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Forza di interesseGeneralizzazione per leggi dipendenti da epoca iniziale e finale

Per definire la forza di interesse nel caso di leggi dipendenti dall’epoca iniziale efinale dell’operazione finanziaria, applichiamo il fattore di capitalizzazione !(#, %)ad un importo unitario (investito ovviamente all’epoca #).L’interesse prodotto dall’importo incrementando l’epoca finale di ∆% è

(),)*∆) = ! #, % + ∆% − !(#, %)

Con le ipotesi di continuità e differenziabilità su !(#, %), per ∆. sufficientementepiccolo, (),)*∆) può essere approssimato mediante il differenziale, questa voltacalcolato derivando parzialmente rispetto alla variabile %, cioè

(),)*∆) ≅0! #, %0% ∆%

ovvero, moltiplicando e dividendo per !(#, %)

(),)*∆) ≅ !(#, %)12 3,414

5(6,)) ∆% per ∆% → 0

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DefinizioneLa funzione

! ", $ ≔ &&' ln * ", $ =

,,-. /,'.(/,') (62)

Prende il nome di forza di interesse per operazioni finanziarie dipendentidall’epoca iniziale e finale.

È immediato verificare che la (62) può scriversi anche in termini di fattore diattualizzazione (forza di sconto) come

! ", $ ≔ − &&' ln 3 ", $ = −

,,-4 /,'4(/,') (63)

Infatti:

! ", $ = 55$ ln * ", $ = 5

5$ ln1

3 ", $ = 55$ ln 1 − ln 3 ", $

= − &&' ln 3 ", $




Analogamente a quanto fatto per la forza di interesse nel caso di leggi dipendentidalla sola durata, integrando entrambi i membri della (62) rispetto a ! esviluppando si ha

"#

$% &, ( )( = "

#

$ ++( ln . &, ( )(

= ln .(&, () #$

= ln . &, ! − ln .(&, &)= ln . &, !

dalla quale, infine

. &, ! = 2∫45 6 #,7 87 (64)

Con la (64), nota la forza di interesse, ricaviamo la legge di capitalizzazione.

Ricordando che vale la . &, ! = 9:(#,$) si ha

; &, ! = 2< ∫45 6 #,7 87 (65)

Con la (65), nota la forza di interesse, ricaviamo la legge di attualizzazione.




OsservazioneLa definizione della forza di interesse per leggi di due variabili consente diosservare che il prezzo del contratto a termine dipende dalla forma che laforza di interesse ha all’epoca ! di stipula del contratto stesso.Infatti dalla condizione di assenza di arbitraggio

" !, $, % = "(!, %)"(!, $) ,

sostituendo la (65) e sviluppando opportunamente

" !, $, % = )* ∫,- . /,0 10

)* ∫,2 . /,0 10

= )* ∫,- . /,0 103∫,

2 . /,0 10

= )* ∫,2 . /,0 10*∫2

- . /,0 103∫,2 . /,0 10

= )* ∫2- . /,0 10

dalla quale è evidente che la forma della forza di interesse è fissata all’epoca !.




Osservazione (segue)

Quanto appena osservato, può dedursi anche in modo diverso. Dalla! ", $ = !(", ') ) ! ", ', $

Applicando la funzione logaritmo e derivando rispetto all’epoca $, si ha

ln ! ", $ = ln !(", ') ) ! ", ', $= ln !(", ') + ln ! ", ', $

--$ ln ! ", $ = -

-$ ln !(", ') +--$ ln ! ", ', $

= --$ ln ! ", ', $

cioè--$ ln ! ", $ = -

-$ ln ! ", ', $

ovvero . ", $ = . ", ', $ . La forza di interesse non cambia quale che sia l’epocaintermedia ' nella quale il prezzo viene regolato.



Scindibilità per leggi finanziarie in due variabiliDefinizione

Ricordiamo che in ipotesi di assenza di opportunità di arbitraggio, per ! < # < $,vale la

% !, $ = % !, # ( % !, #, $ ⇔ * !, $ = * !, # ( * !, #, $nella quale % !, #, $ , fattore di capitalizzazione a termine, sottolinea la naturaprospettiva della relazione (si guarda cioè ai prezzi che le condizioni di mercatoall’epoca ! implicano per il futuro).

In termini retrospettivi, cioè dall’epoca # in poi – quando è noto il prezzo a prontifuturo % #, $ – la relazione può scriversi come:

% !, $ = % !, # ( % #, $ ⇔ * !, $ = * !, # ( * #, $ (66)

La (66) stabilisce che un capitale unitario investito all’epoca ! produce all’epoca $un montante uguale a quello che si otterrebbe investendo all’epoca ! il capitaleunitario, disinvestendo lo stesso ad una qualsiasi epoca intermedia # ereinvestendo immediatamente l’importo ottenuto fino all’epoca $.Una legge finanziaria che verifica la (66) si dice scindibile (secondo Cantelli).



Scindibilità per leggi finanziarie in due variabiliDefinizione

OsservazioneIn un mercato ideale in condizioni di certezza nel quale la legge finanziaria siascindibile valgono la

e la

Pertanto deve essere

(67)

cioè, il futuro fattore di capitalizzazione (il futuro prezzo) a pronti deve essereuguale al fattore di capitalizzazione (prezzo) a termine.

La relazione (67) costituisce una definizione alternativa di scindibilità ed è unacondizione, raramente verificata nelle situazioni di mercato reali, molto più fortedell’assenza di arbitraggio.

! ", $ = ! ", & ' ! ", &, $ ⇔ ) ", $ = ) ", & ' ) ", &, $

! ", $ = ! ", & ' ! &, $ ⇔ ) ", $ = ) ", & ' ) &, $

! &, $ = ! ", &, $ ⇔ ) &, $ = ) ", &, $



Scindibilità per leggi finanziarie in due variabiliDue teoremi fondamentali

TeoremaLa legge finanziaria in due variabili !(#, %) è scindibile se e solo se esiste unalegge di una variabile ' tale che

! #, % = )(*))(+) (68)

Dim.a) La condizione è sufficiente (cioè (68) ⟹ Scindibilità). Infatti

! #, % = '(%)'(#)

= '(/)'(#) 0

' %' / = !(#, /) 0 !(/, %)

b) La condizione è necessaria (cioè Scindibilità⟹ (68)). Infatti! #, % = !(#, /) 0 !(/, %)

non dipendendo il primo membro da /, poniamo / = /1 e scriviamo i fattori alsecondo membro come funzioni di una variabile, cioè ! #, /1 = 2(#) e ! /1, % ='(%).




Dim. (segue)

Segue

! ", $ = &(") ) *($) (69)

Se $ = ", ! ", " = 1 e la (69) diventa

1 = & " ) * " .dalla quale segue

& " = 1* " .

Sostituendo nella (69) si ha

! ", $ = 1* " ) *($)

cioè la (68).(c.v.d.)




Osservazione (Significato finanziario)Il teorema appena dimostrato è suscettibile della seguente interpretazione finanziaria:una legge in due variabili è scindibile se e solo se, nell’arco di tempo considerato(", $), essa può essere rappresentata come montante di proseguimento di unimporto unitario investito all’epoca ".Per comprendere il senso di tale affermazioni si consideri lo schema

Investendo un capitale unitario all’epoca ", si ottengono &(", $) unità di capitaleall’epoca $ ( ). Interpretando la legge ' come fattore di capitalizzazione, ilteorema stabilisce che, valendo la (68), ciò equivale ad attualizzare l’importounitario all’epoca 0 ( ) e a capitalizzare il valore attuale così ottenuto per unadurata pari a $ ( ).

0 " $

1 &(", $)1'(")

1'(") '($)



Scindibilità per leggi finanziarie in due variabiliTeorema di scindibilità (secondo Cantelli)

Teorema (Cantelli)La legge finanziaria in due variabili !(#, %) è scindibile se e solo se lacorrispondente forza di interesse dipende al più dall’epoca di disinvestimento %.

Dim.a) La condizione è necessaria (cioè ! #, % = ! #, ( ) ! (, % ⟹ + #, % = +(%)).

Infatti, dalla! #, % = !(#, () ) !((, %)

passando ai logaritmi e derivando rispetto a %, si haln ! #, % = ln !(#, () + ln !((, %)

//% ln ! #, % = /

/% ln !(#, () +//% ln ! (, %

dalla quale//% ln ! #, % = /

/% ln ! (, %cioè

+ #, % = + (, %Valendo l’uguaglianza quali che siano # e (, la forza di interesse dipende alpiù solo da %.



Scindibilità per leggi finanziarie in due variabiliTeorema di scindibilità (secondo Cantelli)

Dim. (segue)b) La condizione è sufficiente (cioè ! ", $ = !($) ⟹ ) ", $ = ) ", * + ) *, $ ).

Infatti, dalla! ", $ = !(*, $)

integrando la forza di interesse, per l’additività dell’ integrale si ha

,-

.! ", / 0/ = ,

-

1! ", / 0/ + ,

1

.! ", / 0/

= ,-

1! ", / 0/ + ,

1

.! *, / 0/

dalla quale, passando all’esponenziale

3∫56 7 -,8 98 = 3∫5

: 7 -,8 98;∫:6 7 1,8 98

= 3∫5: 7 -,8 98 + 3∫:

6 7 1,8 98

Ricordando che vale la (64) ) ", $ = 3∫56 7 -,8 98 , si ha la (66)

)(", $) = )(", *) + )(*, $)(c.v.d.)



Scindibilità per leggi finanziarie in due variabiliRegimi scindibili e non scindibili

1. Le leggi finanziarie del regime della capitalizzazione composta sonoscindibili. Per verificarlo si può procedere direttamente dalla (66)

! ", $ % ! $, & = 1 + * +,- % 1 + * .,+

= 1 + * +,-/.,+

= 1 + * .,- = ! ", &

In alternativa si può verificare la condizione calcolando la forza di interesse0(", &) e verificando che la stessa non dipende dall’epoca finale &, cioè

0 ", & = 33& ln !(", &)

= 33& ln 1 + *

.,-

= 1 + * .,- ln 1 + *1 + * .,- = ln 1 + *



Scindibilità per leggi finanziarie in due variabiliRegimi scindibili e non scindibili

2. Le leggi finanziarie del regime della capitalizzazione semplice non sonoscindibili. Infatti, dalla condizione (66)

!(#, %) ' ! %, ( = 1 + , ' % − # ' 1 + , ' ( − %≠ 1 + , ( − # = !(#, ()

In alternativa, calcolando la forza di interesse si osserva che questa dipende da ( e pertanto non verifica la condizione del Teorema di Cantelli

/ #, ( = 00( ln !(#, () =

00( ln 1 + , ' ( − # = ,

1 + , ' ( − #

3. Le leggi finanziarie del regime dello sconto commerciale non sono scindibili. Per verificarlo si può procedere direttamente dalla condizione (66)

!(#, %) ' ! %, ( = 3345' 647 '

3345' 846 ≠ 3

345' 847 = !(#, ()

In alternativa, calcolando la forza di interesse si osserva che questa dipende da ( e pertanto non verifica la condizione del Teorema di Cantelli

/ #, ( = 00( ln !(#, () =

00( ln

91 − 9 ' ( − # = 9

1 − 9 ' ( − #



Leggi finanziarie uniformi (o traslabili)Definizione

Sinora è stata analizzata la forza di interesse nel caso di leggi finanziarie di duevariabili.Interessa ora stabilire come sia possibile riformulare il teorema di Cantelli nel casodi leggi che dipendano dalla sola durata dell’operazione finanziaria.

Per far ciò premettiamo la seguente

Definizione (uniformità, o traslabilità)La legge finanziaria !(#, %) è detta uniforme (o traslabile) se

! #, % = !(% − #)cioè se essa dipende dalla sola durata dell’operazione finanziaria.

Esempio 26In ipotesi di struttura piatta dei tassi di interesse, le leggi finanziarie del regimedella capitalizzazione composta sono uniformi. Infatti:

! #, % = 1 + + ,-. = !(% − #)Allo stesso modo si può verificare che tali sono anche le leggi del regime dellacapitalizzazione semplice e dello sconto commerciale (sempre in ipotesi distruttura piatta).



Scindibilità per leggi finanziarie in una variabileDefinizione

Ci si chiede come la condizione scindibilità espressa dalla (66) per leggi di duevariabili possa essere riscritta nel caso di leggi che dipendono dalla sola duratadell’operazione finanziaria.

A tale scopo, si pongano:

!" ≔ $ − &!' ≔ ( − $

Se la legge ) è uniforme, si ha) &, $ = ) $ − & = ) !") $, ( = ) ( − $ = ) !') &, ( = ) ( − & = ) ( − $ + $ − & = ) !' + !" = ) !" + !'

Con tali posizioni, la condizione ) &, ( = )(&, $) / )($, () diventa:) !" + !' = ) !" / ) !' (70)

$!"

(&!'



Scindibilità per leggi finanziarie in una variabileTeorema di scindibilità (secondo Cantelli)

Enunciata la condizione di scindibilità per leggi che dipendono dalla sola durata, ilteorema di Cantelli può essere riformulato come segue

Teorema di Cantelli (per leggi di una sola variabile)La legge !(#) è scindibile se e solo se la corrispondente forza di interesse ècostante.

Dimostrazionea) La condizione è necessaria: (! %& + %( = ! %& * ! %( ⟹ , %& + %( = , %( = ,)Infatti, dalla

! %& + %( = ! %& * ! %(passando ai logaritmi

ln ! %& + %( = ln ! %& + ln ! %( .Derivando

00%(

ln ! %& + %( = 00%(

ln ! %& + 00%(

ln ! %( .

da cui, %& + %( = , %( ⟹= , .



Scindibilità per leggi finanziarie in una variabileTeorema di scindibilità (secondo Cantelli)

Dimostrazioneb) La condizione è sufficiente: (! " = ! ⟹ % "& + "( = % "& ) % "( )

Infatti, integrando entrambi i membri per una operazione di durata * si ha

+,

-! " *" = +

,

-!*"

+,

-. ln %( ")*" = !*

ln %( ") ,- = !* ⟺ ln%(*) − ln % 0 = !*ln %(*) = !* ⟺ % * = 67- (71)

Posto * = "& + "(,% "& + "( = 67 89:8;

= 6789:78;= 6789678;= % "& % "(

(c.v.d)



Scindibilità per leggi finanziarie in una variabileForma della legge di capitalizzazione per leggi scindibili

OsservazioneÈ immediato osservare che la funzione ! " = $%& verifica le seguenti condizioni:1) è continua e derivabile

2) ! 0 = 13) !) " = *! "

Si noti che la condizione 3) non esprime altro che la costanza della forza di interesse.Infatti, la 3) può scrivere come

!) "! " = *,

ma per definizione è

* " = , ln !(") = !) "! " .

L’analisi funzionale elementare dimostra che se esiste una funzione che godedelle proprietà 1), 2) e 3), essa è unica ed è tale da verificare la (70).

Infatti:




Unicità. Si supponga che esista una funzione !(#) che soddisfa le 1)-3). Allora:%%#

!& = !(& − &(!

&*= +,-.+-,

-/ = 0.La derivata prima della funzione rapporto ,(2)

-(2) è nulla. Pertanto la funzione,(2)-(2) è

costante. Poiché ,(3)-(3) = 1, segue che ,(2)-(2) = 1, cioè che ! # = &(#).

Verifica la (70) (& 56 + 5* = & 56 8 & 5* ). Infatti, sia 5* un arbitrario numero reale esi consideri la funzione

ℎ 56 = & 56 + 5*& 56

.

Si osservi che ℎ 0 = - 3:;/- 3 = & 5* . Si calcoli la derivata della funzione ℎ:

ℎ′ 56 = &( 56 + 5* & 56 − & 56 + 5* &′ 56&* 56

= =& 56 + 5* & 56 − & 56 + 5* =& 56&* 56

= 0




La derivata prima è nulla, pertanto la funzione ℎ è costante. Ma poiché ℎ 0 = $ %& ,la funzione è costantemente uguale a $ %& , cioè ℎ %' = $ %& .

Pertanto, essendo per definizione ℎ %' = ( )*+),( )*

, segue

$ %& = $ %' + %&$ %'

ovvero

$ %' + %& = $ %' $ %& .

(c.v.d.)




Osservazioni1. La (71) è finanziariamente consistente se ! > 0. In questo caso infatti $(&) > 1per & > 0.Si osservi anche che la (71) è già stata dedotta come relazione che lega ilfattore di capitalizzazione all’intensità istantanea di interesse nel regime dellacapitalizzazione composta [cfr. la (58)].

2. (Equità finanziaria) Un’operazione finanziaria si dice equa rispetto ad unassegnato regime finanziario scindibile se, comunque scelta un’epoca )intermedia tra quella iniziale e finale, l’equivalente finanziario all’epoca *delle prestazioni risulta uguale all’equivalente finanziario all’epoca * dellecontroprestazioni.Ne consegue che un’operazione finanziaria costituita da un numero finito dioperazioni finanziarie elementari eque è equa. Tale proprietà non vale per unalegge non scindibile.



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