[4721] - 1001 M.A./M.Sc. (Semester - Savitribai Phule Pune...

685
Total No. of Questions : 8] SEAT No. : [4721] - 1001 M.A./M.Sc. (Semester - I) MATHEMATICS MT - 501 : Real Analysis (2013 Pattern) (Credit System) )Time : 3 Hours] [Max. Marks : 50 Instructions to the candidates: 1) Attempt any Five questions. 2) Figures to the right indicate full marks. P2155 Q1) a) Explain the construction of cantor set, hence show that it’s measure is zero. [5] b) Show that complement of a measurable set is measurable. [3] c) Prove that 2 1 sin 0 1 () 0 0 x x f x x x < = = is of bounded variation. [2] Q2) a) State and prove Egorov theorem. [5] b) If f and g are measurable functions, then prove that f + g and f 2 are measurable. [3] c) Give an example of two measurable sets A and B such thats A + B is not measurable. [2] Q3) a) State and prove Monotone convergence theorem. [5] b) Define a simple function. If φ and ψ are simple functions then prove that ( ) ψ ψ. φ φ + = + [3] c) Define Dini numbers. Find Dini number for the function F( x ) = | x | at origin. [2] [Total No. of Pages : 3 P.T.O.

Transcript of [4721] - 1001 M.A./M.Sc. (Semester - Savitribai Phule Pune...

  • Total No. of Questions : 8] SEAT No. :

    [4721] - 1001M.A./M.Sc. (Semester - I)

    MATHEMATICSMT - 501 : Real Analysis

    (2013 Pattern) (Credit System))Time : 3 Hours] [Max. Marks : 50Instructions to the candidates:

    1) Attempt any Five questions.2) Figures to the right indicate full marks.

    P2155

    Q1) a) Explain the construction of cantor set, hence show that it’s measure iszero. [5]

    b) Show that complement of a measurable set is measurable. [3]

    c) Prove that 2 1sin 0 1

    ( )0 0

    x xf x x

    x

    ⎧ ⎛ ⎞ < ≤⎪ ⎜ ⎟= ⎝ ⎠⎨⎪ =⎩

    is of bounded variation. [2]

    Q2) a) State and prove Egorov theorem. [5]

    b) If f and g are measurable functions, then prove that f + g and f 2 aremeasurable. [3]

    c) Give an example of two measurable sets A and B such thats A + B is notmeasurable. [2]

    Q3) a) State and prove Monotone convergence theorem. [5]

    b) Define a simple function. If φ and

    ψ

    are simple functions then prove that

    ( )ψ ψ.φ φ+ = +∫ ∫ ∫

    [3]

    c) Define Dini numbers. Find Dini number for the function F(x) = |x| at origin. [2]

    [Total No. of Pages : 3

    P.T.O.

  • Q4) a) If {fn} is a sequence of measurable functions such that

    ( ) ( ) . .as → → ∞nf x f x a e n

    and | ( ) | ( )nf x g x≤ , where g is integrable,

    then prove that

    0 as nf f n− → →∞∫

    . [4]

    b) Prove that a real valued function F on [a,b] is of bounded variation if andonly if F is the difference of two increasing bounded functions. [4]

    c) If f be a measurable finite valued function on [0,1] and suppose that( ) ( )−f x f y is integrable on [0,1] × [0,1] then show that f is integrable

    on [0,1]. [2]

    Q5) a) IF

    { }1 2 NB B ,B ,........B=

    be a finite collection of open balls in Rd, thenprove that, there exists a disjoint sub - collection Bi1, Bi2, .......... BiK of B

    such that,

    ( )1

    M M1

    K

    l jj

    NB Bi

    l =

    ⎛ ⎞⎜ ⎟ ≤⎜ ⎟=⎜ ⎟⎝ ⎠

    ∑∪

    [5]

    b) Define locally integrable function. Prove that xe is locally integrable, butnot integrable on R. [3]

    c) If f > 0 and f is integrable and for 0,α > { }E / ( ) ,x f xα α= < then prove

    that

    ( ) 1M E .fα α≤ ∫[2]

    Q6) a) State and prove Fatou’s lemma. [4]

    b) If

    11E R

    d⊂

    and 22E Rd⊆ then prove that, M* (E1× E2) < M* (E1). M*

    (E2), where M* (Ek) ≠ 0, for K = 1,2. [4]c) Find the measures of the following sets. [2]

    i) A = {2, 4, 6, 8, 10}ii) B = [–1, 2]

    Q7) a) If E is measurable subset of Rd with M (E) <

    , then prove that for

    0Ε > ∃

    a finite union

    1

    N

    jF Qj=

    =∪

    of closed cubes such that M (E F)Δ ≤∈. [5]

    [4721]-1001 -2-

  • b) If F and G are absolutely continuous function on [a,b] then show that thefunction FG is absolutely continuous on [a,b]. [5]

    Q8) a) If

    E R ,d⊆

    then prove that M*(E) = inf M*(O), where the infimum istaken over all open sets O containing E. [5]

    b) If F is absolutely continuous on [a,b] and F'(x) = 0 a.e. x, then prove thatF is a constant function. [5]

    [4721]-1001 -3-

  • ������������������������ ��������������������������������

    ���������

    ������������������������

    ������������������� !"�����!#�$#$����%�&!����"�������'���(�����

    ������������ �����������������������������������������

    �� ����� ����!�"�#��$������%� "�&������������&������������'�((������

    P2156

    ��� �� �������������������������������������������������������������������������������������������������������������� ���

    �� �� 3: R Rf → ��������� 4( ) .f x x= �����������( , , )x y z ��������

    ((1,2,3), ( , , )) 0.f x y z′ = ���

    �� �������������������������� ���

    ��� �� ������������ : R Rn mf → ���������������a ��������������

    aT ��� ���

    �� �������������������������� ( ; )f a y′ �������������a ��

    Rn �� ( ) ( ; )aT y f a y′=

    ��� �� 1( ,........, )mf f f= �� 1( ,........, )ny y y= ����������

    1

    ( ) ( ).m

    a k kk

    T y f a y e=

    = ∇∑ ���� ������� ( )aT y �������������

    ����������������� f �a �� y ��� !������

    �� �������� �� ���������� ��������� �� ( , , ) 3 5 2f x y z x y x= − + ��������� �� �� �������� �� �� ������ ����� �� �� ����

    2 2 2 9.x y z+ + = ���

    �� �������������������������������������� ���

    ��������������������

    �����

  • �� �� ������"������#����"�α ��β ���$���������������������������� f ��������������������������#����%��α ��

    β � ����� �� . .c c

    f d f dα β=∫ ∫ ��α �� β ������% �� �� ����

    �������� ���

    �� &�����������������������#�������������������������

    ���� f ��������������������������'(��)��*���������#���

    �������� 21

    ( ).2

    mv t �������������#���*���������#������

    �������������$���������*����� f ����#�����������������

    �� ���������������#���������������#�������+���������������������������������������������R .n ���

    ��� �� "� f ���������������������������������������������

    Rn ������������"������#����� f �������������������

    ��"� a �� � ����������� ������� � ������ ��������� ��

    �$����� ( ) .x

    a

    x f dφ α= ∫ �����α �� ������������ �������� ���

    ,�����#a � x �������#�������φ ����������$���� f � ���

    �� "� { }2( , ) R / ( , ) (0,0)S x y x y= ∈ ≠ ���� f ������������������

    ��������$����� 2 2 2 2( , ) .y xj

    f x y ix y x y

    −= ++ + ������

    1 2 2 1D f D f= ���������������� f �#��������-������� ���

    �� %����������������#���������������� ���

    2 2 2( , , ) ( ) 2f x y z y z i yzj x k= − + − ����#��������������

    2 3( ) 0 1.t ti t j t k tα = + + ≤ ≤

    �������������������������������������������������

  • ��� �� ����� ������� ������� ������ ���������� �����#��.����

    ��������#��� ( )I f ����������#��� ( ).I f /���������#�����- ���

    �� 0������s

    dxdydz∫∫∫ �����������������������������������

    ���#��������������#������������1�������� ���

    �� ���2����3�4�����������������#��������������������������� ���

    �� �� ��������������������������������������������������

    ������������ ( , ) ( , ) .r x y xi yj f x y k= + + /����������#��������������������- ���

    �� &������������������������������������$�����

    2( , ) sinr u v u cosvi u vj u k= + + ����� 0 4u≤ ≤ �� 0 2 .v π≤ ≤%����� ��������������������� �� ���������������

    ������������� ( )65 65 1 / 6.π − ����� ���������������������#����������������������#���� ���

    ��� �� �����*�3�4����������������������� ���

    �� 5�����#�����1��1��������������

    2222 2

    0 0

    ( ) .ax xa

    x y dy dx−⎡ ⎤

    +⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫ ���

    ��� �� ���2���������#����4����������������������� ���

    �� "� F ( , , ) ( , , ) ( , , ) ( , , )x y z P x y z i Q x y z j R x y z k= + + �� � ����� �����%�����������������#����������F �������#�����������

    ���������������������������� ���

    ���

    �������������������������������������������������

  • ������������������������ ��������������������������������

    ���������

    ���������������������

    �������������������� �!"#��$�!�%

    �����&'����(������)*���%������������������ �����������������������������������������

    �� ����� ����!�"�#��$������%� "�&������������&������������'�((������

    P2157

    ��� �� �����������������������������������

    ������������������������������������ ���

    �� ����������������� �����������������

    ���!� ( )2,If G GL R= ���0 1

    1 0A G

    ⎡ ⎤= ∈⎢ ⎥⎣ ⎦

    ��������"#$���!� ���

    �� %��������

    �������&������������������������'������������������'����(����� 5x e= �������������� ���

    ��� �� %�������������������������������������������������������������������'����

    ������������� ( ).dφ ���

    �� �������������������������������������������������������������������������� ���

    �� ��������������������'��������������)���

    ���!��������������������������

    ���� ���

    ��� �� �������������'���������������������������&����������'�������������������*�����'����� ���

    �� %�β ���+,-�'����������&���������������&���)���+,�� iβ �����+,-�'���.*����'� ���

    ��������������������

    ����

  • �� /�&���'���������������0����������$�.1����'� ���

    ��� �� �������������'

    ������������������

    ���������������� ���

    �� 2��&����3����

    ������������������������������������������������������������4 ���

    ��� �� %�!���/����������'����

    ���������G H⊕ ���'�����������������5!5���5/5������������'����� ���

    �� �����������

    ���������4����������������������������������&�

    ������ ������ ���

    �� 2��&�'�4������������������

    ��� G H ����������������/6�/��5�5≠ 5�5 ���

    �� �� %�φ ��������������������

    ���!���

    ���G ���/�����

    �����!������������� ( )Hφ ������� H � ���

    �� �����������������������������7��������� ���

    �� %�/���8�������������

    ������!������4)�������&����

    G

    H K� ��

    ����'���� ���

    ��� �� %� nG p= �&�����������������������������������������������7#!���������������������� ���

    �� /�&���'�������

    �������������������9�.��������� ���

    �� :������������(�������2�

    �����������������������������2

    ����

    �������������������������������������������������

  • ��� �� %�!���

    �����������(�&��������(���������&����;(�����������������(

  • ��� �� �������������������

    �������������������������������

    �������������

    ��� p ( , )a b∈ ���� �� ������������������ �������� ����� ( ) 0f p′ ≠ �� ������������������!������ 0δ > ��������������� 0 [ , ]p I p pδ δ∈ = − + �������"�����{ }np �#�����������$���%��&�����������#�������� ���

    �� ���������������������

    #���"����������&

    ���������������#������

    �������"����������#������'������� ���

    2 2

    0 02 2

    sin (sin )lim limand x xx x

    x x→ →

    �� (�����&�����������&��������������&

    ��������������������!&������

    ���� ���������� ���� ������ ���� ���� �"����� 3 22 3 1 0x x x+ − − = �� �)�

    0 11, 2p p= = � ���

    ��� �� ��������� 4 3 2( ) 27 162 180 62 7f x x x x x= + − + − �������*�������1

    3x = �

    (�����&���������������$���%��&�������������������������

    #���

    0 0p = ��+���������������������������������#�������������"�������

    �����!&����,�+����������&������������*�������1

    ?3

    x = ���

    �� �����"�����������������������

    ������&��!�����

    ���������������

    �������������10

    ( )2

    g xx

    =+

    ������������"����!�����

    ��������

    -�)�%�� 2� �&���������������"�����

    �����

    ������������������������ ��������������������������������

    [4721]-1004M.A/M.Sc. (Semester - I)

    MT - 504 : NUMERICAL ANALYSIS(2013 Pattern) (Credit System)

    ������������ �����������������������������������������

    �� ����� ����!�"�#��$������%� &�'������������'������������"�((�������� )��"��� �'�����*(��������"�����(��(�������((+���

    P2158 ��������������������

  • �����

    ����

    ' .�./0�01211

    . '�3/043�/5.

    / '�05'314521

    4 '�045�2530�

    3 '�03304/�5'

    0 '�03/2//1/2

    1 '�034/.�330 ����

    �� 6��� x a= � �� �� �!��� ��

    �� ��� ���� ������3

    2

    3( )

    3

    x xag x

    x a

    +=+

    7����&

    ��������������������#��������������&���������������������

    ������"����� 1( )n np g p −= �������� x a= � ���

    �� �� 8��������������

    #������&�����

    �����"��������

    #�6��������&

    �����������������

    # ���

    1 2 3

    1 2 3

    1 2 3

    3 7 2

    2 4 3 1

    3 7 2 3

    x x x

    x x x

    x x x

    − + =+ − = −

    − + + =

    �� 9!���

    �����:;���#����&������

    #��#�������������&&��������#���&���!� ���

    ��

  • �����

    �� �����������������&���!�3 1 1

    A = 2 6 3

    9 7 20

    −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥− −⎣ ⎦

    ���������#����������

    �������4

    b = 13

    7

    ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦

    ������������������������������������������

    ��������"������ ���������

    #��������

    ����������� (0) 0X = ��������&������������������>�����&������ ���

    �� ?������������������1 0 1 2

    L , U3 1 0 2

    ⎡ ⎤ ⎡ ⎤= =⎢ ⎥ ⎢ ⎥−⎣ ⎦ ⎣ ⎦

    ����&�����=�����&�����

    ���-��������������������&������������������������&� [ ]TAX = 4 6 ����

    ��� �� =�

    #�������������������

    #����

    #��������������

    ��&����������=����(�����������=���(-� ���

    +�����

    1 2 3 4

    1 1 2 3A =

    1 1 1 2

    1 1 1 5

    ⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎢ ⎥− −⎣ ⎦

    �� -����!&���������&��������#������������������������#���������������&���! ���

    5 2 2

    A = 4 3 4

    3 6 7

    −⎡ ⎤⎢ ⎥−⎢ ⎥⎢ ⎥−⎣ ⎦

    =����������#����������������3�@�'������ �������������

    #������&�����

    �����"��������������������������������

    ������������������������������&������&���������>�������

    12

    31 2

    1 0

    0

    xx e

    x x

    −+ − =

    − = ���

    [4721]-1004

  • ����

    �� �� 7������������������������������!&��������������������������

    0 0 00 2

    ( ) 2 ( ) ( 2 )"( )

    f x f x h f x hf x

    h

    − + + +≈

    +�������������������&���������������������&���,�$�&�������������

    ������������������!&�������

    #� 0( ) and 0xf x e x= = � ���

    �� -����!&���������������������

    ��#����1

    20

    1

    1dx

    x+∫ ���

    #����������*����������?������������������������������������������ ���

    �� 7����&

    �� ���� ������� ���� ���� ����������-���-

    �� ���-

    �� ��� ����� ���

    "�������������&���

    1

    0 21

    1 1I ( ) ( ) , (1)

    3 3f f x dx A f A f A f

    −⎛ ⎞ ⎛ ⎞= = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫������#����������������������.� ���

    ��� �� ?����������������&������&���

    ������������������������#����A��������

    �����!&��

    #��������������1 3

    0

    1 x dx+∫ � ����� -�����9����%��&��������������!&������������������

    ����������������&�

    1 , 1 3, (1) 1dx x

    t xdt t

    = + ≤ ≤ =

    ��

    #�4���������

    ���������������

    #�������

    ����������� ���

    ��� �� �

    ����������������

    ����������������&

    , 0 5, (0) 1dx t

    t xdt x

    = ≤ ≤ =

    ��

    #��������������;�#��B�����&�����������������*������'� ����� 7��

    ��C ���

    � ;������������#����

    � D�����������&���!�

    � �����#��������������

    �� ��#�����&���!��� A����#����&���!�

    ����

    [4721]-1004

  • ������������������������ ��������������������������������

    ���������

    ���������������������

    ���������������������� !"#�$�%!&&���"�!#'��()#�!*"�

    ���+�,#����"������ !���$����������������� �����������������������������������������

    �� ����� ����!�"�#��$������%� "�&������������&������������'�((������

    P2159

    ��� �� ��� 1( )y x ����� 2 ( )y x ������������������������������

    ( ) ( ) 0y p x y Q x y′′ ′+ + = � ��� ������� ���� ���� ����� �����������

    1 2( , )w w y y= �������������������������������������� ���

    �� ���������� 21y x= �������������������

    2 4 0,x y xy y′′ ′+ − = ����������������

    ��������������

    �� ���

    �� ���������� � 1ly = ���� 2 logy x= �������������������������������

    ������������������ 2( ) 0y y′′ ′+ = ���������������������� �������� ������

    ��� �� !����������"������������"���������������������������������������������������������������������������������������� ���

    �� ������������������������������������������ 6 xy y y e−′′ ′= − =��������������������������� ���

    �� #�������������������������� 2( ) 4 ( ) 0x t tx t t′′ ′+ + Χ = �������������������"��������������������� ���

    ��� �� $�������������$��"������������"� ���

    �� $�����������������������������������%�&�����%���������%�&�����%����������������������������������'��≠ (� ����

    �� )�������������� �����������������%*�%�����

    3( 1) 2( 1) 3 0.x x y x y xy′′ ′− − − + = ���

    ��������������������

    ����

  • ��� �� +�� ���"��������,������� ���� ��� ����� ������������� �������

    2 0xy y y′′ ′+ − = ������ ������� ����������(� ���

    �� -�� ( )u x ����������*������������������� ( ) 0u q x u′′ + = ��� ( ) 0q x >

    ������� 0 .x > ����1

    ( ) ,q x dx∞

    = ∞∫ �������������� ( )u x ���������������"������������������%*�%��� ���

    �� ,����������������������������������������� 2 .y xy′ = ���

    ��� �� $�����������" ���

    dxx y

    dt= +

    4 2 .dy

    x ydt

    = −

    �� !�"��������������������x = ∞ �������������� ���

    2 2( 4) 0.x y xy x y′′ ′+ + − =

    �� ,������������������������������������������������������������ ���

    22 (2 1) 0.x y x x y y′′ ′+ + − =

    �� �� ,������������ �����"�dx

    xdt

    = ���

    �������������������������������������� 2 .dy

    x ydt

    = − +

    �� ,����������������������

    ��� ,���������������������������������

    ���� $�������������������������������

    �� .�������������������� 2 2( , )E x y ax bxy cy= + + ������������������������

    ������������ 0a > ����� 2 4 0.b ac− < ���

    �������������������������������������������������

  • �� ,������� ����������������������" ���

    .

    dxy

    dtdy

    xdt

    =

    =

    ��� �� ���"������"

    �����������������%������������������������" ���

    1 1

    2 2 .

    dxa x b y

    dtdy

    a x b ydt

    = +

    = +

    ����������������������������"��� ��������������������������������/(�(�����������

    �� ,������� ���������������� 0x = ���������� �"����������� ���

    [ ](1 ) ( 1) 0.x x y c a b x y aby′′ ′− + − + + − = �������������������������

    ��� �� $�������������������� 2( , )f x y xy= ����������-����������������������������� �� a x b≤ ≤ ����� c y d≤ ≤ � 0����� ���������������������-������������������������������a x b≤ ≤ ����� .y−∞ < < ∞ ���

    �� $�������������� ������������������" ���

    , (0) 1

    , (0) 0.

    dyz y

    dxdz

    y zdx

    = =

    = − =

    ���

    ������������������������������������������������

  • ������������������������

    ��������������������

    �����������������������������

    �����������������������������

    �������� �!�"������������ ���������������

    ���������������������������� ������������������������ ������� �� ��� ����� ������� ��������

    �����

    ��� �� ���������������������������������������������������

    ���� ���

    �� �������������������������������� �����!�∈�������"�!��#����������������$��$����������%�����������&'����(� ���

    �� )$� �$���*�!�+ �� �� �������

    ��� ��������$ ������� � �� �����

    ��

    ���������(!���!�∈�*�!�+ ∫=><b

    a

    dxxgxfgf )()(, � ���

    ��� �� )����������,���$()�$��-.����/�����(� ����� )$��$���*�! +�������������������� ����� )����0�-���10�����$����� ���

    ��� �� %�������������!�$��$��������������������������������!�$��$����������������2������3�(2��������(3&4�����(� ���

    �� 5$���������������������������������&%�6������&'����(������ ,���������$7��������������8��� ����� ����� "1 �! ��

    �$��$���.�$����������������� ���

    ����

    ���������

  • �����

    ��� �� 5��$�����������������$������������� ���

    �� 9����������⎭⎬⎫

    ⎩⎨⎧ ∈= N/1A n

    n��6,� ���

    �� %�,��������������&7������� ���

    ��� �� ���������������������������$��$��!���������������������/��������� ����� :�;� "��

  • ������������������������

    ��������������������

    �����������������������������

    �����������������������������

    ������ �!!�"�#������������ ���������������

    ���������������������������� ������������������������ �������������������������� ������� �� ��� ����� ������� ����� ��

    �����

    ��� �� ������������������������������������������������������

    �� ������������������������������������������������������������ ���

    � ����������������������������������������������������������������� ���

    ��� �� ����������������������������������������������������������������� ���

    �� ������������������������������������������������� ���

    ��� �� �������������������������������������������� �!����"����#$�������%�������������������#��&�'����������� '!�(�� ���

    �� �������������������������������������� ���

    � ��������������)���������������������������������������%�������

    ��� �� �������������������������������������������������%���� ���

    �� *������������������������������������ �!����"�$�����&����������%��������������������+�� ��

    � �������� ∫∫ +Q

    dxdyyxxy )( �������,�"�-.!�/0�1�-.!�/0� ����

    ��

    ���������

  • ������� �

    ��� �� ��������%������������������������������������������������������������������2���� ���

    �� ����������������������������������������������� 125169

    222

    =++ zyx ����

    � 3��������������%�������������������������������������� ���

    ∫ ∫ ⎥⎦

    ⎤⎢⎣

    ⎡+

    a x

    dxdyyx0 0

    22 .

    �� �� ���� ���� ������4����5�3������� ���� ������ ��%���� �������� ���������������6����������� ���

    �� 7�������������������������������������������������������������� ������ ���

    ��� �� �����������������)��������� ���

    �� �������������%��������������������� ���

    ��� �� ��������������*����%���� ������������������������������������

    ����� ������ ���

    �� �����������������

    ����������������������������������%����������

    ���

  • ������������������������

    ��������������������

    ����������������������������

    ��������

    ��������������������

    ���� �!�""���#������������ ���������������

    ���������������������������� ������������������������ ��������������������������� ������� �� ��� ����� ������� ��������

    �����

    ��� �� ������������������������������������������������������������������������������������������� ���

    �� ������������������������������������������������������������������������ ���

    � �����������������������

    � ���������� ����������������

    �� ��������!���������������������"���!�#$� ���

    ��� �� %�������������������������������������&���'�������������%�� �'→���������������������������������������(��)∈*+�"���������),'#�� ���

    �� *�����-�.������������������������/����/

    ���+�01�

    ����������������������������� .2)WWdim( 21 ≥� ���

    �� *��������������������������#/⊕2�*���������������������������� ����+/02�#/32���/∈/"2∈2�������

    � ��#%

    � ���������4����

    �����

    ���������

  • ������ �

    �� �� %�/������������������������������������������������&���

    �������"���#��/0��/�"

    �����/��������������/� ���

    �� 5�����'#67-118�"79:18�"7--18�;���������������������������������'� ���

    �� ������.4������������/�"/

    ����/

    �������������#/

    �0/

    �0/

    �"

    jiji ≠= for}0{WW � �� 3213 WWWR ⊕⊕≠ � ���

    ��� �� *�)���������������������������������������������������?�����������"����������������������������������������

    �����������2�+231��+201��

    ���

    ��� �� *�)�� � ���������������.��������� ����� ����������&�������������������

    ������������)��������&���������)������������ ���

    �� *�)�����������������������������������������������

    ���)��������4����"����#&��)⊕ �)� ���

    �� ����������������������

    ��������������������������������

    1 1 0 0 1 0 1 0

    0 1 1 0 0 1 0 1

    0 0 1 1 0 0 1 0

    0 0 0 1 0 0 0 1,

    ⎡ ⎤ ⎡ ⎤⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎣ ⎦ ⎣ ⎦

    ���

  • ������ �

    �� �� *�)�������������������������������������������������������&���������)�������"��������@�������������

    ��

  • ������������������������

    ��������������������

    �����������������������������

    ��������������������������

    ������ !""��#$������������ ���������������

    ���������������������������� ������������������������ ������� �� ��� ����� ������� ��������

    �����

    ��� �� ������������������������� 12 −≡x ��������������������������������������������� 1p ≡ ������� ���

    �� ���������������������������������� ���

    !� "�����������������!����� 52 ≡x ��������������������� ���

    ��� �� ������������#��$�������

    �� ���

    �� %��#������ ( )/2/

    d nn

    d n

    d =∏ � ���

    !� %��#������ 13 − ����� 13 + ���������!��������� ( )3Q � ������ �� &��������������������!����������'�������#�����

    .)1( 21

    21

    ⎭⎬⎫

    ⎩⎨⎧

    ⎟⎠⎞⎜

    ⎝⎛ −×⎟

    ⎠⎞⎜

    ⎝⎛ −

    −=⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛qp

    p

    q

    q

    p���

    �� "������������������������!�������!�� 420 ≡x �����(�� ���

    !� ���#������������!�������!��).7(mod5),3(mod0),4(mod1 ≡≡≡ xxx ���

    ����

    ���������

  • ������ �

    ��� �� ��������������������%��#������������������)����������!����

    1

    | ! isen

    p n ep

    =

    ⎡ ⎤= ⎢ ⎥

    ⎣ ⎦∑ � ���

    �� %��#������*�+�������������,-�.� ���!� "���������������������������!�����*(��/�0����*0� �����

    ��� �� &�����������������������������'���#����� ����� 1][][][][][ ++≤+≤+ yxyxyx ����

    ���⎩⎨⎧−

    =−+otherwise,1

    integeranisif,0][][

    xxx

    �� 1#�������∑∞

    =1)!(

    j

    jμ � ���

    !� "������������������������� 321 ++ ��#���2��&����������������������!�������� �3������� ���

    �� �� %��#�������������!��������������#��������������������#�� ����� &�����������������!������'�������#����������������������������������

    ��!��������������������!��������� ���

    !� %��#��������������������2� ��'������������������ ( ).Q σ ������ �� %��#�������#����1�!�������4�������!����������������4�����!����5�����

    ������� ����� %��#�����������!���!������������������������6������#��������������������

    ��������!�������������������������!���#������� ���!� &���'�0����*'�������#��������/*������#����������0� ���

    ��� �� ���� ��������������!���#�����!������������� ∑=nd

    dfn|

    ).()(F �7�����#�

    ����"�� ����������!���#�� ����� 1)�����%���������������!�����������#������������������� ���

    !� &�����������������'�������#������∑−

    ==⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛1

    1

    ,0p

    j p

    j������ ⎟⎟⎠

    ⎞⎜⎜⎝

    ⎛p

    j������������

    ������ ����

    ���

  • ������������������������

    ��������������������

    ����������������������������

    ��������

    ������������������������� ��!"���#�$

    %���&� '������(������������ ���������������

    ���������������������������� ������������������������ ������� �� ��� ����� ������� ��������

    �����

    ��� �� �������������

    ��������������������������������������������������������

    ��������������������� ���������!���"��������!���!������

    ����������

    ����#�����$������� ��$������������� ���

    %� &���'�� ��� ��������� ���%��� ���%��������������� �� ������������������(������)������� ���

    #� *���������������������������������������+��,����)�����������)���������

    ������������������������'�������������� ���

    ��� �� -��#�������.������� ����������.��������������������������#���������������������������#������#�����#����� ���

    %� /��� ���'������ ��������������� +���� +� ,�� ��0��� %������'�.����������.����#�����#����� ���

    ��� �� 1�������� ����.��������������.� ���

    %� *����������'�������'�������'������������#��#����������������/�%����������������������������������0�������,����������� ���

    ����

    ���������

  • ������

    ��� �� 2�������%���������3� ���������������������������������������4�����

    ������4������� ∫∞

    ∞=1

    ,)( dxxq ������ ������������������������.����$���

    ����������� ��53�6��� ���

    %� /��������.�����.������������ .04

    121112 =⎟⎠⎞⎜

    ⎝⎛ −++ yxxyyx ���

    #� /��������

    �#������������������������� �������%��.�������0�����7����������������)�������������� �����

    ��� �� /��� ��� ���#���� �������� ��� ��� ���� ��� ��� ���������� �������,���������,����)����+������ ���

    %� -��.����������������������� ∞=x �������������������������������+�0������� ���

    #� /������'���������������������������������������.���������������������

    �� �� /������'������������������������.� ���

    .24 yxdt

    dy

    yxdt

    dx

    −=

    +=

    %� /������'����������������������������������'��.��#�����������)�+�����������+����������)������+����������������%����#����#������� ���

    ��� �� �� �����������#����8������������������������������������ ������������������������4���������+�0��9��� ���

    %� /���#��#������������ .0)2( 232

    2

    =−+−+ xxxdt

    dx

    dt

    xd���

    #� 1�� �������������'�������� �������%��.� ���

    , (0) 1

    , (0) 0.

    dyz y

    dxdz

    y zdx

    = =

    = − =

  • ������ �

    ��� �� ����������

    ���������������������������������.

    ybxadt

    dy

    ybxadt

    dx

    22

    11

    +=

    +=

    ���#��������������#���������.����'��������� ��������#��#���������������������� ���

    %� /�������6�#������������������� �������%��.� ;1)0(,2 == yydx

    dy���

    ��'

    ������������)��:�������#�;��.������#��#������

    �������

    �������

    �������

    #�.��������������6�#��������� ���

    ���

  • ������������������������

    ��������������������

    ������� � �

    ����������� ���������� � ���

    ����������

    �����������������������������������������������������

    ������������ ���������������

    ��������������������������

    �� ������������������������ ������� �� ��� ����� �������� ������� ��

    �����

    ��� �� ��� �� ��� ��

    ���� ��� ���� ���� ��� ���� 0( ) 0

    fz

    z

    ��

    �� ���

    0 0 0( ) ( ) 2 ( )f u

    f z z zz x

    � �� � �� �

    ������������������������������������������

    ���� �� ��� �������������� ��� ��� ������ �� ���� ��������� ���� ���2

    F 0 0 0J ( , ) ( )x y f z�� � ���

    �� ������������������������������������ ������������

    sup( ) ( )f z dz f zz �� �� ��������� � � ���

    �� ������� ������ ��������������������

    �����������������

    ���������

    !��������nz dz� ��

    ��������������� ���

    ��� �� ��� ���� ��� ���� ������0

    ( ) nnn

    f z a z�

    ��� � �������� �� ��

    ���

    �������������������������������� ����� ������������������������������������������� ������ ��������������

    ������������������������������

    �������������

    2 1( ) F( ) F( )f z dz w w� �� � ���

    �����

    ���������

  • �� "�������������������#���������������� 1z w� ��$������

    11

    w z

    wz

    ��

    ������ 1z � ����� 1w� � ���

    �� �� �����������

    ���������������������������������������������������� ���

    �� ����������

    ������������������ �������������� ���������������

    ��� ������#��������������� � ����� $���

    ������������������������������!�� �����������������

    ���������������������������#�������� ��� ��������������������������

    ��� �� ����������������

    ���������������������� ������������������%������������������������������������������� ��&������������������������ �'� ���

    �� ��� � � 1n nf�

    � � ��� �� ��%������ �� ��

    ���� ��������� ���� �������

    ����

    �� ��������������������� ����������������� ������������

    �����%�������������������� � 1n nf ��� �������������

    �� ��� f � ���� ����

    �� "��� ��������������������(���������&( �����������������������

    ��� ���� ��������� ��� �� ������� ���� �� ��� ��

    ���� ��� � �#���������� �����������)��������&��$��������������������������)�����

    T

    ( ) 0f z dz�� � ���

    ��� �� ��������������

    ������������������������ � �0 0D ( )r z z� �������

    ���������������������� ��������&���������������������� � �0 0D ( )r z z����������������������������#������� ���

    �� ����������� �� �����

    ���� �������������� ��#����������� �����

    ����� ��� ��� �� ��� � �� ��� ��������� � �0z� �� ���� ���� ���� ������ �

    ����������������� � ����� ������������������������������������������ ��������������� ����

    �������� ���

    �������� ���

  • �������� ���

    �� �� ��������������*���+����

    ��� ���

    �� ������������������

    �������������������������� �������,����

    ������� 0z � ����������������������������� ���� ��&���������

    �����#��������������

    ��U �����������-�����������

    ���

    �����������.�����������%���������������������������

    0( ) ( ) ( )nf z z z g z� � ��

    ����� Uz � ���

    �� $�������������������������������������������������Ksup ( ) AR B= R f zz � �

    �����*�/�'�������

    ������������ 0k� ���������������������0�/�'��������������� �������������� k� � ���

    ��� �� $��������������

    ��������������������#������������#���������������������������� ���

    �� ������� 2 2cos ax e

    dxax a

    �� �

    ��

    ��� ���

    ��/�'� ���

    ��� �� ��������������������

    ���������������� � ����� � ����������� �����

    �#�������������� ��������� ( ) ( )f x f x� �� � �

    ����� Ix �� �������

    ��������������������������� ��

    ( ) if

    ( ) ( ) ( )if I

    ( ) if

    f z z

    f z f z f z z

    f z z

    � �

    � �

    � �

    �� ����� � ����� ���

    ��� ��

    ������ ��1��� �� ������� ��� �����

    ��� ���� ���� �� ��

    ����� ��� � ����� � ��������������������#��� ���

    �� �������2����������������������(�� ���2�� ���������������� 0 Kz � �

    ����������������������0

    1

    z z� �����������#�����������

    �� ���2

    � ��� ������� ���

    ���

  • ������������������������ ��������������������������������

    ���������

    �������������������������

    �������������������� ��!"��#$#"#%&���'�(!���� ������)*���&�����

    ������������ �����������������������������������������

    �� ����� ����!�"�#��$������%� "�&������������&������������'�((������

    P2161

    ��� �� ������������������R and Rl k ����������������������������������������������������������������������������� ���

    �� ��{ }αΤ ����������������������������������� andΤ Τ� � ������������������������ ���

    �� ����������������������!����� { }, , , ,a b c d e= �"����������������!����������������������������������� ���

    ��� �� #�������$��� ��� ���������� ����������%⊂���&⊂$��'��(� ��������� ����������%�)�&� ��� �� ������� �� �������� ���������%�)�&�����������������$� ���

    �� ������������1

    K Nnn

    ⎧ ⎫= ∈⎨ ⎬⎩ ⎭

    �����������������������������

    ������������������������ ���

    �� *��������������������(����������( ���

    �� o o o(A B) A B=� �

    ��� o o o(A B) A B=� �

    ��������������������

    �����

  • �� �� ����������(������������ ���

    �� +��������������������%��������������������,��!� ���

    ��� { } { }X , , ,T , ,{ },{ , }a b c X a b cφ= =

    { }A ,b= ���������&��,%�

    �� #� { }A , , , p : R As r t= → ���������� ���

    p( ) 0

    0

    0

    x s if x

    r if x

    t if x

    = >= <= =

    ���������-�������������������������%�

    ��� �� '��(�������������������������������������������� ���

    �� ����������������������������������%���������������������������� ���

    �� ( ){ }3A , , R / 0x y z xyz= ∈ =

    ��� ( ){ }3B , , R / 1x y z xyz= ∈ =

    ���� ( ){ }3C , , R / | | | | | |x y z x y z Q= ∈ + + ∈�� #�%����������������������������,��!������%�����������������

    A ���������������������� ���

    ��� �� ����������(����������� ���

    �� ������������������������������������������������ ���

    �� .�(����/������������������������������������������������� ���

    ��������������������������������������������������

  • �� �� +����������������������������������0�����������������

    ��������

    �� ���������

    ������������������������������������� ���

    �� *����������������������������������� ���

    �� %��������������������������������

    ��� '���������������������������������

    ���� #������������������������

    �(� %��

    ����������������������������

    ��� �� '��(��������������������������#����1���������(�����������������

    �� +����!������!

    ���������0�����������������

    ����� ���

    �� '��(���������������

    ���������������

    ����� ���

    ��� �� ����������(�!�������������� ��

    �� ���2������3������� ���

    ���

    ��������������������������������������������������

  • ������������������������ ��������������������������������

    ���������

    ����������������������

    �������������������� !"#��$�%�&

    �����'(����"������)!���&����������������� �����������������������������������������

    �� ����� ����!�"�#��$������%� &�'������������'������������"�((������

    P2162

    ��� �� ����� �� �� �������������� ���� ����� ���� ��� ������������ ����� ��������������� ���������� ������� ���������� ����� ���� ����������� ����� �������������������������� ���

    �� ���������������������������������������� �������� ��������������������������� ��������� �� �� ����� ����!�"������� �� ���� #$� ������%���� #&�������%'�(�����! ���

    �� ���)�������������������������������������� 2kZ ,k ���������������� �����!���

    ��� �� *����������+��� ����� �����������!�,������������������������� ������� ����������������� ��� ��� ���������������+��� ����� ���������������

    ������ �������� ������������������� ��� ��� ��������( . ., 0 , )i e ab a b Q= ∀ ∈��������+��� ����� ! ���

    �� ������������������������������������

    ���������������������������������

    ������������������� ���

    �� -������������

    .������+��� ����� �������������� ! ���

    ��� �� -���������������������������� ����������������� �����R (0),≠ ����������������� ��� �������� ��������������������������� �����! ���

    ��������������������

    ����

  • �� -������������

    /������� �����������+��� ����� ����0�1�2 ���

    �� -������������

    /������� �����������+��� ����� ����&�1�2 ���

    ��� �� ��� :f R S→ � ���� :g S R→ � ����������������� ���� ��������������3���⊆ �3��������������������������������������!�4 ��������������������⊆ �������������������������������������� ���

    �� ����� ���� ,� ��� ����� ������������ ���� ���� ��� :f R S→ � �� �� ������������������������������������������������������� ����,�������������� �����!�"��������� ����#��������� %����#��+��� ����� %'(����� ���

    �� ,��������������������������������������������������������! ���

    ��� �� -�������������������-�*���������� �������������������������������������� �����������

    ������ ��� ���������� ���

    �� ,���������������&1�2������1���2�����-�*������������������� ��! ���

    �� -������������

    0������������� ��� ������� ��� ���

    �� �� *���������5���������6������������!�������������������7�&� 3i⎡ ⎤⎣ ⎦ ����

    ������6�����������������������-�*! ���

    �� ,����������������R=Z 2⎡ ⎤⎣ ⎦ ����������������� ���

    �� ,�������������������&�1�2������� ������8���9������9�:�8������������������������ ���

    ��� �� ;���������������������� ���������������������������������1�2���-�*��������� �������1�2���.!*! ���

    �� ;������������������� �������� �����������������&��

    ���

    �� ;������������������������&���1�2 ���

    ��������������������������������������������������

  • ��� �� �������:����� ��

  • ������������������������ ��������������������������������

    ���������

    �������������������������

    ������������������� !�"��#$�%�"

    ���&�'"����!������( ���)����������������� �����������������������������������������

    �� �� �����!�"�#��$������%� "�&������������&������������'�((�������� )��'���*+�&�����,(�-�������'�����(��(�������(( ���

    P2163

    ��� �� ���������������������������������������������������������

    ������

    ����������������������������������������������������� ���

    { }{ }

    1

    2

    V / ( ) ( )

    V / ( ) ( )

    f V f x f x

    f V f x f x

    = ∈ − =

    = ∈ − = −

    �����

    ����������������������������������������������

    � ��������������������������������������������������� ���

    1 2 3 4V (1,1,2,0); V (2,1,0,2); V (1,2,3,4); V (0,4,5,2).= = = =

    �� ������������������������������������� ���

    ��� �� ���� �������������������������������� :f ν→� ������������������������

    �����! ���

    �� "��� ( )f ���������������� �

    ��� #�����������������