Analyse Spectrale de Fourier- dfinition de la densit spectrale de puissance- erreurs alatoires : proprits des estimateurs- effet de biais- effet des fentres fuites- les Units

analyse spectrale

Analyse Spectrale de Fourierdensit spectrale de puissance : dfinitionx(n) signal alatoire, stationnaire (ergodique)n: [-,+]T=12 formulations quivalentes :transforme de Fourier de la Fonction dautocorrlation

moyenne (densemble) du module carr de la T de Fourier

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Analyse Spectrale de Fourierdensit spectrale de puissance : estimateurx(n) signal alatoire, stationnaire (ergodique)n: [-1,N], nombre de points finiT=12 estimateurs (quivalents quand N>>>) :corrlogramme

priodogramme

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Analyse Spectrale de Fourierestimateur du priodogrammeOn utilise lestimateur du priodogramme : calcul avec la FFT.

Proprits de lestimateur :

biais : =E [Sxx/per(k)] = Sxx(k) quand N>>sans biais asymtotiquementvariance : = E[Sxx/per(k)- ] Sxx/per(m)la variance est trs importante !!

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Analyse Spectrale de Fourierestimateur du priodogrammeBruit blanc filtr passe-bassuperposition de [20 FFT] calculessur des tranches de 256 points

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Analyse Spectrale de Fourierpriodogramme Moyenn: contrle de la variance(1)Do lide de moyenner lestimateur du priodogramme sur plusieurs tranches du signal. (Moyenne densemble) -WELCH-

S1S2SM( Sm)/MSmS12MmN points par tranche

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Analyse Spectrale de Fourierpriodogramme : effet du moyennageBruit blanc filtr passe-basmoyenne de [2 FFT] calculesMoyennage de 20 [FFT]

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Analyse Spectrale de Fourierproprits du priodogramme moyennLe moyennage permet de diminuer la variance. Le biais ne change pas puisquil ne dpend que de N (longueur chaque tranche).Proprits de lestimateur :biais : =E [Sxx/per/moy(k)] = Sxx(k) quand N>>sans biais asymtotiquementvariance : = E[Sxx/per/moy(k)- ] Sxx(k)/Mla variance diminue en 1/M !!cart-type: =S(k)/M

ps: les rsultats sont obtenus en supposant une distribution gaussienne ainsi quune indpendance des tranches.

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Analyse Spectrale de FourierPriodogramme Moyenn par recouvrementil faut augmenter M pour diminuer la variance le TEMPS dANALYSE Tmax >N.M.T peut tre prohibitif

S1S2SM( Sm)/MSmS12MmN points par tranche

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Analyse Spectrale de Fourierpriodogramme moyenn :recouvrement(2)Une mthode pour diminuer Tmax . On fait recouvrir les tranches . Mais Les tranches ne sont plus indpendantes:

la variance dcrot moins vite avec N

les fentres contribuent rendre indpendantes les tranchesFentre rectangulaireFentre type Hanning

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Analyse Spectrale de Fourierpriodogramme :contrle du biaisEstimateur asymtotiquement non biaisil faut augmenter N (cest--dire augmenter la rsolution frquentielle) pour diminuer le biaissi f =1/NT trop grand :sous estimation des maximum (pics)sur-estimation des minimumen gnral T fix par lanalyse Nune rgle pratique : pour un pic de largeur f0 :il faut choisir N tel que : f = 1/NT < f0/4pour un systme 1ddl avec amortissement visqueux . f0=2 fr r fr f rsonance; r amortissement rduit

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Analyse Spectrale de Fouriereffet des fentres : exempleDmo fuites (voir DFT)1 sinusode dont la frquence correspond une raie FFT1 sinusode dont la frquence se situe entre 2 raies

- comparaison des fentres de Hanning et rectangulaireleffet des raies latrales dues une fentre font augmenter la puissance .Ceci est corrig en divisant par la puissance quivalente de la fentre. Voir tableau chapitre DFT. La correction est faite sur les analyseurs.

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Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zros : zeros paddingObjectifs :augmenter la taille de la tranche pour avoir N = puissance de 2augmenter la rsolution ???Intrts : les transitoires, signaux courtsrsultats :interpolation entre les points DFT calculs sans lajout de zrosla fonction dinterpolation est lie la fentre de pondration l

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Analyse Spectrale de Fourier Ajout de zros : exempledmo fouzros

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Analyse Spectrale de FourierUnits : signaux continusSignaux priodiques

Signaux non-priodiques

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Analyse Spectrale de FourierUnits : signaux discretsDiscret :T N.Tdt Tdf f=1/N T lENERGIE totale T= N.T V.secor cause de la division par N dans la DFT inverse, Parseval scrit:

rem: on introduit un facteur 2 pour tenir compte des frquences ngatives

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Analyse Spectrale de FourierUnits : rsumx( ) en Volts

Puissance DS PuissanceEnergieDS Energie VV/HzV.secV.sec/Hz=V.sec

amplitudeVV/HzV. secV.sec

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Analyse Spectrale de FourierUnits : signaux discrets, exemple

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