新北市海山高中數理專班

楊南屏 ( 輔仁大學數學系 )100 年 12 月 27 日

數學的過去、現在與未來

數學是什麼？

Mathematics is the queen of sciences, but number theory is the queen of mathematics.

---- Carl Friedrich Gauss

(1777-1885)

Gauss 是歷史上最偉大的數學家、物理學家及天文學家

正整數

N 代表所有正整數的集合，亦即 N={1, 2, 3, -------}正整數可用於計數，如 3 個蘋果、 5 輛汽車等可於正整數 N 選取元素並定義運算

計數

若全班學生安排座號，自 1 號開始依序安排，且無空號，則最大座號代表全班人數。

觀察數字順序 86,87,88,----- ，則第 53 個數字為何？

The Well-Ordering Principle

若 M 為正整數 N 的非空子集合，則 M 必定含有最小元素。

Principle of Mathematical Induction ( 數學歸納法 )

令 M 為正整數 N 的子集合且 1 為 M 之元素，若 M 含有正整數 1, 2,3,-----k, 則 M 含有所有的正整數，即M=N 。

正整數的運算 ( 一 )

a,b 為正整數定義 a+b若 b 個 a 連續相加，則 a+a+a+-------+a = ba 運動用品店販賣運動鞋共有五種款式，每種款式各有7 個尺寸，考慮款式及尺寸共有幾種選擇？

乘法原理 ( 乘法定律 ) 某一物件若有 m 種形式， m 種形式中每一形式又有 k 種形式，則此物件共有mk 種形式。

正整數的運算 ( 二 )

英文字母 S, T, U, P, I, D 書寫成一列，共有幾種不同順序書寫方式？

自 100 至 999 所有正整數，三個位數均不同的數字之正整數共有幾個？

正整數的運算 ( 三 )

質數 (Prime Numbers) 令 p 為大於 1 的正整數，若 p的因數只有 1 及 p ，則 p 為質數

The Fundamental Theorem of Arithmetic( 算術基本定理 ) 若 n 為大於 1 的正整數， n 若不是質數，則 n 一定可表示為其質因數的乘積，除順序外乘積表示法唯一。

如何判斷一正整數是否為質數？ 存在無限多個質數？ (Yes)證明：若質數有限，則 ----

幾何與面積

正方形 ------------ 面積 = a^2 (a 為邉長 )

長方形 ( 平行四邊形 ) - 面積 = ab (a, b 為邉長 )

三角形 ------- 面積 = bh/2 (b 為邉長 ,h 表其高 )

正多邊形圓 ------------ 面積 = πr^2 (r 為半徑 )橢圓 -------- 面積 = πab (a,b 分別表長、短

軸 )

圓面積計算

r 為半徑的圓，面積為 πr^2 (Why?)內接正六邊形面積 ≒ 2.598r^2內接正六邊形面積 ≒ 2.828r^2內接正十二邊形面積 ≒ 3r^2內接正二十四邊形面積 ≒ 3.1058r^2

極限

內接正多邊形面積逐漸接近 πr^2