4.caszbi veiz Kompleksnih funkcijaenastava.matf.bg.ac.rs/~svetlik/20202021/KF/KF_11nov...Beograd,...
Transcript of 4.caszbi veiz Kompleksnih funkcijaenastava.matf.bg.ac.rs/~svetlik/20202021/KF/KF_11nov...Beograd,...
4. �cas ve�zbi iz Kompleksnih funkcija
Marek Svetlik
Beograd, 11. novembar 2020.
Marek Svetlik 11.11.2020. 1 / 39
BILINEARNA PRESLIKAVANJA
U realnoj analizi uveli smo pro�sireni skup realnih brojeva
R = R ∪ {−∞,+∞}.
Marek Svetlik 11.11.2020. 2 / 39
BILINEARNA PRESLIKAVANJA
U realnoj analizi uveli smo pro�sireni skup realnih brojeva
R = R ∪ {−∞,+∞}.
Marek Svetlik 11.11.2020. 2 / 39
BILINEARNA PRESLIKAVANJA
U realnoj analizi uveli smo pro�sireni skup realnih brojeva
R = R ∪ {−∞,+∞}.
Marek Svetlik 11.11.2020. 2 / 39
U kompleksnoj analizi uvodimo pro�sireni skup kompleksnih brojeva
C = C ∪ {∞}.
Marek Svetlik 11.11.2020. 3 / 39
U kompleksnoj analizi uvodimo pro�sireni skup kompleksnih brojeva
C = C ∪ {∞}.
Marek Svetlik 11.11.2020. 3 / 39
Neka su a, b, c, d ∈ C takvi da je ad− bc 6= 0.
Preslikavanje B : C→ C de�nisano sa
B(z) =az + b
cz + d
naziva se bilinearno preslikavanje. Koriste se i termini: linearna
frakciona transformacija i Mebijusovo preslikavanje.
Marek Svetlik 11.11.2020. 4 / 39
Neka su a, b, c, d ∈ C takvi da je ad− bc 6= 0.
Preslikavanje B : C→ C de�nisano sa
B(z) =az + b
cz + d
naziva se bilinearno preslikavanje.
Koriste se i termini: linearna
frakciona transformacija i Mebijusovo preslikavanje.
Marek Svetlik 11.11.2020. 4 / 39
Neka su a, b, c, d ∈ C takvi da je ad− bc 6= 0.
Preslikavanje B : C→ C de�nisano sa
B(z) =az + b
cz + d
naziva se bilinearno preslikavanje. Koriste se i termini:
linearna
frakciona transformacija i Mebijusovo preslikavanje.
Marek Svetlik 11.11.2020. 4 / 39
Neka su a, b, c, d ∈ C takvi da je ad− bc 6= 0.
Preslikavanje B : C→ C de�nisano sa
B(z) =az + b
cz + d
naziva se bilinearno preslikavanje. Koriste se i termini: linearna
frakciona transformacija
i Mebijusovo preslikavanje.
Marek Svetlik 11.11.2020. 4 / 39
Neka su a, b, c, d ∈ C takvi da je ad− bc 6= 0.
Preslikavanje B : C→ C de�nisano sa
B(z) =az + b
cz + d
naziva se bilinearno preslikavanje. Koriste se i termini: linearna
frakciona transformacija i Mebijusovo preslikavanje.
Marek Svetlik 11.11.2020. 4 / 39
Neka su a, b, c, d ∈ C takvi da je ad− bc 6= 0.
Preslikavanje B : C→ C de�nisano sa
B(z) =az + b
cz + d
naziva se bilinearno preslikavanje. Koriste se i termini: linearna
frakciona transformacija i Mebijusovo preslikavanje.
Marek Svetlik 11.11.2020. 4 / 39
Primetimo da navedena de�nicija nije dovoljno precizna.
Preciznije, ako je c = 0 onda je
B(z) =
{a
dz +
b
d, ako je z 6=∞,
∞, ako je z =∞,
a ako je c 6= 0 onda je
B(z) =
az + b
cz + d, ako z /∈
{∞,−d
c
},
∞, ako je z = −dc,
a
c, ako je z =∞.
Marek Svetlik 11.11.2020. 5 / 39
Primetimo da navedena de�nicija nije dovoljno precizna.
Preciznije, ako je c = 0 onda je
B(z) =
{a
dz +
b
d, ako je z 6=∞,
∞, ako je z =∞,
a ako je c 6= 0 onda je
B(z) =
az + b
cz + d, ako z /∈
{∞,−d
c
},
∞, ako je z = −dc,
a
c, ako je z =∞.
Marek Svetlik 11.11.2020. 5 / 39
Primetimo da navedena de�nicija nije dovoljno precizna.
Preciznije, ako je c = 0 onda je
B(z) =
{a
dz +
b
d, ako je z 6=∞,
∞, ako je z =∞,
a ako je c 6= 0 onda je
B(z) =
az + b
cz + d, ako z /∈
{∞,−d
c
},
∞, ako je z = −dc,
a
c, ako je z =∞.
Marek Svetlik 11.11.2020. 5 / 39
Posebno je interesantno bilinearno preslikavanje J : C→ C dato sa
J(z) =1
z.
Tada je a = 0, b = 1, c = 1 i d = 0.
Neka su preslikavanja I : C→ C i S : C→ C data sa I(z) =1
zi
S(z) = z.
Preslikavanje I jeste inverzija u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, a
preslikavanje S jeste re�eksija u odnosu na realnu osu (dokazati to za
doma�ci zadatak).
Primetimo da je J = S ◦ I = I ◦ S.
Preslikavanje J naziva se kompleksna inverzija.
Marek Svetlik 11.11.2020. 6 / 39
Posebno je interesantno bilinearno preslikavanje J : C→ C dato sa
J(z) =1
z. Tada je a = 0, b = 1, c = 1 i d = 0.
Neka su preslikavanja I : C→ C i S : C→ C data sa I(z) =1
zi
S(z) = z.
Preslikavanje I jeste inverzija u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, a
preslikavanje S jeste re�eksija u odnosu na realnu osu (dokazati to za
doma�ci zadatak).
Primetimo da je J = S ◦ I = I ◦ S.
Preslikavanje J naziva se kompleksna inverzija.
Marek Svetlik 11.11.2020. 6 / 39
Posebno je interesantno bilinearno preslikavanje J : C→ C dato sa
J(z) =1
z. Tada je a = 0, b = 1, c = 1 i d = 0.
Neka su preslikavanja I : C→ C i S : C→ C data sa I(z) =1
zi
S(z) = z.
Preslikavanje I jeste inverzija u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, a
preslikavanje S jeste re�eksija u odnosu na realnu osu (dokazati to za
doma�ci zadatak).
Primetimo da je J = S ◦ I = I ◦ S.
Preslikavanje J naziva se kompleksna inverzija.
Marek Svetlik 11.11.2020. 6 / 39
Posebno je interesantno bilinearno preslikavanje J : C→ C dato sa
J(z) =1
z. Tada je a = 0, b = 1, c = 1 i d = 0.
Neka su preslikavanja I : C→ C i S : C→ C data sa I(z) =1
zi
S(z) = z.
Preslikavanje I jeste inverzija u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, a
preslikavanje S jeste re�eksija u odnosu na realnu osu (dokazati to za
doma�ci zadatak).
Primetimo da je J = S ◦ I = I ◦ S.
Preslikavanje J naziva se kompleksna inverzija.
Marek Svetlik 11.11.2020. 6 / 39
Posebno je interesantno bilinearno preslikavanje J : C→ C dato sa
J(z) =1
z. Tada je a = 0, b = 1, c = 1 i d = 0.
Neka su preslikavanja I : C→ C i S : C→ C data sa I(z) =1
zi
S(z) = z.
Preslikavanje I jeste inverzija u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, a
preslikavanje S jeste re�eksija u odnosu na realnu osu (dokazati to za
doma�ci zadatak).
Primetimo da je J = S ◦ I = I ◦ S.
Preslikavanje J naziva se kompleksna inverzija.
Marek Svetlik 11.11.2020. 6 / 39
Posebno je interesantno bilinearno preslikavanje J : C→ C dato sa
J(z) =1
z. Tada je a = 0, b = 1, c = 1 i d = 0.
Neka su preslikavanja I : C→ C i S : C→ C data sa I(z) =1
zi
S(z) = z.
Preslikavanje I jeste inverzija u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, a
preslikavanje S jeste re�eksija u odnosu na realnu osu (dokazati to za
doma�ci zadatak).
Primetimo da je J = S ◦ I = I ◦ S.
Preslikavanje J naziva se kompleksna inverzija.
Marek Svetlik 11.11.2020. 6 / 39
Neka je b ∈ C i T : C→ C de�nisano sa T (z) = z + b.
Preslikavanje T jeste translacija za vektor b.
Marek Svetlik 11.11.2020. 7 / 39
Neka je b ∈ C i T : C→ C de�nisano sa T (z) = z + b.
Preslikavanje T jeste translacija za vektor b.
Marek Svetlik 11.11.2020. 7 / 39
Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.
Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i
H(z) = |a|z.
Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.
Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom
|a|.
Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru?
Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je
R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).
Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39
Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.
Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i
H(z) = |a|z.
Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.
Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom
|a|.
Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru?
Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je
R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).
Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39
Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.
Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i
H(z) = |a|z.
Kako je a = |a|ei arg a,
sledi L = H ◦R = R ◦H.
Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom
|a|.
Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru?
Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je
R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).
Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39
Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.
Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i
H(z) = |a|z.
Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.
Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom
|a|.
Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru?
Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je
R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).
Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39
Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.
Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i
H(z) = |a|z.
Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.
Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom
|a|.
Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru?
Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je
R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).
Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39
Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.
Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i
H(z) = |a|z.
Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.
Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom
|a|.
Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru?
Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je
R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).
Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39
Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.
Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i
H(z) = |a|z.
Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.
Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom
|a|.
Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru?
Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}.
Tada je
R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).
Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39
Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.
Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i
H(z) = |a|z.
Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.
Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom
|a|.
Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru?
Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je
R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).
Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39
Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.
Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i
H(z) = |a|z.
Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.
Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom
|a|.
Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru?
Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je
R(z) = ei arg az =
ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).
Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39
Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.
Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i
H(z) = |a|z.
Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.
Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom
|a|.
Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru?
Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je
R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z =
|z|ei(arg z+arg a).
Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39
Neka je a ∈ C\{0} i L : C→ C de�nisano sa L(z) = az.
Neka su preslikavanja R : C→ C i H : C→ C data sa R(z) = ei arg az i
H(z) = |a|z.
Kako je a = |a|ei arg a, sledi L = H ◦R = R ◦H.
Preslikavanje R jeste rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru, a preslikavanje H jeste homotetija sa centrom 0 i koe�cijentom
|a|.
Za�sto je preslikavanje R rotacija oko ta�cke 0 za ugao arg a u pozitivnom
smeru?
Pretpostavimo da je z ∈ C\{0}. Tada je
R(z) = ei arg az = ei arg a|z|ei arg z = |z|ei(arg z+arg a).
Marek Svetlik 11.11.2020. 8 / 39
Navedimo neka svojstva bilinearnih preslikavanja (dokazati ih za
doma�ci zadatak):
Svako bilinearno preslikavanje jeste bijekcija skupa C u sebe.
Skup svih bilinearnih preslikavanja �cini grupu u odnosu na
kompoziciju preslikavanja.
Svako bilinerno preslikavanje mo�ze se predstaviti kao kompozicija
translacije, inverzije u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, re�eksije u
odnosu na realnu osu, rotacije oko ta�cke 0, homotetije sa centrom 0i jo�s jedne translacije.
Marek Svetlik 11.11.2020. 9 / 39
Navedimo neka svojstva bilinearnih preslikavanja (dokazati ih za
doma�ci zadatak):
Svako bilinearno preslikavanje jeste bijekcija skupa C u sebe.
Skup svih bilinearnih preslikavanja �cini grupu u odnosu na
kompoziciju preslikavanja.
Svako bilinerno preslikavanje mo�ze se predstaviti kao kompozicija
translacije, inverzije u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, re�eksije u
odnosu na realnu osu, rotacije oko ta�cke 0, homotetije sa centrom 0i jo�s jedne translacije.
Marek Svetlik 11.11.2020. 9 / 39
Navedimo neka svojstva bilinearnih preslikavanja (dokazati ih za
doma�ci zadatak):
Svako bilinearno preslikavanje jeste bijekcija skupa C u sebe.
Skup svih bilinearnih preslikavanja �cini grupu u odnosu na
kompoziciju preslikavanja.
Svako bilinerno preslikavanje mo�ze se predstaviti kao kompozicija
translacije, inverzije u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, re�eksije u
odnosu na realnu osu, rotacije oko ta�cke 0, homotetije sa centrom 0i jo�s jedne translacije.
Marek Svetlik 11.11.2020. 9 / 39
Navedimo neka svojstva bilinearnih preslikavanja (dokazati ih za
doma�ci zadatak):
Svako bilinearno preslikavanje jeste bijekcija skupa C u sebe.
Skup svih bilinearnih preslikavanja �cini grupu u odnosu na
kompoziciju preslikavanja.
Svako bilinerno preslikavanje mo�ze se predstaviti kao kompozicija
translacije, inverzije u odnosu na jedini�cnu kru�znicu, re�eksije u
odnosu na realnu osu, rotacije oko ta�cke 0, homotetije sa centrom 0i jo�s jedne translacije.
Marek Svetlik 11.11.2020. 9 / 39
Neka je
D = {z ∈ C : |z| < 1}
jedini�cni disk i
T = ∂D = {z ∈ C : |z| = 1}
jedini�cna kru�znica.
Marek Svetlik 11.11.2020. 10 / 39
Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu
T:
Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.
Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu
je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.
Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39
Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu
T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.
Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.
Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu
je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.
Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39
Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu
T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.
Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu
je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.
Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39
Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu
T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.
Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.
Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu
je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.
Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39
Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu
T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.
Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.
Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu
je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.
Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39
Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu
T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.
Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.
Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu
je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.
Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39
Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu
T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.
Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.
Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu
je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.
Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39
Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu
T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.
Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu
je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.
Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39
Podsetimo se nekih svojstava inverzije I u odnosu na jedini�cnu kru�znicu
T:Ako je z ∈ intD onda je I(z) ∈ extD.Ako je z ∈ ∂D onda je I(z) = z.
Ako je z ∈ extD onda je I(z) ∈ intD.Ako je p prava koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = p ∪ {∞},tj. I(p) = (p\{0}) ∪ {∞}.Ako je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(p ∪ {∞}) = k, pri�cemu je k kru�znica sadr�zi ta�cku 0, tj. I(p) = k\{0}.Ako je k kru�znica koja sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k\{0}) = p, pri�cemu je p prava koja ne sadr�zi ta�cku 0, tj I(k) = p ∪ {∞}.Ako je k kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0 onda je I(k) = l, pri �cemu
je l kru�znica koja ne sadr�zi ta�cku 0.
Ako su γ1 i γ2 dve krive u C onda je ugao izmedu krivih I(γ1) iI(γ2) jednak uglu izmedu krivih γ1 i γ2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 11 / 39
Uop�stena kru�znica u C jeste euklidska kru�znica ili unija prave i skupa
{∞}.
Bilinearno preslikavanje preslikava uop�stenu kru�znicu u C u uop�stenu
kru�znicu u C.
Marek Svetlik 11.11.2020. 12 / 39
Uop�stena kru�znica u C jeste euklidska kru�znica ili unija prave i skupa
{∞}.
Bilinearno preslikavanje preslikava uop�stenu kru�znicu u C u uop�stenu
kru�znicu u C.
Marek Svetlik 11.11.2020. 12 / 39
Zadatak 1
Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z
preslikati
a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.
Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
B(z) =1− z1 + z
=2− (1 + z)
1 + z=
2
1 + z− 1 = 2
(1
z + 1
)− 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39
Zadatak 1
Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z
preslikati
a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.
Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
B(z) =1− z1 + z
=2− (1 + z)
1 + z=
2
1 + z− 1 = 2
(1
z + 1
)− 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39
Zadatak 1
Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z
preslikati
a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.
Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
B(z) =1− z1 + z
=2− (1 + z)
1 + z=
2
1 + z− 1 = 2
(1
z + 1
)− 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39
Zadatak 1
Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z
preslikati
a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.
Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
B(z) =
1− z1 + z
=2− (1 + z)
1 + z=
2
1 + z− 1 = 2
(1
z + 1
)− 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39
Zadatak 1
Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z
preslikati
a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.
Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
B(z) =1− z1 + z
=
2− (1 + z)
1 + z=
2
1 + z− 1 = 2
(1
z + 1
)− 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39
Zadatak 1
Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z
preslikati
a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.
Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
B(z) =1− z1 + z
=2− (1 + z)
1 + z=
2
1 + z− 1 = 2
(1
z + 1
)− 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39
Zadatak 1
Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z
preslikati
a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.
Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
B(z) =1− z1 + z
=2− (1 + z)
1 + z=
2
1 + z− 1 =
2
(1
z + 1
)− 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39
Zadatak 1
Preslikavanjem B datim sa w = B(z) =1− z1 + z
preslikati
a) pravu {z ∈ C : Re z = 2};b) kru�znicu {z ∈ C : |z − 1| = 2}.
Najpre predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
B(z) =1− z1 + z
=2− (1 + z)
1 + z=
2
1 + z− 1 = 2
(1
z + 1
)− 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 13 / 39
Deo a)
Marek Svetlik 11.11.2020. 14 / 39
Deo a)
Marek Svetlik 11.11.2020. 14 / 39
Deo a)
Marek Svetlik 11.11.2020. 14 / 39
Deo a)
Marek Svetlik 11.11.2020. 14 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 15 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 15 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 15 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 15 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 16 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 16 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 16 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 17 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 17 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 17 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 18 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 18 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 18 / 39
Deo b)
Marek Svetlik 11.11.2020. 19 / 39
Deo b)
Marek Svetlik 11.11.2020. 19 / 39
Deo b)
Marek Svetlik 11.11.2020. 19 / 39
Deo b)
Marek Svetlik 11.11.2020. 19 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 20 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 20 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 20 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 21 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 21 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 21 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 22 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 22 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 22 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 23 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 23 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 23 / 39
Teorema 1
Neka su z1, z2, z3 ∈ C uzajamno razli�cite ta�cke i neka su w1, w2, w3 ∈ Ctakode uzajamno razli�cite ta�cke. Tada postoji jedinstveno bilinearno
preslikavanje B takvo da va�zi B(zj) = wj, za svako j ∈ {1, 2, 3}.Takode, uz oznaku w = B(z), va�zi
(1)w − w1
w − w2:w3 − w1
w3 − w2=z − z1z − z2
:z3 − z1z3 − z2
.
Ako u formiranju nekog monoma u formuli (1) u�cestvuje ∞, onda taj
monom zamenjujemo sa 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 24 / 39
Teorema 1
Neka su z1, z2, z3 ∈ C uzajamno razli�cite ta�cke i neka su w1, w2, w3 ∈ Ctakode uzajamno razli�cite ta�cke. Tada postoji jedinstveno bilinearno
preslikavanje B takvo da va�zi B(zj) = wj, za svako j ∈ {1, 2, 3}.Takode, uz oznaku w = B(z), va�zi
(1)w − w1
w − w2:w3 − w1
w3 − w2=z − z1z − z2
:z3 − z1z3 − z2
.
Ako u formiranju nekog monoma u formuli (1) u�cestvuje ∞, onda taj
monom zamenjujemo sa 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 24 / 39
Zadatak 2
Odrediti bilinearno preslikavanje B takvo da va�zi B(i) = 0, B(−i) =∞i B(0) = −1. Zatim preslikavanjem B preslikati oblast
{z ∈ C : Im z > 0}.
Marek Svetlik 11.11.2020. 25 / 39
Neka je z1 = i,
z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.
Ako je w = B(z), onda iz
w − w1
w − w2:w3 − w1
w3 − w2=z − z1z − z2
:z3 − z1z3 − z2
.
slediw − 0
1:−1− 0
1=z − iz + i
:0− i0 + i
.
Otuda je w = B(z) =z − iz + i
.
Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39
Neka je z1 = i, z2 = −i,
z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.
Ako je w = B(z), onda iz
w − w1
w − w2:w3 − w1
w3 − w2=z − z1z − z2
:z3 − z1z3 − z2
.
slediw − 0
1:−1− 0
1=z − iz + i
:0− i0 + i
.
Otuda je w = B(z) =z − iz + i
.
Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39
Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0,
w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.
Ako je w = B(z), onda iz
w − w1
w − w2:w3 − w1
w3 − w2=z − z1z − z2
:z3 − z1z3 − z2
.
slediw − 0
1:−1− 0
1=z − iz + i
:0− i0 + i
.
Otuda je w = B(z) =z − iz + i
.
Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39
Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0,
w2 =∞ i w3 = −1.
Ako je w = B(z), onda iz
w − w1
w − w2:w3 − w1
w3 − w2=z − z1z − z2
:z3 − z1z3 − z2
.
slediw − 0
1:−1− 0
1=z − iz + i
:0− i0 + i
.
Otuda je w = B(z) =z − iz + i
.
Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39
Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞
i w3 = −1.
Ako je w = B(z), onda iz
w − w1
w − w2:w3 − w1
w3 − w2=z − z1z − z2
:z3 − z1z3 − z2
.
slediw − 0
1:−1− 0
1=z − iz + i
:0− i0 + i
.
Otuda je w = B(z) =z − iz + i
.
Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39
Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.
Ako je w = B(z), onda iz
w − w1
w − w2:w3 − w1
w3 − w2=z − z1z − z2
:z3 − z1z3 − z2
.
slediw − 0
1:−1− 0
1=z − iz + i
:0− i0 + i
.
Otuda je w = B(z) =z − iz + i
.
Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39
Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.
Ako je w = B(z), onda iz
w − w1
w − w2:w3 − w1
w3 − w2=z − z1z − z2
:z3 − z1z3 − z2
.
slediw − 0
1:−1− 0
1=z − iz + i
:0− i0 + i
.
Otuda je w = B(z) =z − iz + i
.
Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39
Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.
Ako je w = B(z), onda iz
w − w1
w − w2:w3 − w1
w3 − w2=z − z1z − z2
:z3 − z1z3 − z2
.
slediw − 0
1:−1− 0
1=z − iz + i
:0− i0 + i
.
Otuda je w = B(z) =z − iz + i
.
Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39
Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.
Ako je w = B(z), onda iz
w − w1
w − w2:w3 − w1
w3 − w2=z − z1z − z2
:z3 − z1z3 − z2
.
slediw − 0
1:−1− 0
1=z − iz + i
:0− i0 + i
.
Otuda je w = B(z) =z − iz + i
.
Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39
Neka je z1 = i, z2 = −i, z3 = 0, w1 = 0, w2 =∞ i w3 = −1.
Ako je w = B(z), onda iz
w − w1
w − w2:w3 − w1
w3 − w2=z − z1z − z2
:z3 − z1z3 − z2
.
slediw − 0
1:−1− 0
1=z − iz + i
:0− i0 + i
.
Otuda je w = B(z) =z − iz + i
.
Marek Svetlik 11.11.2020. 26 / 39
Predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
w =z − iz + i
=z + i− 2i
z + i= 1− 2i
1
z + i
= 1 + 2ei3π2
1
z + i= 1 + 2ei
3π2
(1
z + i
)= 2ei
3π2
(1
z + i
)+ 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 27 / 39
Predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
w =z − iz + i
=
z + i− 2i
z + i= 1− 2i
1
z + i
= 1 + 2ei3π2
1
z + i= 1 + 2ei
3π2
(1
z + i
)= 2ei
3π2
(1
z + i
)+ 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 27 / 39
Predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
w =z − iz + i
=z + i− 2i
z + i=
1− 2i1
z + i
= 1 + 2ei3π2
1
z + i= 1 + 2ei
3π2
(1
z + i
)= 2ei
3π2
(1
z + i
)+ 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 27 / 39
Predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
w =z − iz + i
=z + i− 2i
z + i= 1− 2i
1
z + i
=
1 + 2ei3π2
1
z + i= 1 + 2ei
3π2
(1
z + i
)= 2ei
3π2
(1
z + i
)+ 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 27 / 39
Predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
w =z − iz + i
=z + i− 2i
z + i= 1− 2i
1
z + i
= 1 + 2ei3π2
1
z + i=
1 + 2ei3π2
(1
z + i
)= 2ei
3π2
(1
z + i
)+ 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 27 / 39
Predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
w =z − iz + i
=z + i− 2i
z + i= 1− 2i
1
z + i
= 1 + 2ei3π2
1
z + i= 1 + 2ei
3π2
(1
z + i
)=
2ei3π2
(1
z + i
)+ 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 27 / 39
Predstavimo preslikavanje B kao kompoziciju odgovaraju�cih
preslikavanja.
Va�zi:
w =z − iz + i
=z + i− 2i
z + i= 1− 2i
1
z + i
= 1 + 2ei3π2
1
z + i= 1 + 2ei
3π2
(1
z + i
)= 2ei
3π2
(1
z + i
)+ 1.
Marek Svetlik 11.11.2020. 27 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 28 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 28 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 29 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 29 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 30 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 30 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 31 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 31 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 32 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 32 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 33 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 33 / 39
Teorema 2
Neka je B : C→ C bilinearno preslikavanje i neka je k uop�stena
kru�znica u C. Tada, ako su ta�cke z1 i z2 uzajamno simetri�cne u odnosu
na k onda su i B(z1) i B(z2) uzajamno simetri�cne u odnosu na B(k).
Marek Svetlik 11.11.2020. 34 / 39
Zadatak 3
Odrediti bilinearno preslikavanje koje ta�cku −2 slika u ta�cku 0, ta�cku 0u ta�cku i i koje kru�znicu k1 = {z ∈ C : |z| = 2} slika u kru�znicu
k2 = {w ∈ C : |w + 1| = 1}.
Marek Svetlik 11.11.2020. 35 / 39
Pretpostavimo da je preslikavanje B : C→ C takvo da je B(−2) = 0,B(0) = i i B(k1) = k2.
Potrebno je da odredimo B(z0) za neko z0 /∈ {−2, 0}.
Primetimo da je ta�cka −2 simetri�cna sama sebi u odnosu na k1, a ta�cka
0 simetri�cna ta�cki ∞ u odnosu na k1.
Sledi da su ta�cke B(0) i B(∞) uzajamno simetri�cne u odnosu na k2.
Znamo da je B(0) = i. Koliko je B(∞)?
Ta�cka B(∞) jeste ta�cka simetri�cna ta�cki i u odnosu na k2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 36 / 39
Pretpostavimo da je preslikavanje B : C→ C takvo da je B(−2) = 0,B(0) = i i B(k1) = k2.
Potrebno je da odredimo B(z0) za neko z0 /∈ {−2, 0}.
Primetimo da je ta�cka −2 simetri�cna sama sebi u odnosu na k1, a ta�cka
0 simetri�cna ta�cki ∞ u odnosu na k1.
Sledi da su ta�cke B(0) i B(∞) uzajamno simetri�cne u odnosu na k2.
Znamo da je B(0) = i. Koliko je B(∞)?
Ta�cka B(∞) jeste ta�cka simetri�cna ta�cki i u odnosu na k2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 36 / 39
Pretpostavimo da je preslikavanje B : C→ C takvo da je B(−2) = 0,B(0) = i i B(k1) = k2.
Potrebno je da odredimo B(z0) za neko z0 /∈ {−2, 0}.
Primetimo da je ta�cka −2 simetri�cna sama sebi u odnosu na k1, a ta�cka
0 simetri�cna ta�cki ∞ u odnosu na k1.
Sledi da su ta�cke B(0) i B(∞) uzajamno simetri�cne u odnosu na k2.
Znamo da je B(0) = i. Koliko je B(∞)?
Ta�cka B(∞) jeste ta�cka simetri�cna ta�cki i u odnosu na k2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 36 / 39
Pretpostavimo da je preslikavanje B : C→ C takvo da je B(−2) = 0,B(0) = i i B(k1) = k2.
Potrebno je da odredimo B(z0) za neko z0 /∈ {−2, 0}.
Primetimo da je ta�cka −2 simetri�cna sama sebi u odnosu na k1, a ta�cka
0 simetri�cna ta�cki ∞ u odnosu na k1.
Sledi da su ta�cke B(0) i B(∞) uzajamno simetri�cne u odnosu na k2.
Znamo da je B(0) = i. Koliko je B(∞)?
Ta�cka B(∞) jeste ta�cka simetri�cna ta�cki i u odnosu na k2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 36 / 39
Pretpostavimo da je preslikavanje B : C→ C takvo da je B(−2) = 0,B(0) = i i B(k1) = k2.
Potrebno je da odredimo B(z0) za neko z0 /∈ {−2, 0}.
Primetimo da je ta�cka −2 simetri�cna sama sebi u odnosu na k1, a ta�cka
0 simetri�cna ta�cki ∞ u odnosu na k1.
Sledi da su ta�cke B(0) i B(∞) uzajamno simetri�cne u odnosu na k2.
Znamo da je B(0) = i.
Koliko je B(∞)?
Ta�cka B(∞) jeste ta�cka simetri�cna ta�cki i u odnosu na k2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 36 / 39
Pretpostavimo da je preslikavanje B : C→ C takvo da je B(−2) = 0,B(0) = i i B(k1) = k2.
Potrebno je da odredimo B(z0) za neko z0 /∈ {−2, 0}.
Primetimo da je ta�cka −2 simetri�cna sama sebi u odnosu na k1, a ta�cka
0 simetri�cna ta�cki ∞ u odnosu na k1.
Sledi da su ta�cke B(0) i B(∞) uzajamno simetri�cne u odnosu na k2.
Znamo da je B(0) = i. Koliko je B(∞)?
Ta�cka B(∞) jeste ta�cka simetri�cna ta�cki i u odnosu na k2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 36 / 39
Pretpostavimo da je preslikavanje B : C→ C takvo da je B(−2) = 0,B(0) = i i B(k1) = k2.
Potrebno je da odredimo B(z0) za neko z0 /∈ {−2, 0}.
Primetimo da je ta�cka −2 simetri�cna sama sebi u odnosu na k1, a ta�cka
0 simetri�cna ta�cki ∞ u odnosu na k1.
Sledi da su ta�cke B(0) i B(∞) uzajamno simetri�cne u odnosu na k2.
Znamo da je B(0) = i. Koliko je B(∞)?
Ta�cka B(∞) jeste ta�cka simetri�cna ta�cki i u odnosu na k2.
Marek Svetlik 11.11.2020. 36 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 37 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 37 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 37 / 39
Marek Svetlik 11.11.2020. 37 / 39
Dakle, na osnovu de�nicije inverzije ta�cka B(∞) pripada polupravoj �ciji
je po�cetak ta�cka −1 i koja sadr�zi i.
Osim toga, na osnovu de�nicije inverzije, va�zi
d(−1, i) · d(−1, B(∞)) = 12,
odnosno d(−1, B(∞)) =
√2
2.
Kona�cno, B(∞) = −1
2+
1
2i.
Marek Svetlik 11.11.2020. 38 / 39
Dakle, na osnovu de�nicije inverzije ta�cka B(∞) pripada polupravoj �ciji
je po�cetak ta�cka −1 i koja sadr�zi i.
Osim toga, na osnovu de�nicije inverzije, va�zi
d(−1, i) · d(−1, B(∞)) = 12,
odnosno d(−1, B(∞)) =
√2
2.
Kona�cno, B(∞) = −1
2+
1
2i.
Marek Svetlik 11.11.2020. 38 / 39
Dakle, na osnovu de�nicije inverzije ta�cka B(∞) pripada polupravoj �ciji
je po�cetak ta�cka −1 i koja sadr�zi i.
Osim toga, na osnovu de�nicije inverzije, va�zi
d(−1, i) · d(−1, B(∞)) = 12,
odnosno d(−1, B(∞)) =
√2
2.
Kona�cno, B(∞) = −1
2+
1
2i.
Marek Svetlik 11.11.2020. 38 / 39
Dakle, na osnovu de�nicije inverzije ta�cka B(∞) pripada polupravoj �ciji
je po�cetak ta�cka −1 i koja sadr�zi i.
Osim toga, na osnovu de�nicije inverzije, va�zi
d(−1, i) · d(−1, B(∞)) = 12,
odnosno d(−1, B(∞)) =
√2
2.
Kona�cno, B(∞) = −1
2+
1
2i.
Marek Svetlik 11.11.2020. 38 / 39
Sli�cno kao u prethodnom zadatku dobija se
w = B(z) =−iz − 2i
(i− 1)z − 2.
Da li smo ovim zavr�sili re�savanje zadatka?
Ne. Potrebno je da proverimo da va�zi B(−2) = 0, B(0) = i iB(k1) = k2 (uraditi to za doma�ci zadatak).
Marek Svetlik 11.11.2020. 39 / 39
Sli�cno kao u prethodnom zadatku dobija se
w = B(z) =−iz − 2i
(i− 1)z − 2.
Da li smo ovim zavr�sili re�savanje zadatka?
Ne. Potrebno je da proverimo da va�zi B(−2) = 0, B(0) = i iB(k1) = k2 (uraditi to za doma�ci zadatak).
Marek Svetlik 11.11.2020. 39 / 39
Sli�cno kao u prethodnom zadatku dobija se
w = B(z) =−iz − 2i
(i− 1)z − 2.
Da li smo ovim zavr�sili re�savanje zadatka?
Ne. Potrebno je da proverimo da va�zi B(−2) = 0, B(0) = i iB(k1) = k2 (uraditi to za doma�ci zadatak).
Marek Svetlik 11.11.2020. 39 / 39
Sli�cno kao u prethodnom zadatku dobija se
w = B(z) =−iz − 2i
(i− 1)z − 2.
Da li smo ovim zavr�sili re�savanje zadatka?
Ne. Potrebno je da proverimo da va�zi B(−2) = 0, B(0) = i iB(k1) = k2 (uraditi to za doma�ci zadatak).
Marek Svetlik 11.11.2020. 39 / 39