　（銘柄 j の価格）　 Rj = αj + Σk βjkFk + εj

• 先の 2次計画の目的関数に上記の式を代入すると、イベント（ファクター）の数 K の 2乗個しか、 2次項が無くなる　 min Σi σj

2xj2 ＋ ΣΣ frsyrys

　　 s.t. yr = Σ βjkxj

　　　　 Σ rixi ρ≧ 、 Σ xi = 1 、 xi 0≧

定数

誤差（ばらつき度）

イベント k とどれくらい相関するか

大規模問題でも解ける

絶対偏差モデル絶対偏差モデル

• マーコビッツモデルは、目的関数が２次であるところがつらい　 ならば線形にしてしまおう

Σij E[ （ Ri-E[Ri] ）（ Rj-E[Rj] ） ] 　 Σi E[Ri-E[Ri]]

• 目的関数から相関の項が消えるので、いわば「独立な場合」を考えていることになる

• それでは少々やり過ぎなので、いくつかのシナリオを考えることにする　 各銘柄がこういう値を取る、というシナリオを T 個、およびそれらの確率 ft を考える

絶対偏差モデル定式化絶対偏差モデル定式化

• 目的関数は絶対偏差の和　 シナリオでの値の、平均からの乖離を全て足す　 Σj Rjt-E[Rj] 　を全ての t に関して足す （ ft で重み付けて）

min. ΣtΣi E[Rit-E[Ri]]

s.t. 　 Σ rixi ρ≧ 、 Σ xi = 1 、 xi 0≧

• 目的関数が線形になり、項の数も銘柄数に減ったが、シナリオ数の分だけ倍加されている

• なんにしても、それほど大きな数ではないので、現実的に十分解ける

ポートフォリオ再最適化ポートフォリオ再最適化

• ポートフォリオを最適化したあと、状況が変化したら　　（期待収益が減ったり、ファクターが追加されたり、、、）　ポートフォリオを組み直したくなる

• 理想的なポートフォリオにすればいいのだが、株や債権は売買するのに手数料がかかるので、なるべく売買が少なくなるようにしたい

• 売買手数料は、売買の数量に対して凹関数になっている　これだと最適化しにくいので、通常は線形関数で近似　 銘柄 j の 1 単位の売買手数料を cj とする

ポートフォリオ再最適化ポートフォリオ再最適化

• 定式化はいくつか。目的関数に係数を掛けた売買コストを持ってくるもの、期待収益＋売買手数料が一定となるようにするもの、など。

• 目銘柄 i の現在の保有数を vi とすると、以下のようになる

min. ΣtΣi E[Rit-E[Ri]] 　　（ + Σ ci|xi-vi| ） s.t. 　 Σ rixi （ - Σ ci|xi-vi| ） ≧ ρ 、 Σ xi = 1 、 xi 0≧

• 目的関数／制約に絶対値が入っているが、「絶対値を小さくする」　「絶対値が○○以下」というタイプなので、線形計画に変換できる

裁定取引裁定取引

• ある品物（証券）の価格が場所によって異なるとき、その価格差を利用してお金を得る取引のことを「裁定取引」という　 例： あるところで品物 A の価格が 5000 円、あるところでは 4000 円だったら、 4000 円で A を買い、 5000 円で売ることで 1000 円が儲かる

• 売買に多額のコストがかかる、品物以外のものにも価値があるような場合には、価格が異なる場合はあるが（コンビニは便利を提供することで価格が高くなっている）　基本的には、価格差があれば資本なしでお金が儲けられるので、このようなことは起きないとされている

• 円ドルなど、大量売買が低コストでできるときの議論

裁定機会裁定機会

• 裁定取引ができるチャンス（そういう状態になること）のことを裁定機会という

• 通常は裁定機会が存在すると、裁定取引が行われ、価格が上昇／下降して同じになるはず　（需要と供給が価格を決める原則より）。

• が、実際には情報や人の不均等により、そういうことが起こる

• 裁定機会を検出することは、儲けるためにも、市場の健全性を知る意味でも重要

裁定機会の検出裁定機会の検出

• ある品物についてのみ、裁定機会を検出するのは簡単。場所による価格差だけを調べればよい　（あとは、移動・売買コストさえはじきだせば、儲かるかどうか分かる）

• 品物が複数あり、互いに取引できる場合は自明でない　通貨取引がこの例に当たる

　例： 円ドルポンドユーロ円、と買ったときに、元の価格よりも増えたら裁定取引

　 任意の通貨間で売買取引ができてもよいし、　　取引ができないペアがあるのであれば、それが制約になる

ネットワークの構築ネットワークの構築

• 複数の品物間での取引ができるとき、レートを重みとしてネットワークを構築する　例：　頂点 ＝ 通貨　　通貨 A を 1 単位で、通貨 B が w 購入できる（手数料込みで）　　　　　 A から B へ、重み w の有向枝を張る

• 枝重みの積が正のサイクルがあれば、そのサイクルに沿って取引をすることで、お金を増やせる

• このようなサイクルが検出できると、裁定取引が検出できる

コストの付け替えコストの付け替え

• コストの付け替えを w - log w と変更する　 サイクルの枝の重み和 － （もとの枝重みの積の log ）

• このネットワークで重みが負のサイクルを見つけると、それが裁定機会になる

• 負重みのサイクルは、ベルマンフォード法で見つけられる　 コスト修正を n 回行ってもまだコストが下がるところが有れば、その頂点は負重みのサイクルに含まれる　 修正に荷担した枝を保存しておけば、それらが負重みのサイクルに含まれる枝になる（ネットワーク上で修正した枝をたどると負サイクルになる）

計算時間の算定計算時間の算定

• ベルマンフォード法の計算量は O(mn)

• 通貨の種類が 200 程度と思えば、計算コストは　　 200 ^3 = 800000 ステップ程度。計算時間は 0.01秒程度だろう

• 通貨の交換価格はリアルタイムで変化するが、これくらい高速で計算できるのなら、リアルタイムで裁定取引ができるかどうかをチェックすることもできるだろう

ヘッジファンドヘッジファンド

• ヘッジファンドはどうも正しく理解されていないらしい、、、

• 例えば、企業買収を行って役員を送り込み、株価を上げる、、、というスタイルのファンド（企業再生ファンド、バイアウトファンドなどという）は、ヘッジファンドではない

• ヘッジファンドは、「リスクをヘッジ（回避）」するファンド

• リスクはいろいろあるが、この場合のリスクは「市場の動き」

市場というリスク市場というリスク

• 「この企業はすばらしい」と思って投資しても、景気が悪くなれば必然的に株価は下がる　 この、市場全体が下がる、のがリスク

• 結局、「いい企業か悪い企業か」よりも、「市場全体がどう動くか」が重要なファクターになる　 世の中全体の動きを予測するのは難しい。そんなことができるなら誰も苦労しない　 つまり、それは予測できない。個別企業なら確信が持てるが

• 「市場に振り回されずに、企業価値にのみ依存する」ような投資がしたい、というのが、ヘッジファンドの起源

空売り空売り

• 株をもってない人が、株を売り、後日買い戻す、という取引を空売りという　（ある種実体を持たない、契約だけの取引）

　 「この銘柄の価格が下がる」と思ったときに、空売りをする

• 空売りは、危機に陥った企業などに対して集中的に行われるため、傾いた企業にとどめを刺してしまうこともある　（実際に保有していない人が、株を売れる、というところが問題）

　 世の中的には、問題扱いされることが多い

• しかし、上手に使えば、リスクを回避するために役立つ

空売りを使ったしかけ空売りを使ったしかけ

• 例えば、 2億円の資金があるとする

• この資金を使って、 1億円現物買いを行い、 1億円空売りをする

• いろんな銘柄を買えば、価格は平均的に動くので、市場の平均と同じような動きをすることになる

• つまり、買った株が市場平均と同じだけ上がり、売った株が市場平均と同じだけ下がるので、市場平均に対しては常に中立になる

• あとは、「市場平均よりも上がる」と思った株を買い、「市場平均よりも下がる」と思った株を空売りすればよい　 これが、「市場リスクを回避する」ヘッジファンドの仕組み

最近のテクニック最近のテクニック• 他にもいろいろな仕掛けがあるが、基本的にはどれも、「市場のメカニズム」を捕らえたモデルを用いている　 金融システムのモデリングです！

アービトラージ（裁定取引）： ある銘柄が異なる場所に上場されていて、その価格に差があるときに、片方を売り、片方を買う（）

イベントドリブン： ある銘柄に対してイベント（株式分割、合併など）がおこったとき、そのイベントにあわせた取引を行う

• 売りと買い（あるいは借金）を組合わせると、資金より大きなお金が運用できる。手持ち資金の 10倍のお金を運用すれば、 10% 値上がりすれば 2倍になる　 FX で大損するのは、この取引をしている人

まとめまとめ

• オプションの価格付け方法の紹介（シミュレーション、ブラックショールズ方程式）

• 最適ポートフォリオ問題 + 分散最小化（＝マーコビッツモデル、２次計画） + マルチファクターモデル + 手数料を小さくする再最適化

• 裁定機会の検出（負閉路の検出）

• ヘッジファンドの仕組み