FORMA DELLA TERRAFORMA DELLA TERRA

GEODESIA GEODESIA

Scienza che studia la forma e le dimensioni della Terra, la Scienza che studia la forma e le dimensioni della Terra, la

determinazione della posizione dei punti sulla sua superficie, ldeterminazione della posizione dei punti sulla sua superficie, la a

determinazione del campo della gravità e le variazioni nel tempodeterminazione del campo della gravità e le variazioni nel tempo

di tali grandezzedi tali grandezze

CARTOGRAFIACARTOGRAFIA

Tecnica costituita dalle operazioni necessarie all’elaborazione,Tecnica costituita dalle operazioni necessarie all’elaborazione,

all’allestimento e all’utilizzazione di carte che rappresentano all’allestimento e all’utilizzazione di carte che rappresentano

in scala, porzioni più o meno estese della superficie terrestre in scala, porzioni più o meno estese della superficie terrestre

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Geodesia e Cartografia Geodesia e Cartografia

Lo scopo di una carta geografica è quello di rappresentare sul

piano aree più o meno estese della superficie terrestre che come

ben sappiamo, in realtà, non è affatto piana né regolare. La carta

geografica deve comunque fornire la concezione il più realistica

ed efficace possibile di ciò che si vuole raffigurare.

La superficie della Terra ha una forma irregolare, così come è

irregolare la distribuzione delle masse che compongono il globo

terrestre. Per poter rappresentare la superficie fisica della

Terra è stato necessario assumere una forma ideale di tale

superficie che corrispondesse alle regole della matematica e della

geometria

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Geodesia e Cartografia Geodesia e Cartografia

Immaginiamo per ora che il nostro pianeta sia costituito da una massa omogenea di forma sferica in rotazione attorno ad un asse passante per i poli. Un punto sulla superficie è sottoposto alla forza newtoniana Fn, di intensità costante e diretta verso il centro della Terra, e alla forza centrifuga Fc, dovuta alla rotazione terrestre e di intensità proporzionale alla distanza del punto dall’asse di rotazione. La risultante di queste due forze è la forza di gravità Fg che risulta massima ai poli e minima all’equatore. L’insieme delle forze Fg viene chiamato campo gravitazionale terrestre

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Geoide Geoide

FcFc

FnFn

FgFg

EEOO

NN

SS

equatoreequatore

asse

di

asse

di

rota

zion

ero

tazi

one

dd

vv

Se consideriamo ora la superficie

terrestre deformabile è evidente che essa

assume, sotto l’azione del campo

gravitazionale, una forma non sferica ma

leggermente schiacciata ai poli dove Fg

assume il valore massimo. La direzione per

ogni punto della superficie terrestre della

forza di gravità viene detta verticale. Se ci

si sposta lungo tale verticale la forza di

gravità si modifica in direzione e valore; ne

consegue che la verticale non ha un

andamento rettilineo ma leggermente

curvato. Le superfici che in ogni punto della

superficie terrestre sono perpendicolari

alla verticale in quel punto sono chiamate

superfici equipotenziali o di livello

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Geoide Geoide

PPgg11

gg22

gg33

La superficie equipotenziale posta al livello medio del mare, considerata priva di perturbazioni e immaginata prolungata al di sotto dei continenti in modo da mantenersi sempre perpendicolare alle verticali, viene assunta come forma della Terra e ad essa viene dato il nome di Geoide. Tutti i punti che si trovano su questa superficie ideale hanno stessa quota.

Uno dei problemi della Geodesia è quella di determinare la forma esatta del Geoide: tale determinazione è complicata dal fatto che la sua forma non dipende solo dalla forza di gravità ma anche da altre forze

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Geoide Geoide

Si definisce “quota ortometrica o assoluta” la Si definisce “quota ortometrica o assoluta” la

distanza Qdistanza Qpp misurata lungo la verticale tra il misurata lungo la verticale tra il

punto P, posto sulla superficie fisica, ed il punto P, posto sulla superficie fisica, ed il

corrispondente punto proiezione Pcorrispondente punto proiezione Poo sul Geiodesul Geiode

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Quota ortometrica Quota ortometrica

vv

PP

PPOO

geoidegeoide

QQPP

Effettuare misure e calcoli sul Geoide è una

operazione complessa. Si è quindi deciso a

livello internazionale di adottare, ma solo

per le misure di tipo planimetrico, una

superficie di riferimento molto più

semplice: l’EllissoideEllissoide di rotazione terrestre.

Questa superficie, generata dalla rotazione

di un ellisse di semiassi aa e bb intorno all’asse

di rotazione terrestre, approssima molto

bene il Geoide con uno scostamento della

quota che non supera i 50 – 100 m. Per le

quote dei punti ci si riferisce comunque

sempre al Geoide

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA EllissoideEllissoide

b

aa

NN

SS

A causa delle ondulazioni del Geoide la verticale V non

coincide con la normale N all’Ellissoide. Le due direzioni

formano un angolo δ detto di deviazione della verticale. È

chiaro che per definire esattamente la forma dell’Ellissoide

è necessario scegliere i valori del semiasse maggiore o

equatoriale, di quello minore o di rotazione e lo

schiacciamento ai poliFORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA

EllissoideEllissoide

Gli Ellissoidi di riferimento sono così vicini all’essere sferici

che possono anche essere chiamati sferoidi. Diversi Ellissoidi

sono stati utilizzati come superfici di riferimento, a seconda

della regione interessata alla rappresentazione grafica e a

causa del variare della curvatura della Terra. L’Ellissoide

prescelto è posizionato in modo che nella zona centrale da

cartografare, la verticale al Geoide e la normale all’Ellissoide

coincidano (scostamento nullo). Questo punto centrale è

denominato datumdatum

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Ellissoide e sferoideEllissoide e sferoide

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA EllissoidiEllissoidi

1/297,006356911,946378388,001924International

Europa, Giappone1/299,156356078,966377397,151841Bessel

Francia1/293,466356515,006378249,201880Clarke

1/298,406356818,176378200,001906Helmert

Usa, Italia1/297,006356912,006378388,001909Hayford

Urss1/298,306356863,026378245,001942Krassowsky

1/298,256356774,726378160,001980Fischer

GPS1/298,256356752,316378137,001984WGS 84

Usa1/298,256356752,306378137,001983Nad 83

India1/300,806356075,4136377276,3451830Everest

zonaschiacciamento αsemiasse bsemiasse aanno

L’Ellissoide di rotazione è una superficie che si può considerare

formata da due distinte famiglie di curve: i paralleliparalleli (circonferenze) e i

meridianimeridiani (semi ellissi). Tali curve si intersecano tra loro ad angolo

retto. La posizione di un punto sull’Ellissoide può essere determinata

fornendo il valore del parallelo e del meridiano a cui appartiene. Per

individuare il parallelo sarà sufficiente conoscere la latitudine latitudine

geograficageografica, cioè l’angoloangolo φφ formato dalla normale per il punto e il piano

equatoriale. Tale angolo è positivo se il punto si trova tra l’equatore e il

polo nord, negativo se si trova tra equatore e polo sud. Il meridiano è

invece individuato dalla longitudine geograficalongitudine geografica, cioè dall’angoloangolo λλ che si

forma tra il piano contenente il meridiano passante per il punto e il

piano per il meridiano assunto come origine, passante per GreenwichGreenwich

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Coordinate geograficheCoordinate geografiche

La longitudine è positiva andando verso est

e varia da 0o a 180o. Nella stessa maniera

è possibile definire la latitudine e la

longitudine astronomica, angoli che

permettono di individuare la posizione dei

punti della superficie terrestre sul Geoide.

I valori delle coordinate astronomiche

variano, anche se di poco, rispetto ai valori

delle coordinate geografiche perchè la

normale all’Ellissoide e la verticale al

Geoide non coincidono

P’P’

φφ

λλ

PP

hh

Prof. Dagore Ristorini

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Coordinate geograficheCoordinate geografiche

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Coordinate geocentricheCoordinate geocentriche

� origine delle coordinate coincidente con il centro di massa della Terra � asse Z diretto verso il Polo Nord

� asse delle X è l’intersezione tra il meridiano zero (quello passante per Greenwich) con il piano equatoriale

� l’asse delle Y completa una terna ortogonale destrorsa e giace sul piano equatoriale

OO

P’P’

PP

XXYY

ZZ

YYpp

ZZpp

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Zenit e NadirZenit e Nadir

La verticale passante per un punto P posto sulla

superficie fisica presenta due direzioni: una tende

verso l’esterno della Terra a un punto detto ZenitZenit,

l’altra verso l’interno verso un punto detto NadirNadir. Il

piano tangente al geoide/ellissoide nel punto P viene

definito piano orizzontalepiano orizzontale

Per la sola parte planimetrica, si è dimostrato che in una zona

di circa 100 km intorno ad un punto P della superficie

terrestre, si può sostituire all’ellissoide una sfera tangente in

P all’ellissoide stesso. Questa superficie è chiamata “campo campo

geodetico o sfera localegeodetico o sfera locale”. All’interno di questa superficie le

figure ellissoidiche possono essere risolte utilizzando la

trigonometria sferica (sostituendo il triangolo ellissoidico con

un triangolo sferico).

L’approssimazione che si ottiene con questa sostituzione è

compatibile con la precisione degli strumenti topografici,

relativamente ai soli rilievi planimetrici, mentre non lo è per la

parte altimetrica per la quale gli errori sono già inaccettabili

per distanze superiori ai 20 km

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Sfera localeSfera locale

Se i lati del triangolo sferico sono inferiori a 200 km è possibile

applicare il T. di Legendre che permette una semplificazione dei

calcoli:

“I triangoli sferici, con lati inferiori ai 200 km, sono risolvibili

assimilandoli a triangoli piani equivalenti aventi per lati gli stessi

lati del triangolo sferico e per angoli quelli del triangolo sferico,

ridotti ciascuno do 1/3 dell’eccesso sferico (nei triangoli sferici la

somma degli angoli interni è sempre maggiore dell’angolo piatto e

la differenza è definita eccesso sferico)”

Questo teorema permette, di risolvere un triangolo sferico come

se fosse piano applicando quindi le formule risolutive della

trigonometria piana

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Sfera locale Sfera locale

Teorema di LegendreTeorema di Legendre

Se si restringe il campo operativo in modo che le distanze misurate rispetto

al piano tangente in P alla sfera locale possano ritenersi coincidenti con

quelle misurate sulla sfera locale ed in modo che la somma degli angoli

interni risulti uguale a 180° (eccesso sferico nullo), si potrà operare, per la

sola planimetria, come se la Terra fosse pianacome se la Terra fosse piana.

Il campo operativo entro il quale ciò è possibile viene chiamato “campo campo

topograficotopografico” e “distanza topograficadistanza topografica” è quella che si ottiene tra le due

proiezioni dei punti sul piano. Il campo topografico può essere esteso, senza

commettere errori sensibili, sino a 20 – 25 km di raggio intorno al punto P di

tangenza.

In altimetria la coincidenza tra sfera locale e campo topografico è molto più

ristretta. Per distanze superiori ai 200 m di raggio intorno a P gli errori

cominciano ad essere non trascurabili. L’errore che si commette nella

determinazione della quota dei punti è chiamato errore di sfericitàerrore di sfericità “ee”. Il

suo valore può ottenersi dalla formula e = d2/2R, in cui d è la distanza

misurata sul campo topografico e R il raggio della sfera locale

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Campo topograficoCampo topografico

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Superfici a confrontoSuperfici a confronto

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Riduzione delle distanzeRiduzione delle distanze

Si è visto che in Topografia non interessa la distanza reale tra due punti,

bensì quella proiettata sulle superfici di riferimento. Con gli strumenti a

disposizione il tecnico è però in grado di determinare la distanza reale dr e

quella orizzontale do. Si devono quindi determinare le relazioni che

intercorrono tra distanza reale (o inclinata), distanza orizzontale e distanza

topografica. Se consideriamo due punti A e B, all’interno del campo

topografico, nota la distanza dr, la distanza orizzontale rispetto ad un piano

passante per A, si ottiene dalla relazione: do = dr x cos α (si considera

l’angolo in Bo come retto). Per ottenere la distanza topografica dT, si riduce

la distanza orizzontale do sul campo topografico tangente alla sfera locale e

la distanza si ottiene dalla formula dT = do x R/(R + Q). La correzione è

tanto più grande quanto maggiore è la quota dei punti considerati.

Ovviamente per Qa = 0 m distanza orizzontale e topografica coincidono

FORMA DELLA TERRA FORMA DELLA TERRA Riduzione delle distanzeRiduzione delle distanze

AA

BB

A’A’

0

QQaa

RR

do = dr x cos α

dr

BB00

BB11 campo topograficocampo topograficodt

α