4°

COLEGIO PRE UNIVERSITARIO “Robert Letourneau” Cuarto Año

Geometría 1

INDICE Punto y Recta …..……………………. Poliedros …………………………….. Prisma …….………………………….. Pirámide ………………………………. Cono ……..……………………………. Cilindro ….…………………………….. Esfera ………………………………….


TEMA: PUNTO Y RECTA

NOCIONES FUNDAMENTALES

Espacio.- Extensión indefinida y sin límites conocidos, que es el medio en el cual se hallan cuantas cosas existen en el universo tiene naturaleza material.

Geometría del Espacio o Estereometría.- Estudia la forma y extensión de la figuras geométricas cuyos puntos no están en un mismo plano (espacio tridimensional)

1) RECTAS Y PLANOS

POSTULADO DEL PLANOEl plano es una superficie ilimitada en todas sus partes que contiene exactamente a toda recta que pase por dos puntos cualesquiera de dicha superficie.

* La idea del plano, la recta y el punto es un concepto intuitivo puramente experimental.

REPRESENTACION DEL PLANO

El plano puede considerarse como ilimitado en los sentidos, no tiene figura alguna y seria imperceptible para nuestros sentidos si no señalaremos en el ciertos, limites, los limites con que señalamos una parte del plano son arbitrarios, así podemos limitarlo en forma de triángulo, de polígono, de círculo, pero la costumbre de limitar un rectángulo o romboide como se ve en el suelo, paredes, en los cuadrado, en las mesas, etc.

DETERMINACION DE UN PLANO

Determinar un plano significa escoger uno de los infinitos planos que existen en el espacio:

Geometría 2


a) Tres puntos no colíneales determinan un plano.

A

B C

P

b) Una recta y un punto exterior a ella determinan un plano.

P

A

c) Dos rectas secantes determinan un plano.

P

d) Dos rectas paralelas determinan un plano.

P

Geometría 3


POSICIONES ENTRE RECTAS Y PLANOS

I) ENTRE RECTAS:

Rectas Secantes.- Si tienen un punto común.

P

2L1L

Rectas Paralelas.- No tienen ningún punto en común y además ellos pueden estar contenidas en un mismo plano.

P

2L1L

Rectas Alabeadas.- No tienen ningún punto en común y además ellas nunca deben estar contenidas en un mismo plano.

P

2L1L

Geometría 4


* Ángulo formado por dos rectas Alabeadas.- Para determinar la medida del ángulo que forman dos rectas alabeadas se trazan 2 rectas paralelas a dichas rectas alabeadas, entonces el ángulo formado por las rectas trazadas será el ángulo entre las 2 rectas alabeadas.

P

2L

1L a b

: Ángulo formado por

II) ENTRE PLANOS:

Planos Secantes.- Se intersectan una recta.

Geometría 5


P

Q Planos Paralelas.- Son planos que no se intersectan.

P

Q

III) ENTRE RECTA Y PLANO:

Secante.- Se intersectan determinando un punto.

Geometría 6

Plano “P” secante al plano “Q”

Plano “P” // plano “Q”


P

A

L

Paralelas.- Si no tienen ningún punto en común.

P

L

DETERMINACION DE ÁNGULOS

Entre Rectas.- Para hallar el ángulo que forman dos rectas alabeadas, se toma un punto exterior o ambas y se trazan paralelas a cada una p se toma un punto de una de ellos y se traza una paralela a la otra.

Geometría 7

es secante al plano “Q”

es paralelo al plano “P”


* Se traza: m // L1 y m // L2 : ángulo entre L1 y L2

* Se traza: t // L1 : ángulo entre L1 y L2

Entre Recta y Plano.- Para hallar el ángulo entre un plano y la recta secante, se proyecta sobre le plano y se halla el ángulo “” entre la recta “L” y su proyección “BT”.

Geometría 8


P

B t

L

Entre Planos (Ángulo Diedro).- Es la figura formada por dos semiplanos la recta común se denomina arista y a dichos semiplanos se denomina caras.

Q

P

2L

1L

A B

PERPENDICULARIDAD ENTRE RECTAS Y PLANOS

Geometría 9

BT proyección de L sobre P : ángulo entre L y P

P y Q: son caras del DiedroAB: aristas del Diedro Notación: Diedro AB


Si una recta es perpendicular a un plano entonces será perpendicular a todas las rectas al plano.

Pm n

L

Teorema de tres perpendiculares: Si tenemos una recta “L” perpendicular el plano “P”; y del pie de esta trazamos una segunda perpendicular a una recta “m” contenida en el plano entonces toda recta que pase por un punto de la recta “L” y por “B” será perpendicular a “m”.

P

m

L

A B

Geometría 10

Si


PROBLEMAS PARA LA CLASE01) Indique Verdadero (V) o Falso

(F), según corresponda:I) Tres puntos determinan un plano.II) Un punto y una recta

determinan un plano.III) El plano esta conformado

por puntos y por rectas.IV) Dos rectas siempre

determinan un plano.Rpta.:

02) Indicar verdadero (V) o falso (F)I) Si una recta es paralela a

un plano; es paralela a todas las rectas del plano.

II) Si una recta es perpendicular a un plano; es perpendicular a todas las rectas del plano.

III) Los planos pueden ser solamente paralelas o secantes.

IV) Si dos rectas son paralelas a un plano, estas son siempre paralelas entre si.

Rpta.:

03) En el grafico AB = 10 , AD = 13, CE = 20 AC = BC ; hallar CD, si CD al plano P.

P

B

E

A

D

C

Rpta.:

04) Un punto P dista 12m de un plano, un segmento de recta

es te en el plano. Encontrar la distancia desde

al pie de la perpendicular bajada desde P, si

y AB = 8Rpta.:

05) Un punto P dista 12m, de un plano. Hallar la distancia de dicho punto hacia el segmento,

contenido en el plano, si y

Rpta.:

06) Se dan dos planos paralelas P y Q distante entre si 10m. Calcular la longitud de la proyección de sobre el plano Q, si , siendo “A” un punto del plano P y B un punto del plano Q.Rpta.:

07) Un segmento de recta , une el punto A del

plano P con el punto B del plano Q, siendo P y Q paralelas, la proyección de sobre cualquiera de las dos planos mide 8m. Hallar la distancia entre dichos planos.

Rpta.:

08) Calcular el área del triángulo equilátero ABC del baricentro G, si se traza GD perpendicular al plano del triángulo, formando

Geometría 11


con el plano ABC un ángulo de 60° y

Rpta.:

09) Por el vértice A de un cuadrado ABCD se traza una perpendicular al plano ABCD. Hallar el área del triángulo PDC, si

Rpta.:

10) Se tiene un cuadrado ABCD de centro “O” y de lado “a”, por “B” se levanta la perpendicular BP = a, al plano ABCD. Calcular el área del triángulo POM, si “M” es el punto medio de

Rpta.:

11) En el grafico “O” es centro, es perpendicular al plano “Q” si

están en el plano. Hallar , si , r = 3 , P

Q

O rB

C

Rpta.:

12) ABC es un triángulo equilátero de lado es perpendicular al plano. Hallar , si y

P

B

C

Q

A

Rpta.:

13) ABC es un triángulo rectángulo isósceles . Por “C” se levanta perpendicular a su plano. Hallar , siendo “M” en el punto medio de además

Rpta.:

14) Se tiene un cuadrado ABCD de lado igual a 4. Por “B” se levanta perpendicular a su plano, tal que , si “M” es punto medio de . Hallar la medida del ángulo formado por y

Rpta.:15) Desde la cima de un poste, un

pájaro “P” observa los puntos

Geometría 12


“A” y “B” del suelo a una misma distancia, además el ángulo

. Hallar la altura del poste sabiendo que el ángulo que forma con el suelo es 45°; y que

Rpta.:

16) Se tiene rectas cruzadas L1 y L2, siendo la distancia entre ellas (A en L1 y B en L2). Se toma “C” en L1 y “D” en L2, de manera que la mCDB = 90° y además

. Hallar el ángulo con el que se cruzan L1 y L2.

Rpta.:

17) Por el baricentro “G” de un triángulo equilátero ABC de lado se levanta una perpendicular al triángulo hasta un punto “P” de modo que

, hallar l ángulo diedro formado por el triángulo ABP y el triángulo equilátero.

Rpta.:

18) Desde un punto “A” exterior a un plano “H”, trazamos la perpendicular y dos

oblicuas y (O, M y N pertenecen al plano H). Calcular la distancia de “O” a

, si , , AM = AN = 5

Rpta.:

19) Desde un punto “A” exterior a un plano “H”, trazamos la perpendicular , la perpendicular a una recta L contenida en dicho plano, se ubica un punto “D” en la recta L, tal que ,

, . Calcular el área de l región triangular OBD.

Rpta.:

20) En el plano “H” se tiene una circunferencia de diámetro de longitud igual a . Por el extremo “P” se levanta la circunferencia se toma un punto “R”, tal que ,

. Calcular

Rpta.:

Geometría 13


PROBLEMAS PARA LA CASA

01) De las siguientes afirmaciones:

I) Una recta que interfecta a una de las dos rectas que se cruzan siempre interfecta también a la otra.

II) La proyección de toda poligonal sobre un plano es otra poligonal.

III) La intersección de dos planos cualquiera es una recta.

Son verdaderas

a) Todas b) Solo Ic) Solo I y II d) Solo IIIe) II y III

02) Mercar verdadero (V) o Falso (F):

I) Por un punto de una recta pasa un solo plano perpendicular a la recta dada.

II) Dos rectas perpendiculares al mismo plano son paralelas.

III) En un punto hay exactamente una recta perpendicular al plano.

a) VFV b) FVVc) VFF d) VVVe) FFF

03) Al mediodía, dos personas observan un globo aerostatito detenido en el aire a una distancia de 100m. si las dos personas están distanciadas 120m, hallar la altura a la cual se encuentra el globo aerostatito; si uno observa que la sombra del globo en tierra esta a 80m de él.

a) 40m b) 50mc) 60m d) 70me) 80m

04) Las distancias de 2 puntos A y B a un plano ”B“ son 6 y 2. Estando dichos puntos a ambos lados del plano, de modo que la proyección de sobre el plano es 15. Hallar

.

a) 10 b) 12c) 15 d) 17e) 8

05) Sean M y N dos planos paralelas que distan entre si 40m, se ubican los puntos A y B en M y N respectivamente. La proyección de sobre el plano N mide 30m. Calcular AB.

Geometría 14


a) 35m b) 42mc) 48m d) 50me) 60m

06) Por un punto A exterior a un plano “H” se trazan la perpendicular y la oblicua

tal que , . Calcular la

longitud del lugar geométrico de los puntos OP.

a) 10cm b) 12cmc) 16cm d) 20cme) 26cm

07) En la figura, el triángulo QPR esta por encima del plano “B”, con Q y R puntos del plano. Hallar , si , “E” punto medio de .

B

9m

F E

S

P 5m

Q

a) 3m b) 5/2mc) 12/7m d) 15/2me) 23/4m

08) En la figura, los planos ABE y ABCD son perpendiculares, si

, y CM = MD, hallar la distancia de “C” a

4

6

M

P

Q

A

E

B

D

C

4

a) 6cm b) 7cmd) 8cm d) 9cme) 10cm

09) La distancia del punto “P” del espacio, a un plano “H” es 15m y la proyección de sobre el plano “H” mide 8m, Q L y L “H”. Hallar la distancia de “P” a L.

a) 17m b) 18m

c) 19m d) 20m

e)

Geometría 15


10) Los puntos P y Q se encuentran en distintas semicircunferencias respecto al plano “H” y distan ambos 24m de él. Calcular PQ si los pies de las perpendiculares trazadas desde ellas a dicho plano determinan un segmento de 64m.

a) 60m b) 70mc) 75m d) 80me) 82m

11) Determinar la longitud del segmento en el espacio, cuyas proyecciones sobre dos planos perpendiculares determinan segmentos cuyas longitudes difieren en 5m y si

es 10m. Mayor que la menor proyección.

a) b) c) 25m d) e) 30m

12) Dos segmentos y se cruzan ontogonalmente; si

y . Hallar la longitud del segmento que une los punto medios de

y .

a) 12m b) 10mc) 15m d) 6me) 8m

13) Dos rectas y se

cruzan formando un ángulo de 60°; si AC es la mínima distancia entre ellas y AB = AC = CD = A. Hallar BD

a) b) c) d) 3ae) 2a

14) Dado el cuadrado ABCD se construye el triángulo equilátero ABE en un plano perpendicular al cuadrado; si “P” es punto medio de y “Q” es un punto medio de y el área del triángulo PBQ es

, ¿Cuánto mide el lado del triángulo ABE?

a) 8cm b) 6cmc) 4cm d) 10cme) 5cm

15) Dado el rectángulo ABCD, AB = 2m y BC = 4m. Por el vértice “B” se levanta un segmento de longitud 3m perpendicular al plano del rectángulo. Si “M” es punto medio de . Hallar

a) b) c) d) e)

Geometría 16


TEMA: POLIEDROS

Es el sólido limitado por cuatro o mas regiones poligonales planos denominadas caras; a los lados de las caras se les denomina ARISTAS del poliedro y al segmento que tiene extremos; dos vértices que no pertenecen a una misma cara se le denomina diagonal.

AristaCara

Vértice

Diagonal

Clasificación:

1) Por el número de caras: Se clasifican los poliedros en tetraedros, pentaedros, exaedros,….

2) Según sus características:

a. Poliedro Convexo.- Si todos los ángulos diestro son convexos; una recta secante lo corta siempre en dos puntos.1

2

b. Poliedro Cóncavo.- Si tiene por lo menos un diedro cóncavo. Una recta secante lo corta en más de dos puntos.

Geometría 17


1 2

3 4

5 6

c. Poliedro Regular.- Todas sus caras son polígonos regulares iguales.

d. Poliedro Irregular.- Es aquel poliedro que no es regular.

TEOREMA DE EULER

En todo polígono se cumple que el número de caras mas el número de vértices es igual al número aristas más dos unidades

Donde: C = # de carasV = # de vérticesA = # de aristas

Geometría 18


Propiedad: Si un polígono esta formado de diferente número de lado, el número de aristas se calcular de la siguiente manera.

Donde:m1 , m2 , m3 , …… es el número de lados de cada polígono.p1 , p2 , p3 , …...… es el número de polígonos que nos dan.

POLIEDROS REGULARESSon aquellos poliedros convexos cuyas caras son polígonos regulares iguales entre si:

- Los ángulos y los diedros son respectivamente iguales

- Todo poliedro regular se pude inscribir o circunscribir en un esfera donde el centro de las esferas viene a hacer el centro del poliedro regular.

TEOREMA:Solamente existen 5 poliedros regulares: tetraedro regular, exaedro regular, octaedro regular, dodecaedro regular, icosaedro regular.

Tetraedro Regular.- Sus caras son cuatro regiones triangulares equiláteros

A

B

C

O

G

l

Geometría 19


Notación: Tetraedro Regular O – ABC

Altura: ; siempre cae en el baricentro (G)

Volumen (V):

Superficie total o Área (A):

Exaedro Regular.- Sus caras son seis regiones cuadradas, también se le denomina cubo

lB

A

G

C

E

D

F

H

Notación: Exaedro Regular ABCD – EFGH

Diagonal ( ):

Volumen (V):


Geometría 20


Octaedro Regular.- Sus caras son ocho regiones triangulares equiláteras.l

B C

D A

M

N

Notación: Octaedro Regular M – ABCD – N

Diagonal ( ):

Volumen (V):


Dodecaedro Regular.- Sus caras son doce regiones pentagonales iguales.

Geometría 21


l

Volumen (V):


Icosaedro Regular.- Sus caras son veinte regiones triangulares equiláteras.l

Volumen (V):

Geometría 22



POLIEDROS CONJUGADOSDos poliedros son conjugados cuando el número de cada uno de ellos es igual al número de vértices del otro. El tetraedro regular es conjugado consigo mismo, es decir en un tetraedro

regular solamente se puede inscribir una esfera u un tetraedro regular. El exaedro regular y el octaedro regular son conjugados, es decir en el

exaedro regular solamente se puede inscribir una esfera y el octaedro regular y viceversa.

El dodecaedro regular y el icosaedro regular son conjugados

Poliedro # caras # vértices # aristasTetraedro 4 4 6Exaedro 6 8 12Octaedro 8 6 12

Dodecaedro 12 20 30Icosaedro 20 12 30

NÚMERO DE DIAGONALES DE UN POLIEDRO

Donde:= Número de diagonales del poliedro.

= Combinación del número de vértices de dos en dos.

#dcaras = Número de diagonales de todas las caras del poliedro.

A = # de aristas del poliedro.

Para el exaedro regular Para el tetraedro regular Para el octaedro regular#dcaras = 0 ; A = 12

Geometría 23


#dcaras = 2(6) = 12 ; A = 12

. Reemplazando en la ecuación

#D = 28 – 12 – 12 = 4

#Dcubo = 4

#dcaras = 0 ; A = 6


#D = 6 – 0 – 6 = 0

#Dtetraedro = 0


#D = 15 – 0 – 12 =3

#Doctaedro = 3

Para el dodecaedro regular Para el icosaedro

; A = 30

* Reemplazando en la ecuación

#D = 190 – 60 – 30 = 100

#Ddodecaedro = 100

#dcaras = 0 ; A = 30

* Reemplazando en la ecuación

#D = 66 – 0 – 30 =36

#Dicosaedro = 36

Geometría 24


PROBLEMAS PARA LA CLASE

01) Si la diagonal de un cubo es “d”, halar el volumen del cubo.

Rpta.:

02) ¿Cuántos vértices tiene un icosaedro regular?

Rpta.:

03) Al unir los puntos medios de las aristas del cubo de la figura, de volumen 64cm3; se obtiene una región poligonal. Hallar su área.

Rpta.:

04) Si las arista de un octágono es el triple de la arista de un icosaedro, la relación en que se encuentra sus áreas totales es:

Rpta.:

05) El área total de un tetraedro es , hallar la altura de una

de sus caras.

Rpta.:

06) Hallar el área total de un tetraedro regular si la suma de las longitudes de sus aristas es 36.

Rpta.:

07) En la siguiente figura, el cubo tiene una arista de 2m. ¿Cuál es la longitud menor para IR de M a D; recorriendo la superficie del cubo?

A

B C

D

M

L P

N

Rpta.:

08) En el cubo que se muestra en la figura, calcular la medida del ángulo que forman las rectas L1

y L2.

Geometría 25


2L

1L

Rpta.:

09) En un cubo, la distancia de un vértice al centro de la cara opuesta es . Hallar la medida de la arista.

Rpta.:

10) En el cubo mostrado, calcular la medida del ángulo que forman las rectas L1 y L2.

2L

1L

Rpta.:

11) Se tiene 27 cubitos de 1cm de arista y se forma con ellos un cubo mayor que es pintado en forma total por su exterior. Al desarmar el cubo se desea el área total que ha quedado sin pintar en todos los cubitos.

Rpta.:

12) En la figura adjunta se presenta un cubo de arista “a”cm. Cual es el perímetro del triángulo ABC.

Rpta.:

13) La siguiente figura representa un cubo cuya arista mide “a”cm. Cual es le área de la parte sombreada.

Rpta.:

Geometría 26


14) Si el lado del cubo es 3cm y el lado de otro cubo es de 12cm. Cual es la razón de sus superficies totales

Rpta.:

15) Calcular el volumen del hexaedro regular cuya diagonal mide .

Rpta.:

16) En la figura se muestra un octaedro regular. Hallar el ángulo que hacen y al cruzarse.

A D C

B

F

E

Rpta.:

17) En un tetraedro regular A – BCD, M es un punto medio de su respectiva altura , H es el pie de dicha altura. Calcule la mDMB.

Rpta.:

18) En un tetraedro regular A – BCD cuya arista mide 2m, calcule el área de la región cuadrangular cuyos vértices son puntos medio de

respectivamente.

Rpta.:

19) En un exaedro ABCD – EFGH cuya arista mide 4m; en se ubica el punto “P” tal que

, en se ubica el punto “M” tal que . Calcule

Rpta.:

20) En un exaedro regular ABCD – EFGH cuya arista mide , calcular el volumen del poliedro ACFH.

Rpta.:

Geometría 27


PROBLEMAS PARA LA CASA01) En un poliedro, la suma del

número de caras, vértices y aristas es 32. Calcular el número de aristas de aristas de dicho poliedro.

a) 12 b) 13c) 14 d) 15e) 15

02) En un cubo de 2m de lado se unen tres vértices de modo que se forma un triángulo equilátero. Determinar el área del triángulo.

a) 5m2 b) 4m2

c) 1m2 d) e)

03) Un cubo de madera de xcm de arista es pintado totalmente luego se corta en cubos de 9cm de aristas cada uno. Si entonces hay exactamente 96 cubos que tiene dos de sus caras pintadas, hallar la longitud de “x”

a) 70 b) 80c) 90 d) 100e) 110

04) Si el volumen de un tetraedro regular es “V”. Hallar el volumen del poliedro conjugado.

a) V b) V2

c) 2V d) 3Ve) V3

05) Si la altura de un tetraedro regular es 6m. hallar su volumen.

a) b) c) d) e)

06) Calcular el volumen de un tetraedro regular sabiendo que su área total equivale al área total de un icosaedro de arista “a”

a) b)

c) d)

e)

07) Si la arista del cubo es . Hallar el área del la región sombreada.

a) T2 b) c) d) e) 3T2

08) Dado un cubo de arista “a”. Hallar el área del triángulo sombreado.

Geometría 28


F

E

C

D

B

A

H

G

a) a b)

c) d)

e) a2

09) Los planos del cuadrado ABCD y el hexágono ABEFGH son perpendiculares, si

. Hallar el área

de la proyección del círculo inscrito en el triángulo GFC sobre el plano del cuadrado.

a) b)

c) d)

e)

10) Una circunferencia esta inscrita en un a cara de un tetraedro regular cuyo lado mide 6m. hallar el área de la proyección del círculo sobre la otra cara.

a) b)

c) d)

e)

11) En la figura, es la altura del tetraedro regular ABCD, donde . Hallar la longitud de la arista si:

H

A

B

C

D O

a) 3m b) 6mc) 9m d) 12me) 15m

12) La arista de un exaedro regular mide . Hallar la distancia entre la diagonal de una cara lateral y la diagonal de una cara lateral y l diagonal de una de las bases del sólido que no se intersecan.

a) 2m b) c) d) 4me)

13) En la figura ABCDEF es un hexágono en el plano “P”, tal que, los planos HBC y P forman un diedro de 45°. Si el

Geometría 29


área de la región triangular AHF es , hallar el área de la región triangular HBC.

P

C

D

B

H

F E

A

a) 15cm2 b)

c) d)

e)

14) Hallar el área del área de la región triangular PQR, si su proyección sobre un plano “A” es una región triangular isósceles PTR si:

y , además es

perpendicular al plano “A” y

a) b)

c) d)

e)

15) En la figura “O” es el centro de la cara del tetraedro regular ABCD cuya arista mide “a”cm. Calcular

A

B

D O

C

F

a) b)

c) d)

e)

Geometría 30


Geometría 31


TEMA: PRISMAEs el poliedro donde sus caras son paralelas y congruentes denominados bases y sus otras caras son regiones paralelogramicas. Un prisma se nombra según la cantidad de lados que tenga la base.Ejm: Si la base tiene seis lados se le denomina Prisma HexagonalA

B C

F E D

H J

K L

G

I

Base

Altura del

Prism a

Arista básica

Arista lateral

Base

Cara lateral

Notación: ABCDF – GHIJKL

CLASES DE PRISMALos prismas se clasifican según la inclinación de su arista lateral con respecto al plano se de su base.

Prisma Oblicuo: Tiene los cristales laterales oblicuas con respecto al la base.

* En la figura se tiene un prisma triangular ABC – DEF

BaseD

A

E

F

C

B Base

H SR

a

* SR: Sección recta es perpendicular a todas las aristas. En todo prisma se realizan los siguientes cálculos:

Geometría 32


Área de la superficie lateral (A SL)En donde:

2Psr: Perímetro de la sección recta.

a : Longitud de la arista lateral.

Área de la superficie total (A BASE)En donde:

ABASE: Área de la base Volumen (V)

En donde: H : Altura

En donde: ASR : Área de la sección

recta

Prisma Recto: Es el que tiene las aristas perpendiculares a la base, puede ser triangular cuadrangular, etc.; según sea la base.

Base

Base

B

E

F D

A C

a h

* La arista es igual a la altura Área de la superficie lateral (A SL)

En donde: 2PBASE : Perímetro de la basea : longitud de la asista lateral

Área de la superficie total (A ST)

Geometría 33

En la figura se muestra el prisma recto ABC – DEF


En donde: ABASE : Área de la base

Volumen (V) En donde:

h : Altura

* Tronco de Prisma Triangular Recto

C B

A a b

Área de la Superficie Lateral (ASL)

Área de la Superficie Total (AST)

Volumen (V)

* Paralelepípedo rectángulo ó Rectoedro ó Ortoedro: Es aquel cuyas caras son regiones rectangulares.

H

G F

E

D

C B

A

b a

c

d

* a , b , c Son dimensiones del paralelepípedo rectangular

Geometría 34


* Tiene 4 diagonales las cuales son congruentes y de igual longitud.

Diagonal (d)

Nota:(a +b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2(ac + bc + ab)

= d2 + ASR

Superficie Lateral (A SL)

Superficie Total (A ST)

Volumen (V)

Geometría 35



01) La diagonal de un paralelepípedo rectángulo mide 10m y su área es 384m2. Calcular la suma de sus longitudes de todas las aristas.

Rpta.:

02) Las dimensiones de un paralelepípedo rectangular están en la relación de 2 , 3 y 4. Donde la diagonal del sólido es . Calcular el volumen del paralelepípedo.

Rpta.:

03) Calcular el volumen de un rectoedro. Si se sabe que las rectangulares que concurren en un vértice tienen un área de 8m2 , 9m2 , 18m2

Rpta.:

04) El volumen de agua contenido en el sólido mostrado en la figura es:

3m5m

6m10m

Rpta.:

05) Si las aristas de un cubo se aumenta respectivamente en 2 , 4 y 6 entonces el volumen del paralelepípedo obtenido excede en 568m3 al volumen del cubo dado. Determinar la longitud de la diagonal de este cubo.

Rpta.:

06) Se tiene un prisma hexagonal regular donde el área de una cara lateral es igual al área de la base. Si la arista básica mide

. Determinar el volumen del sólido.

Rpta.:

07) En un prisma cuadrangular oblicuo; la sección recta es un cuadrado de 2m de lado. Calcular la relación entre el área lateral y el volumen del sólido.

Rpta.:

08) Un prisma triangular oblicuo tiene como base a un triángulo equilátero de 4dm de lado; 12dm de arista lateral y 9dm de altura. Determinar el área de la sección recta del sólido.

Rpta.:

Geometría 36


09) Se tiene una piscina de 40m de largo, 12m de ancho y 3,5 de altura. Se vierte 1500 litros de agua. Calcular a que distancia quedara el agua al borde la piscina.

Rpta.:

10) Calcular el volumen de un prisma cuya sección recta es un triángulo equilátero circunscrito a una circunferencia de 4m de radio y una área total que es 24m2.

Rpta.:

11) La altura de un prisma triangular es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a su base. Determinar el volumen de dicho prisma si el productote los 3 lados de las base es igual a “P”

Rpta.:

12) Se tiene un caja de fósforo cuyas dimensiones son 3 , 4 y 5cm respectivamente mas largo que se puede introducir en dicha caja.

Rpta.:

13) Calcular el volumen de un prisma regular tal que su base es un pentágono, cuyo apotema mide 4m y conociendo además que el área de una cara lateral es 16m2.

Rpta.:

14) Dado el vértice de la base de un prisma cuadrangular regular, se trazan: la diagonal del sólido y la diagonal de la base las cuales forman 45°. Si el área lateral del sólido es

. Hallar su volumen.

Rpta.:

15) En la figura se tiene un prisma recto, sobre la arista se ubica un punto “H” tal que

. Si el volumen del tronco de prisma H – ABC es 35m3. calcular el volumen del prisma ABCDEF.

D

E F

H

C

B A

Rpta.:

Geometría 37


16) En la figura ABCD es un rectángulo de 23m2 de área. Hallar el volumen del sólido ABCDEFG, siendo las aristas

, y perpendiculares al plano del rectángulo y de longitudes 5m , 7m y 6m respectivamente.

E

C

A

F

D

B

G

Rpta.:

17) Las longitudes de las aristas de un paralelepípedo rectangular son entre si como 3 , 4 y 12 respectivamente, su diagonal mide 6,5m. Hallar su área total.

Rpta.:

18) La diagonal de un paralelepípedo mide 10m y su área total es 261m3. Calcular la suma de las longitudes de todas sus aristas laterales.

Rpta.:

19) Se tiene un prisma recto de de largo, 5m de ancho

y 5m de altura. Determinar el mayor ángulo que forman sus diagonales.

Rpta.:

20) La base y del desarrollo de la superficie lateral de un prisma recto son cuadrado siendo “a” la lado del cuadrado mayor. Hallar el volumen del prisma.

Rpta.:

Geometría 38


PROBLEMAS PARA LA CASA01) Se tiene un prisma cuadrangular

regular cuya base tiene el lado que mide 4 y su altura mide 3. Hallar su volumen.

a) 24 b) 36 c) 48d) 60 e) 72

02) La base de un prisma triangular recto es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 5 y 12. Su altura es igual a la hipotenusa. Calcular el área lateral.

a) 370 b) 380 c) 390d) 500 e) 450

03) La arista mide 4. Calcular la distancia de un vértice al centro de una da de las caras que no contenga el vértice mencionado.

a) b) c)

d) e)

04) Las dimensiones de un rectoedro forman una progresión aritmética de razón 2, su volumen es igual a 105. calcular la diagonal del rectoedro.

a) b) 9 c)

d) e)

05) Se tiene en la figura un prisma regular ABC – DEF, si BC = 4 y AD = 3, calcular el volumen.

D

F

A C

B

E

a) b) c)

d) e)

06) El desarrollo de la superficie lateral de un prisma regular triangular es un rectángulo cuya altura mide 6 y su diagonal mide 12. Calcular el volumen del prisma.

a) b)

c) d)

e)

07) La suma de las diagonales espaciales de un cubo es . Calcular su volumen.

a) 64 b) 27c) 125 d) 8e) 216

08) En un rectoedro las diagonales de sus caras miden , y . Calcular su volumen.a) 32 b) 64c) 48 d) 54e) 36

Geometría 39


09) Calcular la suma de las longitudes de las tres dimensiones de un paralelepípedo rectangular, si su área total es 160m2 y su diagonal es 6m.

a) 13m b) 15mc) 14m d) 12me) 16m

10) Calcular el volumen de un prisma recto cuadrangular regular de altura 3m y de área lateral 60m2.

a) 150m3 b) 250m3

c) 100m3 d) 80m3

e) 75m3

11) Tres caras de un ladrillo rectangular tiene por áreas 6 , 8 y 10cm2. Hallar el volumen del ladrillo.

a) b)

c) d)

e)

12) De una lamina rectangular de 12cm de ancho y 21cm de largo, se construye una caja abierta, cortando un cuadrado de 2cm de lado en cada esquina. El volumen de la caja es cm3; es:

a) 136 b) 190c) 292 d) 272e) 324

13) La altura de un prisma rectangular es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a la base. Hallar el volumen, si el producto de los lados de la base es “A”.

a) A/3 b) A/4c) A/2 d) A/5e) A/6

14) La sección de un tronco de prisma triangular oblicuo es un triángulo equilátero de lado “a”, la suma de las aristas laterales es “b”. Hallar el área lateral.

a) a7b b) ab2

c) ab d) e) a

15) Hallar el volumen de un tronco de prisma oblicuo que tiene como base un triángulo equilátero cuyo lado mide

, sus aristas laterales miden 3cm , 4cm , 5cm , y están inclinadas 60° respecto a la base.

a) b) c) d) e)

Geometría 40


TEMA: PIRÁMIDE

Es un polígono limitado por una región poligonal llamada base y en su parte lateral limitada por regiones triangular consecutivas quien tiene un vértice común, el cual a su vez es el vértice de la pirámide.

En toda pirámide la perpendicular trazada desde su vértice al plano de la base se le denomina altura de la pirámide.

Notación: Pirámide O – ABCD

A

B

C

O

D

Arista básica

Arista básica

Base

Vértice

Altura

Pirámide Regular:- Una pirámide es regular si sus aristas laterales son congruentes y su base es un polígono regular. En toda pirámide regular el pie de su altura coincide con el centro de su base y la perpendicular trazada desde su vértice a cualquiera de las aristas básicas se denomina apotema.

En la figura se muestra una pirámide regular:

Geometría 41


O

D A

C

P

B

M

Apotem a (Ap)

Apotem a (ap)

P – ABCD - Ap: Apotema de la pirámide (PM)- ap: Apotema del polígono regular ABCD (OM)- : Altura de la pirámide; “O” es el pie de dicha altura y centro del

polígono regular.- : Medida del diedro formado por una cara lateral con la base.

En toda pirámide se cumple:

Área de la Superficie Lateral (S L):

Nota: POM

Área de la Superficie Total (S T):

Volumen (V):

TRONCO DE PIRAMIDE REGULAR

Geometría 42


Es aquel tronco de pirámide cuyas bases son regiones poligonales regulares de modo que sus centros están sobre una misma recta perpendicular a dichas bases.Sus caras laterales son regiones trapeciales congruentes entre si, la altura de cada una de ellas se denomina apotema del tronco de pirámide.

Base 1

Base 2

a

L K

J

IH

G

F E

D

C B

A

h

Notación: Pirámide Hexagonal Regular ABCDEF – GHIJKL

PIRAMIDES SEMEJANTES

Geometría 43


Si se traza un plano paralelo a la base ABC de una pirámide O – ABC, este determinara una sección MNL (Sección Transversal) la cual será la base de otra pirámide O – MNL semejante a la pirámide.

B

C

A

O

M L

N H

h

Si MNL // ABC Pirámide O – MNL Pirámide O – ABC

Luego se cumple:

1)

2)

3)

Geometría 44



01) Calcular el área total de una pirámide cuadrangular, si su altura mide y el área total de la cara lateral es igual a la de la base.Rpta.:

02) Se tiene un pirámide regular cuadrangular cuyo apotema es igual a la arista de la base y su área lateral es 128m2. Calcular la altura de la pirámide.Rpta.:

03) A que distancia de la cúspide de una pirámide de 6m de lato, se debe trazar un plano paralelo a la base, a fin que la pirámide generada sea 1/8 del volumen de la pirámide total.Rpta.:

04) La base de una pirámide regular es un triángulo equilátero inscrito en un círculo de 2m de radio. La superficie lateral de esta pirámide es igual al doble de la superficie de la base. Calcular el volumen.Rpta.:

05) En el grafico se muestra un paralelepípedo rectangular. Si la pirámide cuya base es la región sombreada y cuyo vértice es “P”, tiene volumen igual a 72m3. Calcular el volumen del paralelepípedo.

Rpta.:

06) El área total de una pirámide cuadrangular regular es los 3/2 de su área lateral. Calcular el volumen de la pirámide si la arista básica mide 2m.Rpta.:

07) Calcular el volumen de una pirámide cuadrangular regular. Si

el área lateral es igual a del

área de la base y el circunradio de la base mide .Rpta.:

08) Hallar el volumen de un tetraedro regular si la distancia entre dos aristas que se cruzan es .Rpta.:

09) Hallar el volumen de una pirámide cuadrangular regular si la arista lateral mide 10m y forma con la base un ángulo de 53°.Rpta.:

10) Hallar el volumen de un pirámide triangular regular si la apotema de la pirámide es el doble del apotema de la base y la arista lateral mide Rpta.:

Geometría 45


11) En una pirámide de base cuadrad, el lado de la base y la altura miden 5cm y 10cm respectivamente. Hallar el área de la sección paralela a la base que dista 8cm de esta.Rpta.:

12) Hallar el área total de un tronco de pirámide, cuadrangular regular si los lados de las base miden respectivamente 16cm y 4cm y la arista lateral mide 10cm.Rpta.:

13) Hallar el volumen de un tronco de pirámide triangular regular si los lados de las bases miden respectivamente y

, el ángulo diedro entre la cara lateral y la base mayor mide 60°.Rpta.:

14) Calcular el volumen de una pirámide hexagonal regular, si la longitud de su arista lateral es el triple de la longitud de la arista básica y la longitud de su altura es .Rpta.:

15) En una pirámide cuadrangular regular P – ABCD de volumen 363; “G” es el baricentro de la cara PAB y “M” es un punto de

. Calcular el volumen de la pirámide.

Rpta.:

16) Calcular el volumen de un pirámide cuadrangular regular, sabiendo que las aristas básicas y laterales mide

y 5m respectivamente.

Rpta.:

17) En una pirámide regular de base cuadrangular de 10m de lado. ¿Cuál es el área de la sombra que proyecta una de sus caras laterales en su base a los 12 meridianos?

Rpta.:

18) Una pirámide regular de base cuadrangular es cortada por su altura dividiéndola en tres partes iguales. Hallar la relación entre le volumen mayor y el menor.

Rpta.:

19) Hallar el área total de un tetraedro regular si su altura mide 4cm.

Rpta.:

20) Si una pirámide hexagonal regular tiene 8cm de arista básica y 14cm de altura, hallar:

a) Apotema en la base.b) Arista lateral.c) Apotema de la pirámide.

Rpta.:

Geometría 46



01) El área lateral de una pirámide hexagonal regular es igual a 202,5m2. La apotema mide 9m calcular el lado de la base.

a) 7,1m b) 7,2m c) 7,3md) 7,4m e) 7,5m

02) El área total de un tetraedro regular es igual a 6,922. Calcular la longitud de su arista.

a) 1 b) 2 c) d) e) 4

03) Calcular el área total de una pirámide cuadrangular regular cuyas caras laterales, son triángulos equiláteros y cuya arista básica mide “a”.

a) b)

c) d)

e)

04) Calcular la arista básica de un a pirámide cuadrangular regular de 600m2 de área total y 25m de apotema.

a) 6m b) 7m c) 8md) 9m e) 10m

05) Calcular el área lateral de una pirámide hexagonal regular en donde su base se encuentra circunscrita a una circunferencia e radio igual a 3 y además la arista lateral hace con la base un ángulo que mide 60°

a) 7 b) c)

d) e)

06) Las aristas laterales de una pirámide de base triangular son perpendiculares entre si y miden 6, 8 y 12. Calcular el volumen de la pirámide.

a) 92 b) 94 c) 90d) 96 e) 98

07) Se tiene una pirámide de 27m3

de volumen en ella se trazan dos planos secantes paralelas a la base que dividen a la altura en tres partes iguales. Calcular el volumen de la porción central.

a) 6m3 b) 7m3 c) 9m3

d) 10m3 e) 1m3

08) La arista de un octaedro regular el igual a 6m. Calcular el área total.

a) b)

c) d)

e)

Geometría 47


09) La base de una pirámide regular de base cuadrada cuyo lado mide 12m. La arista lateral de la pirámide mide 10m. calcular el área total.

a) 144 b) 192 c) 196d) 289 e) 366

10) En el cubo mostrado “P” es un punto de la cara ABCD. Calcular el volumen de la pirámide P – DEFG.

F

E

C

D

B

A

H

G6

a) 70 b) 72 c) 74d) 76 e) 78

11) En la figura se muestra el desarrollo de la superficie de

una pirámide cuadrangular regular. Calcular el volumen de la pirámide.

13A

B

C

D

A

O

a) 100 b) 150 c) 200d) 250 e) 300

12) El volumen de un cubo es igual a 122. Calcular el volumen del sólido que se forma al unir los centros de su cara.

a) 13 b) 23 c) 33

d) 43 e) 53

13) ¿?14) ¿?15) ¿?

Geometría 48


TEMA: CONO

El estudio sistemático de las pirámides y el circunscrito y el conocimiento de la circunferencia y algunas otras líneas curvas, han conllevado a la obtención y subsiguiente estudio de otras figuras, entre las cuales destaca el cono, el cual es muy parecido a una pirámide con la diferencia de que su base es una región curva en lugar de una poligonal.

Altura

Base

Superficie Lateral

Vértice o cúspide

* Cono de Revolución o Cono Circular Recto.- Es aquel sólido geométrico generado por una región triangular rectangular al girar 360° en torno a uno de sus catetos.

Geometría 49


rEje de giro

g

360°

r

hg

O

Superficie Lateral

Vértice o cúspide

Base

Generatriz

V

Nota: En un cono recto siempre se cumple: h2 + r2 = g2

. Área de la Superficie Lateral (SL)

. Área de la Superficie Total (ST)

. Volumen (V)

Geometría 50


* Desarrollo de la superficie lateral del cono.- El desarrollo de la superficie lateral del cono es un sector circular cuyo radio es la generatriz del cono y su superficie es equivalente a la superficie lateral del cono.

r

hgg

O

g g

* Sección axial de un cono circular recto.- La sección axial de un cono circular recto es un triángulo isósceles cuyos lados congruentes son dos generatrices diametralmente opuestos ya que su base es un diámetro de la base del cono y su vértice; el del cono.

Geometría 51


gg

r r

H

V

En la figura AVB, es la sección axial del cono mostrado.* Conos semejantes

H

h

P Q

R A

O

B

r

Se cumple:

*

Geometría 52


*

*

* Tronco de cono recto de revolución

g

r

R

Geometría 53


Geometría 54



01) Calcular el área total del cono generado por la rotación de un triángulo equilátero de 12m de lado, girando alrededor de su altura.

Rpta.:

02) En un cono de revolución, el área de la base es la mitad del área lateral. Calcular la medida del ángulo que la generatriz forman con la base.

Rpta.:

03) Calcular la altura de un cono sabiendo que el área lateral mide y el radio de la base mide 4cm.

Rpta.:

04) El diámetro de la base de un cono de revolución mide 20cm. Si las generatrices del cono están inclinadas a 60 con respecto al plano de la base. Calcular el área total en cm2.

Rpta.:

05) El área total de un cono de revolución es 175cm3 y su generatriz mide 30cm. Calcular el radio de la base.

Rpta.:

06) Calcular el área total de u cono de revolución, si el área de su base mide 150m2 y la revolución que hay entre el radio y la altura es de 3/4.

Rpta.:

07) Se muestran un cilindro recto y un cono inscrito. Calcular la relación de volúmenes.

r

r

Rpta.:

Geometría 55


08) En el grafico, calcular el volumen del cono de revolución. si el volumen del cilindro des de 21cm3.

Rpta.:

09) En la figura. Calcular el volumen del sólido interior al cilindro de revolución y exterior a los dos conos circulares rectos.

a

Rpta.:

10) Se tiene un cono cuyo radio de base y generatriz son proporcionales a 3 y 5 respectivamente. Hallar el área total del cono si el volumen es 96m3.

Rpta.:

11) La altura de un cono circular recto mide 6m, si el desarrollo de su área lateral es un semicírculo, hallar el volumen del cono.

Rpta.:

12) La altura de un cono circular recto mide 4cm. Hallar su volumen si el área lateral es el triple del área de la base.

Rpta.:

13) Hallar el volumen de un cono circular recto si las medidas del radio de su base y la altura. Están en una relación de 5 a 12 y el área lateral de dicho cono es 260cm2.

Rpta.:

14) Hallar el área total de un cono equilátero si la distancia del centro de la base a la generatriz mide 3m.

Rpta.:

Geometría 56


15) En un cono circular recto, una cuerda de 18m. esta en la base 225m2 de área hallar el volumen del cono si la distancia del vértice del cono a dicha cuerda mide 13m.

Rpta.:

16) El área de un triángulo rectángulo isósceles es 18m2, hallar el volumen del sólido generado al girar alrededor de su hipotenusa.

Rpta.:

17) Hallar el volumen de un cono de revolución de área lateral igual a “m” la distancia del centro de la base a una de sus generatrices es “m”.

Rpta.:

18) En la figura, calcular la distancia de “P” a la base superior del cilindro recto mostrado es equivalente a 18 conos de revolución como el que se indica en su interior, la altura de dicho cono mide 8cm.

P

Rpta.:

19) El área lateral de un tronco de cono es igual la suma de las áreas de sus bases, cuyos radios miden 1m y 2m. Hallar el volumen del tronco de cono.

Rpta.:

20) Hallar el área lateral de un tronco de cono de 3m de altura, si su generatriz forma con la base mayor un ángulo de 69° y el radio de la base mayor es el doble del radio de la base menor.

Rpta.:

Geometría 57



01) Se tiene un cono recto, tal que visto de frente se ve como un triángulo rectángulo. Si el diámetro de la base del cono mide 12. Calcular el volumen del cono.

a) 16 b) 54 c) 48d) 72 e) 81

02) Un cono circular recto, cuya altura mide 8, esta circunscrito a una esfera cuyo radio mide 3. Calcular el volumen del cono.

a) 100 b) 144 c) 96d) 128 e) 84

03) En que relación se hallan los volúmenes de un cono recto y del cilindro circunscrito a el.

a) 1/3 b) 1/4 c) 1/5d) 1/6 e) 1/7

04) Calcular el área total de un cono equilátero sabiendo que el radio de la esfera inscrita en el mide “r”.

a) 9r2 b) 2r2 c) 3r2

d) 4r2 e) 5r2

05) Calcular el volumen del cono recto cuya generatriz mide 6 y forma con el plano de la base un ángulo que mide 60°.a) b) c)

d) e)

06) Si el área lateral de un cono de revolución es el doble del área de la base, calcular la medida del ángulo que forman la generatriz y la altura.

a) 30° b) 45° c) 60°d) 37° e) 53°

07) El volumen del cono menor es 48, calcular el volumen del cono mayor.

8

2

a) 375/8 b) 375/4 c) 375/2d) 375 e) 172

08) En un círculo, la distancia del centro a una cuerda que mide 8 es 2. Calcular el área lateral de un cono cuya base es el círculo y cuya altura mide 4.

a) b) c)

d) e) 09) Calcular el volumen del cono

recto cuya área lateral es igual

Geometría 58


al doble del área de la base, si el medio de la base mide 2.

a) b) c)

d) e)

10) Calcular el área total de un cono de revolución. Si la generatriz y la altura se diferencian en 1. además el radio de la base mide 5.

a) 90 b) 45 c) 36d) e) 27

11) Un cono equilátero esta inscrito en un cilindro de revolución de modo que sus bases coinciden. Si el área total del cono es 27. Calcular el volumen del cilindro.

a) b) c)

d) e)

12) Un cono circular recto cuya altura mide 10, esta circunscrito a una esfera de radio 4, calcular el volumen del cono.

a) b)

c) d)

e)

13) Calcular el volumen del cono equilátero inscrito en una esfera cuyo radio mide “R”.

a) b) c)

d) e)

14) En un cono de 9cm de altura y cuya base tiene 8cm de diámetro se inscribe un cilindro cuyo radio e mayor que 1 y cuya área lateral es 10. Hallar dicho radio.

a) 12/5 b) 5/3 c) 10/3d) 8/5 e) 1/5

15) Un triángulo isósceles de base 10cm y altura 8cm. Gira alrededor de una perpendicular a la base levantada en uno de sus extremos. Hallar el volumen generada al rotar 360°

a) 100cm3 b) 20cm3

c) 400cm3 d) 500cm3

c) 20cm3

Geometría 59


TEMA: CILINDRO

Es aquel sólido geométrico comprendido entre sus planos paralelos entre si y secantes a una superficie curva cerrada denominada superficie lateral cilindro y en los planos paralelos se determinan secciones planos congruentes, las cuales se denominan bases del cilindro.

En la superficie lateral del cilindro se ubican segmentos paralelos entre si y congruentes, cuyos extremos son los puntos del contenido de las bases, dichos segmentos se denominan generatrices.

Altura Generatriz

Superficie Lateral

Base

Base

Cilindro Circular Recto o Cilindro de Revolución

Es aquel cilindro recto cuyas bases son circulares. También denominado Cilindro de Revolución porque es generado por una región rectangular al girar 360° en torno a uno de su lados.

Geometría 60


h

r

h

r

r

O 1

O 2

x

Eje de giro

* Sección axial de un cilindro recto.- Toda sección producida en un cilindro recto determinada por un plano secante que contenga a los centros de las base del cilindro se denomina sección axial, la cual generalmente es una región rectangular.

r

rr

rA

B

C

D

g

Geometría 61

En la figura ABCD es la sección axial del cilindro recto:

SABCD = 2g . r


* Desarrollo de la superficie lateral de un cilindro circular recto.- Es el desarrollo del al superficie lateral del cilindro circular recto.

r

r

g g

r2

. Área de la Superficie Lateral (SL)

. Área de la Superficie Total (ST)

. Volumen (V)

* Cilindro Oblicuo

Geometría 62


B

B

SR

g

h

En donde:SR : Sección RectaÁreaB : Área de la base Bh : Alturag : generatriz

* Tronco de Cilindro Recto

Geometría 63


Eje

O 2B

BaseO 1

g

G

Eje =

G : Generatriz Mayor.g : Generatriz Menor

Geometría 64



01) Calcular el volumen de un cilindro de revolución, si su altura es igual al diámetro de la base, su área total es 12.

Rpta.:

02) La relación numérica entre le volumen y el área lateral de un cilindro de revolución es 1/4. Calcular la altura, si el área de la base es 3/2 del área lateral.

Rpta.:

03) Un vaso cilíndrico de radio de las base “R” y de altura “h” esta lleno de agua, si se vierte esta agua a otro vaso cuyo radio mide “2R”. hallar la altura que alcanza el agua.

Rpta.:

04) Un rectángulo cuya área es 18, gira una vuelta completa alrededor de uno de sus lados, la longitud de la circunferencia que describe al centro del rectángulo es 2. Hallar el volumen del cilindro que se genera.

Rpta.:

05) Un cilindro de revolución se encuentra en el interior de un cuarto, sus proyecciones sobre el techo tienen un área de 9 y sobre una de las paredes tiene un área de 24. Hallar el volumen del cilindro.

Rpta.:

06) Un cuadrado cuyo lado mide 4 gira una vuelta completa alrededor de uno de sus lados. Determinar el volumen del sólido que se obtiene.

Rpta.:

07) Si se hace girar un rectángulo de lados “a” y “b”; alrededor del lado “b” se genera un cilindro; si se le hace girar alrededor del lado “a” se genera otro cilindro. Hallar la relación de los volúmenes de los dos cilindros.

Rpta.:

08) El área total de un cilindro de revolución es 25, su altura es igual el diámetro de la base. Hallar su altura.

Rpta.:

Geometría 65


09) Hallar el volumen de un cilindro de revolución de 10cm de altura, si el desarrollo de la superficie tiene un área de 100cm2.

Rpta.:

10) El área total de un cilindro de revolución es “S” y la media armónica entre le radio de la base y la altura es “M”. Hallar su volumen.

Rpta.:

11) Hallar el volumen de un tronco de cilindro, si su sección recta es un círculo y la generatriz mayor es 8, la menor es cero, las bases son congruentes y forman un diedro de 60°.

Rpta.:

12) Un cilindro esta lleno de agua hasta la mitad. Se suelta un pedazo de metal y el agua sube 3,5cm. Si el radio de la base del cilindro es 4cm. Hallar el volumen del pedazo de metal.

Rpta.:

13) La relación numérica entre el volumen y el área lateral de un cilindro de revolución es 1/4, calcular su altura, si el área de la base es 3/2 del área total.

Rpta.:

14) Si se hace girar un rectángulo de lados “a” y “b” alrededor de “b” se genera un cilindro. Hallar la relación de los volúmenes de los dos cilindros.

Rpta.:

15) Calcular el volumen de un tronco de cilindro de revolución recto si el eje del tronco es igual al diámetro de la base y el área lateral es 64.

Rpta.:

16) Las generatrices de u tronco de cilindro de revolución circunscrito a una esfera miden 5 y 4. Hallar el volumen del tronco del cilindro.

Rpta.:

17) En el grafico, calcular el volumen del cilindro circular recto. Si ,

y mBP = 60°.

Geometría 66


A

B

P

Rpta.:

18) Si “N” es punto medio de y NH = 2(HC); hallar el volumen del cilindro de revolución si

.

H

A

B D

C

N

Rpta.:

19) Un rectángulo cuyos lados miden 5m y 7m gira sucesivamente alrededor de cada uno de sus lados, originando dos cilindros. ¿Cuál es la diferencia a de sus revoluciones?

Rpta.:

20) Dos cilindros so equivalentes, la altura del primero mide 6cm y la del segundo mide 24cm. El radio del primero es de 8cm. Calcular la medida del radio del segundo.

Rpta.:

Geometría 67


Geometría 68



01) Calcular el área total de un cilindro de revolución circunscrita una esfera de radio “r”

a) 2r2 b) 3r2 c) 4r2

d) 6r2 e) 8r2

02) El área total de un cilindro recto es igual a “S” y la media armónica entre el radio de la base y la altura del cilindro es “m”. Calcular el volumen del cilindro.

a) b) c)

d) e)

03) Un vaso cilíndrico de diámetro “d” y altura “h” esta lleno de agua, si se vierte esta agua en otro vaso de diámetro “2d”. ¿Hasta que altura “H” subirá el agua?

a) h/2 b) h/6c) h/4 d) h/12e) h/16

04) Si la relación entre el volumen y el área lateral de un cilindro de revolución es 1/4. Calcular la altura si el área de la base es 3/2 del área lateral.

a) 1/2 b) 1/4c) 1/8 d) 2/3e) 1/6

05) Un cilindro esta lleno de agua hasta la mitad, se suelta un pedazo metálico y el nivel de agua sube 3,5. Si el volumen del cilindro es 8. Calcular el volumen del pedazo.

a) 221 b) 232c) 224 d) 223e)

06) Un cilindro de revolución esta circunscrito a una esfera cuyo volumen es 36. Calcular el área total del cilindro.

a) 36 b) 48c) 54 d) 72e) 27

07) Calcular el área lateral del cilindro recto en el cual el área del rectángulo generador es igual a “A”.

a) 2A b) A/2c) A d) 2/Ad) 4A

08) Un cilindro recto es generado por la rotación de un rectángulo cuya área es 10. Calcular el área lateral del cilindro.

Geometría 69


a) 30 b) 20 c) 10d) 9 e) 8

09) El desarrollo de la superficie lateral de un cilindro tiene una diagonal igual a 13. si la altura del cilindro mide 5, calcular su volumen.

a) 720/ b) 180/ c) 90/d) 45/ e) 360/

10) Calcular el volumen de un cilindro de revolución de altura igual a 8. Si el desarrollo de su superficie lateral tiene una diagonal igual a 10.

a) 72/ b) 36/ c) 18/d) 9/ e) 3/

11) En un prisma triangular regular se inscribe un cilindro ¿Qué relación existe entre las áreas laterales de estos dos cuerpos?

a) b) c)

d) e)

12) Un vaso cilíndrico cuyo diámetro mide 20 y su altura 40, esta lleno de agua. Si se vierte esta agua en otro vaso cuyo diámetro mide 40. ¿Cuánto medirá la altura que subirá el agua?

a) 7 b) 9 c) 10d) 12 e) 15

13) Si el número que expresa el área lateral de un cilindro de revolución y el número que expresa su volumen son iguales. ¿Cuánto mide el radio de su base?

a) 1 b) 1,5 c) 2d) 2,5 e)

14) En un cilindro recto, si la altura aumenta en 12, el volumen aumenta en “x”, Si el radio de la base del cilindro aumenta en 12, el volumen aumenta en “x”. Calcular el radio original si la altura original mide 4.

a) 4 b) 8 c) 10d) 12 e) 14

15) Calcular el volumen del cilindro recto circunscrito a un exaedro regular cuya diagonal mide .

a) 24 b) 36 c) 154d) 72 e) 108

Geometría 70


Geometría 71


TEMA: ESFERA

Es aquella superficie generada por una semicircunferencia al girar 360° en tono a su diámetro.

Grafico

ASE: Área de la Superficie Esférica.

Nota: Si el plano H es tangente a la superficie esférica

ZONA ESFÉRICAEs la porción de superficie esférica comprendida ente dos circunferencias determinadas por dos planos paralelos y secantes a la superficie esférica.

Grafico

CASQUETE ESFÉRICO Es la porción de superficie esférica que se determina por un plano secante a ella.

Grafico

HUSO ESFÉRICOEs la porción de superficie esférica comprendida entre dos semicircunferencias máximas del mismo diámetro.

Geometría 72


Grafico

AHE: Área del Huso Esférico. : Medida del ángulo del huso o ángulo de giro

SECTOR ESFÉRICOEs aquel sólido generado por un sector circular al girar 360° en torno a un diámetro del círculo correspondiente, estando el sector en un mismo semiplano respecto del eje de giro.

Grafico

h : Longitud de la proyección ortogonal del arco AB sobre le eje de giro.VSE: Volumen del sector esférico.

ANILLO ESFÉRICODefinición:Es el sólido generado por un segmento circula al girar 360° entorno a un diámetro del círculo correspondiente, estando el segmento circular en un mismo semiplano respecto del eje de giro.

Grafico

h : Longitud de la proyección ortogonal del arco AB sobre el eje de giro. : Longitud de la cuerda AB.

VAE: Volumen del anillo esférico.

SEGMENTO ESFÉRICO DE DOS BASES

Geometría 73


DefiniciónEs la porción de esfera comprendida entre dos planos para de los entre si y secantes a la esfera

Grafico

VSE: Volumen del segmento esférico de dos bases.h : Distancia entre los planos paralelos.

¿Qué es un segmento esférico de una base?Es aquella porción de esfera determinada por un plano secante a ella.

Grafico

VSE : Volumen del Segmento Esférico de una base

TEOREMA DE PAPPUS – GULDINSuperficie de Revolución El área de la superficie generada por un alínea plana al girar 360° en torno a una recta coplanar y no secante a dicha línea es igual al producto de las longitudes de la línea y de la circunferencia que describe su centroide.

Grafico

ASG: Área de la superficie generada.L : Longitud de la línea ABC : Centroide de la línea AB

Geometría 74


: Radio de la circunferencia descrita por el centroide.

SÓLIDO DE REVOLUCIÓNEl volumen del sólido generado por una región plana al girar 360° en torno a una recta coplanar y no secante a dicha región es igual al área de la región multiplicada por la longitud de la circunferencia que describe su centroide.

Grafico

VSG : Volumen del sólido generado.A : Área de la región generadora.C : Centroide de la región generadora.

: Radio de la circunferencia descrita por el centroide.

Geometría 75



01) Cual es la diferencia de volúmenes si una esfera esta inscrita en un cilindro de generatriz igual a 6.

Rpta.:

02) En una esfera de radio R, se inscribe un cono de altura “h” y base de radio “r”, la relación entre r , h y R es:

Rpta.:

03) Calcular el volumen del cono de revolución que se muestra, si el volumen de la esfera es 363.

Rpta.:

04) Se tiene una esfera de radio “r” y un cilindro de revolución donde “r” es el medio de la base, además la superficie esférica y la superficie lateral del cilindro son equivalentes. Calcular la razón de volumen de dichos sólidos.

Rpta.:

05) Calcular el volumen del sólido generado por la región sombreada al girar 360°, alrededor de la recta

, si NB = 7.

Rpta.:

06) Los radios de dos esferas son entre si como 2 es a 3. si el área de la primera es 400cm2; calcular el área de la segunda esfera.

Rpta.:

07) La generatriz mayor y menor de un tronco de cilindro circular recto miden 6m y 2m, Hallar el radio de la esfera inscrita en dicho tronco.

Rpta.:

08) La altura y el radio de la base de un cono recto son iguales al radio de una esfera, además el volumen del cono es 1m2, hallar el volumen de la esfera.

Rpta.:

09) Una esfera de volumen “V” es calentada hasta que su radio aumenta en un décimo. ¿Cuál es el nuevo volumen d la esfera?Rpta.:

Geometría 76


10) El radio de la base de un cilindro recto, circunscrito a una esfera de 3m. Hallar la relación de sus volúmenes.

Rpta.:

11) Sean E1 y E2 dos esfera, si el volumen de E2 es el doble que el volumen E1, y el radio de E1 es

. Hallar el volumen de E2.

Rpta.:

12) Se circunscribe un cono circula recto a 2 esferas tangotes exteriormente de radio 2 y 6. Evaluar la altura del cono.

Rpta.:

13) Del problema anterior. Hallar su volumen.

Rpta.:

14) Del problema #12. Hallar el radio del cono.

Rpta.:

15) Hallar el volumen de un cono equilátero, sabiendo que la esfera inscrita tiene un radio que mide 6m.

Rpta.:

16) La relación entre el área de dos superficies esféricas concéntricas es 2568/215. Cual es la relación entre las medida de sus radios.

Rpta.:

17) Hallar el área de la superficie limitada por una esfera, un círculo menor de esta, cuyo radio mide 4m y un círculo máximo de radio 5m paralelo a dicho círculo menor.

Rpta.:

18) El volumen de una cuña esférica de 60° es de

. Hallar el área total de la cuña esférica.

Rpta.:

19) Un cilindro de altura 4m y radio de la base 1,5m esta inscrito en una esfera. Hallar la relación de volúmenes.

Rpta.:

20) Se tiene un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyos lados de las bases miden 4m y 8m respectivamente. Hallar el volumen de la esfera inscrita en dicho tronco.

Rpta.:

Geometría 77



01) A una distancia igual a 3m del centro de una esfera se traza una secante la cual determina una sección cuya área es igual a 16. Calcular el radio de la esfera.

a) 5 b) 7c) 8 d) 10e) 11

02) De una esfera, cuya área es “A”, se han obtenido dos semiesferas. Calcular el área total correspondiente a una semiesfera.

a) b)

c) d)

e)

03) Una esfera esta inscrita en un cubo; el radio de la esfera es 4. Calcular la diagonal del cubo.

a) b) c) d) e)

04) La esfera circunscrita a un cubo tiene un radio igual a . Calcular la arista del cubo.

a) 1 b) 1,5c) 2 d) 2,5e) 3

05) Si el área de la superficie esférica es numéricamente igual al volumen de la esfera, calcular el radio.

a) 1 b) 2c) 3 d) 4e) 5

06) Calcular el volumen de la esfera máxima que se puede inscribir en una semiesfera de radio “R”

a) b)

c) d)

e)

07) Determinar a que distancia del centro de una esfera de radio

Geometría 78


se debe seccionar con un plano para que la diferencia de las áreas de los casquetes esféricos determinados sea igual al área de la sección que divide a la esfera de dichos casquetes.

a) 0,6m b) 0,8mc) 1m d) 11,2me) 1,1m

08) Determinar el volumen de un segmento esférico de dos bases. Si la distancia entre sus bases es 4m y el radio de la sección equidistante a las bases es igual a 3m.

a) b)

c) d)

e)

09) En una esfera de radio “R” se halla inscrito un cono circular recto de altura “h”. Hallar la superficie lateral del cono.

a)

b)

c)

d)

e)

10) Se tiene una esfera cuyo radio mide 1m, un cilindro y un cono equilátero circunscritos a esta esfera. Hallar la suma de los volúmenes de los 3 sólidos.

a) b)

c) d)

e)

11) Calcular el volumen de la esfera circunscrita a un

octaedro regular de de

volumen.

a) 1m3 b) 0,5m3

c) 1,5m3 d) m3

e) 2m3

Geometría 79


12) Hallar el área de la base de un segmento esférico cuyo Casquete es de 2m2 de superficie correspondiente a una esfera cuyo radio mide

.

a) 1m2 b) 1,5m2

c) 2m2 d) 2,5m2

e) 3m2

13) En la figura, hallar el ara del Casquete menor que determina la intersección del cono con la esfera inscrita en un cilindro de revolución, “O” centro de la esfera.

O

m5

a) 2m2 b) 4m2

c) 8m2 d) 12m2

e) 16m2

14) Una esfera de 6m de radio es interceptada por un plano, el cual dista 4m del centro de la esfera, calcular el ara del menor Casquete esférico determinado.

a) m2 b) 24m2

c) 12m2 d) 4m2

e) 6m2

15) Que cantidad de pintura se debe de utilizar para pintar una esfera cortada en cuatro partes iguales. El radio d la esfera mide “R” en:

a) 4R2 b) 6R2

c) 8R2 d) 10R2

e) 12R2

Geometría 80


Geometría 81


MISCELÁNEAS

01. Se tienen los puntos colineales A, E, B, C, F y D siendo “E” y “F” puntos medios de AB y CD respectivamente, calcular EF siendo +BD= 20m.

a) 20 v b) 15c) 10 d) 5e) 1

02. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D, siendo “B” punto medio de . Calcular AB siendo 3BD = 4AC, además AD = 2..

a) 2m b) 3c) 4 d) 6e) 1

03. Se tiene los puntos colineales A, B, C, D y E dispuestos de manera que AC + BD + CE = 45, calcular AE siendo 2AE = 3BD

a) 7 m b) 21c) 27 d) 29e) 30

04. Se tienen los puntos colineales: P, A, B, C y D, dispuestos de modo que: Y PC = 2PD+ 5PB, además 15 = 2AD + 5ANB, hallar AC.

a) 1 m b) 2mc) 1/2m d) 24 me) 15m

05. Se tiene los puntos colineales A, B, C, D, E y F, siendo AC + BD + CE + DF = 39 8BE = 5AF, Calcular AFa) 12 m b) 16mc) 18 m d) 24me) 36 m

06. Se tienen los puntos colineales A, B, C, D, E,…, Z. De modo que:AB = 1, BC = 1/2, CD = ¼, DE = 1/8, EF = 1/6 … Calcular AZa) 1 m b) 2mc) 4m d) 8me) 6 m

07. Se tienen los puntos colineales A, B y C, siendo AC = 3m, AB . AC = 2(AB2 – BC2), hallar AB.a) 3 b) 6c) 9 d) 12e) 15

08. Se tienen los puntos colineales A, B, C y D de modo que AB, BC y CD, se hallan en progresión aritmética. CD excede a AB en 6m. AD = 27, hallar CD.a) 3 b) 6c) 9 d) 12e) 18

09. Se tienen los puntos colineales A, B, M, C y D, siendo “M” punto medio de AD, AB + CD = 10, BM – MC = 2, calcular CD.

Geometría 82


a) 3 b) 6c) 9 d) 12e) 15

10. Los puntos L; O; V y E de una recta son de la forma que lo es la media aritmética de LV y VE. Hallar LE si OE2 + 1 = OE

a) 1 b) 3c) 1.5 d) 2e) 4

11. Se tienen los ángulos consecutivos , y

. Calcular el ángulo siendo OC, bisectriz

del . + = 56º

a) 56º b) 28ºc) 14º d) 7ºe) 18º

12. Se tienen los ángulos consecutivos y , el 1ro mayor que el 2do, siendo su diferencia 44º, OX es la bisectriz del , Calcular .

a) 44º b) 22ºc) 11º d) 9ºe) 10º

13. La diferencia entre el suplemento y el complemento de “” es igual al sextuplo de “”. Calcular “”.

a) 5º b) 10ºc) 15º d) 20ºe) 25º

14. El suplemento de excede en sus 4/7 a la medida de “”. Calcular “”.

a) 54º b) 27ºc) 36º d) 21ºe) 15º

15. Calcular la m AOC en la figura adjunta.

2K

3K + 20º3K - 20º

A

CD

BO

a) 22º30’ b) 45ºc) 36º d) 54ºe) 90º

16. Un ángulo llano es dividido en 5 ángulos parciales en progresión aritmética. Calcular el menor si su cuadrado es igual al ángulo mayor.

a) 2º b) 4ºc) 6º d) 8ºe) 10º

17. La suma de 2 ángulos es 120º. El complemento del 1ro

es igual a 11 veces el complemento del 2do. Calcular la relación de los ángulos.

a) 13/5 b) 11/3c) 15/7 d) 17/7e) 14/7

Geometría 83


18. Los ángulos y forman un par lineal y sus medidas están en la relación 2 a 3. Hallar la diferencia de las medidas de los ángulos formados por las bisectrices respectivas y el lado común.a) 18º b) 36ºc) 37º d) 15ºe) 12º

19. En la figura L1 // L2 // L3 y + Ø 200º. Hallar x. L

L

L

1

2

3

x

a) 40º b) 60ºc) 80º d) 100ºe) 50º

20. Si la diferencia entre el suplemento y el complemento de un ángulo es igual al triple de la medida del ángulo, hallar el suplemento del complemento de dicho ángulo.a) 120º b) 90ºc) 135º d) 150ºe) 100º

21. En el triángulo ABC, AB = 6. AC = 10, las bisectrices, interior de “A” y exteriores de “C” y “B” se cortan en “F”, se traza FH AC AH = 14m.a) 9 b) 12c) 15 d) 18e) 21

22. En el triángulo rectángulo ABC = 15º. BD es la bisectriz de = 30º, calcular

.

30º15ºX

45º

A

B

C

D

45º

a) 5º b) 10ºc) 15º d) 20ºe) 25º

23. EN el + AB, m BAP = 10º m APQ = C = 60º, BP = 6m. Calcular PQ.a) 6m b) 9mc) 12m d) 15me) 5m

24. En el + ABC se traza la ceviana BR, en cuya prolongación se ubica “D” de modo que DA = AB = BC m DRC = 30º. Calcular m ADR.a) 30º b) 45ºc) 53º d) 60ºe) 15º

25. En el triángulo ABC, =100, =10º en la prolongación de

la bisectriz BM se ubica el punto “O” de modo que m DAM = 30º. Hallar m DCM.

a) 5º b) 10º c) 15º

Geometría 84


d) 20º e) 30º

26. Sobre los lados , y de un triángulo ABC se

ubican los puntos “P”, “Q”, “R” de modo que , m DRQ = 90º además +

= 65º, calcular si AB = BC.a) 5º b) 10º c) 15ºd) 20º e) 25º

27. Calcular “” en la siguiente figura:

2

6

a) 10º b) 15º c) 20ºd) 25º e) 60º

28. Calcular en la figura:50º 80º

100º 30º

a) 30º b) 45ºc) 60º d) 75ºe) 90º

29. Sabiendo que m RBS = 90º m A = 30º, m C 15º AR = CS. Calcular m x

A

B

CR30º 15º

S

a) 5º b) 7º30’c) 10º d) 15ºe) 20º

30. Calcular

P

A

B

C

a) 10º b) 15ºc) 20º d) 30ºe) 40º

31. Calcular el número de lados del polígono regular en el cual, su ángulo interior es el cuádruple de su ángulo exterior.

a) 4 b) 6c) 8 d) 10e) 15

32. Calcular el número de lados del polígono regular en el cual, al dividir la medida de un ángulo interior entre la de su

Geometría 85


ángulo central, se obtiene 3,5 de cociente.

a) 7 b) 8c) 9 d) 10e) 11

33. La medida del ángulo interior de un polígono regular cuyo número de vértices es un tercio del número de diagonales es:

a) 120º b) 130ºc) 140º d) 150ºe) 60º

34. Calcular el número de lados del polígono regular en el cual, el cuadrado de su ángulo central es 15 veces la medida de su ángulo interior.

a) 2 b) 6c) 10 d) 12e) 18

35. ¿Cuántas diagonales tiene un polígono regular si su ángulo interior es el triple de su ángulo central?.

a) 10 b) 15c) 20 d) 25e) 30

36. En cierto polígono, desde (n-4) vértices consecutivos se trazan 32 diagonales, hallar n.

a) 6 b) 8c) 10 d) 12e) 16

37. Hallar el número de lados de un polígono, en el cual al duplicar su número de lados, su número de diagonales queda multiplicado por siete.

a) 5 b) 7c) 9 d) 11e) 16

38. Hallar el máximo número de ángulos interiores agudos de un polígono.

a) 3 b) 5c) 7 d) 4e) 5

39. Hallar el número de diagonales de un polígono, cuya suma de ángulos interiores es 900º.

a) 7 b) 14c) 21 d) 28e) 16

40. Si se aumentan tres lados a un polígono, su número de diagonales aumenta en 15. Hallar el número de lados del polígono original.

a) 5 b) 7c) 9 d) 11e) 13

Geometría 86

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