81

5. STATIKA FLUIDA 5.1 Stanje naprezanja u fluidu koji miruje Statika fluida prouava fluid u stanju mirovanja. U statikom fluidu nema tangencijalnih (sminih) naprezanja ni gibanja estica fluida, to omoguuje i pojednostavnjuje matematiko opisivanje i analizu pojava, pa je stoga statika fluida najegzaktniji dio mehanike fluida. Osnovni je zadatak statike fluida odrediti raspored normalnih tlanih naprezanja unutar fluida. U praktinoj primjeni to omoguuje proraun sila koje djeluju na elemente konstrukcija okruenih fluidom u stanju mirovanja. U statiku fluida ukljueni su obini i problemi fluida u relativnom mirovanju, kad nema relativnog pomaka estica jednih prema drugima, ve se itav fluid giba poput krutog tijela. Kako je 0iv = slijedi ( )0 0ij kkD D= = Tenzor naprezanja const.ij t ijp = uz tp p= prelazi u oblik

ij ijp = (5.1) Smina naprezanja su jednaka nuli, postoje samo normalna naprezanja. 5.2 Osnovna jednadba hidrostatike-Pascalov zakon Jednadba koliine gibanja izraena naprezanjima

DD

jiii

j

v ft x

= +

uz 0iv = prelazi u jednadbu ravnotee oblika

( )0 i ijj

f px

= +

( )gradii

pf f px

= =

(5.2)

Sluaj 00 0 const.ii

pf p px

= = = =

Ako ne postoje masene sile, 0=if , npr. fluid u besteinskom stanju, tada je prema (5.2) grad 0p = , pa je tlak u svim tokama kapljevine ili plina isti. Ta injenica, poznata kao Pascalov zakon izraava se rijeima: Tlak narinut izvana na fluid u mirovanju iri se jednoliko u svim smjerovima. To vrijedi i za fluid u mirovanju u kojem ve postoji neka raspodjela tlaka ( )ip x , jer je

82

( )( )0ii i

pp x px x

+ =

(5.3)

Konstantni tlak 0p narinut fluidu izvana rairi se po fluidu na sve strane jednako, ne mijenjajui gradijent postojee raspodjele. 5.2.1 Uvjet za masene sile Polje masenih sila if mora zadovoljiti odreeni uvjet da bi u tom polju fluid bio u statikoj ravnotei. Ako se krene od jednadbe ravnotee u obliku

1i kjii j

pfx x

=

i primijeni operator rotora na lijevu i desnu stranu jednadbe

21 1i

kji kji kjij j i i j

f p px x x x x

= +

1ikji i kji k

j j

f f fx x

=

gdje je primijenjen identitet )0grad(rot02

==

fxxp

ijkji .

Skalarnim mnoenjem gornje jednakosti sa kf slijedi

0 1i

k kji k i kjij j

ff f fx x

=

=

Dakle, potreban uvjet za polje masenih sila, da bi u njemu fluid mogao biti u statikoj ravnotei i da bi se mogla odrediti dva skalarna polja tlaka p i gustoe unutar fluida koja e zadovoljiti jednadbu ravnotee glasi

( )0 rot 0ik kjij

ff f fx

= =

(5.4)

Ako je fluid nestlaiv i homogen, tj. const. = tada se primjenom operacije rotora nad jednadbom ravnotee dobiva uvjet

( )0 rot 0ikjij

f fx

= =

(5.5)

Uvjetu (5.4) odgovara polje masenih sila oblika

( )gradii

Uf f Ux

= =

(5.6)

gdje su i U skalarne funkcije prostornih koordinata. Uvjetu (5.5) odgovara polje masenih sila oblika

ii

Ufx

=

(5.7)

jer je

0ikji kjij j i

f Ux x x

= =

83

U predstavlja potencijal masene sile if . Kaemo da je polje masene sile konzervativno. Iz uvjeta (5.5) slijedi da je homogeni nestlaivi fluid moe biti u statikoj ravnotei samo u potencijalnom (konzervativnom) polju masene sile. Ako je ispunjen uvjet (5.5), ispunjen je i uvjet (5.4), te je za sluaj stlaivog fluida u stanju mirovanja (5.5) dovoljan mada nije nuan uvjet masene sile. S obzirom da emo se u nastavku baviti samo konzervativnim masenim silama uvodimo da je

ii

Ufx

=

ili gradf U= (5.8)

Ako se (5.8) uvrsti u (5.2) i dobiveni izraz skalarno pomnoi proizvoljno usmjerenim prirastom radij vektora d ix slijedi jednadba ravnotee u diferencijalnom obliku

d ii i

U p xx x

=

d dU p = d dp U= (5.9) Preko ekvipotencijalne plohe const.U = , odnosno d 0U = , pa prema (5.9) slijedi da je preko te plohe i d 0p = , iz ega slijedi da je const.p = odnosno ( )p p U= (5.10)

Iz izraza (5.6) slijedi da je dd

pU

= pa je i

( )U = (5.11) Povrine konstantnog tlaka zovu se izobare, a povrine konstantne gustoe izostere. U statikoj ravnotei fluida (kapljevina i plinova) u potencijalnom polju masenih sila, ekvipotencijalne plohe se poklapaju s povrinama konstantnog tlaka-izobarama i povrinama konstantne gustoe-izosterama. U svakoj toki fluida vektor masene sile okomit je na ekvipotencijalnu povrinu. Ako se izobare i izostere poklapaju do promjene gustoe dolazi se s promjenom tlaka, pa vrijedi

( )p = i govorimo o barotropnom fluidu. Iz diferencijalne jednadbe (5.6) ravnotee slijedi

1d d 0U p

+ =

Integracija diferencijalne jednadbe ravnotee daje

1 dU p C

+ = (5.12) Jednadba (5.12) je opi integral jednadbe ravnotee. Konstanta C se odreuje iz poznatog tlaka i potencijala u jednoj toki ( )0 iM x , 0p p= ,

0U U=

0

01 d 0

p

p

U U p

+ = (5.13)

Granica dvaju fluida koji se ne mijeaju, npr. granica vode i zraka, predstavlja povrinu prekida gustoe, na kojoj se gustoe skokomice mijenja od vrijednosti 1 na vrijednost

2 . Ako se zanemare uinci povrinske napetosti, lako se dokae da je preko takve granice tlak neprekidan.

84

Sl. 5.1 Neprekidnost tlaka preko granice dvaju fluida koji se ne mijeaju

Razmatramo ravnoteu elemenata dvaju fluida u obliku cilindara kojemu su izvodnice okomite na razdjelnu povrinu S , a presjek S i visine 1h i 2h su male veliine, slika 5.1. Neka su 1p i 2p tlakovi u fluidima gustoe 1 i 2 .

Integriranjem jednadbe ravnotee ii

p fx

=

slijedi

1 2 1 2

d diiV V V V V

p V f Vx

+ + =

=

Primjenom teorema Gauss-Ostrogradskog slijedi dS di i

S V

pn f V

=

Pomnoimo li lijevu i desnu stranu s in

dS di i i iS V

pn n f n V

= Jednadba ravnotee za smjer normale na S glasi ( )1 2 1 2i ip S p S f n S h h = + ( )1 2 1 2i ip p f n h h = + ( )

1 12 2

1 2 1 20 00 0

lim lim 0i ih hh h

p p f n h h

= + =

Dijeljenjem gornje jednakosti sa S i istovremenim stezanjem elementa u toku na granici S , slijedi 1 2 0p p = ili 1 2p p= (5.14) Iz te neprekidnosti tlaka i neprekidnosti potencijala U dobiva se da izraz d dp U= na povrini prekida gustoa od 1 na 2 moe biti zadovoljen samo sa d d 0U p= = . Dakle, u tekuini u stanju mirovanja povrina prekida gustoe poklapa se s ekvipotencijalnom plohom const.U = Oito je da prva derivacija tlaka pri prolazu kroz

granicu ima skok od vrijednosti 1dd

pU

= na strani okrenutoj prema fluidu 1, na

vrijednost 2dd

pU

= , na strani prema fluidu 2.

Sp 1

2h

1h

Sp 2

2

1

in

S

85

5.3 Ravnotea fluida u polju sile tee

Sl. 5.2 Koordinatni sustav Sila tee je masena konzervativna sila s potencijalom 3jU gx gx gz= = = (5.15)

gdje je ( )0,0,ig g= , 29.80665 m sg = . Komponente sile tee u horizontalnoj ravnini iezavaju, a vertikalna je komponenta

( )i j j j ij ii i

Ug g x g gx x

= = = =

(5.16)

Iz U gz= i ( )p p U= slijedi da je ( )p p z= i ( )z = (5.17) ako se pretpostavi da je unutar raspona koordinate z zanemariva promjena ubrzanja sile tee g. Iz const.U = slijedi const.gz = , odnosno const.z = Dakle sa const.z = odreene su ekvipotencijalne povrine ( )const.; const.p = = . Iz jednadbe stanja koja povezuje tlak, gustou i temperaturu fluida, ( ), , 0f p T = slijedi da je i temperatura ( )T T z= (5.18) Dakle u statikom fluidu ekvipotencijalne plohe const.U = , izobare const.p = , izostere

const. = i izoterme const.T = su horizontalne ravnine const.z = Iz diferencijalnog oblika jednadbe ravnotee d dp U= i potencijala U gz= slijedi d dp g z= odnosno za gradijent tlaka vrijedi

d 0d

p gz

= < (5.19)

Ovaj izraz pokazuje da tlak pada sa visinom. Integracija jednadbe ravnotee daje

( ) ( )0

0 0 dz

z

p z p z z g z= = (5.20)

86

Integral na desnoj strani je teina stupca fluida visine ( )0z z s jedininom povrinom osnovice, i ta teina je uzrok razlike tlakova na visinama z i 0z . 5.4 Ravnotea nestlaivog fluida u polju sile tee Kada govorimo o hidrostatici misli se na statiku nestlaivog fluida. Iz jednadbe ravnotee

ii

p fx

=

( grad p f= )

uz

i ii

Uf gx

= =

slijedi

i i

p Ux x

=

Mnoenjem lijeve i desne strane s d ix dobiva se d dp U= odnosno

d d 0p g z

+ = (5.21)

Za homogeni nestlaivi fluid gustoa je konstantna ( const. = ), pa uz konstantnu gravitaciju g integracija posljednjeg izraza daje

1 0p g z C

+ + = (5.22)

Ako se za proizvoljnu poetnu visinu stavi 0 0z z= = i ako na njoj vlada tlak 0p p= slijedi da je konstanta integrcije jednaka

0 0 01 1C p g z p

= + = (5.23)

Uvrtenjem konstante integracije u jednadbu (5.22)

01 1 0p p g z

+ =

dobiva se zakon promjene hidrostatikog tlaka u nestlaivom fluidu 0p p g z= te ako se uvrsti h z= slijedi 0p p gh= + Dakle 0 0p p g z p gh = = + (5.24) To je osnovna jednadba hidrostatike. Tlak pada linearno s visinom, odnosno