相似三角形

第十四中学 孔志君

相似三角形相似三角形教学目的

相似比

相似三角形

预备定理

例题二

例题一

课堂小结

课外作业课堂练习一

复习引入

课堂练习二

课堂练习三

退出

教学目的

理解相似形的概念；

理解相似比（或相似系数）的概念；

掌握定理：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

复习引入 1 、什么叫做全等三角形？

（能够完全重合的三角形叫做全等三角形。）

2 、全等三角形的对应边、对应角之间各有什么关系？

（对应边相等、对应角相等。 ）

相似三角形

对应角相等、对应边成比例的三角形叫做形状相同的图形，即相似三角形。

表示法：∽，读作“相似于”

若△ ABC 与△ A’B’C’ 相似，就记作：△ABC∽△A’B’C’

对应顶点一定要写在对应位置，这样可以准确地找出相似三角形的对应角和对应边。

定义：

如果△ ABC 与△ A’B’C’ 的相似比是 ，那么△ A’B’C’ 与△ ABC 的相似比是 。

相似比

k

相似三角形对应边的比 k ，叫做相似比（或相似系数）。

注意两点：

⑴ 两个相似三角形的相似比具有顺序性。

⑵ 只有△ ABC≌△A’B’C’ 时，△ ABC 与△ A’B’C’ 的相似比和△ A’B’C’ 与△ ABC 的相似比相同， 都等于 1 。这也说明了全等三角形是相似三角 形的特殊情形。

k

1

预备定理 图 1 中，如果 DE∥BC ，那

么∠ADE=∠B ，∠ AED=∠C ，

且 。

又因为∠ A=∠A ，∴△ADE∽△ABC 。

AC

AE

BC

DE

AB

AD

⑴ ⑵

A

D E

B C

E D

A

BC

图 2 中，当 ED∥BC 时，△ ADE∽△ABC 。

定理 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。

例题一 例 1 ⑴ 所有的等腰三角形都相似吗？所有的等边 三角形呢？为什么？ ⑵ 所有的直角三角形都相似吗？所有的等腰 直角三角形呢？为什么？

答： 1 、所有的等腰三角形不都相似。如下图中的两个等腰三角形就不相似；

所有的等边三角形都相似。因为每个等边三角形的角都等于 60° ，且三边都相等，所以任两个等边三角形的对应角相等，对应边成比例。因此所有的等边三角形都相似 .

正确的题目要加以证明

不正确的题目要举出反例

2 、所有的直角三角形不都相似，如下图中的两个直角三角形就不相似；

所有的等腰直角三角形都相似。因为每个等腰直角三角形中都有一个直角，两个 45° 的角，且两条直角边相等，斜边等于直角边的 倍，所以任两个等腰直角三角形的对应角相等，对应边成比例。因此所有的等腰直角三角形都相似。

2

例题二 例 2 如图，平行四边形 ABCD 中， E 、 F分别在 AD 和 CB 的延长线上，请写出图中所有的相似三角形。

解：∵ AB∥CD ， ∴△EDH∽△EAG ，△CHM∽△AGM ，△FBG∽△FCH 。 ∵AD∥BC ，∴△ AEM∽△CFM ，△AEG∽△BFG ，△ EDH∽△FCH 。

∴ 图中相似的三角形有：△ AEM∽△CFM ， △CHM∽△AGM ，△ EDH∽△EAG∽△FCH∽△FBG 。

E

D H C

M

AG B

F

一、已知：如图， ⑴△ABC∽△ADE ，其中 DE∥BC ；⑵△OAB∽△OA’B’ ，其中 A’B’∥AB ；⑶△ABC∽△ADE ，其中∠ ADE=∠B 。写出各组相似三角形的对应边的比例式。

课堂练习

AC

AE

BC

DE

AB

AD

AB

BA

OB

BO

OA

AO

⑴ ⑵ ⑶

A

D E

B C

B’ A’

O

A B

A

ED

B C

BC

DE

AB

AD

AC

AE

二、判断：

1 、如果两个三角形全等，则它们必相似。

2 、若两个三角形相似，且相似比为 1 ，则 它们必全等。 3 、如果两个三角形与第三个三角形相似， 则这两个三角形必相似。 4 、相似的两个三角形一定大小不等。

√

√

√╳

三、选择： 1 、如图， E 是平行四边形 ABCD 的边 AB 上一点， CE 交 BD 于 F ，且 CE 的 延长线交 AD 于 G 。则与△ AGE 相 似的三角形有 （ ） A 、 1 个 B 、 2 个 C 、 3 个 D 、 4 个 2 、如图， DF∥BC∥GE ， AF=FG=BG ，

则△ ADF 、△ AEG 、△ ACB 的相似比 是（ ） A 、 1∶1∶1 B 、 1∶2∶3 C 、 3∶2∶1 D 、 1∶3∶2

G

B AE

F

C D

F

A

B C

D

EG

B

B

3 、△ ABC 与△ DEF 相似，∠ A=60° ， ∠B=40° ，∠ D=80° ，则∠ E 的度数 可以是（ ） A 、 60° B 、 40° C 、 80° D 、 40° 或 60°4 、如图， AD∥EF∥BC ， GH∥AB ， 则图中与△ BOC 相似的三角形有 （ ）个 A 、 1 B 、 2 C 、 3 D 、 4

5 、如图，△ ABC∽△AED∽△AFG ， DE 是△ ABC 的中位线，△ ABC 与 △AFG 的相似比是 3∶2 ，则△ ADE 与△ AFG 的相似比是（ ） A 、 3∶4 B 、 4∶3 C 、 8∶9 D 、 9∶8

D A

F E

B

G

HC

O

G F

A

E D

B C

D

C

A

课堂小结

本课学习了相似三角形的有关概念，包括相似 三角形的定义、相似三角形的表示法、相似比等，以及定理： 平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。 这些内容是研究相似三角形的最基础的内容，务必牢牢掌握。

课外作业

1 、用相似三角形的定义证明： 全等三角形是相似三角形。2 、 5.3 A 组 第 2 题。