DEFLEXIONES EN VIGAS EN VOLADIZOS

L

MAΔ

P

EI3

PL=Δ

3

L

MAΔ

P2

L

EI48

PL5=Δ

3

L

MA Δ

P

a b

L

MA Δ

a

L

Δ EI8

Lω=Δ

4

L

ΔEI120

Lω11=Δ

4

L

ΔEI30

Lω=Δ

4

PENDIENTES EN VIGAS SIMPLEMENTE APOYADAS

LAθ Bθ

EI24

Lω=θ=θ

3

BA

LAθ Bθ

2

L

EI384

Lω9=θ

3

A

EI384

Lω7=θ

3

B

LAθ Bθ

a

LAθ Bθ

EI16

PL=θ=θ

2

BA

LAθ Bθ

P

a b

)a+L(EIL6

Pab=θB

LAθ Bθ

a a

EI360

Lω7=θ

3

A

EI45

Lω=θ

3

BL

)a-L3(EI6

Pa=Δ

2

)a-L4(EI24

aω=Δ

3

L

Δ

a

)a+La4-L3(EI24

ω=Δ 434

)a-L(EI2

Pa=θ=θ BA

)a-L2(EIL24

aω=θ

2

A

)aL2(EIL24

aω=θ 22

2

B -

2

L

Aθ Bθ

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

ω

MA

MA

)b+L(EIL6

Pab=θA

MA MBL

ECUACIONES

Ecuaciones generales

SISTEMA DE CARGA

ABAA m+M+M2=

L

θEI6

BBAB m+M2+M=

L

θEI6

MA MBL

P

BA M=M

Carga simétrica

MA MBL

PCarga asimétrica

BA MM ≠

MA L

P2

LCarga simétrica

MA L

Carga asimétricaPa b

L

r3=M A

A

rA= Reacción imaginaria producida por el diagrama de momentos isostáticos

L

r6=m y

L

r6=m B

BA

A

DETERMINACIÓN DE MOMENTOS DE EMPOTRE

Para la determinación del valor de los momentos de empotramiento en vigas hiperestáticas de un solo claro, basta con aplicar las ecuaciones anteriores, se muestran las figuras que ilustran los casos generales.

Estas ecuaciones son los correspondientes a vigas doblemente empotradas, y a vigas empotradas y apoyadas. Para los dos casos se tienen vigas con carga simétrica y vigas con carga asimétrica.

L

cosIsostáti Amomentos=MA

L2

cosIsostáti Amomentos3=MA

PROPIEDADES DE SECCIONES GEOMÉTRICAS

FIGURA ECUACIONES

Eje de momentos en el centro

De gravedad

TRAPECIO

b

1b

d c

2

)b+b(d=A 1

)b+b(3

)b+b2(d=c

1

1

)b+b(36

)b+bb4+b(d=I

1

211

23

)b+b2(12

)b+4bb+b(d=S

1

211

22

)b+bb4+b(2b+6(b

d=r 2

112

1)

Eje de momentos en el centro

De gravedad

d

c

b

)d-d(b=A 1

d1

2

d=c

12

)d-b(d=I

31

3

d6

)d-b(d=S

31

3

)d-12(d

d-d=r

1

31

3

)d-d(4

b=Z 2

12

BA M=M

ω

)rr2(L2

=M BAA --

)rr2(L

2-=M ABB -

MOMENTOS DE EMPOTRESISTEMA DE CARGA

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO

PROPIEDADES DE SECCIONES GEOMÉTRICAS

FIGURA ECUACIONES

Eje de momentos en el centro

d

d

c

L

MA

Pa b

)2

a+b(

L

Pab=M 2A

L

MA

PP P 16

PL5MA

2d=A2

d=c

12

d=I

4

6

d=S

3

12

d=r

4

d=Z

3

Eje de momentos en la base

d

d

c

2d=A2

d=c

3

d=I

4

3

d=S

3

3

d=I

d

b

c

Eje de momentos en el centro

bd=A2

d=c

12

bd=I

3

6

bd=S

2

12

d=r

4

bd=S

2

cR

Eje de momentos en el centro

d

22

Rπ=4

dπ=A

R=2

d=c

64

dπ=I

4

32

dπ=S

3

4

d=r

6

d=Z

3

Eje de momentos en la base

b

cd

2

bd=A

d=c

12

bd=I

3

12

bd=S

2

PROPIEDADES DE SECCIONES GEOMÉTRICAS

Eje de momentos en el centro

d 1d

FIGURA ECUACIONES

c

2

d=c

CUADRADO

CUADRADO

RECTANGULO

CIRCULO

ANILLO CIRCULAR

TRIANGULO

R c

SEMI- CIRCULO

Eje de momentos en el centro de gravedad

2

Rπ=A

2

6

d=r

4

)d-d(π=A

21

2

64

)d-d(π=I

41

4

d32

)d-d(π=S

41

4

4

d+d=r

21

2

6

d-

6

d=Z

31

3

)π3

4-1(R=c

)π9

8-

8

π(R=I 4

)4-π3(24

)64-π9(R=S

23

π6

64-π9R=r

2

d

4

L

4

L

4

L

4

L

MOMENTOS DE EMPOTRESISTEMA DE CARGA

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO

SISTEMA DE CARGA MOMENTOS DE EMPOTRE

L

MA

Pa b

L

MA

PP3

L

3

L

3

L

L

MA

PP

x xL-2x

L

2

L

MA

L

MA

x

MA

L

2

L

L

MA

L

2

L

L

BA M=9

PL2=M

BA M=16

PL5=M

192

Lω5=M

2

B

)L6+xL8-x3(L12

xω=M 22

2

2

A

30

Lω=M

2

A

160

Lω3=M

2

B

MB

L

MA

PP P4

L

4

L

4

L

4

L

MB

MB

MB

MB

MB

MB

L

MA

2

L

MBB

2

A M=96

Lω5=M

B

2

A M=384

Lω17=M

MB

L

MA

2

L

MB

ab

B2

2

A M=)L

b2-3(

24

bLω=M

192

Lω11=M

2

A

20

Lω=M

2

BL

MBMA

MA MBB

2

A M=32

Lω=M

B

2

A M=12

Lω=M

L

MA

P

MB

2

L

2

L

L

MA

P

L

MA

P

2

L

16

PL3=MA

a b

)2

a+b(

L

Pab=M 2A

)X3-L4(L12

xω=M 2

3

B

BA M=L

)x-L(Px=M

BA M=8

PL=M

2

2

BL

bPa=M

2

2

AL

Pab=M

ω

ω

ω

ω

ω ω

ω

ω

ω

30L

=M2

A

MOMENTOS DE EMPOTRESISTEMA DE CARGA

MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO MOMENTOS DE EMPOTRAMIENTO

SISTEMA DE CARGA MOMENTOS DE EMPOTRE

L

MA

PP3

PL=MA

3

L

3

L

3

L

L

MA

PP

x xL-2x

L

2

L

MA 128

Lω9=M

2

A

MA

L

2

L

480

Lω17=M

2

A

L

MA

2

L

960

Lω41=M

2

A

L

MA

2

L

L

MA

2

L

L

MA

2

L

256

Lω17=M

2

A

64

Lω5=M

2

A

L

2

L

64

Lω3=M

2

A

L

L

120

Lω7=M

2

A

15

Lω=M

2

A

10

Lω=M

2

A

L

MA

x

L

MA 8

Lω=M

2

A

L

MA

x

MA

a ab

MA

MA

MA

)L

b-3(

16

bLω=M 2

2

A

)L

b2-3(

16

bLω=M 2

2A

ω ω

ω ω

ω

ω

ω ω

ω ω

ωω

ωω

)L4+xL4-x(L8

xω=M 22

2

2

A

)x-L(L2

Px3=MA

)x-L2(L8

xω=M 22

2

2

A

2

L

L

LMA

MB

L

MA MB

x

SISTEMA DE CARGA CORTANTES Y MOMENTOS EN UNA SECCIÓN

BA R=2

Lω=R

L

MA

P

MB

2

L

2

L

RA RB

L

RA

P

MB

2

L

2

L

MA

RB

AX R=V ↑

BA R=2

P=R

L

MA

2

L

MB

L

MA

2

L

MB

RA RBx

BA R=4

Lω=R

SISTEMA DE CARGA CORTANTES Y MOMENTOS EN UNA SECCIÓN

LMB

MA

L

MB

MA

RA RB

x

x

6

Lω=RA

3

Lω=RB

RIGIDECES A FLEXIÓN

EI3

LM=θ A

A EI6

LM=θ A

B

Aθ Bθ

MA

Aθ Bθ

MB

EI2

LM=θ A

A EI2

LM=θ A

B

BA M=MMA

MA

BA M=M

MB

EI6

LM=θ A

BEI6

LM=θ A

A

Aθ

Bθ MA

L L

LL

Aθ

EI4

LM=θ A

A

L

EI3=K

L

EI6=K

L

EI2=K

↓↑ xω- R=V AX

2

xωM- xR =M

2

AAX -

L3

xωM- xR=M

3

AAX - L6

xωM - XR=M

3

AAx -

↓↑L

xω- R=V

2

AX↓ ↑

L2

xω- R=V

2

Ax

AAX M- xR=M

ω

ω

ωω

ω

L

EI4=K

2

M=M A

B