526.высшая математика линейная алгебра и аналитическая...
-
Upload
efwd2ws2qws2qsdw -
Category
Documents
-
view
300 -
download
15
Transcript of 526.высшая математика линейная алгебра и аналитическая...
1
Министерство культуры Российской Федерации ФГБОУ ВПО «Кемеровский государственный университет
культуры и искусств» Социально-гуманитарный институт
Кафедра экономики социальной сферы
ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА: Линейная алгебра и аналитическая геометрия
Конспект лекций
по специальности 080507 «Менеджер организации»
Кемерово 2011
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
2
Утвержден на заседании кафедры экономики социальной сферы 30 мая 2011 г., протокол № 11
Рекомендован к изданию УМС СГИ 15 июня 2011 г., протокол № 8
Высшая математика: линейная алгебра и аналитическая геометрия [Текст]: конспект лекций по специальности 080507 «Менеджмент орга-низации» / сост.: А. С. Ащеулова, О. С. Карнадуд, А. И. Саблинский. – Кемерово: КемГУКИ, 2011. – 71 с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
3
ВВЕДЕНИЕ
Предлагаемое учебное пособие представляет собой базовый кон-
спект лекций по высшей математике для студентов первого курса специ-
альности 080507 «Менеджер организации» очного и заочного отделений.
Из всего курса высшей математики в нем рассматриваются следующие
разделы «Определители», «Матрицы и системы линейных алгебраиче-
ских уравнений», «Векторная алгебра» и «Аналитическая геометрия».
Целью изучения курса математики является:
Формирование базы, на основе которой строится общеобразовательная
и специальная подготовка специалистов;
Привитие навыков освоения нового, развитие логического и алгорит-
мического мышления;
Выработка у студентов умения проведения математического анализа
прикладных задач.
Курс математики относится к циклу общих математических и есте-
ственнонаучных дисциплин. Для его изучения требуются навыки и зна-
ния в рамках программы общеобразовательной школы.
Курс математики является базой для изучения большинства предме-
тов, относящихся к циклу общепрофессиональных дисциплин, таких, как:
Информатика;
Экономическая теория;
Маркетинг;
Финансы и кредит;
Статистика;
Бухгалтерский учет;
Информационные технологии управления.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Элементы линейной алгебры
4
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА
Тема 1. Элементы линейной алгебры
1.1. Матрицы и действия над ними
1.2. Определители
1.3. Обратная матрица
1.4. Ранг матрицы
Матрицы и действия над ними
Определение. Матрицей размера mn называется совокупность
mn элементов, представленная в виде таблицы, состоящей из m строк
и n столбцов, где aij, i=1,2,…, m j=1,2,…,n, m, nN – элемент матрицы А,
стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца.
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
A
21
22221
11211
Определение. Если число строк матрицы равно числу столбцов,
то матрица называется квадратной, а число строк является ее поряд-
ком или размером.
Определение. Элементы квадратной матрицы размера n, стоя-
щие на пересечении строк и столбцов с одинаковыми номерами, то
есть, a11, a22, …, ann, образуют главную диагональ. Соответственно,
элементы a1n, a2n-1, …, an1, лежащие на прямой, соединяющей правый
верхний и левый нижний углы матрицы, образуют побочную диагональ.
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
A
21
22221
11211
Определение. Две матрицы А и В одинакового размера называют
равными, если они совпадают поэлементно. Равенство записывается
как А=В.
главная диагональпобочная диагональ
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Элементы линейной алгебры
5
Виды матриц Определение. Матрица, состоящая из одной строки A=(a11, a12,
…, a1n), называется матрицей-строкой или вектором. Матрица, со-
стоящая из одного столбца
1
21
11
...A
ma
a
a
, называется матрицей-столбцом
или также вектором. Определение. Матрица, произвольного размера, все элементы
которой равны нулю, называют нулевой и обозначается О.
Определение. Квадратная матрица, у которой на главной диаго-нали стоят единицы, а остальные элементы равны нулю, называется единичной и обозначается
1...00
............
0...10
0...01
Е
Определение. Квадратная матрица, у которой все элементы вы-ше или ниже главной диагонали равны нулю, под главной диагональю стоят нули, называется треугольной.
Определение. Произвольная матрица вида )( ВАС , составленная
из двух матриц, разделенных вертикальной чертой, называется расши-ренной. Например, матрица
100
010
001
674
809
341
С
является расширенной. Она составлена из квадратной матрицы третьего порядка и единичной матрицы третьего порядка.
Определение. Квадратная матрица А n-го порядка называется симметричной, если ее элементы подчиняются следующему равенству aij=aji, где i, j=1,2,..,n.
Например, матрица
643
425
351
D является симметричной.
Определение. Матрица АТ называется транспонированной к матрице А, если у нее каждая строка является столбцом матрицы А.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Элементы линейной алгебры
6
Например,
413
292
061
420
196
321
A TA
Действия над матрицами
1. Умножение матрицы на число.
Определение. Произведением числа λ на матрицу А называется
матрица В такая, что В=λА. Элементы матрицы В вычисляются по
формуле ija ijb , где i=1,2,..,m j=1,2,..,n.
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
AB
21
22221
11211
.
Пример.
Умножить матрицу
701
3116
532
A на 2.
1402
6232
1064
272021
2321216
252322
В .
Замечание. Общий множитель всех элементов матрицы можно
выносить за знак матрицы.
2. Сложение (вычитание) матриц.
Пусть матрицы А и В имеют одинаковый размер mn, то есть
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
A
21
22221
11211
,
mnmm
n
n
bbb
bbb
bbb
...
............
...
...
B
21
22221
11211
.
Матрица С размера mn называется суммой (разностью) матриц
А и В, если
,
...
............
...
...
C
2211
23222222121
13112121111
mnmnmmmm
n
n
bababa
bababa
bababa
, m n N
то есть, чтобы сложить (вычесть) матрицы одинакового размера, необхо-
димо сложить (вычесть) их соответствующие элементы.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Элементы линейной алгебры
7
3. Умножение матриц.
Определение. Произведением матрицы А размера mn и матрицы
В размера nr называется матрица С размера mr, имеющая следующий
вид:
mrmm
r
r
ccc
ccc
ccc
...
............
...
...
C
21
22221
11211
, где njinjijiij bababac ...2211 i=1,2, …,m, j=1,2,…, r.
Замечание 1. Отметим, что перемножить матрицы можно только в
том случае, если число элементов в строке первой матрицы равно числу
элементов в столбце второй матрицы.
Замечание 2. Из правила умножения матриц следует, что ABBA ,
то есть умножение матриц не коммутативно.
При умножении матриц удобно использовать следующую схему:
njinjijiij bababac ...2211
Пример. Заданы матрицы
502
321
401
021
401
321
BA
Вычислим произведение:
.
243
1609
2547
503)2(41002)2(01201)2()1(1
5430410420012410)1(1
5332410322012312)1(1
502
321
401
021
401
321
B
A
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Элементы линейной алгебры
8
Выполним умножение матриц при помощи, предложенной схемы
Свойства сложения и умножения матриц
1. AА T )( T .
2. TT AА )( , где α=const.
3. TTT BABА )( .
4. TTT ABBА )( .
5. A+B=B+A.
6. (A+B)+C=A+(B+C).
7. α(A+B)=αA+αB, где α=const.
8. A(B+C)=AB+AC.
9. (A+B)C=AC+BC.
10. C(AB)=(CA)B.
11. α(AB)=(αA)B=A(αB), где α=const.
Определители
Если матрица квадратная, то ее можно оценить (определить), то
есть поставить в соответствие число.
Определение. Определителем матрицы А (или detА) называется
многочлен, составленный из элементов этой матрицы. Для матрицы
порядка n определитель записывается в виде
nnnn
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
detA
21
22221
11211
.
Если матрица числовая, то значение определителя есть число, ко-
торое находят по известным правилам.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Элементы линейной алгебры
9
Вычисление определителей Определитель 2-го порядка равен произведению элементов главной
диагонали минус произведение элементов побочной диагонали, то есть
211222112221
1211detA aaaaaa
aa .
Примеры. Вычислить определители:
1. 264324143
21 ;
2. 1)cos(sincossincoscossinsinsincos
cossin 2222
xxxxxxxxxx
xx;
Определитель 3-го порядка вычисляется по формуле:
211233322311312213312312213213332211
333231
232221
131211
detA aaaaaaaaaaaaaaaaaa
aaa
aaa
aaa
.
Правило треугольников Из структуры формулы видно, что каждое слагаемое в правой час-
ти входит по одному элементу из каждой строки и каждого столбца мат-рицы. Формулу вычисления определителя третьего порядка легко запом-нить, если воспользоваться правилом треугольников (рис.1.1). Берутся произведения элементов, соединенных линиями. На рисунке слева ли-ниями указаны произведения элементов, которые следует взять со зна-ком «+», справа – со знаком «–».
+ –
Рис. 1.1. Правило треугольников
Правило Саррюса К определителю приписывают справа два первых столбца и вычис-
ляют сумму произведений элементов, стоящих на главной диагонали, и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Элементы линейной алгебры
10
«прямых» параллельных ей и со знаком минус вычисляют сумму произ-ведений элементов, расположенных на побочной диагонали, и «прямых», параллельных ей (рис. 1.2)
Рис. 1.2. Правило Саррюса
Пример. Вычислить определитель
312
012
101
1. Рассмотрим правило треугольников, сначала выпишем слагаемые со знаком «+»
слагаемые со знаком «+» слагаемые со знаком «–»
Запишем все вместе
1002203302011)1(1)2()1(12)2(00311
312
012
101
2. Рассмотрим правило Саррюса
1002203
302011)1(1)2()1(12)2(00311
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Элементы линейной алгебры
11
Определение. Минором Mij элемента aij, i,j=1,2,…,n называется опре-
делитель порядка n–1, полученный вычеркиванием i-й строки и j-го
столбца из определителя порядка n.
Определение. Алгебраическим дополнением элемента aij опреде-
лителя называется число Aij, равное минору Mij со знаком «+», если
сумма i+j четная, и со знаком «», если сумма i+j нечетная, т. е.
ijji
ij MA )1( .
Теорема. Определитель квадратной матрицы равен сумме произ-
ведений элементов любой строки или любого столбца на их алгебраиче-
ские дополнения:
n
iijij
n
jijij
AaA
AaA
1
1 .
Пример.
Вычислить определитель разложением по третьему столбцу.
134)01(30)22()2011(3
0))2(112(12
013)1(
12
010)1(
12
12)1()1(
312
012
101333231
Свойства определителей
1. Определитель матрицы не изменится, если матрицу транспонировать. Tdet detA A .
2. Определитель матрицы равен нулю, если он содержит строку (стол-
бец), все элементы которой равны нулю.
3. Определитель матрицы равен нулю, если элементы двух строк (столб-
цов) одинаковые.
4. Определитель матрицы равен нулю, если элементы двух строк (столб-
цов) пропорциональны.
5. Определитель матрицы меняет свой знак на противоположный, если
поменять местами две строки (столбца).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Элементы линейной алгебры
12
6. Если все элементы некоторой строки (столбца) имеют общим множи-
тель, то он выносится за знак определителя.
7. Если к одной строке (столбцу) определителя прибавить другую строку
(столбец) умноженную на число, то значение определителя не изменится.
8. Определитель треугольной матрицы равен произведению элементов,
стоящих на главной диагонали.
11 12 1
22 2
11 22
0det ...
0 0
n
n
nn
nn
a a a
a aA a a a
a
Способы вычисления определителей
Существует несколько способов вычисления определителя. Выбор
способа диктуется видом и порядком определителя. Удачно выбранный
способ позволяет существенно сократить вычисления. Рассмотрим их на
примере матрицы третьего порядка.
Пример.
Вычислить определитель матрицы третьего порядка.
222
142
122
A
1-й способ: правило треугольников.
128484416
2221)2(2)1()4()2(1)2(2)1()2(22)4(2
222
142
122
A
2-й способ: использование теоремы о разложении определителя по
любой строке или столбцу.
Разложим определитель по второй строке
12084)44()24(4)24(2
22
221)1(
22
12)4()1(
22
122)1(
222
142
122322212
A
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Элементы линейной алгебры
13
Находим определитель
0 0 Матрица вырожденная. Обратной не существует
Находим миноры. Записываемобратную матрицу в виде (1.1)
3-й способ: использование свойств определителя для приведение его к треугольному виду.
)1(
222
142
122
=
222
260
122
= 121)6(2
100
260
122
первую строку умножили на (–1) и прибавили ко второй
первую строку прибавили к третьей
вычислили определитель тре-угольной матрицы, он по свойству равен произведению элементов стоящих на главной диагонали
4-й способ: использование метода Саррюса сделайте самостоятельно.
Обратная матрица Определение. Если определитель матрицы равен нулю, то мат-
рица называется вырожденной. В противном случае, матрица называ-ется невырожденной.
Определение. Матрица А–1 называется обратной к матрице А размера n, если она удовлетворяет следующему равенству:
ЕАААА 11 . Теорема. Для существования обратной матрицы А–1 необходимо и
достаточно, чтобы матрица А была невырожденной. Если обратная матрица существует, то она находится по фор-
муле:
nnnn
n
AAA
AAA
ААА
А
...
............
...
...
1
21
22212
n12111
1 (1.1)
Алгоритм нахождения обратной матрицы
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Элементы линейной алгебры
14
Пример.
Найти матрицу обратную к матрице
123
122
311
А .
Решение. Вычислим определитель матрицы А
0522181232
123
122
311
Так как 0, матрица А является невырожденной, и для нее суще-
ствует обратная, найдем ее. Для этого вычислим алгебраические допол-нения для каждого элемента матрицы А:
26423
22)1(
1)32(13
12)1(
012
12)1(
3113
2112
1111
А
А
А
1)32(23
11)1(
89113
31)1(
5)61(12
31)1(
3223
2222
1221
А
А
А
022
11)1(
5)61(12
31)1(
56112
31)1(
3333
2332
1331
А
А
А
найденные значения в формулу (1.1):
012
581
550
5
11А .
Ранг матрицы Определение. Рангом матрицы А называется наивысший порядок
ее миноров, отличных от нуля, который обозначается rang(A)=r(A)≥0.
Элементарные преобразования матрицы 1. Перестановка двух строк. 2. Умножение любой строки на ненулевое число. 3. Добавление к одной строке другой, умноженной на любое число.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 1. Элементы линейной алгебры
15
Теорема. Ранг матрицы не изменится, если к ней применить эле-ментарные преобразования.
Замечание. При определении ранга матрицы целесообразно при помощи элементарных преобразований привести ее к треугольному виду. Используя свойство 8 определителей, легко найти наибольший порядок отличных от нуля миноров.
Свойства ранга: 1. Ранг нулевой матрицы считается равным нулю
2. R(A)≤min(m, n)
3. r(A)=n у матрицы n-го порядка тогда и только тогда, когда 0А
Пример.
Вычислить ранг матрицы
0010
0101
0101
А .
Решение. Приведем матрицу А к треугольному виду.
0010
0000
0101)1(
0010
0101
0101
0000
0010
0101
010
101
первую строку умно-жили на (–1) и приба-вили ко второй
переставили мес-тами 1-ую и 3-ю строки
т. к. третья строка и третий столбец нулевые, то их убрали
Так как получившаяся матрица имеет размер 32 , следовательно необ-ходимо найти минор второго порядка отличный от нуля.
110
01M , тогда r(A)=2.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
16
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
2.1. Основные понятия 2.2. Метод Крамера 2.3. Матричный метод 2.4. Метод Гаусса 2.5. Однородные системы линейных уравнений 2.6. Решение неоднородной системы линейных уравнений
Основные понятия Пусть задана система m линейных алгебраических уравнений с n
неизвестными (СЛАУ):
,...
..............................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
где xj – неизвестные, aij – коэффициенты при неизвестных, bi – свобод-ные члены, i=1,2,…m, j=1,2,…n.
Обозначим через А матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных jx , а через А матрицу, полученную из А присоединением к
ней столбца свободных членов:
mnmm
n
n
aaa
aaa
aaa
...
............
...
...
A
21
22221
11211
,
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
...
...
............
...
...
A 2
1
21
22221
11211
.
Матрица А называется матрицей коэффициентов системы уравне-ний, а матрица А – расширенной матрицей коэффициентов системы уравнений.
Определение. Решением системы уравнений называется совокуп-ность таких значений неизвестных: x1=α1, x2=α2, …, xn=αn, которые удовлетворяют всем уравнениям системы. Решить систему уравнений значит указать все его решения или показать, что их нет.
Определение. Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Если система не имеет решения, то она называется несовместной. Совместная система уравнений называ-ется определенной, если она имеет единственное решение, и неопреде-ленной, если она имеет более одного решения.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
17
Методы решения СЛАУ Рассмотрим систему из трех линейных алгебраических уравнений
и трех неизвестных
,
,
,
3333232131
2323222121
1313212111
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
(2.1)
тогда матрица коэффициентов при неизвестных и расширенная матрица коэффициентов имеют вид:
333231
232221
131211
A
aaa
aaa
aaa
,
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
aaa
aaa
aaa
A .
Метод Крамера Для системы (2.1) введем следующие обозначения:
333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
33323
23222
13121
1
aab
aab
aab
,
33331
23221
13111
2
aba
aba
aba
,
33231
22221
11211
3
baa
baa
baa
,
где Δi, i=1,2,3 – определители, полученные из исходного определителя заменой i-го столбца столбцом свободных членов.
Тогда при решении системы методом Крамера возможны следую-щие случаи:
1) если 0, то система (2.1) совместна и имеет единственное решение, которое находится по формулам:
11x ,
22x ,
33x ;
2) если =0, 1=2=3=0, то система (2.1) либо имеет множество реше-ний, либо несовместна;
3) если =0 и хотя бы один из 1, 2, 3 не равен нулю, то система несо-вместна и решения не имеет.
Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера
Находим определитель системы
0 0
1=2=3=0 множество решений
хотя бы один из определителей 1, 2, 3 не равен 0. Система не
имеет решений
Система имеет единственное
решение
11x
,
22x ,
33x .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
18
Находим обратную
Обратная матрица
существует
Обратной матрицы не существует
Решение ищем в виде BA 1X
Данный метод нельзя применять
Матричный метод
Пусть для системы (2.1) определитель 0. Запишем ее в матрич-
ной форме. Имеем: А – матрица коэффициентов при неизвестных, Х – столбец неизвестных, В – столбец свободных членов системы:
333231
232221
131211
A
aaa
aaa
aaa
,
3
2
1
b
b
b
B
3
2
1
x
x
x
X ,
тогда BXA . выразим Х BA 1X . (2.2)
Алгоритм решения матричным методом
Метод Гаусса Метод Гаусса основан на алгоритме последовательного исключе-
ния неизвестных. Задача состоит в том, чтобы привести ее к «треугольному» виду
при помощи эквивалентных преобразований. Выпишем расширенную матрицу коэффициентов системы (2.1):
3
2
1
333231
232221
131211
b
b
b
aaa
aaa
aaa
A .
При решении системы уравнений (2.1) методом Гаусса возможны следующие случаи:
1. Если матрица A приведена к треугольному виду, то система (2.1) со-вместна и имеет единственное решение.
2. Если матрица A содержит хотя бы одну строку, все элементы которой равны нулю, то система (2.1) совместна и имеет множество решений.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
19
3. Если матрица A содержит строку, все элементы которой, кроме сво-
бодного члена, равны нулю, то система (2.1) несовместна, то есть ре-
шения не имеет.
Пример.
Решить системы линейных алгебраических уравнений
а)
.1
,22
,12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
б)
.31152
,2453
,532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Решение.
а)
1. Решим систему методом Крамера.
1
111
112
211
3
111
112
211
1
6
111
122
211
2
2
111
212
111
3
Так как 0, то система совместна и имеет единственное решение:
31
311
x , 61
622
x , 21
233
x .
2. Решим систему матричным методом.
Так как 0, то обратная матрица к матрице А существует. Вычис-
лим алгебраические дополнения, имеем:
111
12
311
12
211
11A
13
12
11
A
A
011
11
111
21
111
21
23
22
21
A
A
A
112
11
512
21
311
21
33
32
31
A
A
A
тогда обратная матрица 1A имеет следующий вид:
101
513
3121A .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
20
Найдем решение системы. Для этого запишем уравнение в коор-динатной форме (2.2):
2
6
3
1
2
1
101
513
3121
3
2
1
BA
x
x
x
.
3. Решим систему методом Гаусса. Приведем расширенную матрицу ко-
эффициентов A к «треугольному виду».
)1()2(
1
2
1
111
112
211
2
4
1
100
510
211
Матрица приведена к треугольному виду, следовательно, система совместна и имеет единственное решение. Найдем его, выписав систему уравнений, соответствующую последней матрице.
.2
,45
,12
3
32
321
x
xx
xxx
.2
,6425
,32261
3
2
1
x
x
x
Ответ: х1=3, х2=6, х3=2.
б)
.31152
,2453
,532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
1. Решим систему методом Крамера, имеем:
,0
1152
453
321
,0140
1153
452
325
1
Так как =0, 10, то система несовместна, решения не имеет.
2. Решим систему матричным методом. Так как =0, то обратная матри-ца к матрице А не существует, матричный метод не применим.
3. Решим систему методом Гаусса. Приведем расширенную матрицу ко-
эффициентов A к треугольному виду.
)2()3(
3
2
5
1152
453
321
→
7
13
5
510
510
321
→
20
13
5
000
510
321
Так как у полученной матрицы в последней строке коэффициенты при неизвестных равны нулю, а свободный член не равен нулю, то реше-ния нет, то есть система несовместна. Ответ: система несовместна.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
21
Пример. Решить систему линейных уравнений
.42369
,33446
,24523
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Решение: составим расширенную матрицу системы
)3()2(
4
3
2
2369
3446
4523
→ )2(
2
1
2
101200
5600
4523
0
1
2
0000
5600
4523
или
1
2
5600
4523
Исходная система эквивалентна следующей системе уравнений:
.156
,24523
43
4321
xx
xxxx
Возьмем x2 и х4 свободными, а х1 и х3 – базисными. Тогда
.71218
1
,156
1
421
43
xxx
xx
Придавая произвольные значения неизвестным х3 и х2, получим
различные решения системы линейных уравнений.
Однородные системы линейных уравнений
Определение. Система линейных алгебраических уравнений назы-
вается однородной, если все свободные члены системы равны нулю:
,0...
..............................................
,0...
,0...
2211
2222121
1212111
nmnmm
nn
nn
xaxaxa
xaxaxa
xaxaxa
(2.3)
Свойства однородной системы линейных уравнений
1. Однородная система линейных уравнений всегда совместна, так как
всегда имеет, по крайней мере, нулевое решение.
2. Для существования ненулевых решений ранг матрицы коэффициентов
должен быть меньше числа переменных r<n.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
22
Пример. Решить однородную систему уравнений
.023
,0322
,02
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Решение. Запишем матрицы коэффициентов и, совершив элементарные преобразования со строками, приведем ее к ступенчатому виду.
2113
3221
1112
Поменяем первую и вторую строку местами
)3()2(
2113
1112
3221
→
7550
7550
3221
→
7550
3221
Вернемся от матрицы к системе линейных уравнений.
.0755
,02
432
4321
xxx
xxxx
х1 и х2 – базисные переменные; х3 и х4 – свободные переменные.
.5
1
,755
1
41
432
xx
xxx
Решение неоднородной системы линейных уравнений Пусть дана произвольная система m линейных уравнений с n неиз-
вестными
,...
..............................................
,...
,...
2211
22222121
11212111
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
Теорема (Кронекера-Капелли). Система линейных алгебраиче-ских уравнений совместна тогда и только тогда, когда ранг расширен-ной матрицы системы равен рангу основной матрицы.
Теорема. Если ранг совместной системы равен числу неизвест-ных, то система имеет единственное решение.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
23
Теорема. Если ранг совместной системы меньше числа неизвест-ных, то система имеет бесчисленное множество решений.
Правило решения неоднородной системы линейных уравнений
1. Найти ранги основной и расширенной матриц системы. Если )()( ArAr ,
то система несовместна.
2. Если rArAr )()( , система совместна. Найти какой-либо базисный
минор порядка r. Взять r уравнений, из коэффициентов которых состав-лен базисный минор (остальные уравнения отбросить). Неизвестные, ко-эффициенты которые входят в базисный минор, называют базисными и оставляют слева, а остальные n–r неизвестных называют свободными и переносят в правые части уравнений. 3. Найти выражения базисных неизвестных через свободные. Получим общее решение системы. 4. Придавая свободным неизвестным произвольные значения, получим соответствующие значения базисных неизвестных. Таким образом, мож-но найти частные решения исходной системы уравнений.
Схема исследования системы уравнений
Пример.
44352
5432
132
5431
5321
432
xxxx
xxxx
xxx
1. Записываем расширенную матрицу системы и с помощью элементар-ных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду.
Находим ранг матрицы и расширенной матрицы
)()( ArAr
система несовместна
)()( ArAr
система совместна
m<n m>n m=n
r=m r<m r<m r=m r=nr<n
Находим базисные и свободные переменные. Выражаем базисные переменные через свободные
Единственное решение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений
24
0
1
5
00000
03210
04312
)1(
1
1
5
03210
03210
04312
)1(
4
5
1
43502
04312
03210
2. 2)()( ArAr следовательно, система совместна. Выберем за базисные
переменные x1 и x2, а свободными соответственно будут x3, x4 и x5.
3. Перейдем от матрицы к системе
132
5432
432
5321
xxx
xxxx
4. Выразим базисные переменные через свободные.
432
5321
321
4352
xxx
xxxx
432
5321
3212
435
xxx
xxxx
432
5431
321
25,15,22
xxx
xxxx
Общее решение системы имеет вид
54343543 ;;;321;25,15,22 xxxxxxxx
Частное решение 0;0;0;1;2
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Векторная алгебра
25
ГЛАВА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Тема 3. Векторная алгебра 3.1. Основные определения 3.2. Линейные операции над векторами 3.3. Проекция вектора на ось 3.4. Разложение вектора по ортам координатных осей 3.5. Действия над векторами, заданными проекциями 3.6. Координаты вектора 3.7. Базис системы векторов 3.8. Скалярное произведение векторов и его свойства 3.9. Векторное произведение векторов и его свойства 3.10. Смешанное произведение векторов
Основные определения Величины, которые полностью определяются своим численным
значением, называются скалярными. Примерами скалярных величин яв-ляются длина, площадь, объем, масса, температура и другие. Помимо скалярных величин в различных задачах встречаются величины, для оп-ределения которых кроме числового значения необходимо знать также их направление. Такие величины называются векторными. Примерами векторных величин могут служить сила, скорость и другие.
Определение. Вектором называется направленный отрезок, имеющий определенную длину, у которого одна из ограничивающих его точек принимается за начало, а вторая за конец. Если А – начало векто-
ра и В – его конец, то вектор обозначается символом AB
. Вектор можно обозначить и одной малой латинской буквой с черточкой над ней a
. Определение. Длиной (модулем) вектора называется расстояние
между началом и концом вектора.
AB a
Определение. Вектор, длина которого равна 0, то есть начало и конец его совпадают, называется нулевым вектором и обозначается 0. Нулевой вектор направления не имеет.
Определение. Вектор, длина которого равна 1, называется еди-ничным вектором и обозначается через е. Единичный вектор, направле-ние которого совпадает с направлением вектора a
, называется ортом вектора a
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Векторная алгебра
26
Определение. Вектора называются коллинеарными, если они рас-положены на одной или параллельных прямых. Нулевой вектор коллинеа-рен любому вектору.
Определение. Вектора называются равными, если они коллинеар-ны, одинаково направлены и имеют одинаковые модули.
Из определения равенства векторов следует, что вектор можно пере-носить параллельно самому себе, помещая его начало в любую точку про-странства, в частности, плоскости. Такой вектор называется свободным.
Определение. Три вектора в пространстве называют компланар-ными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоско-стях. Если среди трех векторов хотя бы один нулевой или два любых коллинеарны, то такие вектора компланарны.
Рис. 3.1. Компланарные вектора
Линейные операции над векторами
Под линейными операциями над векторами понимают операции сложения, вычитания векторов, а так же умножение вектора на число.
Пусть a и b
произвольные вектора. Необходимо найти a
+b
.
Правило параллелограмма
Возьмем произвольную точку О и построим вектор aOA
и
bOB
. Достроим до параллелограмма. Суммой векторов будет являться направленная диагональ полученного параллелограмма.
Правило треугольника
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Векторная алгебра
27
Конец вектора a соединяем с началом вектора b
. Суммой этих
векторов будет вектор с началом в точке О и концом в точке В.
Под разностью векторов a и b
понимается вектор c
такой, что b+c=a.
Отметим, что в параллелограмме, построенном на векторах a
и b
,
одна направленная диагональ является суммой векторов a и b
, а другая
разностью векторов.
Произведение вектора на скаляр
Произведением вектора a на скаляр называется вектор λ a
, кото-
рый имеет длину a , коллинеарен вектору a
, имеет направление векто-
ру a, если λ>0 и противоположен по направлению, если λ<0.
Свойства линейных операций над векторами
1. a + b
= b
+ a – коммутативность.
2. a + (b
+ с
) = ( a + b
)+ с
3. a + 0
= a
4. a +(–1) a
= 0
5. () a = (a
) – ассоциативность
6. (+) a = a
+ a
– дистрибутивность
7. ( a + b
) = a
+ b
8. 1a = a
Эти свойства позволяют проводить преобразования в линейных
операциях с вектором, как это делается в обычной алгебре: слагаемые
меняют местами, вводят скобки, группируют, выносят за скобки, как
скалярные, так и векторные общие множители.
Проекция вектора на ось
Пусть AB – произвольный вектор 0AB . Обозначим через А1 и В1
проекции на ось l соответственно начало А и конец В вектора AB и рас-
смотрим вектор 11BA .
Проекцией вектора AB на ось l называется положительное число
11BA , если вектор 1 1A B
и ось l одинаковы направлены, и отрицательное
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Векторная алгебра
28
число – 11BA , если вектор 11BA и ось l противоположно направлены.
Проекция вектора AB на ось l обозначается: ABпрl .
Если точки А1 и В1 совпадают ( 011 BA ), то проекцией вектора AB
равна 0.
Угол φ между вектором AB и осью l изображен на рисунке 3.2:
Рис. 3.2. Угол между вектором и осью
Основные свойства проекции
1. Проекция вектора a на ось l равна произведению модуля вектора a
на
cosα
cosl aaпр
Следствие 1. Проекция вектора на ось положительна (отрица-тельна), если вектор образует острый (тупой) угол и равна 0, если этот угол прямой.
Следствие 2. Проекции равных векторов на одну и туже ось рав-ны между собой. 2. Проекция суммы нескольких векторов на одну и туже ось равна сумме их проекций на эту ось. 3. При умножении вектора a
на число λ его проекция на ось также ум-
ножается на это число.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Векторная алгебра
29
Разложение вектора по ортам координатных осей Рассмотрим в пространстве прямоугольную систему координат
Oxyz. Выделим на координатных осях Ox, Oy и Oz единичный вектор (орт) и обозначим их i, j, k. Выберем произвольный вектор a
и совмес-
тим его начало с начало координат OMa
. Найдем проекции вектора a
на координатные оси. Проведем через конец вектора a плоскости парал-
лельно координатным плоскостям. Точки пересечения этих плоскостей с осями координат обозначим, соответственно, М1, М2, М3, получим пря-моугольный параллелепипед (рис. 3.3), одной из диагоналей которого
является вектор OM . Тогда: xaOMOMпр
1x , yaOMOMпр
2y ,
zaOMOMпр
3z .
Тогда
kajaiaa zyx
, (3.1)
эта формула является основной в векторном исчислении и называется разложением вектора по ортам координатных осей. Числа ах, аy и аz на-зываются координатами вектора a
, то есть координаты вектора есть его
проекции на соответствующие координатные оси. Векторное равенство часто записывают в символическом виде: a
(ах; аy; аz). Равенство b
(bх; by; bz) означает, что x y zb b i b j b k
. Зная
проекции вектора a, можно легко найти выражение для модуля вектора.
На основании о длине диагонали прямоугольного параллелепипеда: 2
3
2
2
2
1
2OMOMOMOM .
Отсюда имеем: 222zyx aaaa
(3.2)
Пусть углы вектора a с осями Ox, Oy и Oz ,соответственно, равны
α, β и γ. По свойству проекций вектора на ось имеем:
cos
cos
cos
aa
aa
aa
z
y
x
(3.3)
Следовательно:
a
a
a
a
a
a zyx cos;cos;cos (3.4)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Векторная алгебра
30
Рис. 3.3. Разложение вектора
Числа cosα, cosβ и cosγ называются направляющими косинусами вектора a
. Подставим выражение (3.4) в равенство (3.2):
сos2α + cos2β + cos2γ = 1 То есть сумма квадратов направляющих косинусов нулевого вектора равна 1. Легко заметить, что единичного вектора будет иметь координа-ты e
(cosα; cosβ; cosγ) Итак, задав координаты вектора, всегда можно определить его мо-
дуль и направление (то есть сам вектор).
Действия над векторами, заданными проекциями
Пусть векторы a=(ах; аy; аz) и b
=(bх; by; bz) заданы своими проек-
циями на оси координат Оx, Оy и Оz или, что тоже самое:
kajaiaa zyx
kbjbibb zyx
Линейные операции над векторами
Так как операции над векторами сводятся к соответствующим ли-нейным операциям над проекциями этих векторов, то можно записать:
1. kbajbaibaba zzyyxx
)()()(
)();();( zzyyxx babababa .
2. kajaiaa zyx
);;( zyx aaaa
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Векторная алгебра
31
Равенство векторов
Два вектора a и b
равны тогда и только тогда, когда
x x
y y
z z
a b
а b a b
a b
Коллинеарность векторов
Выясним коллинеарность векторов a и b
, заданными своими ко-
ординатами. Так как a параллелен b
, то можно записать a b
, где λ=const, то есть:
( )x y z x y z x y za i a j a k b i b j b k b i b j b k
,
отсюда: ах=λbх; аy =λby; аz= λbz, то есть:
; ;y yx xz z
x y z x y z
a aa aa a
b b b b b b
Таким образом, проекции коллинеарных векторов пропорциональ-ны. Верно и обратное утверждение: вектора, имеющие пропорциональ-ные координаты, коллинеарны.
Координаты вектора
Найдем координаты вектора aAB
, если известны координаты то-чек А(x1, y1, z1) и В(x2, y2, z2).
Из рисунка 3.2 видно, что
kzzjyyixxkzjyixkzjyixOAOBAB
)()()()()( 121212111222 .
Рис. 3.2
Следовательно, координаты вектора равны разности соответст-вующих координат конца и начала вектора.
);;( 121212 zzyyxxAB
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Векторная алгебра
32
Базис системы векторов Определение. Система векторов 1a
, 2a
, 3a называется линейно
зависимой, если существуют такие константы 1 , 2 , 3 , не все равные
нулю и имеет место равенство
0332211
aaa .
Если из этого равенства с необходимостью следует, что
1 = 2 = 3 =0, то система называется линейно независимой.
Определение. Базисом в 3-мерной системе координат называется любая упорядоченная система из трех линейно независимых векторов пространства.
Теорема. Векторы );( 1111 zyxa
, );( 2222 zyxa
, );( 3333 zyxa обра-
зуют базис, если 0, где
333
222
111
zyx
zyx
zyx
.
Теорема. Координаты вектора относительно некоторого базиса определяются единственным образом.
Пример.
Даны три вектора (3,2,4)p , (4,3,5)q , (7,5, 2)r . Показать,
что они образуют базис и найти разложение вектора (4,3,2)a в этом
базисе.
Решение.
Покажем, что вектора p , q , r образуют базис. Вычислим опреде-
литель, составленный из координат этих векторов:
3 2 4
4 3 5 18 70 80 84 75 16 11 0
7 5 2
.
Так как 0, то векторы p , q , r образуют базис. По теореме, по-
лучаем разложение вектора a по базисным векторам p , q , r :
1 2 3a p q r 1 2 3
4 3 4 7
3 2 3 5
2 4 5 2
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Векторная алгебра
33
Чтобы найти координаты 1 , 2 , 3 вектора a в новом базисе, не-
обходимо найти решение следующей системы уравнений:
1 2 3
1 2 3
1 2 3
3 4 7 4,
2 3 5 3,
4 5 2 2.
Решим эту систему методом Крамера, имеем:
3 4 7 3 2 4
2 3 5 4 3 5 11
4 5 2 7 5 2
,
1
4 4 7
3 3 5 3
2 5 2
, 2
3 4 7
2 3 5 8
4 2 2
, 3
3 4 4
2 3 3 3
4 5 2
.
Так как 0, то система совместна и имеет единственное решение:
1
3
11 ,
2
8
11 ,
3
3
11 . То есть,
3 8 3 +
11 11 11a p q r .
Определение. Совокупность всех 3-мерных векторов с действи-тельными координатами, рассматриваемая с определенными в ней опе-рациями сложения векторов и умножения вектора на число, образует 3-мерное векторное пространство.
Скалярное произведение векторов и его свойства
Определение. Скалярным произведением (обозначается bа или
);( bа ) двух ненулевых векторов а
и b
называется число, равное произве-
дению длин этих векторов на косинус угла между ними.
cos);( babаbа
,
где φ – угол между векторами а и b То есть скалярное произведение двух векторов равно модулю од-
ного из них, умноженного на проекцию другого на ось.
Свойства скалярного произведения
1. baab
2. )()( abab
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Векторная алгебра
34
3. aсbсabс )(
4. 22 0cos aaaa
5. Если вектора а и b
ненулевые, взаимно перпендикулярны, то их ска-
лярное произведение равно 0.
Следствие. Если произведение векторов а и b
равно 0, значит век-
тора взаимно перпендикулярны.
6. Пусть заданы два вектора a (ах; аy; аz) и b
(bх; by; bz), то скалярное
произведение можно найти следующим образом zzyyxx babababa
Применение скалярного произведения Угол между векторами
Определение угла φ между векторами a (ах; аy; аz) и b
(bх; by; bz).
222222cos
zyxzyx
zzyyxx
bbbaaa
bababa
ba
ba
Отсюда следует условие перпендикулярности ненулевых векторовa и b
.
ахbх +аyby +аzbz =0.
Проекции вектора
Нахождение проекции a на направление, заданное вектором b
,
может осуществляться по формуле:
b
abaпрb или
a
abbпрa , то есть
222zyx
zzyyxxb
bbb
bababaaпр
.
Векторное произведение векторов и его свойства
Определение. Три некомпланарные вектора a, b
, c
, взятые в ука-занном порядке, образуют правую тройку, если с конца третьего векто-
ра c
кратчайший поворот от первого вектора a ко второму вектору b
виден совершающимся против часовой стрелки, и левую, если по часовой.
правая тройка левая тройка
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Векторная алгебра
35
Определение. Векторным произведением(обозначается bа
или
bа
; ) вектора a на b
называется вектор c
, который
1. перпендикулярен векторам a и b
2. имеет длину численно равную площади параллелограмма, построенно-
го на векторах a и b
, sin bac
3. вектора a, b
, c
образуют правую тройку
Свойства векторного произведения
1. abba
2. )()()( bababa
3. Два ненулевых вектора a и b
коллинеарны тогда и только тогда, когда
их векторное произведение равно нулевому вектору.
4. cbcacba
)(
5. координаты векторного произведения векторов a (ах; аy; аz) и b
(bх; by; bz) можно найти через определители следующим образом:
yx
x
zx
x
zy
y
zyx
yx bb
aak
bb
aaj
bb
aai
bbb
aaa
kji
ba yzz
z
Некоторые приложения векторного произведения
1. Установление коллинеарности векторов.
0
zyx
zyx
bbb
aaa
kji
ba
2. Нахождение площади параллелограмма и треугольника.
sin baSпарал
sin2
1 baSтреуг
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Векторная алгебра
36
Смешанное произведение векторов
Определение. Смешанным произведением трех векторов a, b
, c
называется скалярное произведение векторного произведения первых
двух векторов на третий. Обозначается смешанное произведение
);;(; cbacba
или просто cba .
Смешанное произведение cba по модулю равно объему паралле-
лепипеда, построенного на векторах a, b
и c
.
Свойства смешанного произведения
1. Смешанное произведение равно нулю, если:
а) хоть один из векторов равен нулю;
б) два из векторов коллинеарны;
в) векторы компланарны.
2. )()( cbacba
3. ),,(),,(),,(),,(),,(),,( bcaabccabbacacbcba
4. ),,(),,(),,( 2121 cbacbacbaa
5. Объем треугольной пирамиды, образованной векторами a, b
и c
, равен
cbaVпир
,,
6
1
6. Если ),,( zyx aaaa , ),,(),,,( ztxzyx ccccbbbb
, то
zyx
zyx
zyx
ccc
bbb
aaa
cba ),,(
Некоторые приложения смешанного произведения
1. Определение взаимной ориентации векторов в пространстве.
Если ),,( cba >0 , то cba
,, – правая тройка
Если ),,( cba <0, то cba
,, – левая тройка
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 3. Векторная алгебра
37
2. Установление компланарности векторов.
Три вектора компланарны, когда их смешанное произведение равно 0.
3. Определение объема параллелепипеда и треугольной пирамиды.
),,( cbaVпар
; ),,(
6
1cbaVпир
Пример.
Вершинами пирамиды служат точки: А(1;2;3) B(0;–1;1) C(2;5;2) D(3;0;–2)
Найти объем пирамиды.
Решение.
ABa
(–1;–3;–2)
ACb
(1;3;–1)
ADc
(2;–2;–5)
4
522
131
231
6
1
пирV
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости
38
ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости
4.1. Основные понятия
4.2. Преобразование системы координат
Основные определения
Под системой координат на плоскости понимают способ, позво-
ляющий численно описать положение любой ее точки. Одной из таких
систем является декартова прямоугольная система координат.
Прямоугольная система координат задается двумя взаимно пер-
пендикулярными прямыми – осями, на которых выбрано положительное
направление и задан единичный отрезок. Точку пересечения осей назы-
вают началом координат (О). А сами оси называют: осью абсцисс (Ох) и
ось ординат (Оу).
Рассмотрим произвольную точку М на плоскости. Вектор OM на-
зывается радиус-вектором точки М.
Произвольной точке на плоскости ставится в соответствие два чис-
ла: абсцисса точки – это проекция радиуса вектора точки на ось Ох,
ордината – проекция этого же вектора на ось Оу. Эти два числа полно-
стью определяют положение точки на плоскости.
Другой практически важной системой координат является поляр-
ная система координат. Полярная система координат задается точкой –
называемой полюсом, лучом Оr, называемым полярной осью и единич-
ным вектором того же направления, что и луч Оr. Положение произволь-
ной точки М на плоскости определяется двумя числами: ее расстоянием
r от полюса и углом φ, образованным отрезком ОМ с полярной осью (от-
счет углов ведется в направлении, противоположном движению часовой
стрелки). Числа r и φ называются полярными координатами точки М,
пишут М(r,φ), при этом r называют полярным радиусом, φ – полярным
углом.
Можно установить связь между полярной системой координат и
декартовой прямоугольной системой, если поместить начало декартовой
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости
39
прямоугольной системы в полюс, а полярную ось направить вдоль поло-
жительного направления оси Ох.
Декартова система ко-
ординат
Полярная система коор-
динат
Тогда координаты произвольной точки в двух различных системах
координат связываются соотношениями:
sin
cos
ry
rx
Полярные координаты точки М выражаются следующим обра-
зом.
x
ytg
yxr
22
Определяя величину φ, следует установить (по знакам x и y) чет-
верть, в которой лежит искомый угол, и учитывать, что .
Пример.
Дана точка N (3; –3). Найти полярные координаты этой точки.
Решение.
13
3
231833 22
tg
r
Так как точка находится в четвертой четверти, то 4
. N( 23 ;4
).
Преобразование систем координат
Определение. Переход от одной системы координат в какую-либо
другую называется преобразованием системы координат.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости
40
Параллельный перенос
Определение. Под параллельным переносом осей координат по-
нимают переход к новой системе координат О1x1y1, при котором меня-
ется положение начала координат, а направление и масштаб остаются
неизменными.
Пусть оси O1x1 и O1y1 параллельны осям Ox и Oy. Допустим точка
M(x;y) в системе координат О1x1y1 имеет координаты x’ и y’. А начало
новой системы координат относительно старой имеет координаты (x0;y0).
Установим связь между старыми и новыми координатами.
Рис. 4.1. Параллельный перенос осей координат
Из чертежа видно, что
'.
,'
0
0
yyy
xxx (4.1)
Полученные формулы позволяют находить старые координаты по
известным новым и наоборот.
Поворот осей координат
Определение. Под поворотом понимают такое преобразование
осей координат, при котором обе оси поворачиваются на один угол,
а начало координат и масштаб остаются неизменными.
Повернем ось координат Oxy на угол α, и пусть она займет поло-
жение О1x1y1. Получим соотношения
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости
41
.cos'sin'
,sin'cos'
yxy
yxx (4.2)
Рис. 4.2. Поворот осей координат
Полученные формулы называют формулами поворота осей.
Если новая система координат О1x1y1 получена из старой Оxy пу-
тем параллельного переноса осей координат и последующим поворотом
осей координат на угол α. Используя формулы (4.1) и (4.2), легко полу-
чить формулы
.cos'sin'
,sin'cos'
0
0
yyxy
xyxx
(4.3)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 5. Линия на плоскости
42
Тема 5. Линия на плоскости
5.1. Основные определения 5.2. Прямая на плоскости
Определение. Уравнением линии на плоскости Oxy называется
такое уравнение F(x;y)=0, которому удовлетворяют координаты x и y каждой точки линии и не удовлетворяют координаты любой точки, не лежащей на этой прямой.
Уравнение линии позволяет изучение геометрических свойств ли-нии заменить исследованием ее уравнения.
Определение. Уравнение F(r;φ)=0 называется уравнением линии в полярной системе координат.
Определение. Линию на плоскости можно задать при помощи двух уравнений (параметрическое уравнение)
).(
),(
tyy
txx
Уравнение прямой на плоскости Простейшей из линий является прямая. Разным способам задания
прямой, соответствуют в прямоугольной системе координат разные виды ее уравнений.
Общее уравнение прямой Определение. Любая прямая на плоскости может быть задана
уравнением первого порядка Ах+Ву+С=0, (5.1)
причем постоянные А, В не равны нулю одновременно, т. е. А2 + В2 0.
Это уравнение первого порядка называют общим уравнением прямой. Разрешим уравнение (5.1) относительно переменной y
.B
Cx
B
Ay
Обозначим B
Ak и
B
Cb , тогда получим
y=kx+b. (5.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 5. Линия на плоскости
43
Из уравнения (5.2) видно, что точка N(0;b) точка пересечения с осью Oy. k называют угловым коэффициентом прямой ( tgk ). Уравне-
ние (5.2) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. В зависимости от значений постоянных А, В и С возможны сле-
дующие частные случаи:
C=0, А0, В0 – прямая проходит через начало координат;
А=0, В0, С0 (By+C=0) – прямая параллельна оси Ох;
В=0, А0, С0 (Аx+C=0) – прямая параллельна оси Оу;
В=С=0, А0 – прямая совпадает с осью Оу;
А=С=0, В0 – прямая совпадает с осью Ох.
Уравнение прямой, проходящей через две точки Пусть в пространстве заданы две точки M1(x1; y1) и M2(x2; y2), тогда
уравнение прямой, проходящей через эти точки:
.12
1
12
1
yy
yy
xx
xx
Если какой-либо из знаменателей равен нулю, следует приравнять нулю соответствующий числитель.
Дробь kxx
yy
12
12 называется угловым коэффициентом прямой.
Пример. Найти уравнение прямой, проходящей через точки А(1, 2) и В(3, 4).
Применяя записанную выше формулу, получаем:
34
,2
3
2
4
,31
3
42
4
xy
xy
xy
01 yx – общее уравнение прямой.
1 xy – уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Уравнение прямой в отрезках
Если в общем уравнении прямой Ах+Ву+С=0 С0, то, разделив на
С, получим: 1 уС
Вх
С
А или
1b
y
a
x , (5.3)
где B
Cb
A
Ca ; .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 5. Линия на плоскости
44
Геометрический смысл коэффициентов в том, что коэффициент а
является координатой точки пересечения прямой с осью Ох, а b – коор-
динатой точки пересечения прямой с осью Оу.
Замечание. Не каждую прямую можно представить уравнением в
отрезках, например, прямые, параллельные осям или проходящие через
начало координат.
Пример. Задано общее уравнение прямой 2х–3у+5=0. Найти уравнение
этой прямой в отрезках.
.13525
,15
3
5
2
,532
yx
yx
yx
Уравнение прямой, проходящей через точку с заданным угловым
коэффициентом
Пусть прямая проходит через точку M(x0;y0) и дан угловой коэф-
фициент этой прямой k.
).( 00 xxkyy
Нормальное уравнение прямой
Если обе части уравнения Ах+Ву+С=0 умножить на число
22
1
BA , которое называется нормирующем множителем, то получим
0coscos pyx – нормальное уравнение прямой.
Знак нормирующего множителя надо выбирать так, чтобы С < 0.р –
длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую,
а – угол, образованный этим перпендикуляром с положительным на-
правлением оси Ох.
Пример. Дано общее уравнение прямой 3х–4у–65=0. Найти нормальное
уравнение прямой.
Найдем нормирующий множитель
5
1
)4(3
122
, тогда
5
4sin,
5
3cos , а р=13. Нормальное
уравнение прямой будет иметь вид 0135
4
5
3 yx
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 5. Линия на плоскости
45
Угол между прямыми на плоскости Пусть две прямые заданы уравнениями с угловыми коэффициентами
y=k1x+b1, y=k2x+b2 (рис. 5.1)
Рис. 5.1. Угол между двумя прямыми
Требуется найти угол φ, на который надо повернуть в положитель-ном направлении первую прямую вокруг точки пересечения до совпаде-ния со второй прямой.
.1
)(21
1212 kk
kktgtg
(5.4)
Если две прямые перпендикулярны, то .2
Следовательно,
101
2112
21
kk
kk
kkctg (
21
1
kk )
Если две прямые параллельны, то .0 Следовательно, 012 kk
или 12 kk .
Расстояние от точки до прямой Теорема. Если задана точка М(х0, у0), то расстояние до прямой
Ах+Ву+С=0 определяется как
22
00
BA
CByAxd
. (5.5)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 6. Линии второго порядка
46
Тема 6. Линии второго порядка 6.1. Основные понятия 6.2. Окружность 6.3. Эллипс 6.4. Гипербола 6.5. Парабола
Основные понятия Рассмотрим линии, определяемые уравнением второй степени от-
носительно текущих координат
Ах2+2Вху+Су2+2Dx+2Ey+F=0. (6.1) Коэффициенты уравнения действительные числа, но по крайней
мере одно из чисел А, В или С отлично от нуля. Такие линии называются линиями (кривыми) второго порядка.
Окружность Определение. Множество всех точек М(x;y) плоскости, равно-
удаленных от центра О(x0;y0) называется окружностью. Пусть МО=R, тогда
(x–x0)2+(y–y0)
2=R2 – уравнение окружности.
Рис. 6.1. Окружность
Эллипс Определение. Эллипсом называется множество точек на плоско-
сти, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек, на-зываемых фокусами, есть величина постоянная (равная 2a, a>0), боль-шая, чем расстояние между фокусами (2c).
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 6. Линии второго порядка
47
2a – большая (фокальная) ось; a – большая полуось; 2b – малая ось; b – малая полуось.
Пусть точка M(x;y) принадлежит эллипсу, F1(-c;0) и F2 (c;0) – фо-
кусы, тогда cFF 221 .
Положим
,)( 2211 ycxMFr .)( 22
22 ycxMFr (6.1)
Рис. 6.2. К определению эллипса
Определение. r1 и r2 называются фокальными радиус-векторами точки M(x;y).
Из определения эллипса r1+r2=const. Подставим в это уравнение (6.1)
aycxycx 2)()( 2222
Перенесем один из корней вправо: 2222 )(2)( ycxaycx .
Возведем обе части в квадрат, получим
.)(4)(4)( 2222222 ycxaycxaycx
Приведем подобные. Перенесем корень влево, а все остальные сла-гаемые – вправо.
.)( 222 xcaycxa
Возведем обе части в квадрат
).()(
,
,22
,2)(
22222222
224222222
22242222222
2224222
caayacax
cxayacaxa
cxxcaayaxcacaxa
cxxcaaycxa
Положим b2=a2-c2, тогда
).( 2222222 caayaxb
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 6. Линии второго порядка
48
Разделим на a2b2, получим каноническое уравнение эллипса
12
2
2
2
b
y
a
x . (6.2)
Теорема. Фокусное расстояние и полуоси эллипса связаны соот-ношением:
a2=b2+c2. Определение. Форма эллипса определяется характеристикой,
которая является отношением фокусного расстояния к большей оси и называется эксцентриситетом.
.a
ce
Так как по определению эллипса с<a, то е<1.
Определение. Величина a
bk называется коэффициентом сжа-
тия эллипса, а величина a
bak
1 называется сжатием эллипса.
Коэффициент сжатия и эксцентриситет связаны соотношением: k2=1–e2.
Если a=b (c=0, e=0, фокусы сливаются), то эллипс превращается в ок-ружность.
Если для точки М(х1;у1) выполняется условие: 12
21
2
21
b
y
a
x, то она нахо-
дится внутри эллипса, а если 12
21
2
21
b
y
a
x, то точка находится вне
эллипса.
Теорема. Для произвольной точки М(x;у), принадлежащей эллипсу верны соотношения:
.
,
2
1
exar
exar
Определение. Директрисами эллипса называют две прямые, па-
раллельные малой оси и отстоящие от нее на расстоянии, равном e
a
Теорема. Для того, чтобы точка лежала на эллипсе, необходимо и достаточно, чтобы отношение расстояния до фокуса к расстоянию до соответствующей директрисы равнялось эксцентриситету е.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 6. Линии второго порядка
49
Рис. 6.3. Эллипс с директрисами
Касательная к эллипсу
Уравнение касательной к эллипсу в точке касания M(x0;y0) имеет вид
120
20
b
yy
a
xx .
Гипербола
Определение. Гиперболой называется множество точек плоско-
сти, для которых модуль разности расстояний от двух фиксированных
точек, называемых фокусами есть величина постоянная, меньшая рас-
стояния между фокусами.
2а называется действительной осью гиперболы, а называется дей-
ствительной полуосью гиперболы
2b называется мнимой осью гиперболы, b называется мнимой по-
луосью гиперболы
Пусть точка M(x;y) принадлежит эллипсу, F1(–c;0) и F2 (c;0) – фо-
кусы, тогда cFF 221 .
,)( 2211 ycxMFr .)( 22
22 ycxMFr
По определению r1–r2= 2a.
По аналогии с выводом канонического уравнения для эллипса получим.
aycxycx 2)()( 2222
2222222 )()(44)( ycxycxaaycx
xcaycxa 44)(4 222 22242222 2)( cxxcaayacxa
22242222222 22 cxxcaayacaxcaxa
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 6. Линии второго порядка
50
0224222222 cxayacaxa
0)()( 22222222 yaacaacx
)()( 22222222 acayaacx
обозначим с2–а2=b2 (геометрически эта величина – меньшая полуось) 222222 yaxbba
12
2
2
2
b
y
a
x . (6.3)
Уравнение (6.3) – каноническое уравнение гиперболы. Замечание. Если мнимая ось гиперболы имеет длину 2a и направ-
лена по оси Ox, а действительная ось длиной 2b совпадает с осью Oy, то уравнение гиперболы имеет вид
12
2
2
2
b
y
a
x . (6.4)
Определение. Гиперболы заданные уравнениями (6.3) и (6.4), назы-ваются сопряженными гиперболами.
Определение. Если a=b, гипербола называется равносторонней.
Асимптоты гиперболы У гиперболы есть две асимптоты – прямые, к которым приближа-
ется гипербола при .x
xa
by – уравнение асимптот.
Замечание. Асимптоты являются диагоналями прямоугольника, центр которого совпадает с центром гиперболы, а стороны равны и па-раллельны осям гиперболы (рис. 6.4).
Рис. 6.4. Гипербола с асимптотами
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 6. Линии второго порядка
51
Определение. Отношение 1a
ce называется эксцентрисите-
том гиперболы, где с – половина расстояния между фокусами, а – дей-
ствительная полуось.
С учетом того, что с2–а2=b2:
2
2
2
22
2
22
a
b
a
ba
a
ce
12 ea
b
Определение. Если а=b, e= 2 , то гипербола называется равно-
бочной (равносторонней).
Определение. Две прямые, перпендикулярные действительной оси
гиперболы и расположенные симметрично относительно центра на
расстоянии e
a от него, называются директрисами гиперболы. Их урав-
нения: e
ax .
Теорема. Если r – расстояние от произвольной точки М гипербо-
лы до какого-либо фокуса, d – расстояние от той же точки до соот-
ветствующей этому фокусу директрисы, то отношение d
r – величина
постоянная, равная эксцентриситету.
Для точек правой ветви фокальные радиус-векторы вычисляются
следующим образом
.
,
2
1
aexr
exar
Для точек левой ветви
.
,
2
1
aexr
exar
Касательная к гиперболе
Уравнение касательной к гиперболе в точке касания M(x0;y0) имеет
вид
120
20
b
yy
a
xx .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 6. Линии второго порядка
52
Парабола Определение. Параболой называется множество точек плоско-
сти, каждая из которых находится на одинаковом расстоянии от дан-ной точки, называемой фокусом, и от данной прямой, называемой ди-ректрисой и не проходящей через фокус.
Каноническое уравнение параболы мы получим, выбрав систему координат таким образом: проведем ось Ox перпендикулярно директрисе через фокус, направив от директрисы к фокусу. Расстояние от директри-сы до фокуса F обозначим р и назовем его параметром параболы. Начало координат возьмем в середине отрезка, соединяющего фокус с директри-сой, и направим ось Oy так, чтобы система координат Oxy была правой (рис.). Опустим из точки M(x;y) на параболе перпендикуляр на дирек-трису. Пусть точка N – его основание.
Рис. 6.5. Определение параболы
Из геометрических соотношений: MFNM .
;2
22
pxyMF
;22
22
2
pxy
px
Откуда
.22 pxy (6.5)
Фокальный радиус-вектор любой точки параболы равен
.2
pxr
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 6. Линии второго порядка
53
Касательная к параболе в точке касания (x0;y0) определяется урав-
нением
.2 00 xxyy
Уравнения pxy 22 , qyx 22 и qyx 22 так же определяют пара-
болы.
Канонический вид кривой второго
Рассмотренные выше кривые второго порядка имеют канонические
уравнения только относительно специально подобранных систем коор-
динат. В произвольной системе координат уравнение второго порядка
имеет вид
0222 212
22122
11 cbxbyaxyaxa (6.6)
это общее уравнение кривой второго порядка.
Привести его к каноническому виду можно с помощью преобразо-
ваний координат, причем вид кривой можно определить сразу, вычислив
определитель
.2221
1211
aa
aa
Если Δ>0, то кривая эллиптического типа.
Если Δ<0, то кривая гиперболического типа.
Если Δ=0, то кривая параболического типа.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве
54
Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве 7.1. Уравнение поверхности в пространстве 7.2. Плоскость основные задачи 7.3. Уравнение прямой в пространстве 7.4. Прямая линия в пространстве. Основные задачи
Уравнение поверхности в пространстве Как на плоскости, так и в пространстве, любая поверхность может
быть определена как совокупность точек, координаты которых в некото-рой выбранной в пространстве системе координат удовлетворяют урав-нению:
F(x, y, z) = 0. Уравнение поверхности позволяет изучение геометрических
свойств поверхности заменить исследованием его уравнения. Так, для того, чтобы узнать, лежит ли точка М(х1;y1;z1) на данной поверхности, достаточно подставить координаты точки М в уравнение поверхности вместо переменных: если координаты удовлетворяют уравнению, то точ-ка лежит на поверхности, в обратном случае точка не лежит на поверх-ности.
Уравнение плоскости, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору
Пусть в пространстве Oxyz плоскость Q задана точкой M(x0;y0;z0) и вектором );;( CBAn , перпендикулярным этой плоскости (рис. 7.1)
Рис. 7.1. Плоскость перпендикулярная вектору
Выведем уравнение плоскости Q. возьмем на ней произвольную точку M(x;y;z) и составим вектор )0000 z; zy;yx(xMM . При любом
расположении точки М на плоскости Q векторы n и 0MM взаимно пер-
пендикулярны, поэтому их скалярное произведение равно нулю .0000 )zC( z)yB(y)xA(x (7.1)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве
55
Координаты любой точки плоскости удовлетворяют этому уравне-
нию, координаты точек, не лежащих на плоскости не удовлетворяют.
Уравнение (7.1) называется уравнением плоскости, проходящей че-
рез данную точку перпендикулярно данному вектору. Вектор );;( CBAn
называется нормальным вектором плоскости.
Придавая коэффициентам A, B и C уравнения (7.1) различные зна-
чения, можно получить уравнение любой плоскости, проходящей через
точку M0. Совокупность плоскостей, проходящих через данную точку
называется связкой плоскостей, а уравнение (7.1) – уравнением связки
плоскостей.
Общее уравнение плоскости
Уравнение
Ax+By+Cz+D=0 (7.2)
называется общим уравнением плоскости в пространстве.
Частные случаи общего уравнения плоскости
Рассмотрим особенности расположения плоскости в тех случаях,
когда те или иные коэффициенты общего уравнения обращаются в нуль.
Значение
коэффициентов
Уравнение
плоскости
Расположение плоскости
в пространстве
0D 0 CzByAx проходит через начало
координат 0,0,0,0 DCBA 0 DCzBy // оси Ox ( yOz) 0,0,0,0 DCAB 0 DCzAx // оси Oy ( xOz) 0,0,0,0 DBAC 0 DByAx // оси Oz ( xOy)
0,0,0 CBDA 0CzBy проходит через ось Ox 0,0,0 CADB 0CzAx проходит через ось Oy 0,0,0 BADC 0 ByAx проходит через ось Oz 0,0,0 DCBA 0 DCz оси Oz (// xOy) 0,0,0 DBCA 0 DBy оси Oy (// xOz)
0,0,0 DACB 0 DAx оси Ox (// yOz) 0,0 CDBA 0Cz плоскость xOy 0,0 BDCA 0By плоскость xOz
0,0 ADCB 0Ax плоскость yOz
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве
56
Уравнение плоскости, проходящей через три точки
Пусть даны три точки );;( 1111 zyxM , );;( 2222 zyxM и );;( 3333 zyxM . Если
точки не лежат на одной прямой, то через них всегда можно провести единственную плоскость. Обозначим (х;у;z) координаты произвольной точ-
ки М пространства и рассмотрим три вектора: )z; zy;yxxMM 1111 ( ,
)z-z ;y- y;( 12121221 xxMM , )z; zy;yx(xMM 13131331 . Точка М лежит на
плоскости М1М2М3 в том и только том случае, когда перечисленные три вектора компланарны, а значит определитель, составленный из их коорди-нат, равен нулю:
0
131313
121212
111
zzyyxx
zzyyxx
zzyyxx
. (7.3)
Уравнение плоскости в отрезках
Пусть плоскость отсекает на осях Ox, Oy и Oz соответственно от-резки a, b и с, то есть проходит через три точки А(а;0;0) В(0;b;0) и С(0;0;с) (рис 7.2). Подставляем координаты точек в уравнение (7.3)
Рис. 7.2. Плоскость, отсекающая на осях отрезки
0
0
0
ca
ba
zyax
,
раскрывая определитель, получаем уравнение плоскости в отрезках на осях
0c
z
b
y
a
x .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве
57
Плоскость. Основные задачи Угол между плоскостями
Пусть даны две плоскость Q1 и Q2:
A1x+B1y+C1z+D1=0 A2x+B2y+C2z+D2=0.
Под углом между плоскостями Q1 и Q2 понимается один из дву-гранных углов, образованных этими плоскостями (рис.7.3).
Рис. 7.3. Угол между плоскостями
Угол α между нормальными векторами 1n (A1, B1, C1), 2n (A2, B2, C2)
плоскостей Q1 и Q2 равен одному из этих углов (рис. 7.3). Угол между векторами нормали найдем из их скалярного произведения:
21
21cosnn
nn
или .cos
22
22
22
12
12
12
212121
CBACBA
CCBBAA
Для нахождения острого угла следует взять модуль правой части.
Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей На основе полученной выше формулы для нахождения угла между
плоскостями можно найти условия параллельности и перпендикулярно-сти плоскостей.
Теорема. Для того, чтобы плоскости были перпендикулярны необ-ходимо и достаточно, чтобы косинус угла между плоскостями равнялся нулю. Это условие выполняется, если:
0212121 CCBBAA .
Плоскости параллельны, векторы нормалей коллинеарны: 1n || 2n .
Это условие выполняется, если: 2
1
2
1
2
1
C
C
B
B
A
A .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве
58
а) б) Рис. 7.4. Взаимное расположение плоскостей:
а) перпендикулярные плоскости; б) параллельные плоскости
Расстояние от точки до плоскости Пусть дана точка M0(x0;y0;z0) и плоскость Q. Расстояние d от точки
М0 до плоскости Q находится по формуле
.222
000
CBA
DCzByAxd
Уравнение прямой в пространстве Векторное и каноническое уравнения прямой
Возьмем произвольную прямую и вектор s (m, n, p), параллельный
данной прямой. Вектор s называется направляющим вектором прямой. На прямой возьмем две произвольные точки М0(x0, y0, z0) и M(x, y, z).
Обозначим радиус-векторы этих точек как 0r и r , очевидно, что
r – 0r = MM0 .
Т. к. векторы MM 0 и s коллинеарны, то верно соотношение MM 0 =t s , где
t – некоторый параметр. Итого, можно записать:
r = 0r +t s . (7.4)
Полученное уравнение называется векторным уравнением прямой. Это векторное уравнение может быть представлено в координат-ной форме:
.
,
,
0
0
0
ptzz
ntyy
mtxx
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве
59
Преобразовав эту систему и приравняв значения параметра t, полу-
чаем канонические уравнения прямой в пространстве:
p
zz
n
yy
m
xx 000
.
Определение: Направляющими косинусами прямой называются
направляющие косинусы вектора s , которые могут быть вычислены по
формулам:
222cos
pnm
m
;
222cos
pnm
n
;
222cos
pnm
p
.
Отсюда получим: m:n:p=cos:cos:cos. Числа m, n, p называются угловыми коэффициентами прямой. Так как
s – ненулевой вектор, то m, n и p не могут равняться нулю одновремен-
но, но одно или два из этих чисел могут равняться нулю. В этом случае в
уравнении прямой следует приравнять нулю соответствующие числители.
Уравнение прямой в пространстве, проходящей через две точки
Если на прямой в пространстве отметить две произвольные точки
M1(x1, y1, z1) и M2(x2, y2, z2), то координаты этих точек должны удовлетво-
рять полученному выше уравнению прямой:
p
zz
n
yy
m
xx 121212
.
Кроме того, для точки М1 можно записать:
p
zz
n
yy
m
xx 111
.
Решая совместно эти уравнения, получим:
12
1
12
1
12
1
zz
zz
yy
yy
xx
xx
.
Это уравнение прямой, проходящей через две точки в пространстве.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве
60
Общие уравнения прямой в пространстве Прямую в пространстве можно записать как линию пересечения двух непараллельных плоскостей. Рассмотрим систему уравнений
.0
,0
2222
1111
DCzByAx
DCzByAx (7.5)
Уравнение прямой может быть рассмотрено как уравнение линии пере-сечения двух плоскостей.
Рис. 7.5. Пересечение двух плоскостей
Каждое из уравнений этой системы определяет плоскость. Если плоскости не параллельны то система определяет прямую L как геомет-рическое место точек пространства, координаты которых удовлетворяют каждому из уравнений системы (рис. 7.5). Уравнения (7.5) называют об-щими уравнениями прямой.
От общих уравнений можно перейти к каноническим уравнениям. Для этого надо найти произвольную точку прямой и числа m, n, p.
При этом направляющий вектор прямой может быть найден как векторное произведение векторов нормали к заданным плоскостям.
.22
11
22
11
22
11
222
11121 pknjmiBA
BAk
CA
CAj
CB
CBi
CBA
CBA
kji
nns
Прямая линия в пространстве. Основные задачи Угол между прямыми в пространстве
Пусть прямые L1 и L2 заданы уравнениями
1
1
1
1
1
1
p
zz
n
yy
m
xx
и 2
2
2
2
2
2
p
zz
n
yy
m
xx
.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве
61
Под углом между этими прямыми понимают угол между направ-ляющими векторами. Поэтому для нахождения угла между прямыми пользуются формулой
22
22
22
21
21
21
212121
21
21cospnmpnm
ppnnmm
ss
ss
.
Условия параллельности и перпендикулярности прямых в пространстве. Теорема. Чтобы две прямые были параллельны необходимо и дос-
таточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеар-ны, т. е. их соответствующие координаты были пропорциональны
2
1
2
1
2
1
p
p
n
n
m
m .
Теорема. Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпен-дикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю
0212121 ppnnmm .
Угол между прямой и плоскостью Определение. Углом между прямой и плоскостью называется лю-
бой из двух смежных углов, образованный прямой и ее проекцией на плоскость.
Пусть плоскость задана уравнением 0 DCzByAx , а прямая –
p
zz
n
yy
m
xx 000
. Тогда
222222sin
pnmCBA
CpBnAm
. (7.6)
Острый угол между плоскостью и прямой можно найти, взяв в формуле (7.6) модуль правой части.
Условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости в пространстве
Теорема. Для того, чтобы прямая и плоскость были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и на-правляющий вектор прямой были перпендикулярны. Для этого необходи-мо, чтобы их скалярное произведение было равно нулю.
.0,0sin,0, CpBnAmsnsn
Теорема. Для того, чтобы прямая и плоскость были перпендику-лярны, необходимо и достаточно, чтобы вектор нормали к плоскости и
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве
62
направляющий вектор прямой были коллинеарны. Это условие выполня-ется, если векторное произведение этих векторов было равно нулю.
p
C
n
B
m
Asn ;0 .
Пересечение прямой с плоскостью. Условие принадлежности прямой
плоскости Пусть требуется найти точку пересечения прямой
p
zz
n
yy
m
xx 000
(7.7)
с плоскостью
0 DCzByAx . (7.8)
Для этого надо решить систему уравнений (7.7) и (7.8). Проще всего это сделать, записав уравнение прямой в параметрическом виде
.
,
,
0
0
0
ptzz
ntyy
mtxx
Подставляя эти выражения в уравнение плоскости получим
.000
CpBnAm
DCzByAxt
Подставляя найденное значение t в параметрическое уравнение прямой, найдем координаты пересечения прямой с плоскостью.
Рассмотрим теперь случай, когда 0 CpBnAm :
а) если 0000 DCzByAx , то прямая параллельна плоскости и пересе-
кать ее не будет.
б) если 0000 DCzByAx , то любая точка прямой является точкой
плоскости. Таким образом, одновременное выполнение равенств
0
,0000
CpBnAm
DCzByAx
является условием принадлежности прямой плоскости.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 8. Поверхности второго порядка
63
Тема 8. Поверхности второго порядка 8.1. Цилиндрические поверхности 8.2. Поверхности вращения
Определение. Поверхности второго порядка – это поверхности, уравнения которых в прямоугольной системе координат являются урав-нениями второго порядка.
Цилиндрические поверхности
Определение. Поверхность, образованная движением прямой L, которая перемещается в пространстве, сохраняя постоянное направле-ние и пересекая каждый раз некоторую кривую К, называется цилинд-рической поверхностью или цилиндром. При этом кривая К называется направляющей цилиндра, а прямая L – его образующей.
Будем рассматривать цилиндрические поверхности, направляющие которых лежат в одной из координатных плоскостей, а образующие па-раллельны координатной оси, перпендикулярной этой плоскости.
Пусть в плоскости xOy лежит некоторая кривая К, уравнение которой F(x;y)=0. (8.1)
Построим цилиндр с образующими параллельными оси Оz и на-правляющей К.
Теорема. Уравнение цилиндра, образующие которого параллельны оси Оz, имеет вид (8.1), т. е. не содержит координаты z.
Название цилиндра определяется названием направляющей. Если
направляющей служит эллипс 12
2
2
2
b
y
a
x в плоскости Oxy, то соответст-
вующая цилиндрическая поверхность называется эллиптическим цилин-дром (рис. 8.1).
Рис. 8.1. Эллиптический цилиндр
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 8. Поверхности второго порядка
64
Частным случаем эллиптического цилиндра является круговой ци-линдр, его уравнение x2+y2=R2.
Уравнение x2=2pz определяет в пространстве параболический ци-линдр (рис. 8.2).
Рис. 8.2. Параболический цилиндр
Уравнение 12
2
2
2
b
y
a
x определяет гиперболический цилиндр (рис. 8.3).
Рис. 8.3. Гиперболический цилиндр
Поверхности вращения Определение. Поверхность, описываемая некоторой линией, вра-
щающейся вокруг неподвижной прямой d, называется поверхностью вращения с осью вращения d.
Если уравнение поверхности в прямоугольной системе координат имеет вид:
F(x2+y2;z)=0, то эта поверхность – поверхность вращения с осью вращения Оz.
Аналогично: F(x2+z2;y)=0 – поверхность вращения с осью враще-ния Оу, F(z2+y2;x)=0 – поверхность вращения с осью вращения Ох.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 8. Поверхности второго порядка
65
Запишем уравнения поверхностей вращения для некоторых част-ных случаев:
1. 12
2
2
22
c
z
a
yx – эллипсоид вращения
2. 12
2
2
22
c
z
a
yx – однополостный гиперболоид вращения
3. 12
2
2
22
c
z
a
yx – двуполостный гиперболоид вращения
4. zp
yx2
22
– параболоид вращения
Аналогично могут быть записаны уравнения для рассмотренных вы-ше поверхностей вращения, если осью вращения являются оси Ох или Оу.
Однако, перечисленные выше поверхности являются всего лишь частными случаями поверхностей второго порядка общего вида, некото-рые типы которых рассмотрены ниже:
2222 )()()( rczbyax – уравнение сферы.
Трехосный эллипсоид – 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x
В сечении эллипсоида плоскостями, параллельными координатным плоскостям, получаются эллипсы с различными осями.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 8. Поверхности второго порядка
66
Однополостный гиперболоид – 12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x .
12
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x – двуполостный гиперболоид.
Эллиптический параболоид – 0,0,222
qpгдеzq
y
p
x .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
Тема 8. Поверхности второго порядка
67
zq
y
p
x2
22
– гиперболический параболоид.
Конус второго порядка – 02
2
2
2
2
2
c
z
b
y
a
x .
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
68
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Грес П. В. Математика для гуманитариев [Текст]: учеб. пособие /
П. В. Грес. – М.: Юрайт, 2000. – 112 с.
2. Ильин В. А. Линейная алгебра и аналитическая геометрия [Текст] /
В. А. Ильин, Г. Д. Ким. – М.: Изд-во Моск. ун-та, 1998.
3. Красс М. С. Математика для экономических специальностей [Текст] /
М. С. Красс. – М.: Дело, 2002.
4. Малугин В. А. Математика для экономистов: Линейная алгебра. Курс
лекций [Текст] / В. А. Малугин. – М.: Эксмо, 2006. – 224 с.
5. Письменный Д. Т. Конспект лекций по высшей математике [Текст] /
Д. Т. Письменный. – М.: Рольф, 2000. – 1 часть. – 228 с.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
69
ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ……………………………………………………………...…....3
ГЛАВА 1. ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА ................................................................ 4 Тема 1. Элементы линейной алгебры ............................................................ 4
Матрицы и действия над ними ........................................................ 4
Определители ..................................................................................... 8
Обратная матрица ......................................................................... 13
Ранг матрицы .................................................................................. 14
Тема 2. Системы линейных алгебраических уравнений ............................. 16
Основные понятия ........................................................................... 16
Метод Крамера ................................................................................ 17
Матричный метод .......................................................................... 18
Метод Гаусса ................................................................................... 18
Однородные системы линейных уравнений .................................. 21
Решение неоднородной системы линейных уравнений ................ 22
ГЛАВА 2. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА ............................................................ 25 Тема 3. Векторная алгебра ........................................................................... 25
Основные определения ..................................................................... 25
Линейные операции над векторами. .............................................. 26
Проекция вектора на ось ................................................................ 27
Разложение вектора по ортам координатных осей ................... 29
Действия над векторами, заданными проекциями ...................... 30
Координаты вектора ...................................................................... 31
Базис системы векторов ................................................................ 32
Скалярное произведение векторов и его свойства ...................... 33
Векторное произведение векторов и его свойства ...................... 34
Смешанное произведение векторов ............................................... 36
ГЛАВА 3. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ .......................................... 38 Тема 4. Аналитическая геометрия на плоскости ..................................... 38
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
70
Основные определения ..................................................................... 38
Преобразование систем координат .............................................. 39
Тема 5. Линия на плоскости ......................................................................... 42
Уравнение прямой на плоскости .................................................... 42
Тема 6. Линии второго порядка ................................................................... 46
Основные понятия ........................................................................... 46
Окружность ..................................................................................... 46
Эллипс ................................................................................................ 46
Гипербола .......................................................................................... 49
Парабола ........................................................................................... 52
Тема 7. Аналитическая геометрия в пространстве ................................. 54
Уравнение поверхности в пространстве. ..................................... 54
Плоскость. Основные задачи ......................................................... 57
Уравнение прямой в пространстве ............................................... 58
Прямая линия в пространстве. Основные задачи ........................ 60
Тема 8. Поверхности второго порядка ....................................................... 63
Цилиндрические поверхности ......................................................... 63
Поверхности вращения ................................................................... 64
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ ............................................................................. 68
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»
71
Редактор М. В. Чупина Компьютерная верстка Е. И. Ащеулова
Подписано к печати 11.11.2011. Формат 60х841/16. Бумага офсетная. Гарнитура «Таймс». Уч.-изд. л. 1,5. Усл. печ. л. 4,1.
Тираж 300 экз. Заказ № 360 ___________________________________________________________
Издательство КемГУКИ: 650029, г. Кемерово,
ул. Ворошилова, 19. Тел. 73-45-83. E-mail: [email protected]
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»