Tema: Probabilidad

TEOREMAS DE PROBABILIDAD

Teorema de la Probabilidad Total (I)Ejemplo:De una urna en la que hay 3 bolas blancas y 5 rojas, se extraen sucesivamente dos bolas devolviendo la primera bola extraída. Calcula la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color.

1B1R

3/8 5/8

2B 2R

Urna

2B

2R

3/8 5/8 3/8 5/8

p(bolas de igual color) = p(las dos sean blancas o las dos rojas) =

p((1By2B) o (1R y 2R)) = p((1B∩2B) ∪ (1R ∩ 2R)) =

= p(1B∩2B) + p(1R ∩ 2R) = p(1B) . p(2B) + p(1R) . p(2R) = 3 3 5 5 34

8 8 8 8 64⋅ + ⋅ =

Sistema completo de sucesos

Teorema de la Probabilidad Total (II)Ejemplo:De una urna en la que hay 3 bolas blancas y 5 rojas, se extraen sucesivamente dos bolas no devolviendo la primera bola extraída. Calcula la probabilidad de que las dos bolas sean del mismo color.

1B1R

3/8 5/8

2B 2R

Urna

2B

2R

2/7 5/7 3/7 4/7

p(bolas de igual color) = p(las dos sean blancas o las dos rojas) =

p((1By2B) o (1R y 2R)) = p((1B∩2B) ∪ (1R ∩ 2R)) =

= p(1B∩2B) + p(1R ∩ 2R) = p(1B) . p(2B/1B) + p(1R) . p(2R/1R) = 3 2 5 4 26

8 7 8 7 56⋅ + ⋅ =

Sistema completo de sucesos

Teorema de la Probabilidad Total (III)

E

B1

B2

B3

...

Br

Α

A ∩ B1

A ∩ B2

A ∩ B3

A ∩ Br

...

-apuntes-

Sea B1, B2… Br un sistema completo de sucesos. Entonces:

p(A) = p (A ∩E) = p [A ∩ (B1 U B2 U… Br)] pr. distributiva

= p [(A ∩ B1) U (A ∩ B2) U… (A ∩ Br)] suc. Incompatibles

= p(A ∩ B1) + p(A ∩ B2) + … + p(A ∩ Br) =

= p(B1) . p(A / B1) + p(B2) . p(A / B2) +… + p(Br) . p(A / Br)

Teorema de la Probabilidad Total (IV)

Ejercicio: Una marca de coches realiza el 35% de su producción en su fábrica de España, el 40% en su fábrica de Italia y el 25% en su fábrica de Portugal. La probabilidad de que un coche de esa marca fabricado en España tenga una avería en el primer año es del 4%; para los coches fabricados en Italia es del 3% y para los de Portugal es del 5%. ¿Cuál es la probabilidad de que un coche cualquiera de esa marca tenga una avería en el primer año?

{España}, {Italia} y {Portugal} son sucesos incompatibles

{España} U {Italia} U {Portugal} = E es el suceso seguro

Constituyen un sistema completo de sucesos.

Se puede aplicar el Teorema de la Probabilidad Total:

p(avería) =

p(España) ·p(avería/ España) + p(Italia) ·p(avería/ Italia) + p(Portugal) ·p(avería/ Portugal) =

0’35·0’04 + 0’4·0’03 + 0’25·0’05 = 0'014 + 0'012 + 0‘0125 = 0'0385 = 3'85%

Teorema de Bayes

E

B1

B2

B3

...

Br

Α

A ∩ B1

A ∩ B2

A ∩ B3

A ∩ Br

...

-apuntes- Sean B1, B2, ... , Br un sistema completo de sucesos. Se llama probabilidades a posteriori a:

P(Bi / A ) = P(A ∩ Bi )

P(A)

Sabemos que: P(A ∩ Bi) = P(Bi ∩ A) = P(Bi) · P(A / Bi)

Por el Teorema de la Probabilidad Total:

P (A) = P(B1) ·P(A / B1) + P(B2) ·P(A / B2) +… + P(Br) ·P(A / Br)

Sustituyendo ambas expresiones, sale la Fórmula de Bayes:

P(Bi / A ) =P(B1) · P(A / B1) + P(B2) · P(A / B2) +… + P(Br) · P(A / Br)

P(Bi) · P(A / Bi)

Teorema de Bayes (II)

Ejercicio: En el problema anterior, supongamos que un coche de esa marca se avería en

el primer año. Nos preguntamos ahora cuál es la probabilidad de que ese coche

haya sido fabricado, por ejemplo, en Portugal.

En este ejemplo se ve bien por qué se llama a este tipo de probabilidad probabilidad a

posteriori: se refiere a un suceso del pasado (país de fabricación) conociendo otro

suceso posterior (avería), en un razonamiento “hacia atrás”, inverso al que era

habitual. División entre “bayesianos” y “no bayesianos”.

Aplicando el Teorema de Bayes:

P (Portugal | avería) = P (Portugal) · P (avería | Portugal) / P (avería)

Habíamos calculado por el teorema de la probabilidad Total, que: P (avería) = 0,0385

Luego:

P (Portugal | avería) = 0,25 · 0,05 / 0,0385 = 0,32

observa: P (Portugal | avería) = 0,32 > P (Portugal) = 0,25

es una probabilidad condicionada de sucesos dependientes