体育の種目選択を最適化する

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2012年 5大学交流授業

「問題発見とモデル化」

体育の種目選択を最適化する

筑波大学社会工学類

黒田翔（B3）

2012年3月28日／於防衛大学校


Agenda

導入方法結果 Sys

概要：必修の体育での種目割り振りを数理的に決定する

目的：学生の満足度を向上させる・教職員の手間を省く

目標：最適化するプロセスをWebアプリケーションで実装し提案

導入：現状の把握・問題点を示す

方法：アンケートを基に実際の希望度を推定し，定式化する

結果： FICO の Xpress でモデルの最適化を行う

システム： PHPとlpsolveによってWebアプリケーションを構築する


筑波大学では…

（原則）所属と学年ごとに履修するコマが決まっている

- 例）社会工学類4年 → 月曜日3限（通年）


一つのコマ：履修者 = 400～500人 & 種目 = 12~15

- 例）月曜日3限 → 日本語・日本文化3年，生物資源3年，社会工学3・4年

オリエンテーションで種目選択

1. 希望の種目に集まる

2. 定員オーバーの種目で抽選が行われ，落ちた人は別の種目へ移動 → 1. へ

アスレティックトレーニング，インラインスケート，器械運動，サッカー

ジョグ&ウォーク，水泳，卓球，ダンス，テニス，バスケットボール，ハンドボール

フィットネストレーニング，フラッグフットボール，ボディ・ワーク，陸上競技


問題意識は?

既存研究

- 村土奈都弥氏問題発見と解決：「体育の種目決め最適化」 (2008)

⇒ 線形計画問題でモデル化（志望順位を得点化）

希望の種目が偏る

履修上限者数の存在（履修者は上限総数の80%～90%）

従来の種目選択


問題点 ⇒ 抽選に落ちると，

希望しない種目を履修しなければならない


基本のモデル


𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒 𝑢𝑖𝑗𝑥𝑖𝑗

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜 𝑥𝑖𝑗

𝑚

𝑗=1

= 1

𝑥𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1

≤ 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑗

𝑛 ∶ 履修者𝑖 の総数

𝑚 ∶ 種目𝑗 の数

𝑢𝑖𝑗 ∶ 希望度（学生𝑖が種目𝑗を履修）

𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑗 ∶ 第𝑗種目の履修上限 𝑥𝑖𝑗 ∶

1　学生𝑖が種目𝑗を履修0　otherwise　　　　

（履修する種目の希望度の総和）

（一人1種目を履修する）

（履修上限人数の制約）

整数計画問題

0-1


アンケート

目的：月曜日3限開設の種目に対するの推定

対象：学群生（主に社会工学類）

方法：メール（ML） → Webアンケート（Googleドキュメント）

実施期間： 2012年2月7日～13日


有効回答者数： 123名（男性94名 + 女性25名 + α）

種目同士の相関が存在

- 例：《男性》テニスとハンドボール r = 0.55 ( p<0.001 )

希望度に男女差がある

概要

結果

𝑢𝑖𝑗


希望度の平均値導入方法結果 Sys

人気度男性女性

1位テニス 3.41 インラインスケート 3.32

2位サッカー 3.28 ダンス 3.28

3位ハンドボール 3.14 テニス 3.24

4位フラッグフットボール 3.14 フィットネスTr. 3.00

5位アスレティックTr. 2.99 ジョグ&ウォーク 2.96

6位インラインスケート 2.98 フラッグフットボール 2.80

7位ジョグ&ウォーク 2.81 サッカー 2.68

8位フィットネスTr. 2.76 陸上競技 2.64

9位ダンス 2.45 器械運動 2.60

10位陸上競技 2.44 アスレティックTr. 2.52

11位器械運動 2.32 ハンドボール 2.40

12位水泳 2.24 水泳 1.72


データの生成

アンケート結果を基に履修者410名分のデータを生成する

条件

- 男女で希望度が異なるので，男女別で生成

- 男性293名・女性117名（推計）に合わせる

- 種目同士の希望度の相関を考慮する


方法

- 男女別でクラスター分析（k = 5）し，クラスタごとに平均値を計算

- 平均値に正規乱数を足してランダムなデータを生成


基本のモデル


希望度従来基本

5 200人 227人

4 153人 159人

3 51人 20人

2 6人 4人

1 0人 0人

平均 4.33 4.49


𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1


𝑚

𝑗=1

= 1

𝑥𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1


結果（従来との比較）

• 0-1 IPによって平均希望度が上昇した

• 低い希望度の種目に振り分けられる学生が減ったことが重要

use: Xpress


希望度の変換


希望度基本 𝑢𝑖𝑗 ln (𝑢𝑖𝑗) 𝑢𝑖𝑗2

5 227人 219人 219人 228人

4 159人 172人 172人 157人

3 20人 18人 18人 21人

2 4人 1人 1人 4人

1 0人 0人 0人 0人

平均 4.49 4.49 4.49 4.49


𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

　or　 ln (𝑢𝑖𝑗)𝑥𝑖𝑗

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

　or　 𝑢𝑖𝑗2 𝑥𝑖𝑗

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

𝑠𝑢𝑏𝑗𝑒𝑐𝑡 𝑡𝑜

• 平均希望度を保ったまま低い希望度の学生を減らすには，

希望度の平方根をとるか対数変換する

𝑥𝑖𝑗

𝑚

𝑗=1

= 1

𝑥𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1


use: Xpress


下限人数の制約


希望度基本モデル陸上≧12

5 227人 226人

4 159人 161人

3 20人 19人

2 4人 4人

1 0人 0人

平均 4.49 4.49


𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1


𝑚

𝑗=1

= 1

𝑥𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1


𝑥𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1

≥ 𝐿𝑜𝑤𝑒𝑟𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡𝑗

• 条件によっては，平均希望度を下げることなく制約を

追加できる（複数の最適解が存在する，陸上：11人→18人）

（履修下限人数）

LowerLimit ：履修下限人数

陸上競技（上限43人）の履修者数が11人

use: Xpress


男女比1:1 （その1）



𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1


𝑚

𝑗=1

= 1

𝑥𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1


• 男性の割合を上げるほど，平均希望度が逓減する

• 男女比を1:1にすると7人の希望度が1ずつ下がる

(𝑆𝐸𝑋𝑖 − 𝛼𝑗)𝑥𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1

≥ 0

SEX ：男性の場合1をとるダミー変数

α ：男性割合の下限

（男性下限割合） 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

4.4

04

.42

4.4

44

.46

4.4

8

lower male ratio

ave

rag

e

male >= 0%

mean = 4.485

male = 100%

mean = 4.398

male = 50%

mean = 4.468

α（ダンスの男性下限割合）

use: Xpress・R




𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

− 𝛽𝑖 1− 2𝑆𝐸𝑋𝑖 𝑥𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1

2𝑚

𝑗=1


𝑚

𝑗=1

= 1

𝑥𝑖𝑗

𝑛

𝑖=1


• ペナルティを強めていくと，

平均希望度が逓減 → 収束

SEX ：男性の場合1をとるダミー変数

β ：ペナルティの強さ

0.00 0.05 0.10 0.15

4.4

75

4.4

80

4.4

85

me

an

de

gre

e

parameter

35

40

45

50

55

60

ma

le r

atio

(%

)

β（ダンスのペナルティ強度）

男女比1:1 （その2）

（男女差にペナルティ）

use: Xpress・R


• WAMP（LAMP）

• Apache（サーバ）

• PHP（Web開発）

• SQLite（DB管理）

• lpsolve（ソルバー）

システムの概要


教職員

学生

Webページ

DB

ソルバー

Webアプリケーションにシステム化する


プログラムの構造


<html>

<body>

<h1>結果</h1>

<?php

$db = new PDO(“sqlite:monday3.db”);

$lp = lpsolve(“make_lp”, 0, 5000);

lpsolve(“add_constraint”, $lp, Array(1, 0, 0, …), GE, 1);

lpsolve(“solve”, $lp);

echo ( 最適化の結果 );

?>

</body>

</html>

HTML

PHP & SQLite

lpsolve


デモ


種目情報入力

（教職員）

希望度入力

（学生）

最適化

（教職員）

http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~kuroda90/works/pis/demo/demo.htm

Flashによるデモンストレーション


今後 …


SCIP（高性能のフリーMIPソルバー）への乗り換え

指定した友人と同じ種目を履修させる（QP）ことの検討

マルチエージェントシステム（MAS）によるシミュレーション

→ 友人と同じ種目を履修しようとする行動の再現

現在体育センターに提案しており，

アンケートを実施して実際の適合度を調査する予定

HPでレポート・システム・進捗状況等公開しています

「問題発見 kuroda」で Google検索するとヒットします


Reference

田村明久・松村正和「最適化法」 (2002)

今野浩氏「数理決定法入門キャンパスのOR」 (1992)

村土奈都弥問題発見と解決：「体育の種目決め最適化」 (2008)

Problem Identification & Solution

体育の種目選択最適化 Thank you

for

your attention!

筑波大学理工学群社会工学類経営工学主専攻黒田翔 200911337 E-Mail: [email protected]

Acknowledgment

吉瀬章子教授（システム情報工学研究科）

松元剛准教授（人間総合科学研究科）

高野昭子様（システム情報工学等技術室）

アンケートに協力して頂いた学生各位

http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~kuroda90/works/pis/

http://infoshako.sk.tsukuba.ac.jp/~kuroda90/works/pis/index.html


種目選択：慶應大学では…

出典：平成23年度履修登録当選結果(体育実技A／B) －慶應義塾大学体育研究科HP


システムのシーケンス図

最適化による

種目選択

希望度入力

種目情報入力

use: SEQUENCE


目的関数にペナルティを課す

AIC（ Akaike’s Information Criterion ）

AIC = -2ln(最大尤度) + 2(自由パラメータ数)

ペナルティ関数法（ penalty function method ）

元問題： minimize { f(x) | x∈S }

→ minimize f(x) + μP(x)

履修者の男女差をペナルティとして加えることは，

ペナルティ関数法と類似している


友人と同じ種目を選択できると満足度は…

大幅に上がる： 62名

少し上がる： 61名

変化なし： 3名

友人と同じ種目を履修するには（QP）

2次計画問題

- 127名中122名が友人を各1人指定したとすると，

114名 (57ペア) が同じ種目を履修することができる.

𝑚𝑎𝑥𝑖𝑚𝑖𝑧𝑒 (𝑢𝑖𝑗+𝑥𝑓𝑟𝑖𝑒𝑛𝑑𝑖𝑗)𝑥𝑖𝑗

𝑚

𝑗=1

𝑛

𝑖=1

127名の満足度のデータをクラスター分析にかける（k-means法・k=10）

同じクラスターの学生同士をペアにして友人と定義

要素が奇数のクラスターでは一人が「友人なし」（計5人）とする


アンケート

use: Google Document (Form)


アンケート結果～度数分布表《男性》

平均値 1 2 3 4 5 性差

フィットネスTr. 2.76 19 20 28 19 8

サッカー 3.28 11 15 25 23 20 人気性差あり

器械運動 2.32 28 31 18 11 6 不人気

Iスケート 2.98 13 17 30 27 7

ハンドボール 3.14 11 16 31 21 15 人気性差あり

テニス 3.41 7 16 24 25 22 人気

ダンス 2.45 28 27 16 15 8 不人気性差あり

アスレティックTr. 2.99 16 19 23 22 14

ジョグ&ウォーク 2.81 20 24 16 22 12

水泳 2.24 38 22 12 17 5 不人気性差あり

フラッグ 3.14 11 17 28 24 14 人気

陸上競技 2.44 23 28 24 17 2 不人気

平均希望度の差の検定（対応なし，Welchのt検定） use: R


アンケート結果～相関係数行列《男性》

FT Scr Apr Sk8 Hnd tns dnc AT Jog Swm FF

サッカー -.12

器械運動 .3 .0

スケート .28 .01 .34

ハンドボール -.11 .49 .09 .08

テニス -.02 .3 -.04 .17 .55

ダンス .24 .07 .16 .24 -.06 -.13

アスレティック .49 -.03 .34 .23 -.01 -.14 .18

ジョグ .47 -.26 .12 .15 -.21 -.19 -.1 .52

水泳 .12 -.15 .3 .34 -.02 -.16 .2 .18 .0

フラッグ -.07 .55 .04 .06 .53 .31 .11 .13 -.24 -.03

陸上競技 .07 .04 .22 .19 -.01 .05 .01 .09 .23 .16 .09

赤文字： p < 0.1% use: R


解析環境・ソフトウェア（Version）

OS: Windows 7

Xpress-IVE: 1.20.12

Xpress Mosel: 3.0.3

Xpress Optimizer: 20.00.21

R: 2.11.1

Apache: 2.2.17

PHP: 5.3.5

SQLite: 3.7.3

lpsolve: 5.5.2.0

Wink: 2.0

SEQUENCE: 20040120

オペレーティングシステム

Xpress-Moselのためのビジュアル開発環境

モデル作成・プログラミング言語

単体法・分枝限定法・（非線形用）

統計解析環境・言語

サーバ

Webページ作成用のプログラミング言語

データベース管理システム

MILPソルバー

動画キャプチャー

シーケンス図作成（jar）


アンケートを基にした分析用データの生成

クラスター分析（k-means法 ; k = 5）を男女別で行うことにより，

特定の複数種目の希望度が高い学生と低い学生に分けられる

各クラスタの個体数に応じて，そのクラスタを使用する割合を変える

希望度 ≡ クラスタの平均値 + 標準正規乱数*定数（パラメータ）

パラメータを変化させると，θ = 0.8程度で相関の再現度が高い

日本語・日本文化（40人）：男性42%・女性58%

生物資源（130人）： 54%・ 46%

社会工学（120人×2学年）： 86%・ 12%

男性293人・女性117人（合計：410人）


生成したデータ《男性：293人分》

平均値 1 2 3 4 5

フィットネスTr. 2.77 43 85 78 70 17

サッカー 3.31 13 54 89 102 35

器械運動 2.39 58 97 103 35 0

Iスケート 2.88 29 62 128 63 11

ハンドボール 3.16 19 56 103 90 25

テニス 3.37 15 54 82 91 51

ダンス 2.52 68 94 67 38 26

アスレティックTr. 2.91 48 56 84 85 20

ジョグ&ウォーク 2.66 68 70 74 57 24

水泳 2.33 56 116 90 29 2

フラッグ 3.20 17 60 103 72 41

陸上競技 2.52 40 104 113 30 6

平均値の周りに固まり過ぎている･･･本来であればMCMCでするべき?


最大の希望度と選択された希望度の関係

1 2 3 4 5

1 0 - - - -

2 0 1 - - -

3 0 3 15 - -

4 0 0 5 115 -

5 0 2 31 38 200

合計 0 6 51 153 200

← 履修する種目の

希望度

最大の希望度

（第一希望の種目の希望度）

1 2 3 4 5

1 0 - - - -

2 0 1 - - -

3 0 3 15 - -

4 0 0 5 115 -

5 0 0 0 44 227

合計 0 4 20 159 227

従来の

種目選択方法

基本モデル

（IP）


種目選択改善のアイデア

数名程度の定員オーバーは認めてほしい／上限フリー

大学の運動施設を学生が気軽に使える環境整備

履修に要する費用を少なくする

体育は選択科目にするべき

オリエンテーション前に過去の授業アンケートを公開

通年と単学期を区別／通年は飽きる

選択肢(種目)を増やす

種目ごとに授業時間(コマ)を変える

部活動・就職活動による欠席を認めるか否かを統一する

1年次に全ての種目を体験して理解する

学生が望む活動内容を事前アンケートによって伝える

人気のない種目は削除されるべき ※ 実施アンケートより


数理計画問題の体系

出典 : 後藤順哉氏(元・社会工学類，現・中央大学) 「H18マネジメント実習講義資料」

体育の種目選択を最適化する

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