§5-1 纯弯曲 §5-2 纯弯曲时的正应力 §5-3 横力弯曲时的正应力 §5-4...
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明德 砺志 博学 笃行
§5-1 纯弯曲
§5-2 纯弯曲时的正应力
§5-3 横力弯曲时的正应力
§5-4 弯曲切应力
§5-5 关于弯曲理论的基本假设
§5-6 提高弯曲强度的措施
第五章 弯曲应力第五章 弯曲应力
明德 砺志 博学 笃行
§5-1 纯弯曲
CD 段剪力为零,弯矩为常量,该段梁的变形称为纯弯曲。AC 、 BD 段梁的内力既有弯矩又有剪力,该段梁的变形称为横力弯曲。
明德 砺志 博学 笃行
梁的纯弯曲实验
实验现象:横向线 (a b )变形后仍为直线,但有转动;纵向线变为曲线,且上缩下伸;横向线与纵向线变形后仍正交。
平面假设:横截面变形后仍为平面,只是绕中性轴发生转动,仍垂直于变形后的梁轴线。
明德 砺志 博学 笃行
中性层:梁内一层纤维既不伸长也不缩短,因而纤维不受拉应力和压应力,此层纤维称中性层。
中性轴:中性层与横截面的交线。
假设假设
①平面假设
②纵向纤维间无正应力
明德 砺志 博学 笃行
§5-2 纯弯曲时的正应力1. 变形几何关系
MM
m2
n2
y
L
y
yE
O1 O2
a2'dx n2
m2
n1
m1
O 曲率中心n2dxn1
m1 m2
ya1
ya2
e1
O1 O2
e2 x中性层 z
中性轴
y
对称轴
o
a2a1
y
d
d
d
xe2
e1
y
d
dy
dx
dy
dx
d
aa
aaaa
ydd
21
2121
明德 砺志 博学 笃行
2. 物理关系(胡克定律 )
y
EE
Mmin
max
Mmin
max
明德 砺志 博学 笃行
Az
Ay
AN
MdAyM
dAzM
dAF
0
0
dAy
z( 中性轴 )
x
z
y
O
dA
M
0 AAydA
EdA
中性轴通过截面形心
MdAyE
dAyMAAz 2
zEI
M
1
3. 静力关系
明德 砺志 博学 笃行
② 梁的上、下边缘处,弯曲正应力取得最大值,分别为:
zc
zt I
My
I
My 2max
1max ,
zz W
M
yI
M
)/(||
maxmax
max/ yIW zz — 抗弯截面模量。
4. 纯弯曲梁横截面上的应力 ( 弯曲正应力 ): ① 距中性层 y 处的应
力 zI
My
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矩形截面:
62/
122
3
bh
h
IW
bhI
zz
z
5. 三种典型截面对中性轴的惯性矩
实心圆截面
642/
644
4
d
d
IW
dI
zz
z
截面为外径 D 、内径d(=d/D) 的空心圆 :
)1(322/
)1(64
43
44
D
D
IW
DI
zz
z
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§5-3 横力弯曲时的正应力
弯曲正应力分布ZI
My
弹性力学精确分析表明,当跨度 l 与横截面高度 h 之比 l / h > 5 (细长梁)时,纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。
Z
maxmaxmax I
yM
横力弯曲最大正应力
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弯曲正应力公式适用范围:① 线弹性范围—正应力小于比例极限 p ;② 精确适用于纯弯曲梁;③ 对于横力弯曲的细长梁 ( 跨度与截面高度比 L/h>5) ,上述公式的误差不大,但公式中的 M 应为所研究截面上的弯矩,即为截面位置的函数。
明德 砺志 博学 笃行
弯曲正应力强度条件
σI
yMσ
z
maxmaxmax
1. 弯矩最大的截面上
2. 离中性轴最远处
4. 脆性材料抗拉和抗压性能不同,二方面都要考虑
tt max, cc max,
3. 变截面梁要综合考虑 与M zI
明德 砺志 博学 笃行
根据强度条件可进行:
强度校核 : ][max
截面设计 : ][max
M
Wz
确定梁的许可荷载 : zWM ][max
明德 砺志 博学 笃行
FFAYAY FFBYBY
BA
l = 3m
q=60kN/m
xC
1m
M
x
m67.5kN8/2 ql
30
z
y
180
120
K
FS
x
90kN
90kNmkN605.0160190C M
1. 求支反力kN90Ay F
kN90ByF
4733
Z 10832.512
180120
12mm
bhI
解:
例:求图示梁( 1 ) C 截面上 K 点正应力;( 2 ) C 截面上最大正应力;( 3 )全梁上最大正应力;( 4 )已知 E=200GPa , C 截面的曲率半径 ρ
明德 砺志 博学 笃行
2. C 截面最大正应力
C 截面弯矩 mkN60C M
C 截面惯性矩 47Z 10832.5 mmI
MPa55.9210832.5
2180
1060
7
3
Z
maxmax
I
yMCC
MPa7.6110832.5
)302
180(1060
7
3
Z
KCK
I
yM (压应力)
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3. 全梁最大正应力最大弯矩
mkN5.67max M
MPa17.10410832.5
2180
105.67
7
3
Z
maxmaxmax
I
yM
明德 砺志 博学 笃行
4. C 截面曲率半径 ρC 截面弯矩
mkN60C MC 截面惯性矩
47Z 10832.5 mmI
mmM
EI4.194
1060
10832.5102006
73
C
ZC
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例:某车间欲安装简易吊车,大梁选用工字钢。已知电葫芦自重 ,起重量 ,跨度 ,材料的许用应力 。试选择工字钢的型号。 MPa140
kN7.61 F kN502 Fm5.9l
明德 砺志 博学 笃行
( 4 )选择工字钢型号
( 5 )讨论
( 3 )根据
zW
Mmaxmax 计算
336
6
3
max
cm962m10962
101404
5.910)507.6(
M
Wz
( 1 )计算简图
( 2 )绘弯矩图
解:
36c 工字钢 3cm962zW
kg/m6.67q
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例 5-3-3 :已知 16 号工字钢 Wz=141cm3 , l=1.5m , a
=1m , []=160MPa , E=210GPa ,在梁的下边缘 C点沿轴向贴一应变片,测得 C 点轴向线应变 ,求 F 并校核梁正应力强度。
6c 10400
C NO.16
F
A Ba
2/l
l
z
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MPa841040010210)1 63 CC E解:
kN4.47N104.47
10141
25.025.0
25.0)(
3
6
F
F
W
F
W
M
FalFM
zz
CC
BC
][MPa126Pa1012610141
108.17
mkN8.174
1)2
66
3max
max
max
zW
M
FLM
C
F
A Ba
2/l
l
明德 砺志 博学 笃行
例 5-3-4 : T 型截面铸铁梁,截面尺寸如图 ,
, 试校核梁的强度。
MPa30t
MPa60c
明德 砺志 博学 笃行
mm52201202080
8020120102080
cy
( 2 )求截面对中性轴 z 的惯性矩
46
23
23
m1064.7
281202012
12020
42208012
2080
zI
( 1 )求截面形心z1
y
z52
解:
明德 砺志 博学 笃行
( 4 ) B 截面校核
t
t
MPa2.27Pa102.27
1064.7
1052104
6
6
33
max,
c
c
MPa1.46Pa101.46
1064.7
1088104
6
6
33
max,
( 3 )作弯矩图
kN.m5.2
kN.m4
明德 砺志 博学 笃行
( 5 ) C 截面要不要校核?
t
t
MPa8.28Pa108.28
1064.7
1088105.2
6
6
33
max,
( 4 ) B 截面校核
( 3 )作弯矩图
tt MPa2.27max,
cc MPa1.46max,
kN.m5.2
kN.m4
明德 砺志 博学 笃行
例 :图 a 所示为横截面如图 b 所示的槽形截面铸铁梁,该截
面对于中性轴 z 的惯性矩 Iz=5493×104 mm4 。已知图 a 中,
b=2 m 。铸铁的许用拉应力 [t]=30 MPa ,许用压应力 [ c]=
90 MPa 。试求梁的许可荷载 [F] 。
(a)
(b)
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解:最大负弯矩所在 B 截面处,若截面的上边缘处最大
拉应力 t,max 达到 [t] ,则下边缘处最大压应力 c,max 为
根据 可知此 c,max 并未达到许用压应力 [c] ,也
就是说,就 B 截面而言,梁的强度由最大拉应力控制。
tt 56.186
134 3
1
c
t
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显然, B 截面上的最大拉应力控制了梁的强度。
B 截面: zz
B
I
F
I
Mm1086m2
2m10863
3
maxt,
C 截面: zz
C
I
F
I
Mm10134m2
4m101343
3
maxt,
第四章 弯曲应力
明德 砺志 博学 笃行
Pa1030
m105493
m1086m22 6
48
3
F
当然,这个许可荷载是在未考虑梁的自重的情况下得出的,但即使考虑自重,许可荷载也不会减少很多。
于是由 B 截面上最大拉应力不得超过铸铁的许用拉应
力 [t] 的条件来求该梁的许可荷载 [F] :
由此得 F≤19200 N ,亦即该梁的许可荷载为 [F]=19.2 kN 。
第四章 弯曲应力
明德 砺志 博学 笃行
讨论:我国营造法中,对矩形截面梁给出的尺寸比例是 h:b=3:2 。试用弯曲正应力强度证明:从圆木锯出的矩形截面梁,上述尺寸比例接近最佳比值。
b
hd
解:b h d2 2 2
Wbh
z 2
6
b d b( )2 2
6
W
b
d bz 2 2
6 20
由此得 bd
3
h d b d 2 2 2
3
h
d 2
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§5-4 弯曲切应力一、矩形梁横截面上的切应力
1 、 公 式推导:
n
1
m' n'
2
m1'
z
e1
1'
1'
1
1y
e2
e1
x
21
1 2
dxb
A
y y
dxx
M+dMM
FSFS
+d
'
y'
m nmm'
d
y
'
A
明德 砺志 博学 笃行
Fs(x)+dFs(x)M(x)
M(x)+d M(x)Fs(x) dx
1
x
y
z
’b
z
z
Az
AN I
MSAy
I
MAF
dd1
z
zN I
SMMF
)d(2
z
zs
z
z
bI
SF
bI
S
x
M
d
d
由剪应力互等
z
z
bI
QSy
*
)(
)4
(2
)2
(2
2 22
yhb
yh
by
h
AyS cz
dxbFF NN 12
明德 砺志 博学 笃行
5.12
3max
A
Fs
)4
(2
22
yh
I
F
z
s 矩
Fs
方向:与横截面上剪力方向相同;
大小:沿截面宽度均匀分布,沿高度 h 分布为抛物线。
最大剪应力为平均剪应力的 1.5 倍。
明德 砺志 博学 笃行
二、其它截面梁横截面上的剪应力
其中 Fs 为截面剪力; Sz 为 y 点以下的面积对中性轴之静矩;
Iz 为整个截面对 z 轴之惯性矩; b 为 y 点处截面宽度。
1 、研究方法与矩形截面同;剪应力的计算公式亦为:
z
z
bI
QS *
明德 砺志 博学 笃行
2 、工字形截面梁的剪应力
腹板
翼缘在腹板上:
b
B
h Hy
明德 砺志 博学 笃行
在翼缘上,有平行于 Fs 的剪应力分量,分布情
况较复杂,但数量很小,并无实际意义,可忽略不计。
在翼缘上,还有垂直于 Fs 方向的剪应力分量,
它与腹板上的剪应力比较,一般来说也是次要的。
腹板负担了截面上的绝大部分剪力,翼缘负担了截面上的大部分弯矩。
明德 砺志 博学 笃行
3 、圆截面梁的剪应力
A
Fs
3
4max
下面求最大剪应力:sF
z
y
明德 砺志 博学 笃行
三、弯曲剪应力强度条件
][*
maxmaxmax
bI
SF
Z
Zs
明德 砺志 博学 笃行
解:画内力图求危面内力
例:矩形 (bh=120180mm2)截面木梁如图, []=7MPa , []=0. 9 M Pa ,试求最大正应力和最大剪应力之比 , 并校核梁的强
度。
N54002
33600
2max
qL
Fs
Nm40508
33600
8
22
max
qL
M
x
M
+
8
2qL
Fs
2
qL
2
qL
–+
x
q=3.6kN/m
A B
L=3m
明德 砺志 博学 笃行 求最大应力并校核强
度
应力之比
7.163
2max
max
max h
L
Q
A
W
M
z
][7MPa6.25MPa
180120
104050662
3
2maxmax
max
bh
M
W
M
z
][0.9MPa0.375MPa 180120
54005.15.1 max
max
A
Q
明德 砺志 博学 笃行
例: T 形梁尺寸及所受荷载如图所示 , 已知 []c=100
MPa , []t=50MPa , []=40MPa , yc=17.5mm , Iz=
18.2×104mm4 。求: 1)C 左侧截面 E 点的正应力、切应力; 2) 校核梁的正应力、切应力强度条件。
CA B
m1
kN1 kN/m1
m1 m1
40
40
10
10
yc
zE
明德 砺志 博学 笃行
CA B
m1
kN1 kN/m1
m1 m1
40
40
10
10
yc
zE
1
FS
0.25
0.75
(kN) _
+
M
(kN.m)
0.25
0.5
+
_
kN75.1kN25.0 CA FF ,
mkN25.0mkN5.0
kN1kN75.0 ,,
BC
CSCS
MM
FF
,
,右左
2 )作梁的 Fs 和 M 图
1 )求支座反力:
明德 砺志 博学 笃行
MPa1.210102.18
)5.12400(1075.0
)(MPa6.20102.18
5.7105.0)3
4
3*,
4
6
bI
SF
I
yM
z
zCS
E
z
ECE
左
拉
该梁满足强度要求
yz
cCCy
Lz
cCCL
yz
cBBy
Lz
cBBL
MPaI
yM
MPaI
yM
MPaI
yM
MPaI
yM
][2.89)05.0(
][0.48
][0.24
][6.44)05.0(
)4
明德 砺志 博学 笃行
][MPa9.21010102.18
10]2/)50(10[10154
923
*max
maxmax
c
z
zS,
y
bI
SF
5)切应力强度校核:
该梁满足强度要求
明德 砺志 博学 笃行
例:悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为 1m 。胶合面的许可切应力为 [ 胶 ]=0.34MPa ,木材的 []=10MPa , []=1MPa ,求许可载荷。
F
l100
505050
z
明德 砺志 博学 笃行
21max
max
6
bh
lF
W
M
z
1. 画梁的剪力图和弯矩图
2. 按正应力强度条件计算许可载荷
SF
F
M
Fl
3.75kNN375010006
15010010
6
22
1
l
bhF
bhFAFS 2/32/3 2max
3. 按切应力强度条件计算许可载荷
kN01N100003/15010023/22 bhF
F
l
解:
明德 砺志 博学 笃行
gZ
ZS
bh
F
bbh
hbF
bI
SF
3
4
12
3 33
2
3*
g
4. 按胶合面强度条件计算许可载荷
3.825kNN38254
34.01501003
4
33
gbh
F
5. 梁的许可载荷为 3.75kNkN825.3kN10kN75.3 minmin iFF
F
l100
505050
z
明德 砺志 博学 笃行
§5-5 关于弯曲理论的基本假设 在导出纯弯曲正应力的计算公式时,引用了两个假设:( 1 )平面假设;( 2 )纵向纤维间无正应力假设 。假设材料仍是线弹性的,对于横力弯曲问题,按纯弯曲正应力的计算公式将会导致计算误差。
)4
(2
22
yh
I
F
z
s 矩 )4
(2
22
yh
GI
F
G z
s 矩
可见上、下表面无切应变,中性层最大。切应变沿高度方向呈抛物线变化,可见这势必使横截面不能保持平面,而引起翘曲。
明德 砺志 博学 笃行
理论分析表明:当截面高度 h 远小于跨度 l 的梁,上述偏差是非常小的;而 h 远远小于跨度 l ,却正是杆件的几何特征。
明德 砺志 博学 笃行
z
q(x)
Fs+dFsFs
dx
p rn
r sr
s
p
tF’s
F’s+dF’s
y
y
理论分析表明: h 远远小于跨度 l , y 是可以忽略的,这正是假设纵向纤维间无正应力的根据
明德 砺志 博学 笃行
§5-6 提高弯曲强度的措施
控制梁弯曲强度的主要因素是弯曲正应力,即以
maxmax [ ]
M
WZ
作为梁设计的主要依据。因此应使Mmax尽可能地小,使WZ尽可能地大。
明德 砺志 博学 笃行
一、合理安排梁的受力情况q q
M Mql 2
8 0 0214 2. ql
x l0 207.
xxl
l
明德 砺志 博学 笃行
P
M Pl / 4 al
2
l
2
P
Pl / 8
M
l
2
l
2
l
2
a
2
a
2
明德 砺志 博学 笃行
二、梁的合理截面合理的截面形状应使截面积较小而抗弯截面模量较大。
CL8TU20
h
bh
b
P
z z
明德 砺志 博学 笃行
尽可能使横截面上的面积分布在距中性轴较远处,
以使弯曲截面系数 Wz 增大。
明德 砺志 博学 笃行
y
yt
c
1
2
[ ]
[ ]
CL8TU9
y1P
zy2
C
明德 砺志 博学 笃行
三、采用变截面梁梁的各横截面上的最大正应力都等于材料的许用应力[ σ]时,称为等强度梁。
明德 砺志 博学 笃行
明德 砺志 博学 笃行
本章结束