171

10. УСТОЙЧИВОСТ НА РАВНОВЕСИЕТО НА ДЕФОРМИРУЕМИ СИСТЕМИ

10.1. Общи понятия за устойчивост и неустойчивост. Критични сили.

Критерий за устойчивост

10.1.1. Общи понятия за устойчивост и неустойчивост

Устойчивост се нарича свойството на една система да се връща сама в първоначалното си състояние, след като е била изведена от положението си на

равновесие. Разглежда се двустранно подпрян прът, натоварен със сили P (фиг. 10.1).

Докато силата е малка, в пръта възникват само натискови напрежения (фиг. 10.1а). При

определено значение на силата F се появява изкривяване на оста, а огъващият момент е

PWM ==== . Както е известно, напреженията от огъване са по-големи, бързо нарастват

(схема б), прътът се оказва натоварен на нецентричен натиск. Ако силата продължава

да расте този натиск бързо довежда системата до разрушение поради загуба на

устойчивост.

P

F

y

z

x

z

l

F

P====σσσσ )a

P P

l

W

x F

y

z

x

z z

yW

M

F

P++++====σσσσ

)б

1.10.Фиг

P

Следователно всяка система, в която действат натискови сили, трябва да се

проверява:

• по условие за якост;

• по условие за допустими премествания;

• по условие за загуба на устойчивост.

Предварително е трудно да се каже коя от тези проверки ще се окаже меродавна.

Тъй като загубата на устойчивост винаги е съпроводена с движение на точки от

системата, може да се твърди, че тя е динамично явление. Условно то може да се

представи на фиг. 10.2. Фигури 10.2а, 10.2б и 10.2г не се нуждаят от обяснение. Фигура

10.2в показва възможността топчето, което се намира в неустойчиво равновесие на

върха да премине в ново равновесно положение в десния улей, където да извършва

трептения с амплитуда ϕϕϕϕ , изменящи се както показва крива 3 от фиг. 10.2д. Криви 1 и 2

илюстрират съответно движението на топчето от 10.2а и 10.2б.

172

Вижда се, че поведението на различните системи при загуба на устойчивост е

различно. Някои се разрушават (предимно натиснати прътове). Други получават големи

премествания и преминават в ново равновесно положение (обшивката на самолетно

крило). Трети започват да извършват незатихващи трептения (висящи мостове при

натоварване от вятър, турбинни лопатки и др., при които възниква явлението „флатер”).

онеустойчив

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

устойчиво

равновесиена

положениеново обезразличн

)а )б )в )г

1

2

3

)д

2.10.Фиг

t

ϕϕϕϕ

На фиг. 10.3 е показано как се изменя силата P и Wmax при загуба на устойчивост

на пръта. До някаква стойност на силата, ∗∗∗∗P , преместването е равно на нула, след

което нараства по нелинеен закон (фиг. 10.3а).

∗∗∗∗P

P

maxW++++

maxW−−−−

)a

P P

l

maxW−−−− max

W++++

)б

3.10.Фиг

При това не е възможно да се предвиди дали Wmax ще бъде положително или

отрицателно. Изследванията показват, че ако силата P нарасне до ∗∗∗∗==== PP 004,1 , то

lW 055,0max

==== . Като се вземе под внимание, че hl 10≈≈≈≈ (h – височина на сечението),

173

излиза, че hW 55,0max

≈≈≈≈ , което е твърде много и често води до недопустими

напрежения в пръта. Именно затова, загубата на устойчивост е свързана често с

катастрофални разрушения.

На основание казаното по-горе може да се даде следното определение за

устойчивост и неустойчивост:

Ако на една система бъде дадено някакво произволно малко възможно

отклонение от нейното положение на равновесие и бъде оставена така, тя

започва да извършва трептения с непрекъснато растящи амплитуди или

преминава в ново положение на равновесие, се казва, че равновесието на

системата е неустойчиво.

Ако системата се върне в изходното положение или извършва около него

трептения с амплитуди, по-малки от началното отклонение, се казва, че равновесието е устойчиво. Основният общ теоретичен модел при устойчивост е следният:

• формата на системата е идеална (идеално прав прът, идеално кръгла тръба и

т.н.);

• материалът е идеално хомогенен;

• силите са приложени строго центрично.

10.1.2. Критични сили

Значенията на товарите, при които системата губи устойчивост, се наричат

критични Pкр. Допустимата сила, с която може да се натовари един натиснат прът, е:

[[[[ ]]]] ,уст

кр

n

PP ==== (10.1)

където nуст е коефициент на сигурност при устойчивост, който се задава за всеки

конкретен случай.

10.1.3. Критерии за устойчивост

10.1.3.1. Теорема на Лагранж – Дирихле. Ако в положение на равновесие на

една консервативна система нейната потенциална енергия е минимум, то

положението на равновесие е устойчиво.

Тази теорема води до т.нар. енергетически критерии за устойчивост, който

свежда всичко до изследване пълната потенциална енергия П

AUП −−−−==== , (10.2)

където

U – работата на вътрешните сили (т.нар. потенциална енергия на деформация);

А – работата на външното натоварване.

174

устойчиво онеустойчив обезразличн

maxW

maxW

0≥≥≥≥∆∆∆∆П

1П

П П

1П 0≤≤≤≤∆∆∆∆П

0====∆∆∆∆П

П

maxW

1П

)а )б )в

4.10.Фиг

Ако U нараства по-бързо от А, то (((( )))) 01

≥≥≥≥−−−−====∆∆∆∆ ППП , равновесието е устойчиво,

фиг. 10.4а. П1 е пълната потенциална енергия в положение на равновесие.

Ако работата на външното натоварване нараства по-бързо от U,

0≤≤≤≤∆∆∆∆→→→→≥≥≥≥ ПUA – равновесието е неустойчиво, фиг. 10.4б.

Ако A=U, 0====∆∆∆∆П , равновесието е безразлично, фиг. 10.4в. Това състояние

съответства на преминаването от устойчиво в неустойчиво равновесие.

Развива се П във вариационен ред

...2

1++++++++++++==== ПППП δδδδδδδδ , (10.3)

където ПП2

,δδδδδδδδ са съответно първа и втора вариация.

От принципа на възможните премествания е известно, че ако системата е в

равновесие, то 0====Пδδδδ . Тогава от (10.3) следва, че

ПППП2

1δδδδ====−−−−====∆∆∆∆ . (10.4)

От (10.4) и фиг. 10.4 се формулират следните енергетически критерии за

устойчивост:

.0

;0

;0

2

2

2

обезразличнеторавновесиеП

онеустойчиветоравновесиеП

устойчивоеторавновесиеП

→→→→====

→→→→≤≤≤≤

→→→→≥≥≥≥

δδδδ

δδδδ

δδδδ

(10.5)

Критерии (10.5) са валидни за произволна консервативна система сили.

10.2. Уравнение за равновесие на прът от действие на напречен товар и

осова сила при начално изкривяване на оста

Разглежда се греда, натоварена с произволен, разпределен напречен товар q(x) и

осова сила P. Приема се, че има някакво предварително изкривяване на оста W0(x), фиг.

10.5.

175

P P

W++++

x++++(((( ))))xW0

(((( ))))xW1

(((( ))))xW

(((( ))))xW2

x

O

1

1cos

sin

2

12

≤≤≤≤

≈≈≈≈

========

++++====

θθθθ

θθθθ

θθθθθθθθθθθθ tg

WWW

x++++

W++++

P M

dQQ ++++

qdx

dMM ++++

Q

P

(((( )))) (((( ))))dxWWWW 1010′′′′′′′′++++′′′′′′′′++++′′′′++++′′′′

10WW ′′′′++++′′′′

C

dx

(((( ))))10WWdx ′′′′′′′′++++′′′′′′′′

(((( ))))10

WWdx ′′′′′′′′++++′′′′′′′′

P

P

(((( ))))dxWWF10′′′′′′′′++++′′′′′′′′

5.10.Фиг 6.10.Фиг

dx

Преместването от напречния товар се означава с W1(x), а с W(x) –

преместването, предизвикано от осовата сила P. Приема се, че тези премествания са

малки.

От гредата се изрязва мислено един елемент с дължина dx (фиг. 10.6), върху него

се полагат действащите сили и се съставят условията за равновесие. Силата Q нараства

към подпората, а моментът М – към средата на гредата. Ъгълът на наклона на

тангентата към еластичната линия в двете сечения очевидно ще бъде различен, като

двата ъгъла ще се различават с (((( ))))dxWW10′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′ , както се вижда от схемата.

(((( )))) (((( ))))

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))∑

∑

====−−−−−−−−′′′′′′′′++++′′′′′′′′++++++++−−−−++++====

′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′++++====

====′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′++++++++++++−−−−====

02

:0

0:0

10

10

10

dQdxQdxWWPdxdx

qdxMdMMM

WWPxqdx

dQ

dxWWPqdxdQQQn

C

i

r

(10.6)

След премахване на малките членове от висок порядък се получава

Qdx

dM==== (10.7)

Диференцира се (10.7) и се замества (10.6)

(((( ))))102

2

WWPqdx

Md′′′′′′′′++++′′′′′′′′++++==== (10.8)

Вижда се, че зависимости (10.6), (10.7) и (10.8) са написани в отсъствие на

преместване, предизвикано от силата P, т.е. кр

PP ≤≤≤≤ .

От теорията на огъването е известна зависимостта

2211, WEIMWEIM ′′′′′′′′−−−−====′′′′′′′′−−−−==== (10.9)

176

където М1 и М2 са огъващи моменти, съответстващи на премествания W1 и W2.

Замества се (10.9) във (10.8), най-напред при предположение, че кр

FF ≤≤≤≤ , а след

това, при условие че е възникнало преместване W(x), т.е. кр

PP ≥≥≥≥ .

(((( )))) (((( )))) (((( ))))(((( )))) (((( )))) (((( )))).

;

202

101

WWPxqWEI

WWPxqWЕI

′′′′′′′′++++′′′′′′′′++++====′′′′′′′′−−−−

′′′′′′′′++++′′′′′′′′++++====″″″″′′′′′′′′−−−−

(10.10)

От първото уравнение на (10.10) се изважда второто:

(((( )))) (((( )))).2112

WWPWWEI ′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′====″″″″′′′′′′′′−−−−′′′′′′′′ (10.11)

Като се вземе под внимание, че (((( )))) (((( )))) (((( ))))xWxWxW12

−−−−==== се получава

0====′′′′′′′′++++′′′′′′′′′′′′′′′′ WPWEI (10.12)

Уравнение (10.12) е диференциално уравнение за равновесие на пръта.

Характерно за него е това, че началното провисване W0 и напречният товар q не

участват в него. Това означава, че върху устойчивостта на системата и размера на

критичния товар не оказват влияние предварителното изкривяване на оста и

напречният товар. Но това не означава, че осовата сила P не влияе върху огъването на

гредата.

Уравнение (10.2) ще има ненулево решение ( (((( )))) 0≠≠≠≠xW ), когато настъпи загуба

на устойчивост. Тогава товарът P добива критично значение.

10.3. Задача на Ойлер

Тази задача е решена за първи път през 1744 г. от Leonardn Euler (1707 – 1783) и

затова носи неговото име. За решението на задачата в по-общ вид ще се използва

уравнение (10.12).

Въвежда се означението:

EI

Pk ====2

. (10.13)

Получава се:

(((( )))) (((( )))) 02 ====′′′′′′′′++++′′′′′′′′′′′′′′′′ xWkxW . (10.14)

Приема се решение от вида (((( )))) rsexW ==== . Характеристичното уравнение и

неговите решения са:

ikrrrrrkr ================⇒====++++ 4321

224;00 .

Общото решение на (10.14) се представя във вида:

177

(((( )))) kxCkxCkxCCxW sincos4321

++++++++++++==== . (10.15)

Константите С1, С2, С3, С4 зависят от конкретната задача и се определят от

граничните условия.

За примера на фиг.10.7. те ще имат вида

(((( ))))(((( ))))

(((( ))))(((( ))))

0sin0

sindet

0sin0

0sin0

0000

000

22

4

42

31

3

2

31

====−−−−

⇒

====−−−−→→→→====′′′′′′′′

====++++→→→→====

========⇒

====−−−−→→→→====′′′′′′′′

====++++→→→→====

klk

klkl

klkClW

klCklClW

CCCkW

CCW

P P

l

7.10.Фиг

P P

l

1====n

2====n

3====n4

C

8.10.Фиг

3P

2P

крPP ====1

О

4maxCW ====

тустойчивос

неназона −−−−

тустойчивос

назона

9.10.Фиг

От първите две гранични условия се намират константите С1 и С3. От третото и

четвъртото гранични условия следва, че за да има загуба на устойчивост, трябва 0≠≠≠≠W ,

което е възможно само ако С2 и С4 са различни от нула. Тривиалното решение на

получената система С2= С4 не е интересно. Условието за нетривиалност на решението е

det=0.

178

След развитие на детерминантата се получава:

(((( ))))..3,2,10sin0sin.2 ========⇒====⇒====−−−− nnklklklkkl ππππ . (10.16)

Замества се (10.13) в (10.16) и се получава:

2

22

l

EInPn

EI

Pl n

ππππππππ ====⇒==== . (10.17)

Израз (10.17) показва, че при такива стойности на P, съществуват изкривени

форми на равновесие. Интерес представлява най-малката стойност на силата P, при

което прътът започва да се изкривява, т.е. при n=1. Критичната сила е:

.2

2

1l

ЕIPPPкр

ππππ========≡≡≡≡∗∗∗∗ (10.18)

Тази критична сила е известна в литературата като Ойлерова сила.

От третото гранично условие следва, че С2=0, и следователно от (10.15) се

получава

(((( ))))l

snCsW

ππππsin

4==== . (10.19)

От израз (10.19) се вижда, че формата на оста на загубилия устойчивост прът е

синусоида с една, две и т.н. полувълни, в зависимост от числото n=1,2,3... и т.н.

Максимално възможната амплитуда е Wmax=C4. Теоретично възможните форми на оста

при загуба на устойчивост за първите три стойности на n са показани на фиг. 10.8.

Следователно в система с разпределена маса съществуват безброй много форми на

равновесие, от които устойчива е само първата, а всички останали са неустойчиви

(фиг.10.9).

Необходимо е да се обърне внимание на някои аномалии на решение (10.19).

Преди всичко чрез него не може да се определи големината на 4max

CW ==== , тъй като не

съществува връзка между P и W(x).

Вторият недостатък на решението се проявява, ако се допусне, че силата P е

малко по-голяма от критичната. Тогава:

0sin ≠≠≠≠⇒≠≠≠≠ klkl ππππ

и за да се удовлетвори четвъртото гранично условие, трябва 0max4

======== WC . Това

означава, че при кр

PPP ======== 1 прътът се изкривява (губи устойчивост), а при нарастване

на силата той се изправя, което противоречи на опита и здравия разум.

Причина за горните противоречия е обстоятелството, че при големи

премествания (каквито настъпват след достигане кр

PP ≥≥≥≥ ), W ′′′′ не може да се

пренебрегва в уравнението на еластичната линия и това уравнение трябва да има вида:

179

(((( )))) (((( ))))321 W

EI

MxW ′′′′++++−−−−====′′′′′′′′

Тогава задачата става нелинейна и нейното решение е по-сложно, качествено

различно от изложеното.

10.4. Зависимост на критичната сила от начина на закрепване на пръта

Установи се, че Ойлеровата сила съответства на еластичната линия на

загубилия устойчивост прът с форма на половин синусоида. Този случай съответства

на двустранно ставно подпиране. При други случаи на подпиране на пръта граничните

условия се променят и Pкр ще има друга стойност. Но решаването на голям брой случаи

може да се сведе до задачата на Ойлер. Разглеждат се случаите на подпиране, показани

на фиг.10.10.

В първия случай (фиг. 10.10а), прът с дължина l има два допълнителни радиални

лагера на разстояние 3/l от опорите. При загуба на устойчивост той ще се огъне по три

синусни полувълни. Във втория случай (фиг. 10.10б), прътът е запънат в десния край, а

в левия е свободен. За да се превърне неговата еластична линия в половин синусоида

при загуба на устойчивост, трябва дължината да се увеличи двойно. Ойлеровата сила,

написана за двата случая ще бъде:

(((( ))))2

2

)

2

2

)

2;

3

1 l

EIP

l

ЕIP б

кр

а

кр

ππππππππ====

==== .

P P

l

3/l 3/l3/l

)a

l

l2

P

)б

10.10.Фиг

Очевидно е, че и при други случаи на подпиране критичните сили ще се

различават една от друга само по коефициента пред l в знаменателя, който показва

колко трябва условно да се удължи или скъси дължината на пръта, за да се превърне

формата на неговата еластична линия в половин синусоида. Следователно Ойлеровата

формула може да се обобщи така:

(((( ))))2

min

2

l

ЕIPкр

µµµµ

ππππ==== , (10.20)

където µµµµ се нарича коефициент на приведена дължина и е числото, което показва

колко пъти еластичната линия на конкретния натиснат прът се нанася в половин

синусоида.

180

min

I е минималният инерционен момент на сечението, тъй като е очевидно, че

загубата на устойчивост ще настъпи именно в направлението на минималната коравина

на пръта.

На фиг. 10.11 са показани някои често срещани случаи на подпиране и

съответните коефициенти µµµµ , определени по посочения по-горе начин.

P

l

1====µµµµ

P

2====µµµµ

P

P P

2/l

2/l

2/1====µµµµ 2====µµµµ 1====µµµµ 2/1====µµµµ 4/1====µµµµ

P P

s

7,0====µµµµs

11.10.Фиг

P

Не при всички случаи на подпиране и натоварване коефициентът µµµµ може да се

определи по посоченото правило, тъй като не винаги може да се каже каква точно част

от половин синусоида е еластичната линия. Такъв е например последният случай на

фиг. 10.11. Чрез неговото решение се демонстрира начинът на използване на уравнение

(10.12) при нетривиални случаи на натоварване.

Решението на (10.12) е:

(((( )))) ksCksCksCCxW sincos4321

++++++++++++==== ,

където константите се определят от следните гранични условия:

(((( )))) (((( ))))

(((( ))))(((( ))))

.0cos1

sindet;

0cos0

0sin0

0000

42

42

31

========++++→→→→====′′′′

====++++→→→→====

========⇒====′′′′′′′′====

kl

klkl

klkCkClW

klCklClW

CCWW

Условието за нетривиалност на решението ( 0,42

≠≠≠≠CC ) води до анулиране на

детерминантата в получената система от две уравнения. Развитието на детерминантата

дава трансцедентното уравнение

kltgkl ====

Решението му се извършва графично, като се представя лявата и дясна част като

две функции - klftgklf ======== 21; , (фиг.10.12.). Първия корен, 0====kl , отговаря на

тривиално решение и не представлява интерес. Втората пресечна точка е при 49,4====kl

и този корен съответства на първата критична сила. Останалите корени (пресечни

181

точки), които са безброй много, отговарят на неустойчиви форми на равновесие и също

се игнорират.

Получава се:

(((( ))))7,0

7,0

49,449,4

2

2

2

2

====⇒≈≈≈≈====⇒==== µµµµππππ EI

l

EIP

EI

Pl

кр.

kl

1f

2f

1f

2f

2

ππππ ππππ

2

ππππ−−−−

49,4====kl

12.10.Фиг

В някои случаи, при по-голям брой участъци и при специфични гранични

условия, е по-удобно използването на опростеното диференциално уравнение, както е

направено в следващия пример.

ПРИМЕР 10.1. Да се определи Pкр за

запънат в единия край прът, натоварен

посредством недеформируем лост с дължина а

от сила P.

РЕШЕНИЕ: При загуба на

устойчивост прътът ще се огъне, а силата P ще

се предава по направление на

недеформируемия прът. Разлага се на

l a

(((( ))))xW

x

f

a

fP

P

1P

W

PEI

x

13.10.Фиг

182

a

fPPP ,

1≈≈≈≈ . Моментът в произволно сечение е:

(((( )))) (((( )))) (((( ))))xla

fPWfPxM y −−−−−−−−−−−−−−−−==== .

Този момент се записва в опростеното диференциално уравнение на еластичната

линия

(((( )))) (((( )))) (((( ))))xla

fPWfPMxWEI y −−−−++++−−−−====−−−−====′′′′′′′′ .

Означава се EI

Pk ====2

.

−−−−++++====++++′′′′′′′′

a

xlfkWkW 1

22.

Решението на това диференциално уравнение е:

(((( ))))

−−−−++++++++++++====

a

xlfkxCkxCxW 1cossin

21.

Неизвестните константи се определят от следните гранични условия:

(((( ))))

(((( ))))

(((( ))))

++++====⇒====

====++++→→→→====

====−−−−→→→→====′′′′

====

++++++++→→→→====

l

akltgkl

klCklCflWa

lfkCW

a

lfCW

10det;

0cossin

000

0100

21

1

2

.

Условието за ненулево решение изисква детерминантата на получената система

уравнения спрямо С1, С2, f да бъде равна на нула. Оттам се получава показаното по –

горе трансцендентно уравнение, чието решение дава Pкр като функция от отношението

l

a . При 0====

l

a се получава 7,0====µµµµ , а при 2====∞∞∞∞→→→→ µµµµ

l

a.

Решеният пример е характерен, защото силата P не се предава директно, а чрез

междинно звено. Оказва се, че Pкр зависи от дължината на това звено, което при

изкривяване на пръта мени своето направление. Следователно устойчивостта на пръта

зависи не само от условията на закрепване на пръта и силата P, но и от нейното

поведение при малки отклонения от равновесното състояние. Обикновено се приема, че

силата P остава успоредна на недеформираната ос на пръта.

183

Област на приложение на формулата на Ойлер

Установи се, че формула (10.20) дава резултати, лишени от съществени

недостатъци само при малки премествания (такива, при които е възможно

пренебрегването на W ′′′′ ). Това означава, че трябва да е валиден законът на Хук, т.е.

критичното напрежение да е под границата на пропорционалност при натиск:

(((( )))) p

кр

кр

Fl

ЕI

F

P−−−−≤≤≤≤======== σσσσ

µµµµ

ππππσσσσ

2

min

2

,

където F е напречното сечение на пръта. Известно е, че отношението 2

min

min iF

I==== (

2

mini –

минимален инерционен радиус).

Въвежда се означениетo:

mini

lµµµµλλλλ ==== , (10.21)

което се нарича стройност на пръта. С (10.21) се замества в израза за критичното

напрежение и се получава, че за да е валидна формулата на Ойлер, необходимо е да е

изпълнено условието:

р

гр

Е

−−−−

≥≥≥≥σσσσ

ππππλλλλ (10.22)

Тази стройност се нарича гранична, а формула (10.22) е известна като формула

на Лашарл (Франция, 1845). Както се вижда, граничната стройност зависи само от

физико-механичните качества на материала. За обикновена нисковъглеродна стомана

100≈≈≈≈гр

λλλλ .

За всяка конкретна задача по (10.21) се изчислява λλλλ и се сравнява с (10.22). Ако

грλλλλλλλλ ≥≥≥≥ , тогава силата, с която е допустимо да се натовари прътът е:

(((( ))))2

min

2

ln

ЕI

n

PP

устуст

кр

µµµµ

ππππ====≤≤≤≤ , (10.23)

където уст

n е коефициент на сигурност.

10.5. Устойчивост на прът при наличие на пластични деформации. Теория

на Карман

Установено беше, че формулата на Ойлер е валидна само когато прътът не

получава пластични деформации, т.е. за стройни, тънки и дълги прътове.

Допуска се, че загубата на устойчивост настъпва при напрежение:

sF

P−−−−≥≥≥≥==== σσσσσσσσ 0

.

184

Прътът започва да се изкривява в направление на по-малката коравина, при

което в една част от сечението натисковите напрежения ще нарастват (зона на

претоварване I), а в останалата – ще намаляват (зона на разтоварване II).

непретоварва

назона

неразтоварва

назона

x

zн

σσσσ∆∆∆∆

Е

1Е

0σσσσ

1σσσσ∆∆∆∆

14.10.Фиг

n n 0σσσσ

εεεε++++

σσσσ++++

αααα

p−−−−σσσσs−−−−σσσσ

1αααα

t

k

)а )б

В зона II модулът на еластичност ще бъде ααααtgE ==== (фиг. 10.14а), но в зона I,

поради претоварване на частта от сечението, напреженията ще бъдат по-големи от 0

σσσσ и

ако към работната точка k с напрежение 0

σσσσ се прекарва тангента към кривата εεεεσσσσ / , то

тя ще сключва с ос εεεε ъгъл αααααααα ≤≤≤≤1. За тази точка се въвежда т.нар. местен модул на

еластичност EEtgE ≤≤≤≤==== 111,αααα . Поради това, че EE ≠≠≠≠1

, неутралната линия n – n

се измества спрямо центъра на тежестта.

Придържайки се към теорията на Карман се приема, че сеченията след

деформацията остават равнинни. Това означава, че относителните линейни

деформации в двете зони на сечението са еднакви, т.е. III εεεεεεεε ==== . Прилага се законът на

Хук и се получава:

III

III EEEE

σσσσσσσσσσσσσσσσ

∆∆∆∆≤≤≤≤∆∆∆∆⇒≤≤≤≤∆∆∆∆

====∆∆∆∆

1

1

; ,

т.е. изменението на напреженията в двете зони при загуба на устойчивост е различно

(фиг. 10.14). Загубилият устойчивост прът ще се огъне с някакъв радиус на кривина ρρρρ :

(((( )))) zE

zE

IIIρρρρ

σσσσρρρρ

σσσσ ====∆∆∆∆−−−−====∆∆∆∆ ;1 . (10.24)

Карман приема, че при загуба на устойчивост деформациите са малки.

Нормалната сила N не се променя, т.е.

0111

1====

++++−−−−====∆∆∆∆++++∆∆∆∆====∆∆∆∆====∆∆∆∆ ∫∫∫∫∫

IIIIII FFF

II

F

I

F

zdFEzdFEdFdFNρρρρ

σσσσρρρρ

σσσσρρρρ

σσσσ .

Като се вземе под внимание, че II

F

I

F

SzdFSzdF

III

======== ∫∫ , , където III SS , са

статичните моменти на двете зони спрямо неутралната линия, се получава:

185

III ESSE ====1. (10.25)

Тъй като напрежението 0

σσσσ , а следователно и положението на точка k в

диаграмата εεεεσσσσ / е известно, то се намира 11

ααααtgE ==== и от (10.25) се определя

положението на неутралната линия.

Моментът от допълнителните напрежения вследствие изкривяването на пръта

(огъването) ще бъде

(((( ))))

,1221

ρρρρρρρρρρρρ

σσσσσσσσσσσσ

III

FF

F

II

F

I

F

EIIEdFz

EdFz

E

zdFdFzzdFM

III

III

++++====++++

====∆∆∆∆++++−−−−∆∆∆∆====∆∆∆∆====∆∆∆∆

∫∫

∫∫∫ (10.27)

където ∫∫ ========

III F

II

F

I dFzIdFzI 22, са инерционните моменти на двете зони спрямо

неутралната линия. Въвежда се означението:

min

1

I

EIIЕE III

ред

++++==== , (10.28)

където min

I е минималният главен инерционен момент на цялото сечение.

Замества се (10.28) в (10.27) и се получава:

min

min 1

IE

MIEM

ред

ред ∆∆∆∆====⇒====∆∆∆∆

ρρρρρρρρ. (10.29)

От (10.29) се вижда, че между кривината на пръта и предизвикалия я огъващ

момент се получава същата връзка, както при еластични деформации. Разликата е само

в замяната на E с Еред. В такъв случай и за критичните сила и напрежение се получава:

(((( )))) 2

2

2

min

2

;λλλλ

ππππσσσσ

µµµµ

ππππ редк

кр

редк

кр

Е

l

IЕF ======== (10.30)

Еред се определя по (10.28) и се нарича модул на Карман. Ако материалът се

деформира в еластичната зона, тогава Е1=Е; II+III=Imin и се получава Еред=Е.

Ако сечението е несиметрично, налага се Еред да се намери два пъти, при

изместването на неутралната линия от едната и другата страна на центъра на тежестта и

от двете стойности да се взема по-малката.

ПРИМЕР 10.2. Да се определи Еред за правоъгълно сечение с размер hb ×××× (фиг.

10.15.).

РЕШЕНИЕ: Използва се (10.25) за определяне положението на неутралната

линия:

186

.23

1;

22

1

2

;23

1;

22

1

2

3

3

−−−−====

−−−−

−−−−====

++++====

++++

++++====

eh

bIeh

eh

bS

eh

bIeh

eh

bS

IIII

II

12

3bhI ====

Замества се III SS . в (10.25) и се получава:

22

22

−−−−====

++++ e

hEe

hE I ,

откъдето се изразява е и се получава:

(((( ))))2

1

14

ЕЕ

ЕЕE ред

++++==== .

10.6. Несъвършенства и недостатъци в теорията на Карман. Концепция на

Шенли

В теорията на Карман има едно необосновано допускане, според което при

загуба на устойчивост осовата сила остава постоянна ( 0====∆∆∆∆N ).

Допускайки обратното, което е логически и експериментално по-вярно, Шенли

доказва, че при изкривяване на пръта вследствие загуба на устойчивост, практически

всички точки от сечението изпитват претоварване и само при нарастване на

преместването в част от сечението се явява разтоварване. При това Шенли доказва, че

Pкр и кр

σσσσ трябва да се изчислят чрез Е1, а не чрез Еред, т.е.

(((( )))) 2

1

2

2

min1

2

;λλλλ

ππππσσσσ

µµµµ

ππππ Е

l

IЕP Ш

кр

Ш

кр ======== . (10.31)

Тъй като К

кр

Ш

крред PPEE ≤≤≤≤→→→→≤≤≤≤1, това означава, че в

теорията на Карман има елемент на несигурност. Именно

затова корекцията, която прави Шенли, е актуална и важна.

Ако графично се изобрази зависимостта

(((( ))))max

WfPкр

==== по Карман и по Шенли, се получават

линиите, показани на фиг. 10.16. Ако се приеме, че при

загуба на устойчивост 0====∆∆∆∆N , се получава K

крP по Карман,

която отговаря на безразлично равновесие и тъй като max

, WconstP K

кр==== остава

P

крP1

A

A

К

крP

maxW

16.10.Фиг

C

n n

ey

z

b

h

Iзона

IIзона

15.10.Фиг

187

неопределено (горната хоризонтална линия). Ако се възприеме концепцията на Шенли

за нарастване на силата при загуба на устойчивост, то при Ш

крPP ==== кривата започва от

точка А, след което наклонът на тангентата непрекъснато намалява до нула, когато

кривата на Шенли асимптотически се приближава към правата по Карман. На всяка

стойност на силата отговаря напълно определено преместване max

W . Ако при Ш

крPP ====

се възпрепятства изкуствено преместването и се премахне ограничението едва когато

силата P достигне точка А1 (фиг. 10.16), то кривата няма да „скочи” върху кривата през

т. А, а ще се развива самостоятелно, както показва прекъснатата линия през т. А1. Това

може да се тълкува така: в зависимост от обстоятелствата всяка точка в областта,

ограничена между плътните линии, отговарящи на Ш

крP и K

крP , може да представлява

състояние на равновесие, т.е. равновесните форми след достигане на Ш

крP и преди

достигане на K

крP са безброй много.

Точки, лежащи над хоризонталната линия през K

крP , не представляват

практически интерес, тъй като след достигане на тази стойност системата губи

устойчивост.

Концепцията на Шенли е приложима и в случаите на нелинейно-еластични

материали, тъй като в тези случаи също може да се използва местен модул на

еластичност във всяка точка.

10.7. Диаграма „критично напрежение – стройност”. Метод за изчисление

на натиснати пръти чрез коефициент на снижение на допустимото напрежение

(ϕϕϕϕ -метод)

Определянето на критичната сила при гр

λλλλλλλλ ≤≤≤≤ е свързано с редица затруднения,

главното от които е необходимостта от определяне на модулите E и Еред за всяко

работно напрежение. Затова е съществувал стремеж към създаване на инженерни

методи за определяне на критичните сили и напрежения. Напрежението, което

възниква в напречните сечения при загубване на устойчивост, се нарича критично

напрежение.

(((( ))))

.;

;

2

1

2

2

2

2

2

2

min

2

ШенлииКарманпоЕЕ

ОйлерпоE

Fl

EI

F

P

Ш

кр

редК

кр

крО

кр

→→→→========

→→→→============

λλλλ

ππππσσσσ

λλλλ

ππππσσσσ

λλλλ

ππππ

µµµµ

ππππσσσσ

Еред и Е1 са променливи величини и ако се изобразят графически, се получават

кривите на фиг. 10.17. В зоната на високите стройности е валидна хиперболата на

Ойлер, която в зоните на средни и ниски стройности, както се вижда, дава завишени и

нереални резултати. В тези зони от различни изследователи чрез обработка на

експериментални данни са получени различни криви. Най-често използвана е линейно-

отсечковата апроксимация на Ясински – Тетмайер:

(((( ))))λλλλσσσσ ВАкр

−−−−==== 1 , (10.32)

188

в която коефициентите А и В се вземат таблично в зависимост от λλλλ . Различните криви

отговарят на различни експериментални постановки и хипотези, въведени от

съответните автори, и водят до различни резултати, което внася допълнителни

неудобства при тяхното използване. Ето защо за най-често използваните материали,

чрез разделяне на ординатите на осреднената линия на кр

σσσσ с коефициента на сигурност

при устойчивост nуст, е получена т.нар. крива на допустимите напрежения (фиг.

10.17). Естествено, при nnуст

====→→→→==== 0λλλλ (n е коефициент на сигурност при натиск), а

при 0≥≥≥≥λλλλ , особено в зоната на средни и високи стройности, nnуст

≥≥≥≥ . Затова, за да се

отчете опасността от загуба на устойчивост, [[[[ ]]]]σσσσ се разделя на един поправъчен

коефициент ϕϕϕϕ , които е по – малък от единица и зависи от λλλλ .

λλλλ

грλλλλ

[[[[ ]]]]ϕϕϕϕσσσσ

[[[[ ]]]]нσσσσ

рσσσσВσσσσ

λλλλ

крσσσσниски средни стройностивисоки

(((( ))))λλλλσσσσ ВАТетмайерЯсинскинаправи кр −−−−====−−−− 1

ЕнгесерКарманнакрива −−−−

2

2

λλλλ

ππππσσσσ

ЕОйлернахипербола кр ====

напрежения

едопустимитналиния

Джонсъннакрива

17.10.Фиг

Изчислението се извършва както при чист натиск, но [[[[ ]]]]σσσσ се умножава с

коефициента ϕϕϕϕ , който е по-малък от единица. Оттам и методът е наречен ϕϕϕϕ -метод.

Основната зависимост е:

[[[[ ]]]]σσσσϕϕϕϕ

σσσσ ≤≤≤≤====F

Pкр

, (10.33)

където P е сила, а F – напречно сечение.

При оразмеряване на сеченията чрез (10.33) обикновено са известни P и [[[[ ]]]]σσσσ , а

се търси F. Тъй като ϕϕϕϕ е също неизвестно, задачата се решава чрез последователни

приближения по следната схема:

189

[[[[ ]]]][[[[ ]]]] [[[[ ]]]]

[[[[ ]]]]

(((( ))))112

1

1111

min

1

1

1

1

2

1,2

:5,0,1

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

σσσσϕϕϕϕϕϕϕϕλλλλ

µµµµλλλλ

σσσσϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

′′′′++++====−−−−

≤≤≤≤

′′′′====→→→→′′′′→→→→====→→→→====

====−−−−

еприближениро

къмпреминавасеPPAko

FPтаблициотlP

F

еприближениво

Процедурата се повтаря до получаване на [[[[ ]]]] PP ≥≥≥≥ .

ПРИМЕР 10.3. Да се подбере двойно T-образно сечение на прът с дължина l=2,6

m, запънат в единия край, а в другия свободен, натоварен с натискова сила F=1000

kN; [[[[ ]]]] 25/10.1900 mN====σσσσ .

РЕШЕНИЕ: За такова подпиране 2====µµµµ .

[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] .10.47510.111.10.1900.225,0

;225,0.,1830284,0

60,2.2

;84,2;10.111.10.10510.1900.5,0

10.1000

:5,01

345

111

1

min

1

min

24

1

24

5

3

1

1

1

1

PNFP

таблотi

l

smimFтаблотmP

F

еприближениво

≤≤≤≤========′′′′′′′′====

====′′′′→→→→============

========′′′′→→→→============

====−−−−

−−−−

−−−−−−−−

σσσσϕϕϕϕ

ϕϕϕϕµµµµ

λλλλ

σσσσϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

(((( ))))

[[[[ ]]]]

[[[[ ]]]] [[[[ ]]]] .10.970

;29,0.,1600324,0

6,2.2

;24,3;10.175.,10.146

:36,02

1,2

3

222

22

min

24

2

24

2

2

112

2

PNFP

таблот

imFтаблотmP

F

еприближениро

≤≤≤≤====′′′′′′′′====

====′′′′→→→→========

========′′′′→→→→====≥≥≥≥

====′′′′++++====−−−−

−−−−−−−−

σσσσϕϕϕϕ

ϕϕϕϕλλλλ

σσσσϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕϕ

Тъй като разликата:

[[[[ ]]]]%3100.

1000

97010002 ====−−−−

====−−−−

====∆∆∆∆P

PP

е в рамките на допустимите отклонения, се приключва с приближенията.