GUIA TUTORIAL DEL PRINCIPIO DE .INCERTIDUMBRE

Para manejar grandes problemas, es bueno partir manejando confiadamente problemas menores.

1) Encuentre la constante de Planck en unidades de [eV·s]. Si no la tiene en esas unidades, haga la conversión. Si va a memorizar algo, recuerde este valor, y no el valor en unidades de [J·s]. Tal como el médico no mide el largo de un bebé recién nacido en [año·luz] (se puede, pero el número es incómodo), nosotros no vamos a medir energías atómicas en Joules.

2) La cantidad hc también aparece muy a menudo en cálculos. De hecho, aparece más seguido que la constante h sola. Calcule hc en unidades de [eV·nm]. Trate de recordar eso.

3) Calcule el rango de energías de los fotones de luz visible, sabiendo el rango de longitudes de onda de los mismos (por si aún no lo sabe: entre 700 y 400 nm). Note que tener el valor de hc en [eV·nm] resulta práctico.

4) Estudie brevemente la incertidumbre de Heisenberg en posición-momentum. Calcule la incertidumbre en posición para una bolita de 1 [g] cuya incerteza en velocidad es de 1 [m/año]. Note que ésta es una incerteza en velocidad muy baja para nuestra experiencia cotidiana.

a. Note que la incertidumbre en posición es también absurdamente pequeña (el diámetro del núcleo de un átomo es ~10–15 [m]).

b. Cómo hacer para obtener una incertidumbre mayor? Escoger una bolita más grande o más pequeña? Qué tal un grano de polvo, de 0,01 [mm] de diámetro y 0,001 [microgramo]? Haga el cálculo de la incertidumbre en posición usando la misma incerteza de velocidad anterior. Cómo resulta, comparado con el diámetro del grano de polvo? Es por esto que la mecánica cuántica no es algo que salte a la vista en nuestra vida común y corriente.

5) Calcule 2π= h en unidades [eV·s], con 2 cifras. Multiplique por c y encuentre c en [eV·nm].

a. Exprese la energía cinética (para v<<c) de una partícula, en términos de su masa y su momentum (no velocidad).

b. Encuentre el momentum de la partícula en términos de la energía cinética.

c. Encuentre el diferencial dp del momentum en términos del diferencial de energía cinética, dEK (es importante saber diferenciar).

d. Considere a estos diferenciales calculados como las incertezas en esas cantidades. Exprese entonces la incerteza de momentum, dp, en términos de la incerteza de energía cinética, suponiendo que tanto la energía cinética misma como su incerteza son prácticamente iguales (es decir, suponga EK ~ dEK ).

e. Use la relación de Heisenberg para encontrar la incerteza en posición de esta partícula.

f. Averigüe la masa del electrón. Multiplique por c2 y calcule la energía en reposo del electrón, mc2, en [MeV]. No use más el valor numérico de la masa del electrón, sino sólo el de su energía en reposo.

g. Calcule la incertidumbre en la posición de un electrón, si tanto su energía cinética como la incerteza en esa energía son de aprox. 1 [eV]. Truco numérico: multiplique numerador

y denominador de esa expresión por c, de modo que aparezca c en el numerador y mc2 en el denominador. Ahora haga el cálculo en unidades [eV], [nm], etc. No use Joules ni kilógramos.

h. Compare lo anterior con el diámetro de un átomo, ~ 0,1 [nm]. Estamos acercándonos al mundo donde la mecánica cuántica es esencial.

6) Ejercicio: al pasar un haz de electrones monocromático (es decir, todos con el mismo momentum) por una rendija transversal de ancho b,

a. Cuál es la longitud de onda asociada a ese haz?

b. Para esa longitud de onda, cuál es la divergencia angular que sufre un haz (onda) debido a la difracción? (revise Difracción por una rendija; vea sus apuntes).

c. Si consideramos el ancho de la ranura como la incerteza en la posición transversal de los electrones, cuál es la incerteza en el momentum transversal? (originalmente los electrones tienen todos un mismo momentum en dirección longitudinal, con componente transversal nula, pero al pasar por la rendija adquieren una componente transversal impredecible dentro de un cierto rango de incertidumbre).

d. Compare (b) y (c).

7) La relación de incertidumbre entre energía y tiempo es matemáticamente similar a la anterior (en posición y momentum), pero conceptualmente un poco distinta: la incertidumbre de cuál energía y de cuál tiempo?

La relación de incertidumbre de energía y tiempo se refiere a la relación entre la precisión (incerteza) en la energía de un estado, y el tiempo de vida del mismo.

Veamos un ejemplo: se dice que una partícula está en un estado estacionario cuando ésta permanece eternamente en ese estado. Podríamos decir que la vida de ese estado es infinitamente larga. En tal caso, ocurre que la energía de la partícula en ese estado tiene un valor muy preciso (un valor exacto).

Dicho de otra manera: estado con tiempo de vida infinito tiene una energía definida con precisión perfecta (cero incerteza).

En el caso de un estado inestable, como el de un electrón en un estado excitado de un átomo, dicho estado tiene en promedio un tiempo de vida finito, ∆T . En tal caso, la energía de ese estado no se puede definir por un valor exacto, sino por un valor con incerteza ∆E , dado por la relación de Heisenberg.

Qué significa esto? Esto es algo de tipo estadístico:

Si disponemos de un gran número de átomos en ese estado inestable, después de un tiempo suficientemente largo, en cada átomo dicho estado decaerá a un estado de energía inferior, emitiendo un fotón que se lleva la energía perdida por el átomo. Si medimos el tiempo de vida de ese estado y medimos su energía, notaremos que, para distintos átomos, los tiempos de vida son

también distintos: hay un tiempo de vida promedio, T, pero la dispersión de ese tiempo entre un átomo y otro, ∆T , no es cero, sino un valor comparable al promedio T. Del mismo modo, encontraremos que las energías emitidas no son todas iguales, sino que tienen una dispersión de energía, ∆E , que es inversamente proporcional a T, según Heisenberg.

Hagamos ahora unos ejercicios representativos:

8) Un electrón en un átomo está en cierto estado inestable, y decae a un estado cuya energía es 2 [eV} menor que la del estado inicial.

a. Cuál es la energía del fotón emitido? (no busque complicaciones; esto es muy simple).

b. Si hacemos el experimento con varios de estos átomos, notaremos que el tiempo típico de decaimiento del estado inestable es de 10–8 [s]. En tal caso, no todos los fotones emitidos tienen la misma energía. Cuál es aproximadamente la dispersión en energía de estos fotones? Compare con la energía promedio de los fotones.

c. Dibuje cualitativamente el espectro (un gráfico) del Número de fotones por rango de energía vs. Energía de los mismos.

Paréntesis sobre espectros e histogramas de variables continuas (como la energía de los fotones). Note que la energía de cada fotón, si se mide con gran precisión, va a ser distinta de todos los otros, de modo que no va a poder acumular un número de fotones mayor que 1, para cada valor exacto de energía. Considere, por ejemplo, un experimento donde se reciben fotones y se les mide su energía, generando la siguiente lista de energías, en [eV]:

4,980; 6,279; 6,317; 6,162; 6,417; 5,753; 6,530; 5,262; 5,314; 5,706; 6,552; 6,609; 5,085; 3,790; 6,106; 4,576; 6,945; 8,003; 7,515; 6,953.

Si ud. hace un gráfico de No. de fotones (eje vertical) vs. energía (eje horizontal) – eso se llama un histograma – notará que va a tener puntos aislados con valor 1, y el resto cero. Esto es el típico problema de medir la frecuencia con la que ocurre una variable continua. Para tener un histograma razonable, hay que dividir el eje de energía en pequeños intervalos o rangos E, uno al lado del otro, de modo que en cada intervalo caigan varios datos, al menos en cierta parte del gráfico. Así, no se cuentan fotones con una energía exacta, sino que se acumulan los que tienen energía dentro de cada rango. El problema ahora es que la altura vertical del gráfico dependerá del tamaño E escogido. Para evitar esa dependencia artificial, en el eje vertical no se grafica el número N de fotones en cada rango, sino la razón dN/dE. Usted puede comprobar que, en promedio, el tamaño vertical del gráfico no va a depender mucho del tamaño de E, mientras la cuenta en cada intervalo no sea demasiado pequeña. Ejercítese con la lista de datos.

9) Los piones neutros son partículas que se producen en la atmósfera cuando inciden rayos cósmicos. La masa típica de un pión neutro es de 140 [MeV]. Sin embargo, estas partículas son inestables: al cabo de unos 10–16 [s] se desintegran en un par de fotones. Con qué precisión se puede definir la masa (energía en reposo) de estas partículas?

10) Los mesones rho son partículas que se producen en aceleradores, por colisión de protones a alta energía. Se observa que la masa de los mismos es cercana a 770 [MeV], pero no exactamente: la medición tiene una fluctuación de 150 [MeV]. Cuál es el tiempo de vida promedio de estas partículas?