5. Analisa Benda Elastik 2 Dimensi - uow.edu.au/buyung/ElemenHingga.pdf · Pada bab ini kita akan...

Analisa Benda Pejal Elastik 111

5. Analisa Benda Pejal

Elastik 2‐Dimensi

5.1 Dasar Kontinuum Mekanik Benda Pejal (Solid)

Pada bab ini kita akan mempelajari penerapan Metode Elemen

Hingga untuk analisa tegangan dan regangan benda pejal yang

terbebani. Jika benda padat terbebani maka setiap bagian dari benda itu

akan mengalami tegangan dan regangan (pergeseran). Gambar 5.1

menggambarkan situasi suatu benda padat yang terbebani.

Gambar 5.1 Benda padat yang terbebani.


Tegangan pada setiap bagian dari benda ini dapat dianalisa dengan

menggunakan elemen tegangan (stress element) seperti digambarkan

oleh Gambar 5.2.

Gambar 5.2 Elemen tegangan.

Agar elemen berada dalam kondisi equilibrium maka xy = yx , xz =

zx dan yz = zy. Dengan menggunakan notasi vektor elemental

tegangan dapat dituliskan

T = {xx yy zz yz xz xy} (5.1)

Dengan analisa yang sama elemental regangan dapat dituliskan dengan

menggunakan notasi vektor.

T = {xx yy zz yz xz xy} (5.2)

Apabila tegangan hanya menyebabkan pergeseran yang kecil dan

saat beban ditiadakan benda kembali ke bentuk asal seperti sebelum

terbebani, benda dikatakan masih berada dalam sifat elastik. Pada

regime elastik hubungan antara tegangan, dan regangan, mengikuti

hukum Hooke.


xy

xz

yz

zz

yy

xx

66

5655

464544

36353433

2625242322

161514131211

xy

xz

yz

zz

yy

xx

c

ccsym.

ccc

cccc

ccccc

cccccc

(5.3)

atau dalam bentuk matrik

{} = [C] {} (5.4)

Pada persamaan (5.4) [C] adalah matrik konstitutif bahan (material

constitutive law). Elemen dari matrik konstitutif ini ditentukan dari

eksperimen. Untuk benda isotropik, Young’s modulus, E dan Poissons ratio, merata pada semua arah. Untuk materi ini hubungan antara

tegangan dan regangan diberikan oleh Hukum Hooke.

EEEzzyyxx

xx

(5.5)

Eν

EEzzyyxx

yy (5.6)

EEν

Ezzyyxx

zz (5.7)

Gyz

yz

(5.8)

Gxz

xz (5.9)

Gxy

xy

(5.10)

Dimana G adalah modulus geser isotropik (isotropic shear modulus)

yang diberikan oleh


)2(1E

G

(5.11)

Persamaan‐persamaan (5.5) – (5.10) memberikan matrik konstitutif

[C],

ν

ν

ν

ννν

ννν

ννν

νν

0.500000

00.50000

000.5000

0001

0001

0001

)2)(1(1

E][C (5.12)

Dengan MEH, solusi yang dihitung adalah pergeseran node. Jadi

setiap node terdiri 3 dof, ux, uy dan uz. Hubungan antara regangan, dan derivatif pergeseran adalah

xu

Δxz)y,(x,ux)y,Δx,(xu

limxxx

0Δxxx

(5.13)

y

u

Δy

z)y,(x,uz)Δy,y(x,ulim

yyy

0Δyyy

(5.14)

zu

Δzz)y,(x,uΔz)zy,(x,u

limzzz

0Δzzz

(5.15)

Regangan geser (shear strain) didefinisikan sebagai perubahan sudut

suatu elemen sebagai akibat dari beban. Gambar 5.3 memberikan

illustrasi sudut‐sudut ini.


Gambar 5.3 Perubahan sudut suatu elemen yang terbebani.

Regangan geser, xy diberikan oleh

x

u

yu

Δx

z)y,(x,ux)y,Δx,(xulimΔy

z)y,(x,ux)Δy,y(x,ulim

yx

yy

0Δx

xx

0Δy

21xy

(5.16)

Dengan cara yang sama regangan geser yang lain dapat diturunkan

sebagai berikut.

z

u

yu yz

yz

(5.17)

zu

xu xz

xz

(5.18)

Hubungan antara regangan dan derivatif pergeseran (5.13) – (5.18)

dapat dituliskan dengan menggunakan notasi matrik berikut.


y

u

x

uz

u

x

uz

u

y

ux

ux

ux

u

xy

xz

yz

z

y

x

(5.19)

5.2 Analisa Tegangan Bidang (Plane Stress Analysis)

Untuk benda pejal yang mempunyai ketebalan yang kecil

dibandingkan dengan ukuran penampang dan beban hanya berada

pada bidang penampang, maka tegangan pada arah tegak lurus dari

penampang adalah nol. Untuk bidang xy, zz = yz = xz = 0. Dengan

asumsi yz = xz = 0, persamaan Hooke untuk problem tegangan bidang

(plane stress) diberikan oleh,

xy

yy

xx

xy

yy

xx

21

00

01

01

1

E2

(5.20)

Untuk analisa tegangan bidang, matrik konstitutifnya adalah

21

00

01

01

1

E2 νν

ν

νC (5.21)


5.3 Analisa Regangan Bidang (Plane Strain Analysis)

Untuk benda pejal yang mempunyai ketebalan yang besar

dibandingkan dengan ukuran penampang dan beban hanya berada

pada bidang penampang, maka regangan pada arah tegak lurus dari

penampang adalah nol. Jika bidang penampang adalah bidang xy, zz = yz = xz = 0. Hukum Hooke untuk problem regangan bidang diberikan

oleh

xy

yy

xx

xy

yy

xx

21

00

0‐1

0‐1

))(1(1E

ε

ε

ε

ννν

νν

ννσ

σ

σ

22 (5.22)

Untuk analisa regangan bidang, matrik konstitutifnya adalah

21

00

0‐1

0‐1

))(1(1E

ννν

νν

νν 22C (5.23)

5.4 Formulasi MEH: Elemen Segitiga Linear

Ada dua teknik yang umum digunakan untuk menurunkan

formulasi MEH problem elastik: 1) minimum potensial energi (Bab 2

dan Bab 3), dan 2) Metode Galerkin. Pada bab ini kita akan

menggunakan pendekatan minimum potensial energi.

Pertama‐tama strain diekspresikan dengan pergeseran pada node.

Untuk elemen segitiga linear pergeseran pada elemen diberikan oleh

persamaan (4.36)

x33x22x11x uSuSuSu (e) (5.24)

y33y22y11y uSuSuSu (e) (5.25)

Dengan menggunakan (5.24) dan (5.25) regangan dihitung


y3

x3

y2

x2

y1

x1

332211

321

31

yx

y

x

xy

yy

xx

u

u

u

u

u

u

x

S

y

S

x

S

y

S

x

S

y

Sy

S0

y

S0

y

S0

0x

S0

x2S0

x

S

x

u

y

u

y

ux

u

(5.26)

Dengan menggunakan S1, S2 dan S3 yang telah diberikan oleh (4.37) –

(4.39) pada (5.26) kita peroleh

y3

x3

y2

x2

y1

x1

xy

yy

xx

u

u

u

u

u

u

332211

302010

030201

2A1

(5.27)

Atau secara singkat dapat dituliskan dengan menggunakan notasi

matrik

{ε} = [B] {U} (5.28)

Matrik [B] dikenal sebagai matrik regangan (strain matrix). Disini jelas

bahwa dengan menggunakan elemen linear segitiga, hanya ada satu

nilai regangan pada elemen, oleh karenanya elemen ini dikenal dengan

elemen regangan konstan (constant strain element). Untuk menghitung

energi potensial, diperlukan energi regangan yang tersimpan pada

benda (lihat persamaan 3.1). Dengan menggunakan (3.1) energi regangan

yang tersimpan pada benda adalah


vT

vTT

vT

vT)(

dv][][][2

1

dv][][][2

1

dv][][][2

1

dv2

1Λ

εε

εε

εε

εσ

C

C

C

e

(5.29)

Perhatikan bahwa T][][ εC = TT ][][ Cε dan ][][ T CC . Selanjutnya

dengan mensubstitusikan (5.28) ke (5.29) diperoleh

vTT)( dv][][][][][

21

Λ UBCBUe (5.30)

Kerja pada badan ini dihitung dengan mengalikan gaya pada node

dengan pergeseran node (lihat Gambar 5.4).

][][

FuFuFuFuFuFuW

T

y3y3x3x3y2y2x2x2y1y1x1x1)(

FU

e (5.31)

Gambar 5.4 Gaya dan pergeseran pada node elemen segitiga.


Energi potensial total elemen diberikan oleh

][][dv][][][][][21 T

vTT

)()()(

FUUBCBU

WΛΠ

eee

(5.32)

Dengan meminimumkan )(e

Π akan diperoleh sistim persamaan

linear berikut.

0][][][][][V T

FUBCB

UΠ

(5.33)

atau

[K] [U] = [F] (5.34)

dimana [K] adalah matrik kekakuan.

‐‐‐‐‐ CONTOH 5.1 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Suatu plat yang tersangga dan terbebani pada salah satu ujung

mengalami pergeseran. Jika pergeseran maksimum dari plat tidak

boleh melebihi 10 m, hitung:

(a) Pergeseran maksimum plat,

(b) apakah ada kemungkinan plat untuk berubah bentuk secara

permanen (plastic deformation), dan

(c) perkiraan perubahan ketebalan plat pada saat terbebani.


Karena ketebalan plat lebih kecil dari seperlima dimensi penampang

problem ini dapat disederhanakan sebagai problem tegangan bidang.

Pada contoh ini kita hanya menggunakan satu elemen.

Untuk menghitung matrik kekakuan [K], pertama‐tama kita hitung

matrik konstitutif dengan menggunakan (5.21).

20,331

00

010,33

00,331

688,7e

20,331

00

010,33

00,331

0,331

75.000 32

)(1C

Dengan area, A = 200 mm2 dan isi, V = 600 mm3 selanjutnya elemen‐

elemen matrik [B] dihitung dengan menggunakan koordinat node

1(0,0), 2(20,0) dan 3(0,20),

20200 321 yyβ 20200 231 xxδ

20020 132 yyβ 000 312 xxδ

000 213 yyβ 20020 123 xxδ

Matrik [B] menurut (5.27),

0202002020

20000200

00020020

0,0025)(1B

Setelah [B] dan [C] diperoleh, [K] dapat dihitung


1,0331000,34091,03310,3409

00,34610,346100,34610,3461

00,34610,346100,34610,3461

0,3409001,03310,34091,0331

1,03310,34610,34610,34091,37910,687

0,34090,34610,34611,03310,68701,3791

1e

][][][600

6

T)( BCBK 1

Dan sistim persamaan yang diperoleh adalah

y3

x3

y2

x2

y1

x1

y3

x3

y2

x2

y1

x1

6

F

F

F

F

F

F

u

u

u

u

u

u

1,0331000,34091,03310,3409

00,34610,346100,34610,3461

00,34610,346100,34610,3461

0,3409001,03310,34091,0331

1,03310,34610,34610,34091,37910,687

0,34090,34610,34611,03310,68701,3791

1e

Karena ux1 = uy1 = ux2 = uy2 = 0 dan Fx2 = 150 N dan Fy2 = 200 N, lajur

satu, dua, lima dan enam dapat dieliminasikan dari sistim.

200

150u

u

0,34610

01,03311e

y2

x26

a) Pergeseran maksimum plat

Solusi dari sistim persamaan ini memberikan pergeseran titik beban

(node 2).

mm5,7787

1,45191e

u

u4‐

y2

x2

Dengan menggunakan jawaban ini, gaya‐gaya reaksi pada node 1 dan 3

dapat diperoleh dengan mensubstitusikan nilai ux2 dan uy2 ke sistim

persamaan di atas. Gaya‐gaya reaksi ini adalah


N200

350‐

F

F

x3

x1

Verifikasikan hasil ini dengan menggunakan analisa statik.

b) Kemungkinan berubah bentuk secara permanen

Untuk mengetahui apakah beban yang ada akan membuat plat

berubah bentuk secara permanen, kita perlu mengetahui tegangan pada

elemen. Dengan mensubstitusikan (5.21) dan (5.28) ke (5.20) kita bisa

peroleh

MPa

6,67

1,65

5

][][][

xy

yy

xx

UBC

Dari tegangan ini bida peroleh tegangan von Mises (von Mises stress),

’ berdasarkan tegangan elemen yang telah dihitung diatas.

MPa12,37

(6,67)3(1,65)51,655

3

222

2xyyyxx

2yy

2xx

Jika tegangan yield (yield stress) aluminium berkisar antara 15 – 20

MPa, karena nilai von Misses stress ini lebih kecil dari yield stress

aluminium menurut teori, plat tidak akan berubah bentuk secara

permanen. Namun dalam praktek kemungkinan plat berubah bentuk

cukup besar dikarenakan adanya defek pada bahan atau variasi dari

beban.

(c) Perkiraan perubahan ketebalan plat Besarnya penipisan dari plat dapat diaproksimasikan dengan

menggunakan persamaan (5.7).

EEν

Ezzyyxx

zz


6‐e26,2975,000

075,0001,65

0,3375,000

50,33zz

Jadi perubahan tipis plat adalah

x629,26eΔz 3 = mm687,87e

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

5.5 Formulasi MEH: Elemen Linear Segiempat

Untuk elemen segiempat linear, pergeseran pada elemen diberikan

oleh persamaan (4.21). Dan pergeseran x dan y diberikan oleh

x44x33x22x11)(

x uSuSuSuSu e (5.35)

y44y33y22y11)(

y uSuSuSuSu e (5.36)

Dengan menggunakan (5.35) dan (5.36) regangan dapat dihitung

sebagai berikut

y4

x4

y3

x3

y2

x2

y1

x1

44

4

4

332211

321

321

yx

y

x

u

u

u

u

u

u

u

u

x

S

y

Sy

S0

0x

S

x

S

y

S

x

S

y

S

x

S

y

Sy

S0

y

S0

y

S0

0x

S0

x

S0

x

S

x

u

y

u

y

ux

u

xy

yy

xx

(5.37)


Bentuk umum dari fungsi bobot S1, S2, S3 dan S4 diberikan pada

koordinat natural (). Untuk fungsi‐fungsi bobot ini derivative parsialnya diperoleh dengan menggunakan aturan rantai.

η

ξηξ

ηξ

ηη

ξξ

ηη

ξξ

i

i

ii

ii

i

i

S

S

yy

xx

y

S

y

Sx

S

x

S

y

Sx

S

(5.38)

Dengan menggunakan (5.38) untuk derivative parsial pada (5.37)

vektor regangan dapat dituliskan.

[ε] = [A] [D] [U] (5.39)

dimana,

xxyy

yy00

00xx

ηξηξ

ηξ

ηξ

A (5.40)

Dan

ηηηη

ξξξξ

ηηηη

ξξξξ

4321

4321

4321

4321

S0

S0

S0

S0

S0

S0

S0

S0

0S

0S

0S

0S

0S

0S

0S

0S

D (5.41)

Elemen‐elemen [D] dapat diperoleh dari penurunan fungsi‐fungsi

bobot (4.29) – (4.32).


)(10)(10)(10)(10

)(10)(10)(10)(10

0)(10)(10)(10)(1

0)(10)(10)(10)(1

41

ξξξξ

ηηηη

ξξξξ

ηηηη

D

(5.42)

Untuk mendapatkan elemen‐elemen dari matrik [A] diperlukan

matrik transformasi yang dikenal sebagai matrik Jacobian [J].

y

Sx

S

yx

yx

yy

Sxx

S

yy

Sxx

S

S

S

i

i

ii

ii

i

i

ηη

ξξ

ηη

ξξ

η

ξ (5.43)

[J]

Dengan membandingkan (5.38) dengan (5.43) kita bisa dapatkan

η

ξ

η

ξηξ

ηξ

i

i

1

i

i

i

i

S

S

][S

S

yy

xx

y

Sx

S

J (5.44)

Matrik [J] dapat dihitung

44

33

22

11

4321

4321

2221

1211

yx

yx

yx

yx

SSSS

SSSS

jj

jj

ηηηη

ξξξξJ (5.45)

dan

1121

1222jj‐

j‐j1

yy

xx||

1J

J ηξ

ηξ

(5.46)


Selanjutnya matrik [A] dapat dihitung dari

12221121

1121

1222

jjjj

jj00

00jj1

xxyy

yy00

00xx

|| JA

ηξηξ

ηξ

ηξ

(5.47)

Setelah [A] diperoleh kita dapat hitung energi regangan elemen

berikut.

1

1‐

1

1‐

TTT

AT

vT

dd][][][][][][][t2

1

dA][]][[][])[]][[t2

1

dv][][][2

1)(

ηξ

e

||

(

JUDACADU

UDACUDA

εCεΛ

(5.48)

Kerja pada elemen

][][

FuFuFuFuFuFuFuFu

T

y4y4x4x4y3y3x3x3y2y2x2x2y1y1x1x1)(

FU

W

e

(5.49)

dan energi potensial total

][][dd][][][][][][][t2

1 T1

1‐

1

1‐

TTT

)()()(

FUJUDACADU

WΛΠ

ηξ

eee

|| (5.50)

Dengan meminimumkan energi potensial total kita peroleh sistim

persamaan linear berikut.

0FJUDACADU

Π

][dd][][][][][][t1

1‐

1

1‐

TT ηξ|| (5.51)

atau


[K] [U] = [F] (5.52)

Dimana [K] adalah matrik kekakuan dimana dalam hal ini merupakan

integral yang umumnya dihitung secara numerik dengan

menggunakan empat titik Gauss (Gambar 4.24).

‐‐‐‐‐ CONTOH 5.2 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Pada contoh ini kita ulangi contoh 5.1 tetapi dengan plat segiempat.

Karena ketebalan plat lebih kecil dari seperlima dimensi penampang


Pada contoh ini kita hanya gunakan satu elemen.

Untuk menghitung matrik kekakuan [K], pertama‐tama kita hitung

matrik konstitutifnya dengan menggunakan (5.21).

20,331

00

010,33

00,331

688,7e

20,331

00

010,33

00,331

0,331

75.000 3

2

)(1C

Guna menghitung integral (5.51), kita gunakan integrasi numerik

dengan menggunakan 4 titik Gauss (Gambar 4.24). Untuk setiap titik ini

kita hitung matrik [D] dan [A].


Titik Gauss 1: = ‐0,57735 , = ‐0,57735

394,0106,0106,0394,0

106,0106,0394,0394,0

394,0106,0106,0394,0

106,0106,0394,0394,0

1

0000

0000

0000

0000

577)0(10577)0‐(10577)0‐(10577)0(10

577)0‐(10577)0‐(10577)0(10577)0(10

0577)0(10577)0‐(10577)0‐(10577)0(1

0577)0‐(10577)0(10577)0(10577)0(1

4

1

)(10)(10)(10)(10

)(10)(10)(10)(10

0)(10)(10)(10)(1

0)(10)(10)(10)(1

4

1

，，，，

，，，，

，，，，

，，，，

ξξξξ

ηηηη

ξξξξ

ηηηη

D

100

015

394,0394,0

394,0394,0

）））41

200

2030

030

00

0,1060,106

0,1060,106

200

2030

030

00

)(1(1(1(1

)(1)(1)(1)(1

jj

jj

2221

12111 ξξξξ

ηηηηJ

Determinan |J|1 = 150

010150

15000

00010

1501

jjjj

jj00

00jj

||1

12221121

1121

1222

11 J

A


953,5699,0515,1253,0810,1390,1655,5943,0

699,0161,2259,0341,0408,1230,1968,0272,1

515,1259,0486,0188,0188,0253,0813,1699,0

253,0341,0188,0330,0259,0559,0699,0230,1

813,1408,1188,0259,0299,1699,0701,0968,0

390,1230,1253,0559,0699,0759,2943,0089,2

655,5968,0813,1699,0701,0943,0767,6611,2

943,0272,1699,0230,1968,0089,2611,2591,4

1

||][

4

1

e

111T1

T1 ][][][][][t JDACADK

Dengan cara yang sama matrik [K]2, [K]3 dan [K]4 dihitung. Matrik

[K](1) adalah jumlah semua [K] pada titik Gauss.

4,3511,2591,3300,0102,1761,2593,5060,010

1,2592,9520,0101,0491,2591,4760,0100,427

1,3300,0104,3511,2593,5060,0102,1761,259

0,0101,0491,2592,9520,0100,4271,2591,476

2,1761,2593,5060,0104,3511,2591,3300,009

1,2591,4760,0100,4271,2592,9520,0101,049

3,5060,0102,1761,2591,3300,0104,3511,259

0,0100,4271,2591,4760,0101,0491,2592,952

1e][ 5(1)K



satu, dua, tujuh dan delapan dapat dieliminasikan dari sistim.

200

0

0

150

351,4259,1506,3010,0

259,1952,2010,0427,0

506,3010,0351,4259,1

010,0427,0259,1952,2

y3

x3

y2

x2

5

u

u

u

u

1e

Solusi dari sistim persamaan ini memberikan pergeseran titik‐titik

beban (node 2 dan 3).

mm

3,6

1,3

3,4

1,8

1e

u

u

u

u

3

y3

x3

y2

x2


Pergeseran maksimum terjadi pada node 2. Dengan menggunakan

hasil ini, gaya‐gaya reaksi pada node 1 dan 3 dapat dihitung dengan

mensubstitusikan nilai ux2 ,uy2 , ux3 dan uy3 ke sistim persamaan

[K][U]=[F]. Gaya‐gaya reaksi yang diperoleh adalah

N45

60‐

F

F

x4

x1

Sebagai latihan verifikasikan hasil ini dengan menggunakan analisa

statik.


Berbeda dengan elemen segitiga dimana regangan konstan pada

seluruh bagian elemen, pada elemen segiempat regangan berbeda‐

beda. Untuk menjawab pertanyaan apakah plat akan berubah bentuk

secara permanen, kita perlu menentukan lokasi kritis, kemudian

tegangan pada lokasi tersebut dihitung.

Ada dua lokasi kritis yaitu pada node 1 dan node 4. Pada contoh ini

kita akan lihat node 1 saja.

Node 1: = ‐1 , = ‐1

20000020

0000200

02000002

000000

41

)(10)(10)(10)(10

)(10)(10)(10)(10

0)(10)(10)(10)(1

0)(10)(10)(10)(1

41

2

22

ξξξξ

ηηηη

ξξξξ

ηηηη

D


100

015

22

2241

）））41

200

2030

030

00

00

00

200

2030

030

00

)(1(1(1(1

)(1)(1)(1)(1

jj

jj

2221

1211

ξξξξ

ηηηηJ

Determinan |J| = 150

010150

15000

00010

1501

jjjj

jj00

00jj

||1

12221121

1121

1222

JA

mm

0

0

3,6

1,3‐

3,4

1,8

0

0

1e

u

u

u

u

u

u

u

u

3

y4

x4

y3

x3

y2

x2

y1

x1

U

Tegangan pada node 1 adalah

MPa

26,15

13,64

41,32

][]][[][

xy

yy

xx

UDAC


Tegangan von Mises, ’ berdasarkan stress yang telah dihitung diatas adalah

MPa58,15

(26,15)3)64,13(41,3264,1341,32

3

222

2xyyyxx

2yy

2xx

Karena nilai von Misses stress ini lebih besar dari yield stress

aluminium dengan beban yang ada, menurut teori plat akan berubah

bentuk secara permanen.

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

5.6 Beban Merata (Distributed Load)

Untuk beban merata, beban ini perlu diubah menjadi beban yang

terpusat pada node. Guna menjelaskan proses penurunannya kita

gunakan contoh beban merata pada sisi 2‐3 (Gambar 5.4). Disini kita

ekspresikan beban ini menjadi sejajar sumbu x, px dan sumbu y, py.

Kerja yang dilakukan oleh gaya ini pada elemen diberikan oleh

dA][

dAp

p

S0

0S

S0

0S

S0

0S

]uuuuu[u

dAp

p)u(u

dA)pup(u

dA

TA

T

y

x

3

3

2

2

1

1

A y3x3y2x2y1x1

y

x

A yx

A yyxx

A)(

pSU

puW

e

(5.53)

Derivatif dari [W] terhadap pergeseran [U] diberikan oleh


dA][t3‐2l

T(e)

pSU

W (5.54)

Setelah integrasi diterapkan kita peroleh

y

x

y

x3‐2)(

p

p

p

p

0

0

2lt][F

UW e

(5.55)

Gambar 5.4 Gaya dan pergeseran pada node‐node elemen segitiga.

‐‐‐‐‐ CONTOH 5.3 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Suatu plat yang tersangga dan terbebani oleh beban merata pada

salah satu sisi. Hitung:

(a) Pergeseran maksimum plat, dan


permanen (deformasi plastik).


Beban ini kita pecah menjadi beban sejajar sumbu‐x dan sumbu‐y.

Dari contoh 5.1 telah kita peroleh

1,033000,3411,0330,341

00,3460,34600,3460,346

00,3460,34600,3460,346

0,341001,0330,3411,033

1,0330,3460,3460,3411,3790,687

0,3410,3460,3461,0330,6871,379

1e

[B][C][B]600

6

T)(1K

Dari persamaan (5.55), beban tambahan pada node dari beban

merata ini adalah [F]tambahan


1500

1500

1500

1500

0

0

p

p

p

p

2

lt

y

x

y

x3‐2tambahan

36,35

36,35

36,35

36,35

0

0

2

284,283

0

0

][F

Sistim persamaan yang diperoleh adalah

1500RF

1500RF

1500F

1500F

RF

RF

u

u

u

u

u

u

1,0331000,34091,03310,3409

00,34610,346100,34610,3461

00,34610,346100,34610,3461

0,3409001,03310,34091,0331

1,03310,34610,34610,34091,37910,687

0,34090,34610,34611,03310,68701,3791

1e

y3y3

x3x3

y2

x2

y1y1

x1x1

y3

x3

y2

x2

y1

x1

6



1500

1500

346,00

0033,1

y2

x26

u

u1e


Solusi dari sistim persamaan ini memberikan pergeseran titik beban

(node 2).

mm43

151e

u

u4‐

y2

x2


Tegangan pada elemen dihitung


MPa

49,60

17,05

15,65

][][][

xy

yy

xx

UBC

Dari stress ini kita hitung dulu von Misses stress, ’ berdasarkan tegangan yang telah dihitung diatas.

MPa

(49,60)3(17,05)17,0515,65

3

222

2xyyyxx

2yy

2xx

46,87

65,15

Karena yield stress aluminium berkisar antara 15 – 20 MPa, dan nilai

tegangan von Mises yang lebih besar dari yield stress aluminium,

menurut teori plat akan berubah bentuk secara permanen.

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

5.7 Benda Pejal Aksissimmetris

Untuk benda pejal yang secara geometris dan beban simmetris

terhadap sumbu rotasi (Gambar 5.5) problem dapat disederhanakan

dengan menggunakan elemen 2‐dimensi aksissimmetris. Elemen

tegangan pejal aksissimmetris diillustrasikan pada gambar 5.6. Elemen

ini hanya mempunyai empat stress nil‐nol, rr , , zz , dan rz.

Tegangan r = r= z z= 0.


Gambar 5.5 Solid revolusi dengan beban simmetris terhadap

sumbu z.

Gambar 5.6 Stress pada elemen axissimmetris.

Hukum Hooke untuk elemen ini adalah

rz

zz

rr

rz

zz

rr

ν21

ν1νν

νν1ν

ννν1

ν))(1(1E

000

0

0

0

2 (5.56)


Matrik konstitutif [C] elemen ini adalah

ν21

ν1νν

νν1ν

ννν1

ν))(1(1

E

000

0

0

0

2C (5.57)

Dengan cara yang sama (5.13 ‐ 5.16) hubungan antara regangan dan

pergeseran diberikan oleh

r

urrr

(5.58)

z

uzzz

(5.59)

r

ur (5.60)

r

u

z

u zrrz

(5.61)

Untuk elemen segitiga linear pergeseran elemen diberikan oleh

persamaan (4.36)

r33r22r11)(

ruSuSuSu e (5.62)

z33z22z11e

uSuSuS)(

zu (5.63)

Dengan menggunakan (5.58) – (5.63) vektor regangan dapat

diperoleh


z3

r3

z2

r2

z1

r1

332211

321

321

321

zr

r

z

r

rz

zz

rr

u

u

u

u

u

u

r

SS

r

SS

r

SSr

S

r

S

r

S

S0

SS0

0r

S

r

S

r

S

r

u

z

ur

uz

ur

u

zzz

zzz

000

0

00

(5.64)

Fungsi bentuk S1, S2 dan S3 telah diberikan oleh (4.37) – (4.39)

sehingga

z3

r3

z2

r2

z1

r1

332211

321

321

321

rz

zz

rr

u

u

u

u

u

u

r

SA2

r

SA2

r

SA2

00

0

2A1

000

0

00

(5.65)

Dimana [B] diberikan

332211

321

321

321

r

SA2

r

SA2

r

SA2

00

0

2A1

][

000

0

00

B (5.66)

Energi regangan elemen aksissimmetris


ATT

vTT)(

dAr][][][][]2

2π

dv][][][][][2

1

UBCB[U

UBCBUΛ e

(5.67)

r pada persamaan (5.67) diberikan oleh r dari centroid, yang untuk

elemen segitiga linear adalah

3

rrrr 321

(5.68)

Pada lajur ke tiga dari matrik [B] terdapat term Si/r, untuk

memudahkan integrasi matrik ini, fungsi bentuk dan r dari centroid

digunakan. Pada centroid elemen segitiga linear, S1 = S2 = S3 = 1/3 dan r

diberikan oleh (5.68)

Dengan menggabungkan (5.67) dengan kerja W(e), energi potensial,

)(eΠ diperoleh. Selanjutnya dengan meminimumkan )(e

Π dapat

diperoleh sistim persamaan linear berikut.

0FUBCBU

Π

][][][][][Ar2π T (5.69)

Dimana

][][][][Ar2π][ T UBCBK (5.70)

‐‐‐‐‐ CONTOH 5.4 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Contoh ini diadopsi dari referensi (Chandrupatla, 2001). Sebuah

silinder dengan diameter dalam 200 mm dan diameter luar 240 mm

berisi cairan dengan tekanan sebesar 3 Mpa. Dengan menggunakan dua

elemen segitiga, hitung:

(a) perubahan diameter dalam, dan

(b) tegangan pada dinding silinder.


Pertama‐tama kita hitung matrik konstitutifnya dengan

menggunakan (5.57).

3021

000

03013030

03030130

03030301

3021

000

03013030

03030130

03030301

][][

,

,,,

,,,

,,,

,

,,,

,,,

,,,

5

)()(

3,846e

0,6)‐0,33)(1(1200.00021 CC

Tekanan pada sisi diameter dalam diterapkan dalam bentuk beban

terpusat pada node 1 dan 4 sebesar

Fr1 = Fr4 = 2 rin le p = 9,425e3 N


Elemen 1

Luas elemen ini adalah A = 50 mm2. Selanjutnya elemen‐elemen

matrik [B] (5.66) dapat diperoleh dengan menggunakan koordinat node

1 (100,0), node 2 (110,0) dan node 3 (110,10).

1 = ‐10 1 = 0 2 = 10 2 = ‐10 3 = 0 3 = 10

Dengan menggunakan (5.68)

3320

3

rrrr 321


0101010100

0320100

0320100

0320100

10010000

00010010

1001)(1B

Setelah [B] dan [C], [K] dapat dihitung

ur1 uz1 ur2 uz2 ur3 uz3

r3

z3

z2

r2

z1

r1

8)(

u

u

u

u

u

u

0,9022

0,01210,2587simmetri

0,9022‐0,24571,160

0,39870,2448‐0,6565‐1,1850

00,25780,25780,25780,2578

0,37460,0112‐0,37460,901300,8789

1e

1K

Elemen 2

Luas elemen ini adalah A = 50 mm2. Selanjutnya elemen‐elemen

matrik [B] diperoleh dengan menggunakan koordinat node 1 (100,0),

node 3 (110,10) dan node 4 (100,10).


1 = 0 1 = ‐10 2 = 10 2 = 0 3 = ‐10 3 = 10

Dengan menggunakan (5.68),

3310

3

rrrr 431


1010100010

0310100

0310100

0310100

10000100

01001000

1001

B (2)

Setelah [B] dan [C], [K] dapat dihitung

ur1 uz1 ur3 uz3 ur4 uz4

r4

z4

z3

r3

z1

r1

8)(

u

u

u

u

u

u

1,1237

0,6122‐1,1005simmetri

0,2497‐0,24970,2497

0,38670,8731‐00,8991

0,874‐0,362500,3867‐0,874

0,26180,2609‐0,2447‐0,0130,0121‐0,2506

1e

2K

Dengan menggabungkan [K](1) dan [K]

(2) sistim global diperoleh.

Dikarena uz1 = uz2 = ur2 = uz3 =ur3 = uz4 = 0, lajur dua, tiga, empat, lima,

enam dan delapan dapat dieliminasikan dari sistim. Dan sistim yang

kita perlu pecahkan adalah

9,425

9,4251e

u

u

1,10050,2609

0,26091,12951e 3

r4

r18

Dari sistim ini hasil yang diperoleh adalah


mm0,1,115

0,10921e

u

u3‐

r4

r1

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

5.8 Efek dari Panas

Kita tahu bahwa perubahan suhu menyebabkan pemuaian atau

penyusutan benda pejal. Hal ini menyebabkan adanya tambahan

regangan yang umumnya dianggap sebagai regangan mula‐mula

(initial strain), o dan berakibat adanya tambahan regangan pada

hubungan antara tegangan dan regangan.

ΔTE

νE

νE

zzyyxxxx (5.71)

ΔTE

νEE

ν zzyyxxyy (5.72)

ΔTEE

νE

ν zzyyxxzz (5.73)

Dengan tambahan regangan ini, hubungan antara tegangan dan

regangan menjadi

02ν1

00

01ν

0ν1

ν1

Eo

o

xy

yy

xx

2

xy

yy

xx

(5.74)

dimana,

0

ΔT

ΔT

o

][ (5.75)

untuk problem tegangan bidang, dan untuk problem regangan bidang


0

ΔTα)(1

ΔTα)(1

o

][ (5.76)

Formulasi energi regangan menjadi

AT

AT

AT

ATTT

AT)(

dA]o[][]o[2

tdA]o[][][tdA[][[

2

t

dA]o[][]o[]o[][]2[‐[][[2

t

dA]o‐[][]o‐[2

t

CCC

CCC

CΛ

]]

]]

e

(5.77)

Integral pertama pada (5.77) sama dengan (5.30), sedangkan

ATT

AT dA]o[][][][tdA]o[][][t εεε CBUC (5.78)

dan energi potensial total elemen

][][dA][[C]][2

t

dA][][][][tdA][][][][][2

t

T

Ao

To

Ao

TT

A

TT

)()()(

FU

CBUUBCBU

WΛΠ

εε

ε

eee

(5.79)

Dengan meminimumkan energi potensial total dapat didapat sistim

persamaan linear berikut.

0FCBUBCBU

Π

][]o[][][V][][][][V TT ε (5.80)

atau

[K] [U] = [F] + V [B]T [C] [] (5.81)


Jika dibandingkan dengan (5.34), pengaruh perubahan suhu

menyebabkan tambahan term di vektor sisi kanan.

‐‐‐‐‐ CONTOH 5.5 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Kita pecahkan contoh 5.1 kembali tetapi sekarang dengan perubahan

suhu sebesar 100 oC.

Karena ketebalan plat lebih dari seperlima dimensi penampang


Regangan karena perubahan suhu untuk plane stress diberikan oleh

(5.75).

0

100

100

23e

0

ΔTα

ΔTα6

o ][ε

Matrik‐matrik [C], [B] dan kekakuan [K] telah dihitung pada contoh

5.1.

20,331

00

010,33

00,331

688,7e3)(1C

0202002020

20000200

00020020

0025,0)(1B


1,0331000,34091,03310,3409

00,34610,346100,34610,3461

00,34610,346100,34610,3461

0,3409001,03310,34091,0331

1,03310,34610,34610,34091,37910,687

0,34090,34610,34611,03310,68701,3791

1e

][][][600

6

T)( BCBK 1

Sisi kanan ada tambahan term,

63202

0

0

63202

63202

63202

][][][V oT εCB

Sistim persamaan yang diperoleh adalah

63202RF

F

200F

63202501F

63202RF

63202RF

u

u

u

u

u

u

1,0331000,34091,03310,3409

00,34610,346100,34610,3461

00,34610,346100,34610,3461

0,3409001,03310,34091,0331

1,03310,34610,34610,34091,37910,687

0,34090,34610,34611,03310,68701,3791

1e

y3y3

x3

y2

x2

y1y1

x1x1

y3

x3

y2

x2

y1

x1

6



200

63202150

3461,00

00331,1

y2

x26

u

u1e


Pergeseran maksimum plat

Solusi dari sistim persamaan ini memberikan pergeseran dari titik

loading (node 2).

mm0,00058

0,06132

u

u

y2

x2

Dari hasil ini, gaya‐gaya reaksi pada node 1 dan 3 dapat diperoleh

dengan mensubstitusikan nilai ux2 dan uy2 ke sistim persamaan di atas.

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐

Untuk elemen aksissimmetris,

0

ΔT

ΔT

ΔT

o

][ (5.82)

Formulasi energi regangannya

Ao

To

Ao

TT

A

TT

Ao

Too

TT

Vo

To

)(

dAr][[C]][2

2dAr][[C][[

2

4dAr[[[C][[

2

2

dAr][[C]][][[C]]2[‐[[C][2

2

dV]‐[][]‐[2

1

εεε

εεεεεε

εεεε

]]]]]]

]]

BUUBBU

CΛ e

(5.83)

Dengan meminimumkan total energi potential ini untuk elemen

segitiga linear diperoleh sistim persamaan linear berikut.

0FCBUBCBU

Π

][][][][Ar4π][][][][Arπ2 oTT ε (5.84)

dimana

][][][Arπ2][ T BCBK (5.85)


Dan vektor sebelah kanan menjadi

][][][Arπ4][][ ToCBFRHS (5.86)

5.9 Soal‐soal Latihan

1. Turunkan matrik konstitutif [C] persamaan (5.12) dari persamaan‐

persamaan (5.5) – (5.11).

ν0.500000

0ν0.50000

00ν0.5000

000ν1νν

000νν1ν

000ννν1

)2ν)(1(1

E][C

2. Turunkan matrik konstitutif (5.21) untuk kondisi plane stress.

2ν1

00

01ν

0ν1

2ν1

EC

3. Turunkan matrik konstitutif (5.23) untuk kondisi plane strain.

2ν1

00

0ν‐1ν

0νν‐1

ν)ν)(1(1E

22C

4. Energi potensial total elemen diberikan oleh

][][dv][][][][][2

1 Tv

TT

)()()(

FUUBCBU

WΛΠ

eee

(5.32)

Dengan meminimumkan energi potensial total, turunkan sistim

persamaan linear yang diberikan oleh persamaan (5.33).

0FUBCBU

Π

][][][][][V T (5.33)


5. Buktikan integral area pada persamaan (5.48)

1

1‐

1

1‐A dηdξdA ||)()( J

6. Buktikan

y

x

y

x3‐2)(

p

p

p

p

2

lt

0

0

][FU

W e

(5.55)

7. Turunkan regangan mula‐mula untuk kondisi regangan bidang.

0

ΔTα)(1

ΔTα)(1

o

][ (5.76)

8. Suatu plat yang tersangga dan terbebani pada salah satu ujung

mengalami pergeseran. Hitung:

(a) pergeseran maksimum plat,


permanen (deformasi plastik).

Catatan soal ini hampir sama dengan contoh 5.1 tetapi disini berat dari

plat tidak diabaikan.


9. Sebuah disk dengan tebal 10mm terbebani secara radial sebesar 2

kN. Dengan menggunakan MEH dengan 6 elemen segiempat linear

hitung:

(a) pergeseran maksimum plat, dan


permanen.

10. Seandainya disk pada soal 9 dipanaskan dahulu sampai suhu

150oC, ulangi perhitungan di atas dan bandingkan kedua hasil yang

diperoleh.

11. Sebuah pipa dengan diameter dalam 100 mm, diameter luar 110

mm dan panjang 10 m. Dengan menggunakan asumsi regangan bidang

hitung perubahan diameter dalam pipa.


12. Pecahkan problem pada contoh 5.4 dengan menggunakan satu

elemen segiempat linear.

5. Analisa Benda Elastik 2 Dimensi - uow.edu.au/buyung/ElemenHingga.pdf · Pada bab ini kita akan...

Documents

Transcript of 5. Analisa Benda Elastik 2 Dimensi - uow.edu.au/buyung/ElemenHingga.pdf · Pada bab ini kita akan...