1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94

Temas de Olimpiadas

Matemáticas

Teoría de Números

Arturo Portnoy

Teoría de Números

Arturo Portnoy*

Mayo de 2017

*Departamento de Ciencias Matemáticas, Universidad de Puerto Ricoen Mayagüez, e-mail: arturo.portnoy1@upr.edu

Índice general

1. Introducción 4

2. Preliminares 8

3. Máximo Común Divisor y el Algoritmo de Euclides 11

4. Ecuaciones Diofantinas Lineales 14

5. Teorema Fundamental de la Aritmética 16

6. Congruencias 19

7. Sistemas de Congruencias y el Teorema Chino de losResiduos 26

8. Teoremas de Wilson, Fermat y Euler 29

9. Bibliografía 34

2

Prólogo

Este cuaderno está escrito para estudiantes pre-universitariosinteresados en competencias y olimpiadas matemáticas. Te reco-miendo que dediques un tiempo a pensar en los problemas antesde leer las soluciones provistas. Sacarás mucho mas provecho dela lectura si sigues este consejo. En matemáticas frecuentementeocurre que la solución ya formulada es fácil de comprender, peroformularla es difícil. Para realmente apreciar la solución, hay quepasar esfuerzo tratando de generarla uno mismo.Asumiré que entiendes qué es una demostración y que conoces,

por lo menos informalmente, técnicas de demostración como lainducción matemática y demostraciones por contradicción. Tam-bién asumiré que conoces las ideas básicas de divisibilidad que seaprenden en la escuela elemental e intermedia.Este cuaderno no pretende ser completamente autocontenido

ni tampoco ser una referencia completa. Se nutre directamente delas referencias listadas en la bibliografía, y su originalidad consisteúnicamente en reflejar los temas que usualmente discuto con es-tudiantes de las Olimpiadas Matemáticas de Puerto Rico cuandodicto talleres de teoría de números. Los problemas que se presentanno son originales, y han sido obtenidos de las referencias listadaso de otras cuyos detalles no recuerdo. Mi objetivo es dar un pa-seo breve, conciso y en español, por las ideas fundamentales de ladisciplina que se usan para resolver problemas de competencias yolimpiadas matemáticas. Si buscas una referencia más completate recomiendo los libros listados en la bibliografía, en los cualesme apoyé para producir este cuaderno.

3

1 Introducción

La teoría de números es la rama de las matemáticas que sededica a estudiar a los números enteros en todas sus facetas: comoresolver ecuaciones en los enteros, estudia subconjuntos curiosos delos enteros, problemas de divisibilidad, etc. Es un tópico favoritoen las olimpiadas matemáticas porque se puede empezar a trabajaren problemas interesantes y retadores sin grandes conocimientos,lo cual es perfecto para jóvenes pre-universitarios.Como la paridad es una de las propiedades mas simples y fun-

damentales de los enteros, vamos a comenzar planteando algunosproblemas que se resuelvan usando simplemente el hecho de quealgunos enteros son pares (divisibles entre dos), y otros no lo son.

ProblemaSe han escrito los números del 1 al 50 en una pizarra. Coloque

antes de cada uno el signo (+) o el signo (-) de tal forma que lasuma total sea 0.Este problema no debe atacarse considerando todos las posibles

formas en que se pueden colocar los signos, porque son demasiadas(250). Podríamos tratar de ser mas astutos y probar estrategiasde cancelación, por ejemplo, 3-1-2+5+6-4-7+.... Invito al lector aprobar algunas de ellas antes de continuar.¿Qué pasa si el problema no tiene solución? Hasta ahora, hemos

asumido que la tiene. Resulta que este problema no tiene solución:no hay ninguna elección de los signos que resulta en una cancela-ción total. Vamos a demostrar: entre los enteros del 1 al 50 hay25 pares y 25 impares. La suma o diferencia de pares es par y lasuma o diferencia de impares tambien lo es. Luego, la suma total,sin importar la elección de signos, tiene que ser impar, porque hay25 (impar) impares. Por lo tanto, no puede ser 0 (par). �

ProblemaCubra totalmente un tablero de dimensiones 11× 11 con fichas

2× 1 sin sobreponer fichas.

4

En este caso, nos encontramos en una situación similar a la an-terior en el sentido de que no podemos proceder exhaustivamente.Aunque invito al lector a intentar, dibujando el tablero y tachandoplazas en tablero, a tratar de cubrir el mismo.

Resulta que es imposible cubrir el tablero, y la demostración essimilar a la del problema anterior. Hay un total de 11× 11 = 121lugares en el tablero, sin embargo, si pudiésemos cubrirlo con fichas2×1, necesariamente tendría un número par de lugares. Así que elasumir que se puede cubrir nos lleva a una contradicción. Luego,no se puede cubrir. �

Problema

Un tablero 6 × 6 está cubierto con fichas 2 × 1. Demuestre queexiste al menos una línea horizontal o vertical que separa las fichasdel tablero (divide al tablero en dos partes) sin cortar ningunaficha.

En este caso el tablero tiene 36 plazas, por lo que si puedeser cubierto por las fichas. Podríamos probar con algunos casosparticulares para convencernos que este enunicado si es cierto.

5

1 Introducción

Una vez convencidos, procederemos a demostrar por contradic-ción. Asumiremos lo contrario de lo que queremos demostrar yarribaremos a una contradiccion. Esto nos indicará que lo queasumimos es falso, y por lo tanto, lo contrario es verdadero.Asumamos que no existe tal línea. Observemos también que si

una linea horizontal o vertical corta fichas, tiene que cortar unnúmero par de fichas, es decir, al menos 2. Esto es cierto porquede no ser así, las partes en las que queda dividido el tablero sinlas fichas cortadas, tienen un número impar de lugares, que sesupone este cubierto por las fichas: imposible. Por lo tanto, cadalínea vertical parte al menos 2 fichas. Pero hay 5 líneas verticalesy 5 horizontales, por lo que se necesitan al menos 20 fichas en eltablero. Sin embargo, solo hay 18. Esa es la contradicción buscada.Una observación importante: si consideramos un tablero 8 × 8

entonces el argumento anterior ya no sirve, porque en este caso32 fichas sí alcanzan para las 28 que cruzan las líneas horizontalesy verticales. ¿Será que la proposición es falsa para este tablero?¿Qué pasa para los tableros 2n× 2n en general? �

ProblemaMuestre que si a, b y c son enteros impares, entonces la ecuación

ax2 + bx+ c = 0 no tiene soluciones racionales.Usaremos la fórmula cuadrática para resolver esta ecuación:

x =−b±

√b2 − 4ac2a

Para que las soluciones sean racionales, el discriminante b2−4ac tiene que ser un cuadrado perfecto.

6

Como a, b y c son impares, el discriminante es impar.

Un cuadrado perfecto impar es de la forma (2n + 1)2 =4n2 + 4n+ 1 = 4n(n+ 1) + 1; es decir, es un múltiplo de 8mas 1.

Por otro lado, para que el discriminante sea un múltiplo de8 mas 1, 4ac tendría que ser un múltiplo de 8 y por lo tantoac tendría que ser par.

Esta es la contradicción buscada, ya que ac es impar. Por lo tanto,las soluciones no pueden ser racionales. �Como podemos ver, una idea tan simple como la paridad, la

divisibilidad entre 2, puede ser utilizada para resolver una variedadde problemas.

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2 Preliminares

Comencemos hablando sobre los números primos, que son elsubconjunto de los números naturales {1, 2, 3, 4, ...} con la si-guiente propiedad: decimos que un número natural es primo si esmayor que 1 y si sólo es divisible entre 1 y sí mismo. Los primerossiete números primos son: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17.Una forma de encontrar a los números primos es por eliminación,

usando la llamada criba de Eratóstenes: partiendo de los númerosnaturales mayores que 1, primero eliminamos a los múltiplos de 2(mayores que 2), luego a los de 3 (mayores que 3), luego a los de5 (mayores que 5), etc. Los que van quedando, son los primos.

2, 3, �4, 5, �6, 7, �8, �9,��10, 11,��12, 13,��14,��15,��16, 17,��18, ...

Ahora consideremos el siguiente problema: ¿Es primo el número12345678987654321?En general, es difícil saber si un número es primo. Este es un

hecho fundamental y con consecuencias importantes. Si no estáconvencido de esto, trate de determinar si 48652883 es primo ydespués imagínese que pasa con números más grandes aún.Presentaré a continuación una serie de problemas que usan e

ilustran una serie de destrezas y técnicas importantes que estare-mos utilizando más adelante.

ProblemaDemostrar que cualquier número entero se puede representar

como una combinación lineal de 3 y 5, es decir, de la forma 3x+5ycon x, y enteros.Vamos a proceder usando inducción matemática para demos-

trar para todos los naturales. Demostraremos que esto es ciertopara 1, asumiremos cierto para n y demostraremos para n + 1.Concluiremos que es cierto para todo n natural.

Primero, para n = 1: 1 = 3(2) + 5(−1).

Ahora, asumimos que es cierto para n, es decir que existenx, y enteros tales que n = 3x+ 5y.

8

Finalmente, demostramos cierto para n + 1: n + 1 = (3x +5y) + (3(2) + 5(−1)) = 3(x+ 2) + 5(y − 1).

Así, demostramos por inducción que es cierto para todo natu-ral. También es cierto para cada inverso aditivo de los naturales,multiplicando la combinación lineal para n = 3x + 5y por -1:−n = 3(−x) + 5(−y).Falta nada mas el 0. Pero tenemos que 0 = 3(−5) + 5(3). �Vamos a cambiar el problema anterior ligeramente:

Problema¿Será cierto que cualquier número entero se puede representar

como una combinación lineal de 3 y 6, es decir, de la forma 3x+6ycon x, y enteros?A primera vista pareciera que es un problema idéntico al pri-

mero, pero no es así. De hecho, como 3 y 6 son divisibles entre 3,tenemos que 3x+6y = 3(x+2y), por lo que cualquier combinaciónlineal de 3 y 6 tiene que ser un múltiplo de 3. Esta proposiciónes falsa, ya que cualquier número que no sea un múltiplo de 3 nopuede ser representado de esta forma. �Un problema más, como una segunda variación:

ProblemaEncontrar todas las soluciones enteras de 3x+ 5y = 7.Para resolver este problema vamos a apelar a una idea muy

poderosa: el principio de superposición. Esta idea aplica cuandotrabajamos con ecuaciones lineales como esta. El principio apli-cado a este caso particular dice que si (x1, y1) y (x2, y2) son dossoluciones de la ecuación 3x+ 5y = 7, entonces (x2 − x1, y2 − y1)es solución de 3x+5y = 0. El lector debe cerciorarse que entiendeporque esto es cierto.Dicho de otra forma: cualquier solución de 3x + 5y = 7 la po-

demos representar como (x0 + x1, y0 + y1), siendo (x0, y0) algunasolución de 3x+ 5y = 0. De manera que para encontrar todas lassoluciones de 3x+5y = 7 basta con encontrar una, y todas las de3x+ 5y = 0. Hagámoslo:

7 = 3(4) + 5(−1). Con esto tenemos que (4,−1) es unasolución de 3x+ 5y = 7.

3x+ 5y = 0 implica que x = −5y3 , y para que x sea entero,y = 3n. En consecuencia x = −5n. Luego las soluciones de3x+ 5y = 0 tienen la forma (−5n, 3n).

9

2 Preliminares

Finalmente, por superposición, las soluciones de 3x+5y = 7son (4− 5n,−1 + 3n).

El lector debe verificar que estas son soluciones sustituyendo en laecuación. �Estos problemas no llevan de forma muy natural a plantearnos

las siguientes preguntas:¿Qué condiciones sobre a, b y c enteros garantizan que la ecua-

ción ax+ by = c tenga soluciones enteras? ¿Cuáles son todas sussoluciones de existir estas? ¿Cómo hacemos para encontrar unasolución particular de la ecuación ax+ by = c sin adivinar?Las ecuaciones con coeficientes enteros para las que buscamos

soluciones enteras se conocen como ecuaciones diofantinas.

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3 Máximo Común Divisor y elAlgoritmo de Euclides

El máximo comun divisor (mcd) de dos números enteros positi-vos a y b lo denotaremos como (a, b). Ahora la pregunta es, ¿cómoencontrar el (a, b)?Recordemos primero el algoritmo de la división: tomando a ≥

b > 0, a = bq + r, donde r, el residuo, satisface 0 6 r < b. Ahora,observemos que si d|a y d|b entonces d|r. De igual forma, si d|r yd|b entonces d|a. Esto implica que el conjunto de divisores comunesde a y b es igual al conjunto de divisores comunes de b y r. Enparticular, (a, b) = (b, r).Esto da pie al llamado algoritmo de Euclides para encontrar el

mcd de dos números, ya que encontrar el (b, r) es más fácil queencontrar el (a, b), porque a ≥ b > r. Ahora podemos efectuarel algoritmo de la división para b y r: b = rq1 + r1, 0 ≤ r1 < ry sabremos que (b, r) = (r, r1). Esto lo podemos repetir un nú-mero finito de veces, ya que los residuos van disminuyendo, hastaencontrar el (a, b) = (b, r) = (r, r1) = (r1, r2) = ....

Problema

Encontrar (2387, 3432).Apliquemos el algoritmo de Euclides:3432 = 2387(1) + 1045

2387 = 1045(2) + 297

1045 = 297(3) + 154

297 = 154(1) + 143

154 = 143(1) + 11

143 = 11(13)

Aquí está claro que 11 = (11, 143) = (143, 154) = ... = (1045, 2387) =(2387, 3432). �Además, de este ejemplo podemos observar que el algoritmo de

Euclides nos permite escribir al mcd de dos números como unacombinación lineal de esos dos números.

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3 Máximo Común Divisor y el Algoritmo de Euclides

Problema

Escribir 11 = (2387, 3432) como combinación lineal de 2387 y3432.Del problema anterior podemos ver que:11 = 154 + 143(−1)11 = 297(−1) + 154(2)11 = 1045(2) + 297(−7)11 = 2387(−7) + 1045(16)11 = 3432(16) + 2387(−23)Ahí tenemos la combinación lineal deseada. �Conclusiones:

Con el algoritmo de Euclides podemos encontrar el mcd dedos números.

Con el algoritmo de Euclides podemos escribir el mcd de dosnúmeros como combinación lineal de esos dos números.

Problema

Escribir (99, 68) como combinación lineal de 99 y 68.Usando el algoritmo de Euclides:99 = 68(1) + 31

68 = 31(2) + 6

31 = 6(5) + 1

6 = 1(6)

Por lo tanto tenemos que (99, 68) = 1 y echando para atrasobtenemos que1 = 31 + 6(−5) = 68(−5) + 31(11) = 99(11) + 68(−16). �

Problema

Determinar si 15, -9 y 61 son combinación lineal de -24 y 93.En caso afirmativo, escribir una combinación lineal en cada caso.Primero observemos que podemos trabajar con 24 y 93. Usando

el algoritmo de Euclides:93 = 24(3) + 21

24 = 21(1) + 3

21 = 3(7)

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Por lo tanto (24, 93) = 3. 3 divide a 15 y a -9, pero no a 61, porlo que podremos escribir a 15 y a -9 como combinación lineal de-24 y 93, pero no a 61. Echando para atras obtenemos que:3 = 24 + 21(−1) = 93(−1) + 24(4). Multiplicando por 5 ambos

lados de la igualdad obtenemos que 15 = 93(−5) + (−24)(−20).Multiplicando por -3 ambos lados de la igualdad obtenemos que−9 = 93(3) + (−24)(12). �

Ejercicio

Determinar si 156, -12 y 60 son combinación lineal de 132 y-92. En caso afirmativo, escribir una combinación lineal en cadacaso.

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4 Ecuaciones DiofantinasLineales

Retomemos el problema de la ecuación lineal diofantina ax +by = c. Por un lado, observemos que si (a, b) - c, entonces laecuación no puede tener soluciones enteras, ya que de tenerlas,tendríamos una contradicción. Por otro lado, si (a, b)|c, y definimosa′ = a/(a, b), b′ = b/(a, b) y c′ = c/(a, b), entonces tenemos unaecuación equivalente a′x+ b′y = c′ en donde (a′, b′) = 1.Por lo discutido en el capítulo anterior, podemos escribir (a′, b′) =

1 como combinación lineal de a′ y b′, digamos 1 = a′m + b′n.Multiplicando ambos lados de la igualdad por c′ obtenemos c′ =a′(mc′) + b′(nc′). Como esta ecuación es equivalente a la original,multiplicando ambos lados de esta igualdad por (a, b) obtenemosque c = a(mc′) + b(nc′), encontrando así una solución para laecuación diofantina lineal.¡Tenemos un método para encontrar una solución para ax+by =

c en el caso en que (a, b)|c! En otro caso, sabemos que no haysoluciones. Para encontrar todas las soluciones, usamos la idea desuperposición discutida en los preliminares.

Problema

Encontrar todas las soluciones enteras de 282x− 195y = 7.No tiene soluciones, ya que 3|282 y 3|195 pero 3 - 7. �

Problema

Encontrar todas las soluciones enteras de 282x− 195y = 15.Usando el algoritmo de Euclides:282 = 195(1) + 87

195 = 87(2) + 21

87 = 21(4) + 3

21 = 3(7)

14

Por lo tanto (282, 195) = 3 y echando para atras obtenemosque:3 = 87 + 21(−4) = 195(−4) + 87(9) = 282(9) − 195(13). Ob-

servemos que la ecuación original se puede simplificar dividien-do entre 3 a la ecuación equivalente 94x − 65y = 5, y que divi-diendo entre tres también la combinación lineal obtenemos que1 = 94(9) − 65(13). Ahora, multiplicando esta última igualdadpor 5 obtenemos una solución particular de la ecuación diofan-tina equivalente: 5 = 94(45) − 65(65). Usando superposición, lassoluciones son todas de la forma x = 45 + 65n y y = 65 + 95n. �

Ejercicio

Encontrar todas las soluciones enteras de 282x− 195y = 195.

Ejercicio

Encontrar todas las soluciones enteras de 282x− 195y = 192.

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5 Teorema Fundamental de laAritmética

Los números primos son el subconjunto fundamental de enteros,ya que cualquier otro entero (excepto -1, 0 y 1) se puede represen-tar como un producto de primos y de hecho, excepto por el ordende los factores, esta representación es única. Este hecho se conocecomo el teorema fundamental de la aritmética. En este capítulo lodemostraremos.Vale la pena resaltar que aunque este teorema nos asegura que

todo entero (excepto -1, 0 y 1) tiene una factorización prima única,no nos dice como encontrarla. El problema de factorización de unentero es un problema central de la teoría de números; resulta quees muy útil esta factorización, pero en general es muy trabajosoobtenerla. Simplemente tratar de decidir si un número como 3901es primo o no, ya nos pone a pensar un rato. ¡Imaginemos queocurre con un número de 1000 dígitos!

Lema

Si c|ab y (c, a) = 1, entonces c|b.Como (c, a) = 1 tenemos que cx+ ay = 1 para algunos enteros

x y y. Multiplicando por b ambos lados de la igualdad, obtenemosque cbx+ aby = b. Como c|cbx y c|aby podemos concluir que c|b.�Este lema es el resultado de una aplicación de la representación

del mcd como combinación lineal. Será utilizado en la demostra-ción del siguiente teorema.

Teorema Fundamental de la Aritmética

Todo entero, excepto -1, 0 y 1, puede representarse como unproducto de primos y esta representación es única, excepto por elsigno y orden de los factores.

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Primero, observemos que podemos limitarnos a los enteros po-sitivos. Para demostrar que cualquier entero positivo n > 1 es elproducto de primos basta observar que un entero o es primo o escompuesto. Si es primo, terminamos: él mismo es su factorización.Si es compuesto, es el producto de dos enteros: n = ab. Y ahoradecimos lo mismo acerca de a y b, y seguimos factorizando has-ta que todos los factores sean primos. Sabemos que esto ocurriráen un número finito de pasos, porque los factores van haciéndosepequeños.La parte díficil de la demostración es la unicidad. Para demos-

trar esto necesitaremos del lema anterior. Asumamos que hay dosrepresentaciones: n = p1p2...pk = q1q2...ql. Usando el lema variasveces, observando que entre primos o son iguales o son primos re-lativos, vemos que p1 divide a alguna de las qi y por tanto soniguales. Cancelemos ambas y sigamos con p2, y así k veces. Final-mente veremos que para cada pj hay una qi igual, y que no puedenhaber mas q′s que p′s. �Observemos ahora que conociendo la factorización prima de dos

o más números, es muy fácil deducir el mcd de ellos.

Problema

Encontrar (24325173, 263172, 223371).El máximo común divisor debe contener la potencia mínima

común de cada factor primo:(24325173, 263172, 223371) = 223171.�

Problema

Encontrar el mínimo común múltiplo de 24325173, 263172, 223371.El mínimo común mútiplo debe contener la potencia máxima de

cada factor primo contenido en algúno de los números: 26335173.�La factorización prima hace tan fácil encontrar el máximo co-

mún divisor y el mínimo común múltiplo que pareciera que todo eltrabajo anterior fue una pérdida de tiempo. Sin embargo, hay quetener presente que encontrar esta factorización prima es aún másdifícil que determinar si un número es primo. Ya hemos comentadoque éste es, en general, un problema muy difícil.

17

5 Teorema Fundamental de la Aritmética

Problema

¿Será cierto que la expresión n2−n+41 para n natural siemprecorresponde a un primo?Es falso. El caso n = 41 corresponde a 412− 41+ 41 = 412, que

es compuesto. �

Problema

Probar que ningún polinomio no constante con coeficientes en-teros genera solo primos.Sea P (x) un polinomio arbitrario no constante con coeficientes

enteros. Vamos a proceder por contradicción: asumiendo que P (x)genera primos para toda x entera. Luego, P (1) = p es primo.Consideremos ahora P (1+mp) conm entero. Si distribuimos todaslas potencias de (1 +mp) y juntamos todos los términos que noincluyen a p, tendremos P (1+mp) = P (1)+p(...) = p+p(...), quees divisible entre p. Por tanto, p|P (1 +mp) para toda m entera;eso implica que P (1+mp) es compuesto o igual a p para toda m,es decir, constante. En ambos casos, tenemos una contradicción.�

Problema

¿Cómo calculamos el mínimo común múltiplo de un número sa-biendo el máximo común divisor?Si tenemos dos enteros a y b, podemos factorizarlos como a =

(a, b)c y b = (a, b)d donde (c, d) = 1. Luego, si e es el mínimocomún múltiplo de a y b, entonces (a, b)|e, por tanto e = (a, b)f .Luego, como (c, d) = 1 sabemos que cx + dy = 1 para algunosenteros x y y. Por tanto, cxf + dyf = f y como cd|cxf (pues d|f)y cd|dyf (pues c|f), entonces cd|f . Así que el valor mínimo de fes cd y e = (a, b)cd = ab/(a, b). Así que, en general, el mínimocomún múltiplo de a y b es su producto dividido entre su máximocomún divisor.

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6 Congruencias

Comenzaremos con una definición de congruencia: decimos quea es congruente a b módulo n si n|(b − a). Usaremos la siguientenotación abreviada: a ≡ b (mod n).Por ejemplo, ... ≡ −8 ≡ −3 ≡ 2 ≡ 7 ≡ ... (mod 5). De hecho,

este ejemplo nos muestra que la congruencia módulo n rompe alos enteros en clases de elementos equivalentes bajo la congruen-cia. En cada una de estas clases se encuentra solo uno de losposibles residuos bajo división entre n. En el ejemplo, los posi-bles residuos bajo división entre 5 son 0, 1, 2, 3, 4. A cada unode ellos corresponde una colección infinita de enteros congruen-tes. Denotamos al conjunto de residuos bajo división entre n porZn = {0 , 1 , 2 , ...,n − 1}.La congruencia tiene las siguientes propiedades:

Para todo entero a tenemos que a ≡ a (mod n). (reflexiva)

Si a ≡ b (mod n) entonces b ≡ a (mod n). (simétrica)

Si a ≡ b (mod n) y b ≡ c (mod n) entonces a ≡ c (mod n)(transitiva)

Si a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n) entonces a + c ≡ b +d (mod n).

Si a ≡ b (mod n) y c ≡ d (mod n) entonces ac ≡ bd (mod n).

Las primeras tres propiedades de la congruencia hacen de la con-gruencia una relación de equivalencia y tienen como consecuenciaque las clases de enteros asociadas a los elementos de Zn incluyana todos los enteros y sean disjuntas.

Problema

Demostrar la última propiedad de la congruencia.Tenemos que a = b + nk y c = d + nm. Multiplicando ambas

igualdades obtenemos ac = bd + n(kd + mb + nkm), por lo queac ≡ bd (mod n). �

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6 Congruencias

Ejercicio

Demostrar la penúltima propiedad de la congruencia.Las últimas dos propiedades de la congruencia dan pie al lla-

mado principio de sustitución, que básicamente dice que en unacongruencia, sumandos y factores puede sustituirse por elementoscongruentes y el resultado es congruente a la expresión original.¡Cuidado con aplicar el principio de sustitución incorrectamen-te! Por ejemplo, 126 ≡ 26 (mod 5) pero 26��≡21 (mod 5), aunque6 ≡ 1 (mod 5).

Principio de Sustitución

Si a ≡ b(mod n) y f(x) es un polinomio con coeficientes enteros,entonces f(a) ≡ f(b) (mod n).

Ejercicio

Encontrar 2 enteros positivos y 2 negativos congruentes a 38módulo 3.

Problema

Encontrar el residuo módulo 5 de 374 + 49(801) + 120.Usando el principio de sustitución:374 + 49(801) + 120 ≡ 24 + (−1)(1) + 0 ≡ 1− 1 ≡ 0 (mod 5). �

Problema

Usando congruencias, demuestre el criterio de divisibilidad del3, del 9 y del 11.Para el criterio de divisibilidad del 3, consideremos un entero

arbitrario en notación decimal, usemos el principio de sustituciónmódulo 3:an10

n + an−110n−1 + ...+ a110 + ao ≡ an1n + an−11n−1 + ...+

a11 + ao (mod 3) y vemos entonces que un número es divisibleentre 3 (congruente a 0 módulo 3) si y solo si la suma de susdígitos decimales es divisible entre 3. La deducción del criterio del9 es idéntica. Para el 11 tenemos que:an10

n+an−110n−1+ ...+a110+ao ≡ an(−1)n+an−1(−1)n−1+

...+ a1(−1)+ ao (mod 11) y esto da pie al criterio de divisibilidaddel 11: un número es divisible entre 11 (congruente a 0 módulo 11)

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si y solo si la suma de sus dígitos decimales con signos alternadoses divisible entre 11. �

Problema

Encontrar el dígito de las unidades de 2(325) + 3(87) + 5104 +1235.Trabajaremos módulo 10:2(325) + 3(87) + 5104 + 1235 ≡ 2(5) + 3(−2)7 + 4 + 35 ≡ 0 −

3(8) + 4 + 3 ≡ 3 (mod 10). �

Problema

Encontrar el dígito de las unidades de 32009 + 32007.Trabajando módulo 10:(−1)10043+(−1)10033 ≡ 0(mod 10). También podemos observar

que 32009 + 32007 = 32007(10) por lo que el dígito de las unidadeses 0. �

Problema

Se tienen 2003 tarjetas numeradas. Se remueven de 3 consecu-tivas en 3 consecutivas hasta quedar 2. Juan dice que, entre lasdos tarjetas que quedaron, quedó la tarjeta 1002. ¿Miente o dicela verdad?Hay 3 residuos módulo 3: 0, 1, 2. Si removemos tarjetas de 3 en

3 consecutivas, siempre removemos una congruente a cada residuo.Entre las 2003 tarjetas hay 668 congruentes a 1, 668 congruentesa 2, y 667 congruentes a 0 módulo 3. 1002 es congruente a 0, locual es imposible ya que debían quedar cartas congruentes a 1 ya 2, no a 0. Por lo tanto, miente. �Dado el principio de sustitución, para estudiar sumas y produc-

tos con congruencias, basta con trabajar con los residuos módulon, es decir, con Zn .Por ejemplo, estudiemos las suma y el producto en Z5 :+ 0 1 2 3 40 0 1 2 3 41 1 2 3 4 02 2 3 4 0 13 3 4 0 1 24 4 0 1 2 3

× 0 1 2 3 40 0 0 0 0 01 0 1 2 3 42 0 2 4 1 33 0 3 1 4 24 0 4 3 2 1

21

6 Congruencias

Observemos que el elemento neutro para la suma es el 0 y elelemento neutro para el producto es el 1, como de costumbre. Sinembargo, veamos que para la suma, en las siguientes parejas unnúmero es inverso del otro: (1,4), (2,3). Para el producto tenemoslas siguiente parejas de inversos (2,3), (4,4). Los inversos seránmuy importantes para resolver congruencias, como lo son pararesolver ecuaciones.

Veamos ahora que pasa en Z4 :

+ 0 1 2 30 0 1 2 31 1 2 3 02 2 3 0 13 3 0 1 2

× 0 1 2 30 0 0 0 01 0 1 2 32 0 2 0 23 0 3 2 1

Para la suma tenemos que las parejas de inversos son (0,0),(1,3) y (2,2). En el caso del producto tenemos a (1,1) y (3,3) yobservamos algo muy interesante: el 2 no tiene inverso multiplica-tivo. Resulta que un elemento de Zn solo tiene inverso si es primorelativo de n:

Proposición

Sea n un número natural. Entonces, a es un entero primo rela-tivo con n si y solo si existe un entero b tal que ab ≡ 1 (mod n).Primero demostraremos que si a es un entero primo relativo con

n entonces existe un entero b tal que ab ≡ 1 (modn). Sabemos queel mcd(a, n) = 1, y que podemos representarlo como combinaciónlineal de a y de n: ab+nc = 1. Pero esto implica que 1 ≡ ab+nc ≡ab (mod n).

Para demostrar el recíproco asumimos que existe b tal que 1 ≡ab (mod n). Pero esto implica que existe c tal que ab + nc = 1 ypor lo tanto que mcd(a, n) = 1. �

Esta proposición nos dice que si a y n son primos relativos,entonces a tiene inverso multiplicativo módulo n. Esto va a resultarmuy útil para resolver congruencias lineales. Por ejemplo, ahorapodemos decir que si a y n son primos relativos, y ba ≡ 1 (modn),entonces ax ≡ c (mod n) si y solo si x ≡ bc (mod n), y de estaforma resolver la congruencia para x.

En particular, si n es primo, todos los elementos distintos de 0en Zn son invertibles bajo el producto.

22

ProblemaMostrar que si a y n no son primos relativos, entonces existe b

distinto de 0 en Zn tal que ba ≡ 0 (mod n).Sea mcd(a, n) = d > 1 y sea b = nd 6= 0 entero. Luego ab =

a(nd ) = (ad)n es un múltiplo entero de n. Por lo tanto ab ≡

0 (mod n).�

ProblemaMostrar que si a y n no son primos relativos, entonces existen

b y c distintos en Zn tales que ab ≡ ac (mod n).Podemos reformular como ab−ac ≡ a(b−c) ≡ 0(modn). Ahora

basta con aplicar la proposición del problema anterior. �

ProblemaEncontrar el inverso multiplicativo de 3 módulo 17.6(3) = 18 ≡ 1 (mod 17). Por lo tanto, el inverso multiplicativo

de 3 módulo 17 es 6. �

ProblemaEncontrar el inverso multiplicativo de 12 módulo 15.(12, 15) = 3. Por lo tanto, 12 no es invertible bajo el producto

módulo 15. �

EjercicioEncuentre las parejas de los elementos invertibles de Z12 con

sus inversos multiplicativos.

EjercicioEncuentre las parejas de los elementos invertibles de Z17 con

sus inversos multilplicativos.Ya sabemos que si a y n son primos relativos, entonces podemos

resolver la congruencia ax ≡ b (mod n). ¿Qué pasa cuando no esel caso? ¿Será que nunca tiene solución la congruencia si a y n noson primos relativos?

ProblemaEncontrar, si existen, las soluciones de 4x ≡ 5 (mod 7).El inverso multiplicativo de 4 módulo 7 es 2. Por lo tanto, mul-

tiplicando por 2 ambos lado de la congruencia se obtiene 8x ≡x ≡ 10 ≡ 3 (mod 7). Por lo tanto, la solución es x ≡ 3 (mod 7). �

ProblemaEncontrar, si existen, las soluciones de 4x ≡ 5 (mod 6).

23

6 Congruencias

4 no es invertible bajo el producto módulo 6. De hecho, si asu-mimos que hay solución tendríamos que 4x + 6y = 5, lo cual escontradictorio, ya que 5 no es divisible entre (4, 6) = 2. Por lotanto, no hay solución. �

ProblemaEncontrar, si existen, las soluciones de 4x ≡ 8 (mod 6).¡Cuidado! Aunque 4 no tiene inverso multiplicativo módulo 6,

esta congruencia si tiene soluciones, porque es equivalente a resol-ver la siguiente ecuación diofantina: 4x + 6y = 8, la cual es equi-valente a 2x+3y = 4, que a su vez equivale a 2x ≡ 4 ≡ 1 (mod 3).El inverso multiplicativo de 2 módulo 3 es 2, asi que multiplicandoambos lados de la congruencia por 2: x ≡ 2 (mod 3). �

Ejercicio

Encontrar, si existen, las soluciones de 6x ≡ 7 (mod 11).

Ejercicio

Encontrar, si existen, las soluciones de 6x ≡ 7 (mod 10).

Ejercicio

Encontrar, si existen, las soluciones de 6x ≡ 8 (mod 10).

ProposiciónSea mcd(a, n) = d > 1 y consideremos la congruencia ax ≡

c (mod n). Si d | c entonces la congruencia es soluble; si d - c lacongruencia no es soluble.Si d|c entonces tendríamos que a = a′d, n = n′d y c = c′d y la

congruencia es equivalente a la siguiente ecuación: ax+ny = c. Di-vidiendo ambos lados de la ecuación entre d obtenemos a′x+n′y =c′ que es equivalente a la congruencia a′x ≡ c′ (mod n′), que sabe-mos tiene solución ya que (a′, n′) = 1. Si d - c y asumimos que haysoluciones, tendríamos ax+ ny = c, lo cual es una contradicción,pues implicaría que d|c. �

Problema

Probar que en cualquier colección de 7 o más enteros, siemprehay dos cuya suma o diferencia es divisible entre 11.

24

Pensemos en los residuos módulo 11. Tratemos de ver cual es lacantidad máxima de enteros en la colección antes de que la sumao diferencia de dos sea divisible entre 11:Si uno de los enteros tiene residuo 0, ninguno otro puede tenerlo,

porque sus suma o diferencia sería divisible entre 11.Si uno de los enteros tiene residuo 1, ninguno otro puede tener

residuo de 1 ó 10, porque su diferencia o suma sería divisible entre11.Si uno de los enteros tiene residuo 2, ninguno otro puede tener

residuo de 2 ó 9, porque su diferencia o suma sería divisible entre11.Si uno de los enteros tiene residuo 3, ninguno otro puede tener

residuo de 3 ó 8, porque su diferencia o suma sería divisible entre11.Si uno de los enteros tiene residuo 4, ninguno otro puede tener

residuo de 4 ó 7, porque su diferencia o suma sería divisible entre11.Si uno de los enteros tiene residuo 5, ninguno otro puede tener

residuo de 5 ó 6, porque su diferencia o suma sería divisible entre11.Llevamos 6 posibles enteros sin que ninguna pareja tenga su-

ma o diferencia divisible entre 11. Sin embargo, cualquier enteroadicional arruina esto, pues hemos agotado los posibles residuosmódulo 11. �

25

7 Sistemas de Congruencias yel Teorema Chino de losResiduos

¿Qué pasa si queremos resolver más de una congruencia linealsimultaneamente? Veamos los siguientes dos ejemplos:

x ≡ 0(mod 3) y x ≡ 1(mod 3). Evidentemente, este sistemano tiene solución.

x ≡ 1(mod 3) y x ≡ 2(mod 6). Este tampoco tiene solución,pero no es tan evidente.

Para poder verificar que el segundo sistema no tiene solución, re-solvamos la primera congruencia (x = 1 + 3k) y sustituyamos enla segunda (3k ≡ 1 (mod 6)). Sabemos que esta congruencia notiene solución, ya que (6, 3) = 2 - 1.Este es el procedimiento general para resolver un sistema de

congruencias lineales, el método de sustitución. Si en algún mo-mento se produce una congruencia sin solución, el sistema no tienesolución.

Problema

Resuelva el siguiente sistema de congruencias: 2x ≡ 1 (mod 7),x ≡ 1 (mod 5), 2x− 3 ≡ 29− 2x (mod 6), x+3 ≡ 5x− 3 (mod 2).Sería bueno saber de inmediato si un sistema de congruencias

tiene solución, antes de invertir tiempo en el proceso tedioso desustitución. Tambien sería bueno poder simplemente ver la solu-ción, de saber que ella existe. Resulta que en ciertos casos esto esposible.

Teorema de los residuos chinos

Sean n1, n2, ..., nk enteros positivos que son primos relativos porparejas. Entonces, el sistema de congruencias x ≡ a1 (mod n1),

26

x ≡ a2 (mod n2),..., x ≡ ak (mod nk) tiene solución. La soluciónesta dada por x ≡ a1b1c1 + a2b2c2 + ... + akbkck (mod n1n2...nk),donde bi es el producto de todos los módulos excepto el i-ésimo, yci es el producto de todos los inversos multiplicativos de todos losmódulos excepto el i-ésimo, módulo ni.Evidentemente, x = ai es solución de la i-ésima congruencia.

Podemos multiplicar ai por 1, y esto no cambiará. bici es pre-cisamente 1, el producto de los otros módulos por sus inversos(módulo ni). El hecho de multiplicar por los otros módulos haceque este sumando sea congruente a 0 en las otras congruencias.Como los módulos son primos relativos por parejas, esto garantizala existencia de los inversos multiplicativos. Finalmente, si x y yson soluciones, entonces x−y es divisible entre todos los módulos.Como los módulos son primos relativos, x − y es divisible entren1n2...nk. Por tanto, la solución es válida módulo n1n2...nk.

Ejercicio

Resuelva el sistema del problema anterior usando el teorema deresiduos chinos.

Lema

Demostrar que si d|n y a ≡ b (mod n), entonces a ≡ b (mod d),pero el recíproco no es cierto.Sabemos que n = dm para algún m entero y que b − a = nk

para algún k entero. Por lo tanto, b−a = dmk, lo que implica quea ≡ b (mod d). Para ver que el recíproco no es cierto basta notarque 2 ≡ 4 (mod 2) pero no módulo 6. �

Lema

Sean n y l enteros positivos y sea m su mínimo común múl-tiplo. Probar que a ≡ b (mod n) y a ≡ b (mod l) implica quea ≡ b (mod m).La demostración de este lema se basa en que si d|a y d|b entonces

d divide a su mínimo común múltiplo. Esto es fácil consecuenciadel teorema fundamental de la aritmética. Piénsalo. �

27

7 Sistemas de Congruencias y el Teorema Chino de los Residuos

Problema

Un vendedor de naranjas quiere saber cuantas naranjas teníaayer. Solo recuerda que eran mas de 100 pero menos de 150 y quecuando hacía montones de 2, 3, 4, 5, 6 naranjas siempre sobraba1.Como congruencias, este problema dice: x ≡ 1 (mod 2), x ≡

1 (mod 3), x ≡ 1 (mod 4), x ≡ 1 (mod 5) y x ≡ 1 (mod 6). Peroesto implica que x − 1 es divisible entre 2, 3, 4, 5 y 6. Es decir,es divisible entre el mínimo común múltiplo de estos números: 60.Por lo tanto la solución es de la forma x = 1 + 60n, y la únicaentre 100 y 150 es 121. �

Proposición

Sea n = pe11 pe22 ...p

err la factorización prima de n. Entonces a ≡

b (mod n) si y solo si a ≡ b (mod pe11 ) y a ≡ b (mod pe22 ) y ... y

a ≡ b (mod perr ).Esta proposición es consecuencia de los dos lemas anteriores. �En los siguientes problemas podemos usar la proposición an-

terior, y como los módulos son pequeños, podemos probar cadaresiduo para ver si satisface la congruencia.

Problema

Probar que x2 − 7 = 45y no tiene soluciones enteras.Primero, escribimos el problema como congruencia: x2 ≡ 7(mod 45).

Usando la proposición anterior tenemos el siguiente sistema equi-valente:x2 ≡ 7 (mod 9)x2 ≡ 7 ≡ 2 (mod 5)Examinemos la segunda congruencia. Los residuos son 0, 1, 2, 3,

4. Observemos que 02 ≡ 0(mod 5), 12 ≡ 1(mod 5), 22 ≡ 4(mod 5),32 ≡ 4 (mod 5) y 42 ≡ 1 (mod 5). Ningún residuo al cuadrado escongruente a 2. Por lo tanto, la congruencia no tiene solución ypor tanto el sistema tampoco. �

28

8 Teoremas de Wilson,Fermat y Euler

Consideremos ahora una serie de problemas y ejercicios, usandotodo la aprendido, que nos llevarán en dirección de los teoremasde Wilson, Fermat y Euler. Con estos tres teoremas concluiremoseste cuaderno.

Problema

Probar que si en un triángulo rectángulo los lados a, b y c sonenteros, entonces 30|abc.Primero observemos que a, b y c satisfacen el teorema de Pitá-

goras, por ejemplo, si c es la hipotenusa: a2+b2 = c2. Esto implicaque a2 + b2 ≡ c2 bajo cualquier módulo. Módulo 2, tenemos queal menos uno de los tres lados es congruente a 0, para satisfacerla congruencia pitagórica. Módulo 3, los cuadrados son siemprecongruentes a 0 ó 1, y examinando todas las posibilidades vemosque al menos uno de los cuadrados debe ser congruente a 0, y portanto al menos una de los lados debe ser múltiplo de 3. Módulo5, los cuadrados son siempre congruentes a 0, 1 ó 4. Examinan-do todas las posibilidades que satisfacen la congruencia pitagóricavemos que al menos uno de los cuadrados debe ser congruente a 0y por tanto al menos uno de los lados debe ser múltiplo de 5. Conesto concluimos que abc debe ser múltiplo de 30. �

Problema

Probar que no existe ningún entero que al elevarlo al cuadrado,termine en 181.Escribamos el problema como una congruencia: x2 ≡ 181(mod 1000).

Esta es equivalente al siguiente sistema de congruencias:x2 ≡ 181 ≡ 5 (mod 8)x2 ≡ 181 ≡ 56 (mod 125)

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8 Teoremas de Wilson, Fermat y Euler

Veamos si la primera tiene solución: 02 ≡ 0 (mod 8), 12 ≡1 (mod 8), 22 ≡ 4 (mod 8), 32 ≡ 1 (mod 8), 42 ≡ 0 (mod 8),52 ≡ 1 (mod 8), 62 ≡ 4 (mod 8), 72 ≡ 1 (mod 8). Por lo tanto,el sistema no tiene solución y la congruencia original tampoco latiene. �

Problema

Probar que 9 divide a una infinidad de términos de la sucesiónde Fibonacci.La sucesión de Fibonacci es aquella generada por la siguiente

recursión: an+1 = an+an−1, ao = a1 = 1. Estudiemos los primerostérminos de la sucesión de Fibonacci módulo 9: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3,7, 1, 8, 0, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 0, 1, 1, 2, 3,... Vemos que ahícomienza a repetirse la sucesión. Cada 0 representa un múltiplode 9; como se repite, habrá una infinidad de múltiplos de 9. �

Problema

Probar que si k es entero, entonces (22k + 7, 33k + 5) = 1.Podemos proceder por contradicción: Supongamos que no son

primos relativos, es decir que existe algún entero d ≥ 2 que dividea 22k + 7 y a 33k + 5. Es decir, 22k + 7 ≡ 0 (mod d) y 33k +5 ≡ 0 (mod d). Pero esto implica que 66k + 21 ≡ 0 (mod d) y66k + 10 ≡ 0 (mod d), y por lo tanto, 11 ≡ 0 (mod d) , lo queimplicaría que d = 11. Esto es imposible ya que 22k + 7 no escongruente a 33k + 5 módulo 11. �

Problema

Probar que si n es natural, entonces 30|(n5 − n).Primero, escribamos el problema como congruencia: n5 − n ≡

0 (mod 30). Esto es equivalente al siguiente sistema de congruen-cias:n5 − n ≡ 0 (mod 2)n5 − n ≡ 0 (mod 3)n5 − n ≡ 0 (mod 5)Ahora observemos que n5−n = n(n−1)(n+1)(n2+1). Eviden-

temente, esto implica que se satisfacen las primeras dos congruen-cias, por los tres factores consecutivos (n−1)n(n+1). Verifiquemos

30

que se satisface la última: se satisface trivialmente para 0 y 1, pa-ra 2 se satisface ya que 22 + 1 = 5, para 3 se satisface ya que32 + 1 = 5(2) y para 4 se satisface porque 4 + 1 = 5. Por lo tantose satisface el sistema y la congruencia original. �

Ejercicio

Probar que x2 + 1 = 187y no tiene soluciones enteras.

Problema

Resolver 5x3 − 2x2 + 1 ≡ 0 (mod 6).Esto es equivalente a 5x3−2x2+1 ≡ 0(mod 2) y 5x3−2x2+1 ≡

0(mod 3), las cuales equivalen a x3+1 ≡ 0(mod 2) y 2x3+x2+1 ≡0 (mod 3).La primera tiene como solución x ≡ 1 (mod 2).Sustituyendo en la segunda: 2(1+2n)3+(1+2n)2+1 ≡ 0(mod 3).Esta es equivalente a 2(1+6n+12n2+8n3)+(1+4n+4n2)+1 ≡

0 (mod 3).Esta es equivalente a 2(1+2n3)+ (1+n+n2)+ 1 ≡ 0 (mod 3),

que a su vez equivale a n3+1+n+n2 ≡ 0(mod 3). La solución esn ≡ 2 (mod 3), es decir, n = 2+ 3m. Como x = 1+ 2n = 5+ 6m,entonces la solución de la congruencia original es x ≡ 5 (mod 6).�

Ejercicio

Resolver x2 ≡ 5 (mod 220).

Problema

Probar que no es posible encontrar números enteros a, b, c, d quesatisfagan 5a2 + 8bc = 4d+ 3Esto es equivalente a 5a2 + 8bc ≡ 3 (mod 4) que a su vez es

equivalente a a2 ≡ 3 (mod 4), que no tiene soluciones. �

Problema

Probar que si n y 7 son primos relativos, entonces n6 − 1 esmúltiplo de 7.Como congruencia, el problema es el siguiente: n6 ≡ 1 (mod 7).Para 1, se cumple.

31

8 Teoremas de Wilson, Fermat y Euler

Para 2, 26 ≡ (23)2 ≡ 12 ≡ 1 (mod 7), se cumple.Para 3, 36 ≡ (32)3 ≡ 23 ≡ 1 (mod 7), se cumple.Para 4, 46 ≡ (26)2 ≡ 12 ≡ 1 (mod 7), se cumple.Para 5, 56 ≡ (52)3 ≡ 43 ≡ 1 (mod 7), se cumple.Para 6, 66 ≡ 2636 ≡ 12 ≡ 1 (mod 7), se cumple.Por lo tanto, se cumple. �

Ejercicio

Probar que si n y 11 son primos relativos, entonces n10 − 1 esmúltiplo de 11.

Teorema de Wilson

Si p es un número primo entonces (p− 1)! ≡ −1 (mod p).La demostración es como sigue: los residuos módulo p todos tie-

nen inverso multiplicativo. Los que tienen inversos multiplicativosdistintos de si mismos los pareamos en el producto (p − 1)! y elproducto de cada pareja es 1. Los únicos que quedán son los quesón inversos de si mismos: x2 ≡ 1(mod p), es decir (x−1)(x+1) ≡0 (mod p). Cómo el módulo es primo, esto implica x ≡ 1 (mod p)ó x ≡ −1 (mod p). El producto de estos dos es -1. �

Pequeño Teorema de Fermat

Si p es un número primo y a es cualquier entero, entonces ap ≡a (mod p).Primero, una demostración que no usa congruencias, siguiendo

las notas de F. Bellot: Asumamos que a no es divisible entre p (si lofuera, el resultado es evidente). Entonces tenemos que a, 2a, 3a,...,(p − 1)a no son divisibles por p y tienen residuos distintos bajodivisión entre p (si dos tuvieran el mismo residuo, la diferenciapositiva tendría que ser divisible por p, pero la diferencia positivaestá en la lista, lo cual es una contradicción). Por lo tanto, tenemosque

ap−1(p− 1)! = a(2a)(3a)... ((p− 1)a)= (n1p+ 1) (n2p+ 2) ... (np−1p+ (p− 1))= Np+ (p− 1)!

donde Np representa la agrupación de todos los sumandos quecontienen a p como factor. Esto implica que

(ap−1 − 1

)(p− 1)! =

Np, lo que implica que ap−1 − 1 es divisible entre p.

32

Segunda versión, usando el lenguaje de las congruencias: si a ≡p (mod p), el teorema se cumple trivialmente. Así que asumamosque a no es un múltiplo de p. Consideremos los residuos módulo p :0, 1, 2, ... , p−1. Entonces, cualquier múltiplo no congruente a p detodos los elementos de este conjunto forma otro conjunto completode residuos. Para verificar esto basta notar que bi ≡ bj (mod p) esequivalente a i ≡ j (mod p) porque todo número b no congruentea p tiene inverso multiplicativo módulo p. Consideremos entoncesel siguiente conjunto completo de residuos: 0, 1a, 2a, ... , (p− 1)a.Sabemos entonces que (1a)(2a)...((p − 1)a) ≡ (p − 1)! (mod p).Cancelando los (p − 1)! de ambos lados obtenemos que ap−1 ≡1 (mod p) o equivalentemente ap ≡ a (mod p). �

Teorema de Euler

Sea n un entero positivo y (a, n) = 1, entonces aφ(n) ≡ 1(mod n),donde φ(n) es el número de residuos bajo división por n que sonprimos relativos con n.La demostración es similar a la del pequeño teorema de Fermat.

Sean a1, a2, ..., aφ(n) el conjunto completo de residuos bajo divisiónentre n que tienen inverso multiplicativo, es decir, aquellos que sonprimos relativos con n. Como (a, n) = 1 y por tanto a tiene inver-so multiplicativo módulo n, entonces aa1, aa2, ..., aaφ(n) tambiénforma un conjunto completo de residuos invertibles. Por lo tantoa1a2...aφ(n) ≡ aφ(n)a1a2...aφ(n) (mod n). Cancelando a1a2...aφ(n)en ambos lados, terminamos. �Notemos que el pequeño teorema de Fermat es un caso particu-

lar del teorema de Euler.

33

9 Bibliografía

Teoría de Números - Cuadernos de Olimpiadas Matemáticas,María Luisa Pérez Seguí, 1a Edición, Instituto de Matemá-ticas, UNAM, México, 2003

Number Theory for Mathematical Contests, David Santos,2007

Elementary Number Theory: Primes, Congruences and Se-crets, William Stein, Springer 2000

Problems in Elementary Number Theory, Peter Vandendriss-che and Hojoo Lee, 2007

El pequeño teorema de Fermat y aplicaciones, Francisco Be-llot Rosado, Notas para el Seminario de Problemas de Va-lladolid, 2009

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Índice alfabético

Aalgoritmo de Euclides, 11, 12

Ccombinación lineal, 8, 9, 11congruencia, 19conjunto completo de residuos,

33contradicción, 6, 7criba de Eratóstenes, 8

Ddígito, 21

Eecuación lineal diofantina, 14ecuaciones diofantinas, 10elemento neutro, 22

Ffactorización prima, 17

Iimpares, 6inducción matemática, 8inverso multiplicativo, 22inversos, 22

Mmáximo común divisor, 11método de sustitución, 26

Nnúmeros primos, 8

Ppar, 4pares, 4paridad, 7Pequeño Teorema de Fermat,

32primos relativos, 22principio de superposición, 9principio de sustitución, 20producto, 21

Rreflexiva, 19relación de equivalencia, 19residuos, 19

Ssimétrica, 19sistema de congruencias linea-

les, 26suma, 21

Ttablero, 4, 5Teorema de Euler, 33Teorema de los residuos chi-

nos, 26Teorema de Wilson, 32teorema fundamental de la arit-

mética, 16transitiva, 19

35