5. ２次系の時間応答 ¦ 制御系CAD

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5. ２次系の時間応答

(PPT5)　(resume5)

5.1 次系の時間応答

● 次系の状態方程式

の解は

と表されます。この証明は１次自由系の場合と同様です。

●次の 入力 出力 次系の状態空間表現を考えます。

これから、 次系の時間応答の表現式

投稿日時: 2015/10/22 ← 前へ 次へ →

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を得ます。ここで、インパルス応答

を定義しますと、上式は

すなわち、 次系の時間応答は、零入力応答（第１項）と零状態応答（第２項）の和でとなります。

次系の時間応答（インパルス応答、ステップ応答、周波数応答）について次の相互関係は、１次系と同様に、次図のように表されます。

5.2 ２次系のインパルス応答とステップ応答

●次のように減衰係数 と固有角周波数 でパラメタライズされた２次系を考えます。

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ここで、行列 の固有値 は、 、 、 に応じて、それぞれ次に示すようになります。

のとき ——————————————————————————————————————–

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この場合は

となることから、インパルス応答は次のように計算されます。

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これを積分して、ステップ応答は次のように計算されます。

のとき ——————————————————————————————————————–

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この場合は

となることから、インパルス応答は次のように計算されます。

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これを積分して、

を用いて、ステップ応答は次のように計算されます。

のとき ——————————————————————————————————————–

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この場合は

となることから、インパルス応答は次のように計算されます。

これを積分して、ステップ応答は次のように計算されます。

●以下に、インパルス応答のシミュレーション例を示します。

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●以下に、ステップ応答のシミュレーション例を示します。

5.3 ２次振動系の同定

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式(7)と式(8)で表される２次系を２次振動系と呼びます。そのステップ応答

について、次が成り立ちます。

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まず、 を計算すると

となって、次式を得ます。

この時刻 における の値は

となって、次式を得る。

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また、次のように、 から を得ることができます。

すなわち

上の結果は２次振動系は第１オーバーシュートの頂点の座標 を求めて、減衰係数と固有角周波数 が得られることを示しています。

5.4 ２次系の周波数応答●式(7)と式(8)で表される２次系に対して、正弦波入力

を考えます。２次振動系の場合、零状態応答は次式で与えられます。導出はここを見てください。

ここで、 とすると

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これは、入力が正弦波のときは、時間が十分立てば、出力も正弦波となることを示しています。その

振幅と位相はそれぞれ の絶対値と偏角となっています。

●いま、１入力１出力 次系の状態方程式と出力方程式をラプラス変換すると

ここで、２次系について、 を計算してみます。

すなわち、次式を得ます。

この を伝達関数、 をゲイン、 を位相と呼びます。このゲイン線図と位相線図をペアにして片対数グラフにプロットしたものをボード線図と呼びます。ゲインはdb値(

)、位相はdeg値( )です。

●実際、２次系において のとき、ボード線図を描いてみると次のグラフが得られます

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●２次振動系の場合、ゲイン線図

の頂点は次式で与えられます。

実際、 を満足する は

となって、次式のように表されます。

また、このときの最大値は

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となって、次式のように表されます。。

上の結果は２次振動系は第１オーバーシュートの頂点の座標 を求めて、減衰係数と固有角周波数 が得られることを示しています。

●ちなみに、 を満足する帯域幅 は次のように計算されます。

において、 とおくと

となって、次式のように表されます。

カテゴリー: 制御入門, 授業レジュメ 作成者: admin パーマリンク