5 diamond model
-
Upload
vartan-khachaturov -
Category
Education
-
view
172 -
download
2
Transcript of 5 diamond model
![Page 1: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/1.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Современные модели экономического ростаЛекция 5. Модель перекрывающихся поколений Даймонда
В. Хачатуров
Экономический факультетСанкт-Петербургский Государственный Университет
15 мая 2009 года
В. Хачатуров Модели роста
![Page 2: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/2.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Outline
1 Постановка задачи
2 Поведение домохозяйств
3 Динамика капитала
В. Хачатуров Модели роста
![Page 3: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/3.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Теперь нашей задачей будет построение моделей, вкоторых динамика будет существенным образомопределяться “микроэкономическим” поведениеммаксимизирующих агентов.При этом мы по-прежнему предполагаем темпы ростанаселения и технологический прогресс заданными.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 4: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/4.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Теперь нашей задачей будет построение моделей, вкоторых динамика будет существенным образомопределяться “микроэкономическим” поведениеммаксимизирующих агентов.При этом мы по-прежнему предполагаем темпы ростанаселения и технологический прогресс заданными.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 5: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/5.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Фирмы
Существует большое количество одинаковых фирм.Агрегированный выпуск фирм описываетсяпроизводственной функцией Y = F (K ,AL),удовлетворяющей всем указанным ранее условиям(неоклассической).Технологический прогресс A задан, темп его роста g .Фирмы нанимают факторы на конкурентных рынках, ипродают весь выпуск на конкурентном рынке продукта.Домохозяйства являются владельцами фирм, поэтому весьдоход фирм без остатка переходит к ним.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 6: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/6.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Фирмы
Существует большое количество одинаковых фирм.Агрегированный выпуск фирм описываетсяпроизводственной функцией Y = F (K ,AL),удовлетворяющей всем указанным ранее условиям(неоклассической).Технологический прогресс A задан, темп его роста g .Фирмы нанимают факторы на конкурентных рынках, ипродают весь выпуск на конкурентном рынке продукта.Домохозяйства являются владельцами фирм, поэтому весьдоход фирм без остатка переходит к ним.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 7: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/7.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Фирмы
Существует большое количество одинаковых фирм.Агрегированный выпуск фирм описываетсяпроизводственной функцией Y = F (K ,AL),удовлетворяющей всем указанным ранее условиям(неоклассической).Технологический прогресс A задан, темп его роста g .Фирмы нанимают факторы на конкурентных рынках, ипродают весь выпуск на конкурентном рынке продукта.Домохозяйства являются владельцами фирм, поэтому весьдоход фирм без остатка переходит к ним.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 8: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/8.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Фирмы
Существует большое количество одинаковых фирм.Агрегированный выпуск фирм описываетсяпроизводственной функцией Y = F (K ,AL),удовлетворяющей всем указанным ранее условиям(неоклассической).Технологический прогресс A задан, темп его роста g .Фирмы нанимают факторы на конкурентных рынках, ипродают весь выпуск на конкурентном рынке продукта.Домохозяйства являются владельцами фирм, поэтому весьдоход фирм без остатка переходит к ним.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 9: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/9.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Фирмы
Существует большое количество одинаковых фирм.Агрегированный выпуск фирм описываетсяпроизводственной функцией Y = F (K ,AL),удовлетворяющей всем указанным ранее условиям(неоклассической).Технологический прогресс A задан, темп его роста g .Фирмы нанимают факторы на конкурентных рынках, ипродают весь выпуск на конкурентном рынке продукта.Домохозяйства являются владельцами фирм, поэтому весьдоход фирм без остатка переходит к ним.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 10: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/10.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Домохозяйства владеют капиталом и одалживают егофирмам.Ключевое предположение: существует постоянный оборотлюдей. Кто-то рождается, а кто-то умирает. Для простотыпредположим, что индивид живёт два периода.В периоде t рождается Lt индивидов. Как и прежде,население растёт с темпом n: Lt = (1 + n)Lt−1.Поскольку каждый живёт только два периода, в периоде tесть Lt родившихся сейчас и Lt−1 = Lt/(1 + n) родившихсяв предыдущем периоде, и выбывающих в этом.Каждый индивид приносит в экономику 1 единицу труда в“молодости”, то есть в первом периоде. Доход от трударазделяется между сбережениями и текущимпотреблением первого периода.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 11: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/11.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Домохозяйства владеют капиталом и одалживают егофирмам.Ключевое предположение: существует постоянный оборотлюдей. Кто-то рождается, а кто-то умирает. Для простотыпредположим, что индивид живёт два периода.В периоде t рождается Lt индивидов. Как и прежде,население растёт с темпом n: Lt = (1 + n)Lt−1.Поскольку каждый живёт только два периода, в периоде tесть Lt родившихся сейчас и Lt−1 = Lt/(1 + n) родившихсяв предыдущем периоде, и выбывающих в этом.Каждый индивид приносит в экономику 1 единицу труда в“молодости”, то есть в первом периоде. Доход от трударазделяется между сбережениями и текущимпотреблением первого периода.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 12: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/12.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Домохозяйства владеют капиталом и одалживают егофирмам.Ключевое предположение: существует постоянный оборотлюдей. Кто-то рождается, а кто-то умирает. Для простотыпредположим, что индивид живёт два периода.В периоде t рождается Lt индивидов. Как и прежде,население растёт с темпом n: Lt = (1 + n)Lt−1.Поскольку каждый живёт только два периода, в периоде tесть Lt родившихся сейчас и Lt−1 = Lt/(1 + n) родившихсяв предыдущем периоде, и выбывающих в этом.Каждый индивид приносит в экономику 1 единицу труда в“молодости”, то есть в первом периоде. Доход от трударазделяется между сбережениями и текущимпотреблением первого периода.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 13: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/13.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Домохозяйства владеют капиталом и одалживают егофирмам.Ключевое предположение: существует постоянный оборотлюдей. Кто-то рождается, а кто-то умирает. Для простотыпредположим, что индивид живёт два периода.В периоде t рождается Lt индивидов. Как и прежде,население растёт с темпом n: Lt = (1 + n)Lt−1.Поскольку каждый живёт только два периода, в периоде tесть Lt родившихся сейчас и Lt−1 = Lt/(1 + n) родившихсяв предыдущем периоде, и выбывающих в этом.Каждый индивид приносит в экономику 1 единицу труда в“молодости”, то есть в первом периоде. Доход от трударазделяется между сбережениями и текущимпотреблением первого периода.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 14: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/14.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Домохозяйства владеют капиталом и одалживают егофирмам.Ключевое предположение: существует постоянный оборотлюдей. Кто-то рождается, а кто-то умирает. Для простотыпредположим, что индивид живёт два периода.В периоде t рождается Lt индивидов. Как и прежде,население растёт с темпом n: Lt = (1 + n)Lt−1.Поскольку каждый живёт только два периода, в периоде tесть Lt родившихся сейчас и Lt−1 = Lt/(1 + n) родившихсяв предыдущем периоде, и выбывающих в этом.Каждый индивид приносит в экономику 1 единицу труда в“молодости”, то есть в первом периоде. Доход от трударазделяется между сбережениями и текущимпотреблением первого периода.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 15: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/15.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Во втором периоде индивид уже не работает, а толькопотребляет то, что было сбережено им в первом периоде, сначисленной ставкой процента.Обозначим через C1t и C2t+1 потребление индивида впервом и втором периодах соответственно.Тогда совокупная полезность индивида, родившегося впериоде t, примет следующий вид (мы используемфункцию полезности CRRA):
U(t) =C 1−θ
1t1− θ
+1
1 + ρ
C 1−θ2t+1
1− θ, θ > 0, ρ > −1 (1)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 16: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/16.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Во втором периоде индивид уже не работает, а толькопотребляет то, что было сбережено им в первом периоде, сначисленной ставкой процента.Обозначим через C1t и C2t+1 потребление индивида впервом и втором периодах соответственно.Тогда совокупная полезность индивида, родившегося впериоде t, примет следующий вид (мы используемфункцию полезности CRRA):
U(t) =C 1−θ
1t1− θ
+1
1 + ρ
C 1−θ2t+1
1− θ, θ > 0, ρ > −1 (1)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 17: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/17.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Домохозяйства
Во втором периоде индивид уже не работает, а толькопотребляет то, что было сбережено им в первом периоде, сначисленной ставкой процента.Обозначим через C1t и C2t+1 потребление индивида впервом и втором периодах соответственно.Тогда совокупная полезность индивида, родившегося впериоде t, примет следующий вид (мы используемфункцию полезности CRRA):
U(t) =C 1−θ
1t1− θ
+1
1 + ρ
C 1−θ2t+1
1− θ, θ > 0, ρ > −1 (1)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 18: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/18.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Здесь ρ – относительный вес, который индивидприсваивает потреблению во втором периоде.Для простоты предположим, что коэффициент выбытиякапитала δ = 0.Всё остальное совершенно такое же, как в модели Солоу:
Рынки конкурентныКапитал и труд зарабатывают свой предельный продуктФирмы имеют нулевую прибыль
Тогда доход капитала составит rt = f ′(kt), доход трудаwt = f (kt)− kt f ′(kt).Наконец, исходный запас капитала K0 принадлежит всемдомохозяйствам.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 19: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/19.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Здесь ρ – относительный вес, который индивидприсваивает потреблению во втором периоде.Для простоты предположим, что коэффициент выбытиякапитала δ = 0.Всё остальное совершенно такое же, как в модели Солоу:
Рынки конкурентныКапитал и труд зарабатывают свой предельный продуктФирмы имеют нулевую прибыль
Тогда доход капитала составит rt = f ′(kt), доход трудаwt = f (kt)− kt f ′(kt).Наконец, исходный запас капитала K0 принадлежит всемдомохозяйствам.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 20: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/20.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Здесь ρ – относительный вес, который индивидприсваивает потреблению во втором периоде.Для простоты предположим, что коэффициент выбытиякапитала δ = 0.Всё остальное совершенно такое же, как в модели Солоу:
Рынки конкурентныКапитал и труд зарабатывают свой предельный продуктФирмы имеют нулевую прибыль
Тогда доход капитала составит rt = f ′(kt), доход трудаwt = f (kt)− kt f ′(kt).Наконец, исходный запас капитала K0 принадлежит всемдомохозяйствам.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 21: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/21.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Здесь ρ – относительный вес, который индивидприсваивает потреблению во втором периоде.Для простоты предположим, что коэффициент выбытиякапитала δ = 0.Всё остальное совершенно такое же, как в модели Солоу:
Рынки конкурентныКапитал и труд зарабатывают свой предельный продуктФирмы имеют нулевую прибыль
Тогда доход капитала составит rt = f ′(kt), доход трудаwt = f (kt)− kt f ′(kt).Наконец, исходный запас капитала K0 принадлежит всемдомохозяйствам.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 22: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/22.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Здесь ρ – относительный вес, который индивидприсваивает потреблению во втором периоде.Для простоты предположим, что коэффициент выбытиякапитала δ = 0.Всё остальное совершенно такое же, как в модели Солоу:
Рынки конкурентныКапитал и труд зарабатывают свой предельный продуктФирмы имеют нулевую прибыль
Тогда доход капитала составит rt = f ′(kt), доход трудаwt = f (kt)− kt f ′(kt).Наконец, исходный запас капитала K0 принадлежит всемдомохозяйствам.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 23: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/23.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Словами процесс в модели можно описать следующимобразом: в нулевом периоде молодые совмещают свойтруд с капиталом старых для получения выпуска и дохода.Старые проедают свой доход плюс то, что они сберегают, азатем умирают.Молодые разделяют свой доход (wtAt) междупотреблением и сбережением. Запас капитала следующегопериода равен совокупному сбережению всех индивидов впредыдущем периоде: Kt+1 = Lt(wtAt − C1t). Этоткапитал комбинируется с трудом следующего поколениямолодых, и процесс продолжается.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 24: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/24.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Словами процесс в модели можно описать следующимобразом: в нулевом периоде молодые совмещают свойтруд с капиталом старых для получения выпуска и дохода.Старые проедают свой доход плюс то, что они сберегают, азатем умирают.Молодые разделяют свой доход (wtAt) междупотреблением и сбережением. Запас капитала следующегопериода равен совокупному сбережению всех индивидов впредыдущем периоде: Kt+1 = Lt(wtAt − C1t). Этоткапитал комбинируется с трудом следующего поколениямолодых, и процесс продолжается.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 25: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/25.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Потребление индивида во втором периоде равно:
C2t+1 = (1 + rt+1)(wtAt − C1t) (2)
Отсюда естественным образом получается бюджетноеограничение индивида:
C1t +1
1 + rt+1C2t+1 = Atwt (3)
Индивид решает задачу максимизации полезности (1) прибюджетном ограничении (3).
В. Хачатуров Модели роста
![Page 26: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/26.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Потребление индивида во втором периоде равно:
C2t+1 = (1 + rt+1)(wtAt − C1t) (2)
Отсюда естественным образом получается бюджетноеограничение индивида:
C1t +1
1 + rt+1C2t+1 = Atwt (3)
Индивид решает задачу максимизации полезности (1) прибюджетном ограничении (3).
В. Хачатуров Модели роста
![Page 27: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/27.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Потребление индивида во втором периоде равно:
C2t+1 = (1 + rt+1)(wtAt − C1t) (2)
Отсюда естественным образом получается бюджетноеограничение индивида:
C1t +1
1 + rt+1C2t+1 = Atwt (3)
Индивид решает задачу максимизации полезности (1) прибюджетном ограничении (3).
В. Хачатуров Модели роста
![Page 28: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/28.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Ну давайте её решим. Выпишем функцию Лагранжа:
L =C 1−θ
1t1− θ
+1
1 + ρ
C 1−θ2t+1
1− θ+λ
[Atwt −
(C1t +
11 + rt+1
C2t+1
)](4)
Дифференцируя, получаем условия первого порядка:
C−θ1t = λ (5)1
1 + ρC−θ2t+1 =
11 + rt+1
λ (6)
Комбинируя, получаем уравнение Эйлера для нашейзадачи:
C2t+1
C1t=
(1 + rt+1
1 + ρ
). (7)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 29: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/29.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Ну давайте её решим. Выпишем функцию Лагранжа:
L =C 1−θ
1t1− θ
+1
1 + ρ
C 1−θ2t+1
1− θ+λ
[Atwt −
(C1t +
11 + rt+1
C2t+1
)](4)
Дифференцируя, получаем условия первого порядка:
C−θ1t = λ (5)1
1 + ρC−θ2t+1 =
11 + rt+1
λ (6)
Комбинируя, получаем уравнение Эйлера для нашейзадачи:
C2t+1
C1t=
(1 + rt+1
1 + ρ
). (7)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 30: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/30.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Ну давайте её решим. Выпишем функцию Лагранжа:
L =C 1−θ
1t1− θ
+1
1 + ρ
C 1−θ2t+1
1− θ+λ
[Atwt −
(C1t +
11 + rt+1
C2t+1
)](4)
Дифференцируя, получаем условия первого порядка:
C−θ1t = λ (5)1
1 + ρC−θ2t+1 =
11 + rt+1
λ (6)
Комбинируя, получаем уравнение Эйлера для нашейзадачи:
C2t+1
C1t=
(1 + rt+1
1 + ρ
). (7)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 31: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/31.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Если из уравнения Эйлера выразить C2t+1 через C1t иподставить в бюджетное уравнение потребителя, мыполучим следующее выражение для потребления в первомпериоде, как части дохода:
C1t =(1 + ρ)1/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + rt+1)(1−θ)/θAtwt (8)
Из этого уравнения следует, что сберегаемая часть зависитот ставки процента. Обозначим зависимость сберегаемойчасти дохода от процента через s(r). Тогда
s(r) =(1 + r)(1−θ)/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + r)(1−θ)/θ(9)
Таким образом,
C1t = [1− s(rt+1)]Atwt . (10)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 32: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/32.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Если из уравнения Эйлера выразить C2t+1 через C1t иподставить в бюджетное уравнение потребителя, мыполучим следующее выражение для потребления в первомпериоде, как части дохода:
C1t =(1 + ρ)1/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + rt+1)(1−θ)/θAtwt (8)
Из этого уравнения следует, что сберегаемая часть зависитот ставки процента. Обозначим зависимость сберегаемойчасти дохода от процента через s(r). Тогда
s(r) =(1 + r)(1−θ)/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + r)(1−θ)/θ(9)
Таким образом,
C1t = [1− s(rt+1)]Atwt . (10)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 33: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/33.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Если из уравнения Эйлера выразить C2t+1 через C1t иподставить в бюджетное уравнение потребителя, мыполучим следующее выражение для потребления в первомпериоде, как части дохода:
C1t =(1 + ρ)1/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + rt+1)(1−θ)/θAtwt (8)
Из этого уравнения следует, что сберегаемая часть зависитот ставки процента. Обозначим зависимость сберегаемойчасти дохода от процента через s(r). Тогда
s(r) =(1 + r)(1−θ)/θ
(1 + ρ)1/θ + (1 + r)(1−θ)/θ(9)
Таким образом,
C1t = [1− s(rt+1)]Atwt . (10)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 34: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/34.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Из выражения для s(r) видно, что сбережения молодогоиндивида растут с ростом r только тогда, когда растёт(1 + r)(1−θ)/θ.Производная этого выражения по r равна[(1− θ)/θ](1 + r)(1−2θ)/θ. Значит, s возрастает по r еслиθ < 1 и убывает, если θ > 1.Поскольку параметр θ отражает баланс между эффектомдохода и эффектом замещения в межвременном выбореиндивида (вспомним вид функции полезности), то такимобразом можно отследить влияние межвременныхпредпочтений на сбережения.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 35: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/35.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Из выражения для s(r) видно, что сбережения молодогоиндивида растут с ростом r только тогда, когда растёт(1 + r)(1−θ)/θ.Производная этого выражения по r равна[(1− θ)/θ](1 + r)(1−2θ)/θ. Значит, s возрастает по r еслиθ < 1 и убывает, если θ > 1.Поскольку параметр θ отражает баланс между эффектомдохода и эффектом замещения в межвременном выбореиндивида (вспомним вид функции полезности), то такимобразом можно отследить влияние межвременныхпредпочтений на сбережения.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 36: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/36.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Из выражения для s(r) видно, что сбережения молодогоиндивида растут с ростом r только тогда, когда растёт(1 + r)(1−θ)/θ.Производная этого выражения по r равна[(1− θ)/θ](1 + r)(1−2θ)/θ. Значит, s возрастает по r еслиθ < 1 и убывает, если θ > 1.Поскольку параметр θ отражает баланс между эффектомдохода и эффектом замещения в межвременном выбореиндивида (вспомним вид функции полезности), то такимобразом можно отследить влияние межвременныхпредпочтений на сбережения.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 37: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/37.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Из сказанного выше следует, что в нашей экономике запаскапитала определяется сбережениями:
Kt+1 = s(rt+1LtAtwt (11)
Заметим, что индивид сберегает под ожидаемую ставкупроцента, свою текущую заработную плату.Разделим обе части на Lt+1At+1, и учтём известные намтемпы роста и выражения для rt и wt , получая динамикукапитала:
kt+1 =1
(1 + n)(1 + g)s(f ′(kt+1))[f (kt)− kt f ′(kt)] (12)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 38: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/38.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Из сказанного выше следует, что в нашей экономике запаскапитала определяется сбережениями:
Kt+1 = s(rt+1LtAtwt (11)
Заметим, что индивид сберегает под ожидаемую ставкупроцента, свою текущую заработную плату.Разделим обе части на Lt+1At+1, и учтём известные намтемпы роста и выражения для rt и wt , получая динамикукапитала:
kt+1 =1
(1 + n)(1 + g)s(f ′(kt+1))[f (kt)− kt f ′(kt)] (12)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 39: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/39.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Из сказанного выше следует, что в нашей экономике запаскапитала определяется сбережениями:
Kt+1 = s(rt+1LtAtwt (11)
Заметим, что индивид сберегает под ожидаемую ставкупроцента, свою текущую заработную плату.Разделим обе части на Lt+1At+1, и учтём известные намтемпы роста и выражения для rt и wt , получая динамикукапитала:
kt+1 =1
(1 + n)(1 + g)s(f ′(kt+1))[f (kt)− kt f ′(kt)] (12)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 40: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/40.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Видно, что динамика капитала у нас определилась тольконеявно (поскольку kt+1 стоит и в правой части). В общемслучае трудно что-либо сказать про явный вид этойзависимости.Перейдём к логарифмической полезности (θ = 1) и ПФКобба-Дугласа:
kt+1 =1
(1 + n)(1 + g)
12 + ρ
(1− α)kαt (13)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 41: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/41.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Видно, что динамика капитала у нас определилась тольконеявно (поскольку kt+1 стоит и в правой части). В общемслучае трудно что-либо сказать про явный вид этойзависимости.Перейдём к логарифмической полезности (θ = 1) и ПФКобба-Дугласа:
kt+1 =1
(1 + n)(1 + g)
12 + ρ
(1− α)kαt (13)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 42: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/42.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
В. Хачатуров Модели роста
![Page 43: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/43.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
В. Хачатуров Модели роста
![Page 44: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/44.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Сдвиг в коэффициенте дисконтирования аналогичен ростунормы сбережения в модели Солоу: уровни переменныхвырастают, темпы роста переменных в расчёте на единицуэффективного труда после сходимости снова нулевые.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 45: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/45.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Как и раньше, нас интересуют не только качественные, нои количественные предсказания модели: в том числе,скорость сходимости.Разложим kt+1 в ряд вдоль траектории сбалансированногороста, то есть k = k∗:
kt+1 ≈ k∗ +
(dkt+1
dkt(k∗)
)(kt − k∗) (14)
Пусть λ есть значение производной. Тогда решением этогоЛРУ будет:
kt − k∗ ≈ λt(k0 − k∗) (15)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 46: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/46.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Как и раньше, нас интересуют не только качественные, нои количественные предсказания модели: в том числе,скорость сходимости.Разложим kt+1 в ряд вдоль траектории сбалансированногороста, то есть k = k∗:
kt+1 ≈ k∗ +
(dkt+1
dkt(k∗)
)(kt − k∗) (14)
Пусть λ есть значение производной. Тогда решением этогоЛРУ будет:
kt − k∗ ≈ λt(k0 − k∗) (15)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 47: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/47.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Как и раньше, нас интересуют не только качественные, нои количественные предсказания модели: в том числе,скорость сходимости.Разложим kt+1 в ряд вдоль траектории сбалансированногороста, то есть k = k∗:
kt+1 ≈ k∗ +
(dkt+1
dkt(k∗)
)(kt − k∗) (14)
Пусть λ есть значение производной. Тогда решением этогоЛРУ будет:
kt − k∗ ≈ λt(k0 − k∗) (15)
В. Хачатуров Модели роста
![Page 48: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/48.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Отсюда следует, что если λ между 0 и 1, система плавносходится.Если λ между −1 и 0, система сходится, осциллируявокруг сбалансированной траектории.Если λ по модулю больше 1, система “взрывается” ирасходится.Для ПФ Кобба-Дугласа λ = α. Поскольку α лежит между0 и 1, такой вид ПФ означает успешную монтоннуюсходимость.При этом скорость сходимости отличается от скоростисходимости в модели Солоу – причина лежит в том, что вовтором периоде “старики” потребляют, но не сберегают,причём не постоянную часть дохода.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 49: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/49.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Отсюда следует, что если λ между 0 и 1, система плавносходится.Если λ между −1 и 0, система сходится, осциллируявокруг сбалансированной траектории.Если λ по модулю больше 1, система “взрывается” ирасходится.Для ПФ Кобба-Дугласа λ = α. Поскольку α лежит между0 и 1, такой вид ПФ означает успешную монтоннуюсходимость.При этом скорость сходимости отличается от скоростисходимости в модели Солоу – причина лежит в том, что вовтором периоде “старики” потребляют, но не сберегают,причём не постоянную часть дохода.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 50: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/50.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Отсюда следует, что если λ между 0 и 1, система плавносходится.Если λ между −1 и 0, система сходится, осциллируявокруг сбалансированной траектории.Если λ по модулю больше 1, система “взрывается” ирасходится.Для ПФ Кобба-Дугласа λ = α. Поскольку α лежит между0 и 1, такой вид ПФ означает успешную монтоннуюсходимость.При этом скорость сходимости отличается от скоростисходимости в модели Солоу – причина лежит в том, что вовтором периоде “старики” потребляют, но не сберегают,причём не постоянную часть дохода.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 51: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/51.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Отсюда следует, что если λ между 0 и 1, система плавносходится.Если λ между −1 и 0, система сходится, осциллируявокруг сбалансированной траектории.Если λ по модулю больше 1, система “взрывается” ирасходится.Для ПФ Кобба-Дугласа λ = α. Поскольку α лежит между0 и 1, такой вид ПФ означает успешную монтоннуюсходимость.При этом скорость сходимости отличается от скоростисходимости в модели Солоу – причина лежит в том, что вовтором периоде “старики” потребляют, но не сберегают,причём не постоянную часть дохода.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 52: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/52.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Отсюда следует, что если λ между 0 и 1, система плавносходится.Если λ между −1 и 0, система сходится, осциллируявокруг сбалансированной траектории.Если λ по модулю больше 1, система “взрывается” ирасходится.Для ПФ Кобба-Дугласа λ = α. Поскольку α лежит между0 и 1, такой вид ПФ означает успешную монтоннуюсходимость.При этом скорость сходимости отличается от скоростисходимости в модели Солоу – причина лежит в том, что вовтором периоде “старики” потребляют, но не сберегают,причём не постоянную часть дохода.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 53: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/53.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Общий случай
Несмотря на простоту модели, рассмотрение динамики вобщем случаем нетривиально.В частности, в зависимости от вида ПФ и функцииполезности, может возникнуть ситуация, когдаравновесных значений k будет больше двух.Причём эти равновесия могут оказаться как устойчивыми,так и не устойчивыми, или вообще не определятьсяоднозначным образом.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 54: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/54.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Общий случай
Несмотря на простоту модели, рассмотрение динамики вобщем случаем нетривиально.В частности, в зависимости от вида ПФ и функцииполезности, может возникнуть ситуация, когдаравновесных значений k будет больше двух.Причём эти равновесия могут оказаться как устойчивыми,так и не устойчивыми, или вообще не определятьсяоднозначным образом.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 55: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/55.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Общий случай
Несмотря на простоту модели, рассмотрение динамики вобщем случаем нетривиально.В частности, в зависимости от вида ПФ и функцииполезности, может возникнуть ситуация, когдаравновесных значений k будет больше двух.Причём эти равновесия могут оказаться как устойчивыми,так и не устойчивыми, или вообще не определятьсяоднозначным образом.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 56: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/56.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
В. Хачатуров Модели роста
![Page 57: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/57.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Более того, экономика модели Даймонда может бытьточно так же динамически неэффективна, как и экономикамодели Солоу – в частности, состояние равновесия можетбыть с k∗ > kgold .Казалось бы, как так может быть? Конкурентностьэкономики и отсутствие экстерналий должно привести кПарето-эффективному распределению.Причина состоит в том, что у нас бесконечное числоагентов. Social planner мог бы устраивать в такойэкономике распределения, которые не являютсярезультатом рыночного механизма: в частности, он мог быбесконечно забирать одну единицу дохода от труда умолодых и отдавать старым, причём делать это длякаждого поколения – а значит, можно улучшитьдецентрализованное распределение.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 58: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/58.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Более того, экономика модели Даймонда может бытьточно так же динамически неэффективна, как и экономикамодели Солоу – в частности, состояние равновесия можетбыть с k∗ > kgold .Казалось бы, как так может быть? Конкурентностьэкономики и отсутствие экстерналий должно привести кПарето-эффективному распределению.Причина состоит в том, что у нас бесконечное числоагентов. Social planner мог бы устраивать в такойэкономике распределения, которые не являютсярезультатом рыночного механизма: в частности, он мог быбесконечно забирать одну единицу дохода от труда умолодых и отдавать старым, причём делать это длякаждого поколения – а значит, можно улучшитьдецентрализованное распределение.
В. Хачатуров Модели роста
![Page 59: 5 diamond model](https://reader036.fdocuments.net/reader036/viewer/2022062514/557d2f1dd8b42a80608b5062/html5/thumbnails/59.jpg)
Постановка задачиПоведение домохозяйств
Динамика капитала
Более того, экономика модели Даймонда может бытьточно так же динамически неэффективна, как и экономикамодели Солоу – в частности, состояние равновесия можетбыть с k∗ > kgold .Казалось бы, как так может быть? Конкурентностьэкономики и отсутствие экстерналий должно привести кПарето-эффективному распределению.Причина состоит в том, что у нас бесконечное числоагентов. Social planner мог бы устраивать в такойэкономике распределения, которые не являютсярезультатом рыночного механизма: в частности, он мог быбесконечно забирать одну единицу дохода от труда умолодых и отдавать старым, причём делать это длякаждого поколения – а значит, можно улучшитьдецентрализованное распределение.
В. Хачатуров Модели роста