4.8 . EJER CICI O S D E L CAP «ITULO 15 7morfin.mx/Clases/Ejercicios_SD_files/ejercicios4.pdf4.8 ....

4.8. EJERCICIOS DEL CAPITULO 157

decir de las funciones fg. Posteriormente se obtienen los terminos indepen-dientes para cada funcion.

fg2, 3 =dcb

f4, 5, 6, 7 =dc

f0, 2, 4, 6 =da

g0, 2, 8, 10 =ca

g2, 6, 10, 14 =ba

f(d, c, b, a) =dcb + dc + da

g(d, c, b, a) =dcb + c + ba

Se debe tomar en cuenta que si son mas funciones se requiere una mayorcantidad de mapas. Por ejemplo, las funciones f , g y h requieren de los mapasf , g, h, fg, fh, gh y fgh comenzando la busqueda de los implicantes primosdel ultimo al primero.

4.8. Ejercicios del Capıtulo

1. Simplifique a su mınima expresin, utilizando Algebra Booleana las si-guientes funciones:

158 CAPITULO 4. SISTEMAS COMBINATORIOS

x + xy x(x + y)x yz + xyz + xy (x + y)(x + z)(y + z)xy + xz + yz xy + xy(x + y)(x + y) xyz + xy + xyz

xz + xyz (a + b) (a + b)y(wz + wz) + xy abc + a bc + abc + abc + a b c

bc + ac + ab + bcd ((cd) + a) + a + cd + ab(a + b + c)(a + c + d)(a + c + d) (bc + ad)(ab + cd)bd + abc + acd + abc ab + c dabd + abcd ac + abca bcd + a b c d (m + n)(m + p)(n + p)abc + abc + bcd (abc)

(a + bc) (abc d)

(a(b + c)d) ((a + c)(b + d))

(a + bc) ((a + bc)(d + ef))

(a + b)c) ((r + s + t)q)

2. Exprese las siguientes funciones booleanas como una suma de mintermi-nos:

a + bcd(a + b) + bdyz + wxy + wxz + w xz(a + b + c)(a + b)(a + c + d)(a + b + c + d)(b + c + d)(wy + z)(y + xz)xy + xza(b + c)ac (abcd) + abc d + abcwy + xz

3. Exprese las siguientes funciones boolenas como un producto de maxtermi-nos:


a + bcd(a + b) + b dy z + wxy + wx z + w xz(a + b + c)(a + b)(a + c + n)(a + b + c + d)(b + c + d)(wy + z)(y + xz)xy + xza(b + c)

ac (abcd) + a b c d + ab cwy + x z

4. Obtenga el producto de maxterminos de las siguientes sumas de mintermi-nos:

f(c, b, a) = Σm(1, 4, 5, 6, 7)f(d, c, b, a) = Σm(1, 4, 5, 6, 7)f(d, c, b, a) = Σm(1, 3, 7)f(e, d, c, b, a) = Σm(0, 2, 6, 11, 13, 15)

5. Obtenga la suma de minterminos de los siguientes productos de maxtermi-nos:

f(c, b, a) = ΠM(0, 2, 3)f(d, c, b, a) = ΠM(0, 2, 3)f(c, b, a) = ΠM(0, 3, 6, 7)f(e, d, c, b, a) = ΠM(0, 1, 2, 3, 4, 6, 12)

6. Obtenga la tabla de verdad e implemente con compuertas las siguientesfunciones booleanas:

f(x, y, z) = xy + xy + yzf(a, b, c) = abc + a bc + abc + abc + a b cf(a, b, c, d) = abc(a + d)f(a, b, c, d, e) = d + ((a + b)c)ef(a, b, c) = ac + bc + abcf(a, b, c) = ab + bcf(a, b, c, d) = abc + b(a + d)

7. Simplifique las siguientes funciones s3, s2, s1 y s0 a su mınima expresinutilizando Algebra Booleana:


c b a s3 s2 s1 s0

0 0 0 1 0 0 10 0 1 1 0 1 00 1 0 1 0 1 10 1 1 0 1 0 01 0 0 0 1 0 11 0 1 0 1 1 01 1 0 0 1 1 11 1 1 0 1 0 0

8. Encuentre la suma de minterminos que forman las siguientes funcionesutilizando Algebra de Boole:

f(d, c, b, a) = abc(cbd)(a + b) + (c + d)(bc a + d bc)

f(d, c, b, a) = ab + c(ba + d)(c + d) + cd + bd

f(d, c, b, a) = (a + b)cd + (a + c)(b + c) + b d ad + cd + bd

9. A partir de los siguientes circuitos encuentre la funcin f(d, c, b, a) comouna suma de minterminos. Utilice Algebra de Boole:

NOTANDOR

NOT

d c b a

f(d,c,b,a)

10. Sintetice las siguientes funcines utilizando mapas de Karnaugh:


NOT

d c b a

f(d,c,b,a)

NOT

NOT

OR

AND

AND

AND

AND

NOT

d c b a

f(d,c,b,a)

NOT

NOT

OR

AND

AND

AND

AND

NOT

f(e, d, c, b, a) = ΠM(1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 14, 17, 19, 21, 28) + δ(9, 12, 30)f(c, b, a) = Σm(1, 4, 5, 6, 7) + δ(0)f(d, c, b, a) = Σm(1, 3, 7, 15) + δ(0, 2, 5)f(d, c, b, a) = Σm(0, 2, 5, 6, 11, 13, 14) + δ(1, 4)f(c, b, a) = Σm(0, 2, 3) + δ(6, 7)f(c, b, a) = Σm(0, 3, 6, 7) + δ(2, 4)f(e, d, c, b, a) = Σm(0, 1, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 23, 25, 27) + δ(11, 14, 15, 31)f(c, b, a) = ΠM(1, 4, 5, 6, 7) + δ(0, 3)f(c, b, a) = ΠM(1, 3, 7) + δ(0, 4, 6)f(d, c, b, a) = ΠM(0, 2, 6, 9, 11, 13, 14) + δ(1)f(d, c, b, a) = ΠM(0, 2, 3, 5, 12, 14)f(d, c, b, a) = ΠM(0, 2, 3, 6, 7, 13) + δ(11, 14)f(d, c, b, a) = ΠM(0, 1, 2, 3, 4, 6, 12) + δ(10, 11, 15)f(e, d, c, b, a) = ΠM(1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 14, 19, 21, 28) + δ(9, 12, 26, 30)f(e, d, c, b, a) = Σm(0, 6, 7, 8, 13, 18, 22, 23, 24, 27, 29, 31) + δ(9, 12, 30)


11. Una companıa que maneja materiales peligrosos requiere se desarrolleun control de accesos. El control se realizara a partir del cdigo bi-nario del personal. Cada persona tiene asignado un cdigo y la puer-ta debera abrirse slo cuando el cdigo este autorizado. Las personasque tienen acceso cuentan con el siguiente cdigo: 00000, 00010, 00110,00111, 01000, 01011, 01101, 01111, 10000, 10110, 10111, 11000, 11101y 11111. Las combinaciones que no existen son: 00100, 01010, 01110,11001 y 11100. Haga la tabla de verdad, reduzcala utilizando mapas deKarnaugh y realice el diagrama lgico correspondiente.

12. Un excentrico profesor de diseno lgico encarg a sus alumnos un sistemapara determinar si los alumnos aprobaban o reprobaban el curso. Elsistema cuenta con 6 entradas y una salida. La salida es la senal deaprobado. Dicha senal debera encender unicamente cuando el alumnoapruebe el curso. Si el alumno reprueba, la senal permanecera apagada.

Las 6 entradas son: a = 1 si el proyecto fue aprobado y a = 0 si elproyecto fue reprobado. b = 1 si todas las practicas fueron aprobadasy b = 0 si las practicas fueron reprobadas. c = 1 si el cuarto examenfue aprobado y c = 0 si el cuarto examen fue reprobado. d = 1 si eltercer examen fue aprobado y d = 0 si el tercer examen fue reprobado.e = 1 si el segundo examen fue aprobado y e = 0 si el segundo examenfue reprobado. Finalmente f = 1 si el primer examen fue aprobado yf = 0 si el primer examen fue reprobado. Recuerde que a es la variablemenos significativa en el orden. Las reglas para aprobar el curso son:

i Aprobar los 4 examenes y las practicas

ii Aprobar por lo menos 3 examenes y el proyecto

iii Aprobar por lo menos 2 examenes, las practicas y el proyecto

Si los examenes 1 2 y 3 fueron aprobados, el cuarto examen se consideraaprobado aunque aparezca como reprobado (C=0). Haga la tabla deverdad del sistema combinatorio y reduzca la funcin utilizando mapasde Karnaugh.

13. Disene un sistema combinatorio utilizando mapas de Karnaugh quetenga 5 bits de entrada (e, d, c, b, a) y 3 salidas (x, y, z) definidas de lasiguiente forma. La salida x enciende si el numero de 1 en la combinacinde entrada es mayor o igual a 3. La salida y enciende si el numero de


0 en la combinacin de entrada es mayor a 3. La salida z enciende siel numero de entrada es multiplo de 3, 5, 7, 8 y 11. Haga la tabla deverdad y reduzca las 3 funciones utilizando mapas de Karnaugh.

14. Un comparador es un elemento combinatorio cuyas entradas son dosoperandos a y b de 3 bits cada uno (b2, b1, b0 y a2, a1 y a0). Tiene3 salidas: s2 −→ a > b, s1 −→ a = b y s0 −→ a < b. La salida s2

enciende cuando la magnitud de operando a es mayor al operando b.La salida s1 enciende si y slo si, la magnitud de a es igual a la de b.La salida s0 enciende slo cuando la magnitud de b es mayor que la dea. Haga la tabla del sistema que se comporte de la forma senalada ysintetice cada una de las 3 salidas utilizando mapas de Karnaugh.

15. Se define una funcin f(a, l, e, x, t) que debe valer 1 siempre que a lasentradas haya mas unos que ceros, y 0 en el caso contrario. Excepcin aesta regla son aquellas combinaciones que presenten un patrn alternadode unos y ceros a lo largo de toda la palabra, en cuyo caso se invertira lafuncin (sera 1 cuando haya mas ceros y 0 cuando haya mas unos).Exprese la funcin como suma de Minterminos y simplifıquela por mapasde Karnaugh.

16. Sintetice las siguientes funcines utilizando el metodo de Quinne-McCluskey:


f(d, c, b, a) = Σm(0, 6, 7, 8, 13, 15, 16, 18, 22, 23, 24, 27, 29, 31)+δ(9, 12, 20, 26, 30)

f(d, c, b, a) = Σm(4, 5, 6, 9, 11, 13, 14, 15, 20, 21, 22)+δ(25, 27, 29, 31)

f(e, d, c, b, a) = Σm(0, 6, 7, 8, 13, 15, 16, 18, 22, 23, 24, 27, 29, 31)+δ(9, 12, 20, 26, 30)

f(e, d, c, b, a) = ΣM(1, 2, 3, 4, 5, 10, 11, 14, 18, 19, 21, 25, 28)+δ(9, 12, 22, 26, 30)

g(f, e, d, c, b, a) = Σ(20, 28, 52, 60)+δ(11, 14, 15, 31)

h(g, f, e, d, c, b, a) = Σ(20, 28, 38, 39, 52, 60, 102, 103, 127)g(f, e, d, c, b, a) = Σ(6, 9, 13, 18, 19, 25, 27, 29, 41, 45, 57, 61)

f(e, d, c, b, a) = Σ(0, 1, 2, 3, 4, 6, 12, 17, 23, 25, 27)+δ(11, 14, 15, 31)

g(f, e, d, c, b, a) = Σ(0, 3, 5, 6, 9, 13, 15, 17, 22, 35, 41, 45, 48, 53,55, 57, 60, 62) + δ(1, 11, 23, 34, 37, 49, 58, 63)

g(f, e, d, c, b, a) = Σm(0, 1, 2, 6, 7, 11, 15, 21, 32, 35, 37, 42, 45, 51,60, 62, 63) + δ(3, 8, 14, 20, 22, 23, 24, 26, 27,31, 33, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 46, 47, 48, 49, 52,53, 54, 56, 57, 58, 59)

g(f, e, d, c, b, a) = ΠM(4, 5, 9, 10, 12, 13, 16, 17, 18, 19, 25, 28, 29,30, 40, 44, 50, 55) + δ(3, 8, 14, 20, 22, 23, 24, 26,27, 31, 33, 34, 36, 38, 39, 41, 43, 46, 47, 48, 49,52, 53, 54, 56, 57, 58, 59)

f(e, d, c, b, a) = Σm(3, 7, 8, 10, 11, 15, 19, 23, 24, 25, 26, 27, 31)

17. Se define una funcin f(d, c, b, a) que debe valer 1 si la combinacin bi-naria representa un numero primo. Disene con el metodo tabular deQuinne-McCluskey un circuito lgico mınimo que ejecute esta funcin.

18. Electrnica Los Patitos le solicita un trabajo de ingenierıa. Debe di-senar un sistema combinatorio en base a Multiplexores. El numero devariables de entrada es de 5 (a, b, c, d, e). Electrnica Los Patitos cuentaunicamente con Multiplexores de 3 selectores (8 entradas). Le pidenque les entregues los mapas divididos en regiones con todas las combi-naciones, indicando la zona claramente y un diagrama del multiplexorindicando las variables que llegan a los selectores.

19. Repita el ejercicio anterior utilizando unicamente Multiplexores de 2


selectores (4 entradas) y 3 selectores (8 entradas).

20. La Estacin Espacial Internacional sufri un desperfecto en sus sistemasde comunicacin con la Tierra debido a una partıcula que se impact amuy alta velocidad contra uno de los equipos. El mdulo que se dan esel codificador de Hamming. Ninguno de los demas astronautas conocela teorıa del Diseno Lgico por lo tanto, usted tiene que disenar el codi-ficador de Hamming usando unicamente 3 multiplexores de 2 selectoresy 4 entradas cada uno y un negador (slo uno de los 6 del chip), quefueron los unicos circuitos que no se quemaron del equipo. La entradaal sistema combinatorio es de 4 bits (d3, d5, d6 y d7) y como salida senecesitan los bits de paridad (p1, p2 y p4).

21. Se requiere un codificador de Gray a Binario para 4 bits. Slo se cuentacon 4 multiplexores de 1 selector (2 entradas), 2 negadores y un XORde 3 entradas. Obtenga el circuito que realiza esta funcin.

22. Se requiere un codificador de Gray a Binario para 4 bits. Slo se cuentacon 4 multiplexores de 1 selector (2 entradas), 2 negadores y un XORde 3 entradas.

23. Se cuenta con el despliegue de un elevador que tiene los siguientesLeds: un led para el piso 1, un led para el piso 2, uno para el 3, unopara el 4, uno mas indica si el elevador va subiendo y el ultimo indicasi el elevador va bajando. El mecanismo del elevador cuenta con lassiguientes senales TTL: 3 bits (C, B y A) que indican el piso en el quese encuentra el elevador: 001 es piso 1, 010 es piso 2, 011 es piso 3 y100 es piso 4, ademas de un cuarto bit (S) que indica si el elevador vasubiendo o bajando, cuando sube vale 0 y cuando baja vale 1. Usted hasido contratado para desarrollar un sistema que a partir de los 3 bitsde piso y el bit del sentido del elevador, encienda y apague los leds deldespliegue. El edificio unicamente cuenta con 4 pisos. Como condicin,la empresa que lo contrat le exige que el desarrollo se haga utilizandomultiplexores que tienen 4 entradas (2 selectores) y compuertas basicas.Sobra decir que el diseno para cada una de las salidas debera ser ptimo.El diseno debera estar claramente especificado con diagramas lgicos.

24. Construya un multiplexor de 32 entradas (5 selectores) a partir unica-mente de multiplexores de 4 entradas (2 selectores). Realice el diagramalgico del circuito.


25. Utilizando multiplexores de 4 selectores (16 entradas) sintetice la si-guiente funcin encontrando las mejores combinaciones de entre las 5posibles. La funcin es

f(e, d, c, b, a) =Σm(1, 5, 9, 10, 13, 18, 20, 26, 28)

+ δ(2, 6, 8, 12, 14, 16, 21, 22, 24, 29, 30)

26. Dadas las siguientes funciones, sintetice con multiplexores mapeandouna y dos variables y encuentre la configuracin ptima:

f(d, c, b, a) = Σ(1, 4, 5, 6, 7, 11, 15)f(d, c, b, a) = Σ(1, 3, 4, 7, 15)f(d, c, b, a) = Σ(0, 2, 3, 9, 10, 12, 13)f(d, c, b, a) = Σ(0, 3, 6, 7, 10)f(d, c, b, a) = Σ(1, 3, 4, 5, 7, 12)f(d, c, b, a) = Σm(2, 3, 4, 6, 8, 10, 11, 12, 14)f(d, c, b, a) = Σm(1, 2, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 13, 15)

27. Disene un sistema cuya entrada es un dıgito BCD, es decir 4 bits. Lasalida es un vector de 10 leds numerados del 0 al 9. El sistema debeencender todos los leds desde el cero hasta el numero que indica laentrada. La restriccin es que unicamente se pueden utilizar EPROMs,switches para simular las entradas y leds (o probes) de salida. Haga latabla de programacin en Hexadecimal y el circuito electrico indicandoclaramente tanto en la tabla como en el circuito cada bit de los circuitos.

28. El siguiente circuito muestra el decodificador de un cdigo alfanumericode 5 bits (E,D,C,B y A) a un display de 14 segmentos (a,b,c,...,n).Los segmentos se muestran a continuacin y por claridad se encuentranseparados. El circuito ya se encuentra alambrado. Obtenga la tabla deprogramacin de los EPROMs en binario y hexadecimal de acuerdo alcdigo mostrado.

a b

c

d

ef

g

hi j

k

lm

n


EPROM

0

A0A1A2

A3A4A5

A6...

An-1

O0O1O2O3O4O5O6O7

OE

CE

s as bs cs ds es fs gs h

EPROM

1

A0A1A2

A3A4A5

A6...

An-1

O0O1O2O3O4O5O6O7

OE

CE

abcd

s is js ks l

s ms n

e

00000 00001 00010 00011 00100 00101 00110 00111

01000 01001 01010 01011 01100 01101 01110 01111

10000 10001 10010 10011 10100 10101 10110 10111

11000 11001 11010 11011 11100 11101 11110 11111


29. Obtenga la tabla de programacin del EPROM para sintetizar la si-guiente funcin:

d c b a X7 X6 X5 X4 X3 X2 X1

0 0 0 0 0 1 0 1 0 1 00 0 0 1 0 0 1 1 0 0 10 0 1 0 0 0 0 0 1 1 10 0 1 1 0 0 0 0 0 0 00 1 0 0 1 0 1 0 1 0 10 1 0 1 1 1 0 0 1 1 00 1 1 0 1 1 1 1 0 0 00 1 1 1 1 1 1 1 1 1 11 0 0 0 1 1 0 1 1 0 11 0 0 1 0 0 1 0 0 0 11 0 1 0 1 1 1 0 0 0 11 0 1 1 1 0 0 0 1 1 01 1 0 0 1 1 1 0 1 1 11 1 0 1 1 1 1 0 0 0 11 1 1 0 1 1 1 0 0 0 11 1 1 1 0 0 0 1 0 1 0

30. Un extravagante profesor de Diseno Lgico se ha cansado del tradicionalsistema decimal para calificar, y ha inventado un cdigo de cuatro bitspara reemplazarlo. La equivalencia se muestra en la tabla siguiente. Losalumnos requieren de un circuito digital que convierta de este cdigo alconvencional, representado por una lınea luminosa de 10 LEDS. Lounico que los alumnos tienen a su disposicin son algunos EPROMs2716 (2K X 8) y 10 LEDS. Sintetice la funcin con el material disponibleespecificando la tabla de programacin detalladamente e indicando todaslas conexiones de Hardware.


C3 C2 C1 C0 Decimal1 0 1 1 01 1 0 0 10 1 1 0 21 0 0 1 31 1 1 0 40 1 0 1 50 0 0 1 61 0 1 0 70 0 0 0 80 0 1 0 90 1 1 1 10

31. Se requiere la realizacin de un codificador multiple de BCD, que recibacomo entrada un dıgito BCD y que presente a la salida el equivalenteen dos cdigos posibles: Exceso 3 y Cdigo Gray. Se seleccionara el cdigodeseado con 1 switch. Solamente puede utilizar EPROMs, cuidando deaprovechar lo mejor posible los recursos. Escriba la tabla de programa-cin detallada y el diagrama electrico, indicando todas las conexiones deHardware.

32. Se requiere de un circuito que reciba como entrada un numero binariode cuatro bits y que entregue como resultado su raız cuadrada, condos cifras decimales de precisin en dıgitos BCD. Como ejemplo, si seintroduce un 11002 (1210), a la salida se encontrara su raız en BCD:0011,01000110BCD (3,4610). Todos los resultados deben ser redondea-dos a centesimas. Para esto se cuenta unicamente con EPROMs 2716y algunos LEDs. Realice con este material el circuito deseado, escri-biendo detalladamente la tabla de programacin e indicando todas lasconexiones de hardware.

33. Compare los diferentes metodos para obtener la expresin mınima de unafuncin booleana. Incluya ventajas y desventajas de unas con respectoa otras.

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