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1 1 lectronic aterials & evices aboratory Seoul National University

Department of Material Science & Engineering

A. 자기회로 VS 전기회로

(Magnetomotive Circuit) vs (Electromotive Circuit)

B. 자기회로의 계산

(Calculation of Magnetic Circuit)

C. 공극의 영향

(Effect of air gap)

D. 영구자석을 포함한 자기회로

(Magnetic Circuit including a permanent magnet)

(5) Magnetic Circuit



Fig.1 자기회로 (Magnetic Circuit)

Fig.2 전기회로 (Electric Circuit)

A. 자기회로 (Magnetic circuit) VS 전기회로 (Electric circuit)

i : 전류, current n : 코일을 감은 수, # turns of coil Ф : 자속, magnetic flux R : 저항, resistance Vm : 기자력, magnetomotive force V : 기전력(전압) electromotive force




Since magnetic flux Ф is a cross-section integral of magnetic flux density B,

ΒdΑΦ (1)

If B is the same within the cross-section A,

ΒΑΦ (2)

Ф is equivalent to in the electric circuit.

If i is the current, and j is then current density,

(if is constant)i jdA, i jA j (3)




Electric vs Magnetic Circuits

Electric circuit Magnetic circuit

Electromotive force 기전력 V Magnetomotive force 기자력 Vm = ni

Current 전류 i (= jA) Magnetic flux 자속 Ф (= BA)

Current density 전류밀도 j Magnetic flux density 자속밀도 B

Resistance 저항 R Magnetic resistance 자기저항 Rm

Conductivity 전도도 σ Permeability 투자율 μ

Conductance 컨덕턴스 G Permeance 퍼미언스 P




Electric circuit Magnetic circuit

A

lR

RG

1

μA

lRm

mRP

1

RiV ΦRV mm

HB H : magnetic field

r 0 μ0 : permeability in a free space

μr : relative permeability




저항은 전기회로에서 다음과 같이 나타낸다.

σA

dlR (4)

각 부분에서 전도율이 일정할 때, 도선의 길이를 l 이라 하면 다음과 같이

나타낼 수 있다.

A

lR

(5)

이것을 자기회로에 대응시키면 자기회로에서 자기저항 Rm은 다음과 같이

나타낼수 있으며,

μA

l, R

μA

dlR mm (6)

여러 개의 저항이 회로 내에서 직렬로 연결되어 있으면 저항의 합은 다음

과 같이 나타낸다.

ii

im

A

lR

(7)




전기회로에서 기전력이 전류를 흐르게 하듯이

자기회로에서는 기자력이 자속을 흐르게 한다.

전기회로에서는 기전력 V 를 다음과 같이 정의한다.

VdlE (8)

자기회로에서는 기자력 Vm 을 암페어의 회로법칙에 따라 다음과

같이 정의한다.

nidlH 암페어의 회로법칙

mVnidlH (9)




(a) 링 시료에 코일을 감았을 때, 공극(Gap)없음

식 (9)를 이용하면,

nilHniVdlH mm ,

HBl

niB

l

niHm ,

Fig.3

B. 자기회로의 계산




niHdlHdl gapyoke

nilHlH ggm

자속이 요크시료와 공극 이외에는 흐르지 않는다

고 가정하면,

mmmm AHABΦ

ggogg AHABΦ

요크 내부의 자속

공극 내의 자속

(10)

Fig.4

(b) 요크 시료에 코일을 감았을 때, 공극(Gap)있음

식 (9)를 이용하면,




m

gg

mA

AHH

0 (11)

여기서 Am=Ag, 즉 전체를 통해서 단면적이 일정한 경우에는 다음과 같이 된다.

g

r

m HH

1 (12)

식 (12)를 식 (10)에 넣으면,

nil

llH

gr

gg

11 (13)




만약에 요크시료의 비투자율이 커서 μr >> 1 라면,

g

g

g

gl

niμ , B

l

niH 0

와 같이 근사할 수 있다.

이 모델은 fig. 5 와 같은 전자석의 회로에 적용할 수 있다.

Fig. 5

(14)




Fig. 6

Fig. 6 은 ni와 Hg와의 관계를 실제로

측정한 것이다.

직선은 식 (14) 를 통해 예측 가능한

것으로 전자석의 다양한 공극에 대한

실례는 직선에 잘 맞고 있다.

자기장이 큰 곳에서 직선에서 빗나가

는 것은 시료가 포화하기 때문이다.




(c) 요크 시료에 코일을 감았을 때, 공극(Gap)있음 – 시료가 포화할 때

Fig.4

시료가 포화자화하면 μr 이 작아져 식 (14) 의 근사가 나빠지므로 식 (10) 을 이용하여,

nilHlH ggm

gmg llHniH )(

gmg llHniB )(0

(15)

(10)

와 같이 된다.




Example 1.

전자석의 공극 lg=3cm에 대하여 Bg=2.0T에 대응하는 Hm을 읽어내면,

Hm=2.4ⅹ104A/m가 된다. 이 값을 식 (15) 에 대입하면 ,

A1025.9104

)103(287.1)104.2( 4

7

24

0

gg

m

lBlHni

Fig.7




C. 공극의 영향

Fig. 4 에 나타낸 자기회로의 자기저항은 식 (7)

에 의해 다음과 같이 나타낼수 있다.

A

l

A

lR

g

m

0 (16)

A

llR

app

g

m

(17)

외관의 투자율을 μapp(=μ0μe),로 정의 하면

Fig.4 와 같이 나타낼 수 있다.




식 (16), (17) 를 정리하면,

0

g

app

g llll

g

g

gapp ll

l

ll

l

00

일반적으로 공극은 작기 때문에, l >>lg, l/(l + lg) ≈ 1, lg /( l + lg) ≈ lg /l = k.

kre

11 (18)

)1( krre (19)

μe 는 실효비투자율이다.




''j'''j' eeerrr , (20)

와 같이 복소수로 표현하고 식 (18)에 대입하면 다음과 같고,

k''j'''j' rree

11

k'''

''j'

'''

''j'

rr

rr

ee

ee

2222

μe′>> μe″, μr′>> μr″ 을 고려하면 다음과 같이 된다.

k'

''j

''

''j

' r

r

re

e

e

22

11

(21)

손실계수에 대한 공극의 영향을 살펴보자.

이를 유리화 하면 다음과 같이 된다.




식 (21)에서 허수부는,

22 '

''

'

''

r

r

e

e

실수부는,

k'' re

11

이 되고, 이것은 식 (18)과 같다.




'''''' rreee tan ,)(tan (22)

'' re

e

tan)(tan (23)

'Q'Q ree

)1( 'kQ''QQ rere

(24)

(25)

이므로, 다음과 같이 되고,

역수를 취하면,

가 된다.

공극에 의해서, 비투자율은 μr′ 은 μe′ 로 작아지지만 Q가 Qe로 커지므로

두 개의 곱 μr′Q 혹은 tanδ/μr′ 은 일정하다.




dT

d

dT

d r

r

e

e

22

11 (26)

dT

d r

r

r

2

1 (27)

공극에 의한 투자율의 온도 계수에의 영향을 나타내보자.

μ 는 온도 T의 함수이기 때문에 식 (18) 을 T로 미분하면,

는 항상 일정한 것을 알 수 있다. 그러므로 온도 특성을 나타낼 때에는

의 값을 이용한다.




Td

d

kTd

d

Td

d r

r

r

r

ee

2

2

1

1K. T.

(28)

Td

d r

r

e

2

2 1K. T. (29)

그리고 온도계수 T.K. 는 정의에 의해 다음과 같이 주어진다.

위 식은 다음과 같이 나타낼 수 도 있으며,

식 (29)는 식 (27) 에 μe2 을 곱한 것과 같다.




D. 영구자석을 포함한 자기회로

Fig.5

지금까지 다뤄왔던 코일 대신에 영구자석을 넣었을

경우를 생각하면, i = 0 이기 때문에 , 식 (9)에 의해

다음과 같이 된다.

0Hdl

0 dlHHdldlHdlH dmagnetcontactmyokeggap

0 LHΔlHlH dmgg(30)

그리고 각 부분으로 나누고,

공극의 크기를 lg, 요크의 길이를 l, 영구자석의 길이

를 L로 하면 다음과 같이 된다.




, LHflH dgg fΔ'l

l

gr

11 (31)

LHΔ'l

llH d

gr

gg

11

여기서, 접착부분의 값은 잘 모르기 때문에 ∆ 로 두었다. 또한 영구자

석의 내부의 자계는 반자계 Hd뿐이고, 그 방향은 외부의 자계와 반대

니까 ‘-’ 기호를 붙였다. 이 식을 정리하면 다음과 같이 된다.

괄호안의 값은 1에 가깝지만, 부가항이 있으므로 f 로 두어 다음과 같

이 표현한다.

이 f 는 자기저항 계수로, 대부분 1.2~1.5 정도의 값을 갖는다.




mdgg ΑΒFΑΒ

gm

g

d

dr

lAf

LFA

H

Bp

0

영구자석의 단면적 Am으로부터 나오는 자속의 크기 Φ = Bd Am 와 공극

에 흐르는 자속의 크기 Φ = Bg Ag 이다. 자속의 누설이 없으면 두 식의

값이 동일하지만, 일반적으로는 누설이 있으므로 다음과 같이 표현한

다. (32)

F 는 누설계수로써 자속의 누락이 없으면 1이지만, 누락이 심하면 10

정도의 큰 값을 가진다.

(33)

식 (33)은 식 (31)과 (32)의 비로서 퍼미언스 계수로 불리고 형상에

의해서 정해지는 양으로, 설계에 이용된다.




Fig.6

Fig. 6 에서는 알-니코의 감자곡선과 pr

의 값을 나타낸것이다. 영구자석 재료

의 종류에 의해서 감자곡선의 형태가

다르기 때문에 가장 유효한 pr 의 값을

선택하는 것이 설계의 요령이다.




Example 2.

공극이 있을때의 자속밀도 계산.

우선, 경험적인 값으로 해서 f=1.2, F=2.5로 가정한다. 이 값을 식 (33)에 넣으

면, 다음과 같이 된다.

Fig.6 Fig.7




22)195.0()107.19(2.1

)107()1015(5.224

24

0

gm

g

d

dr

lAf

LFA

H

Bp

T 57.0)1015(5.2

)107.19(08.14

4

g

mdg

FA

ΑΒΒ

Fig. 6 에서 pr=22에 대응하는 Bd, Hd는 다음과 같고,

A/m109.3 , T 08.1 4 dd HΒ

이것을 식 (32)에 대입하면 자속밀도를 구할 수 있다.




Example 3.

영구자석 치수의 결정

전의 예제의 회로로, 공극의 자속밀도를 0.3T로 하기 위한 알-니코 5 자석의

적합치수를 구한다. 다만, Ag=2 ⅹ2 = 4[cm2]으로 한다.

전의 예제와 반대로, 자석의 치수가 미지의 경우이다. 가장 큰 Bd, Hd 를 얻을

수 있는 것은 fig. 6에 나타난 감자곡선의 제일 부푼 점으로 Hd = 4.4ⅹ104A/m,

Bd, = 1.0T 의 값을 가진다. 전제와 같이 f=1.2, F=2.5의 가정하에서 식 (31)에 의

해 자석의 길이는 다음과 같이 얻을 수 있다.

m1027.3104.4

1053.02.1 2

4

3

0

g

d

gl

H

HfL




244 m100.3)104(0.1

3.05.2 g

d

g

m AB

BFA

또한 식 (32)를 이용하여 자석의 면적 Am은 따라서 직경은 1.95cm ~ 2cm가 된

다. 그러므로, 길이 3.3cm, 직경 2cm의 원주형 자석을 집어 넣으면 좋다.


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