47569240 Metodo de Los Nodos

8/16/2019 47569240 Metodo de Los Nodos

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MÉTODO DE LOS NODOS.

Este método consiste en aplicar las condiciones de equilibrio en todos los nodos

de la cercha, no necesariamente de forma secuencial, para ir aplicando nodo a

nodo el equilibrio de fuerza en cada uno de ellos e ir obteniendo el valor de las

fuerzas incógnitas. La selección del nodo que se va a considerar depende del

número de fuerzas desconocidas que posea, se seleccionan de primero aquellos

que tengan menos incógnitas y se dejan para finalizar con los que posean ms

fuerzas desconocidas. La solución de los primeros nodos va simplificando la

resolución de los últimos.

!igura "# $ecuencia de anlisis de nodos

% &'(('$ ) &'(('$ * &'(('$ + &'(('$

A - E B - C - D F - G H

En la figura " se muestra una propuesta para establecer de manera lógica la

secuencia de anlisis de los nodos. En ella se observa que los nodos se ordenan

de acuerdo al número de barras que posean. La secuencia considera primero a

los de dos barras y luego se consideran los de mayores barras en orden creciente.

$in embargo, cuando se consideran un grupo de nodos, como el caso de los detres barras, no necesariamente se debe seguir el orden secuencial es decir, si

conviene se puede analizar el -, el y finalmente el &. La manera de ir

seleccionando los nodos va a depender de la facilidad que ofrezca el nodo para

calcular las incógnitas.

En ocasiones, el anlisis requiere la resolución de un sistema de dos ecuaciones y

dos incógnitas. /tros nodos se resuelven mediante solo una sumatoria de fuerzas

en 010 o en 0y0. !inalmente, cuando se llega al último nodo, ya todas las fuerzas

son conocidas, pero este nodo aun as2, deber analizarse. Este nodo se denomina

Nodo de Comprobación y es el que demuestra el cierre de la cercha. En él la

sumatoria de fuerzas tanto en 010 como en 0y0 deben dar simultneamente cero,

en caso contrario, la cercha no cierra y, en consecuencia, est mal calculada. $in

embargo, puede ser aceptable un margen de error por efectos de redondeos que

en ningún caso ser superior a 34,45 unidades.

MÉTODO DE LAS SECCIONES.

Este método consiste en establecer una l2nea de corte y separar la armadura en

dos partes, no necesariamente simétricas. La l2nea de corte la define la fuerza que


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se quiere calcular. Es decir, si se desea calcular la fuerza en la barra '&, esta

barra tienen que ser necesariamente cortada y con ella un m1imo de tres fuerzas.Esta condición que limita el corte en una armadura se debe al hecho de que solo

e1isten tres ecuaciones de estticas y para poder generar sistemas de ecuaciones

compatibles que se puedan resolver, m1imo se cortarn tres barras.

'l hacer un corte, si la armadura es grande se tomar la sección menor y si es

peque6a, aquella porción que pueda ser considerada una sección, es decir que

contenga barras que no hayan sido cortadas. En una sección son incógnitas solo

las barras cortadas y el resto no se toman en cuenta en el anlisis. $e consideran

las fuerzas e1ternas a la armadura como las que actúan sobre los nodos y las

reacciones en los apoyos. $e pueden hacer tantos cortes como se necesiten paradar respuestas a todas las fuerzas desconocidas.

El anlisis de las secciones consiste en aplicar el equilibrio esttico sobre ella. $e

sumarn las fuerzas en 010 en 0y0 y de ser necesario el momento que ellas

generan respecto a cualquier punto que se les conozcan sus coordenadas, dentro

o fuera de la sección. El punto para generar una ecuación de momento se

selecciona de forma arbitraria y va a depender de cuanto facilita la simplificación

de la ecuación obtenida. Este punto depende ms de la intuición del analista que

de otra cosa. $i una armadura se analizara solo por el método de las secciones,ella requerir2a la aplicación de un nodo de comprobación que preferiblemente sea

uno que posea el mayor número de barras para comprobar que la armadura

cierra.

PROCEDIMIENTO DE ANÁLISIS:

7ara resolver una armadura se deben seguir los siguientes pasos#

8. escomponer las fuerzas inclinadas en horizontales y verticales

%. -alcular el ngulo de todas las barras

). efinir el número de reacciones según el tipo de apoyo

*. 'plicar el equilibrio e1terno para calcular las reacciones en los apoyos

+. -omprobar las reacciones aplicando momento en cualquier punto y

comprobando que sea igual a cero

". Establecer una secuencia de anlisis de los nodos


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9. :acer un diagrama de cuerpo libre para cado nodo y representar todas las

fuerzas en él

;. 'plicar el equilibrio de fuerzas a todos los nodos

5. -omprobar el cierre de la cercha en el Nodo de Comprobación,

considerando el error de cierre

84.Establecer una l2nea de corte y hacer un esquema de la sección a estudiar

88. 'plicar el equilibrio esttico a la sección considerada y obtener el valor de

las incógnitas.

ENUNCIADO DEL PROBLEMA

ada la cercha plana, las condiciones de carga y de apoyo que se muestra en la

figura 9, etermine# a< Las reacciones en los apoyos b< 7or el método de los

nodos calcule el valor de las fuerzas sobre todas las barras c< 7or el método de

las secciones calcule el valor de la fuerza que actúa en la barra &-.

=/>'# La superficie de apoyo en ' est inclinada %"? respecto a la horizontal. La

fuerza de 944 = forma un ngulo de )+? respecto a la barra '&.

1) Angulo de las barras:

AB = inv tan (3/3) = 45°

BC = inv tan (1/3) = 18,4349°

C = inv tan (3/1) = !1,5"51°

A = inv tan (1/5) = 11,3#99°


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B = inv tan ($/$) = 45°

$) Co%&roba'in del n%ero de barras

Barras = $*+3

5 = $4 + 3

5 = 5

-a e'ua'in se 'o%&rueba, &or lo tanto, la 'er'.a es si%&le -os 'l'ulos son dire'tos 0 la

'er'.a &uede resolverse sin e%&lear 'o%&leos 'l'ulos %ate%ti'os

3) 2e deter%inan el n%ero de rea''iones

n el a&o0o A eisten dos rea''iones, las 'uales se en'uentran in'linadas, deno%inare%os

estas in'gnitas A1 0 A$

n el a&o0o C eiste una sola rea''in la 'ual es .oriontal

-a dire''in de las rea''iones se su&onen 0 los 'l'ulos indi'aran las dire''iones 'orre'tas

2u&one%os 6ue la dire''in de A1 es &aralela 0 baando &or la su&er7i'ie en A

2u&one%os 6ue la dire''in de A$ es &er&endi'ular a la su&er7i'ie en A 0 entrando al a&o0o

2u&one%os 6ue la rea''in en C es &er&endi'ular a la su&er7i'ie en C 0 entrando al a&o0o

4) Co%&onentes de la 7uera !## *

-a barra 7or%a un ngulo de 45° 'on la .oriontal 0 el ngulo entre la 7uera 0 la barra es

de 35°, el 'ual entra en los 45°, &or lo tanto, la 7uera 6ueda 1#° &or debao de la .oriontal,

'a%biando de 'uadrante 0 ubi'ndose en el &ri%ero

= !## 'os (1#) = "89,3! *

0 = !## sen (1#) = 1$1,55 *

5) Co%&onentes de las rea'''iones


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A1 = A1 'os ($"°)

A10 = + A1 sen ($"°)

A$ = A$ 'os ("4°) "4° resulta de restar 9#° + $"°

A$0 = A$ sen ("4°)

C = C 'os (18#°) = + C

C0 = C sen (18#°) = #

") A&li'ando el e6uilibrio eterno a la 'er'.a

= #

A1 'os ($"°) A$ 'os ("4°) + C "89,3! = # (1)

0 = #

+ A1 sen ($"°) A$ sen ("4°) 1$1,55 + 5## = # ($)

;A = #

+ "89,3!(3) 1$1,55(3) + 5##(5) C(4) = #

C = 4$#3,4" / 4 = 1#5#,8! *

sustitu0endo en (1) 0 en ($)

A1 'os ($"°) A$ 'os ("4°) = 3"1,5

+A1 sen ($"°) A$ sen ("4°) = 3!8, 45


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igura 8: s6ue%a de 7ueras sobre la 'er'.a &lana

ara 'o%&robar las rea''iones, re&resenta%os en el es6ue%a %ostrado en la 7igura 8, las

7ueras 6ue a'tan sobre la 'er'.a

A&li'ando %o%ento en el &unto B

;B =3"1,5(3)+3!8,45(3)+5##($)1#5#,8!(1)=#,#$ *%

#,#$ es a&roi%ada%ente 'ero, est dentro del rango de error #,#9

-as rea''iones son 'orre'tas

8) A&li'a'in del ;>todo de los *odos

igura 9:2e'uen'ia de anlisis de nodos

2 BARRAS 3 BA


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igura 1#: *odo A

= #

3"1,5# AB 'os (45°) A 'os (11,3#99°) = #

0 = #

3!8,45 AB sen (45°) A sen (11,3#99°) = #

2e 'onstru0e un siste%a de e'ua'iones 0 se resuelve &or 'al'uladora

AB = + 541,$# * (tra''in)

A = $1,"1 * (tensin)

1#) Anlisis del nodo C

igura 11: *odo C


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= #

+ BC 'os (18,4349°) + C 'os (!1,5"51°) + 1#5#,8! = #

0 = #

+ BC sen (18,4349°) + C sen (!1,5"51°) = #

2e 'onstru0e un siste%a de e'ua'iones 0 se resuelve &or 'al'uladora

BC = + 1$4",18 * (tra''in)

C = 415,39 * (tensin)

11) Anlisis del nodo B

igura 1$: *odo B

-as dire''iones de AB 0 BC 0a 7ueron de7inidas en el anlisis de los nodos A 0 C, slo se

su&one la dire''in de B

= #

541,$#'os (45°) "89,3! +1$4",18'os(18,4349°) B 'os (45°) = #

2e des&ea B


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B = 11#,1!43 / 'os (45°) = 155,81 *

2e 'o%&rueba la su%atoria en el ee 0

0 = #

541,$# sen (45°) 1$1,55 + 1$4",18 sen (18,4349°)

+ 155,81 sen (45°) = +#,#14 *

(valor dentro del rango #,#9)

$) Co%&roba'in del n%ero de barras

Barras = $*+3

5 = $4 + 3

5 = 5

-a e'ua'in se 'o%&rueba, &or lo tanto, la 'er'.a es si%&le -os 'l'ulos son dire'tos 0 la

'er'.a &uede resolverse sin e%&lear 'o%&leos 'l'ulos %ate%ti'os

4) Co%&onentes de la 7uera !## *

-a barra 7or%a un ngulo de 45° 'on la .oriontal 0 el ngulo entre la 7uera 0 la barra es

de 35°, el 'ual entra en los 45°, &or lo tanto, la 7uera 6ueda 1#° &or debao de la .oriontal,

'a%biando de 'uadrante 0 ubi'ndose en el &ri%ero

= !## 'os (1#) = "89,3! *

0 = !## sen (1#) = 1$1,55 *


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") A&li'ando el e6uilibrio eterno a la 'er'.a

= #

A1 'os ($"°) A$ 'os ("4°) + C "89,3! = # (1)

0 = #

+ A1 sen ($"°) A$ sen ("4°) 1$1,55 + 5## = # ($)

;A = #

+ "89,3!(3) 1$1,55(3) + 5##(5) C(4) = #

C = 4$#3,4" / 4 = 1#5#,8! *

sustitu0endo en (1) 0 en ($)

A1 'os ($"°) A$ 'os ("4°) = 3"1,5

+A1 sen ($"°) A$ sen ("4°) = 3!8, 45


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11) Anlisis del nodo B

igura 1$: *odo B

-as dire''iones de AB 0 BC 0a 7ueron de7inidas en el anlisis de los nodos A 0 C, slo se

su&one la dire''in de B

= #

541,$#'os (45°) "89,3! +1$4",18'os(18,4349°) B 'os (45°) = #

2e des&ea B

B = 11#,1!43 / 'os (45°) = 155,81 *

2e 'o%&rueba la su%atoria en el ee 0

0 = #

541,$# sen (45°) 1$1,55 + 1$4",18 sen (18,4349°)

+ 155,81 sen (45°) = +#,#14 *

(?alor dentro del rango #,#9)

1$) *odo de Co%&roba'in


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igura 13: *odo

= #

+$1,"1'os(11,3#99°)+155,81'os(45°)415,39'os(!1,5"51°) = +#,##!14 *

(a&roi%ada%ente 'ero)

0 = #

+$1,"1sen(11,3#99°)155,81sen(45°)415,39sen(!1,5"51°) +5## = #,##99$ *(a&roi%ada%ente 'ero)

A%bas su%atorias 'aen dentro del %argen de error #,#9

13) A&li'a'in del ;>todo de las se''iones

-a l@nea de 'orte &asa &or BC 0 C, la se''in resultante es AB


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igura 14: 2e''in AB

; = #

3"1,5#(1) +3!8,45(5) +"893!($) +1$1,55($)

+BC'os(18,4349°)($) +BCsen(18,4349°)($) = #

des&eando

BC = +315$,59/$,5$98

BC = +1$4",18 * (tra''in)

valor 6ue es igual al obtenido &or el %>todo de los nodos

En la fgura 15, se muestra otra solución estructural empleando una cercha

espacial, la cual no se encuentra a lo largo de un solo eje sino ocupando un

volumen determinado. El análisis de una cercha de este tipo es dierente al

mostrado en esta página; sin embargo, es posible realizarlo desde la

perspectiva del euilibrio estático.


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igura 15: Cer'.a es&a'ial

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