MATEMATICA III CeGo-nLINE

1

a

EXAMEN FINAL 2010-I

1-Sea R una bola homogénea de masa M y radio R. Sea Aun punto a una

distancia H del centro de la bola, H>R. CalculeR

q

, donde δ es la densidad y

q es la distancia desde el punto P en R hasta A.

Solución:

Para un diferencial de volumen: 2 ( ) ( ) ( ) ( )dv sen d d d

Por teorema de cosenos: 2 2 2 2 cos( )q H H

2

2 2

2 3

,

( ) ( ) ( ) ( )

2 cos( )

2 ( ) ( ) 4

3

R R

sen d d d

q H H

d d R

H H

34

3R

R

q H

2-Un campo eléctrico irradia potencia a razón de 2

2

(sin ( ))k

unidades por metro

cuadrado en el punto ( , , )p .Halle la potencia total que irradia a la

superficie esférica a .

Solución:

Sea: ( cos , , cos )r sen sen sen

Del dato: dU

PdA

entonces 2

2

(sin ( ))

s

kU dA

dr drdA d d

d d

:Si a 2dA a sen d d

H

R

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2

H

R

22

2

(sin ( ))

s

kU a sen d d

a

8

3

kU

3-Las áreas de las proyecciones de una pequeña región delgada de superficie

regular sobre cada uno de los tres planos coordenados son 0.01, 0.02, 0.03

¿Esta información es suficiente para hallar el área de la región?.Si es así

determine el área; si no explique ¿por qué?.

Solución: Si se trata de una pequeña región entonces, la

proyecciones en los planos coordenados son 1S , 2S , 3S

1 cosS dA , 2 cosS dA , 3 cosS dA

Por propiedad de ángulo diedro se tiene que:

2 2 2cos cos cos 1

Entonces: 2 2 2 2( cos ) ( cos ) ( cos ) ( )dA dA dA dA

0.0374dA

4-Calcule el área de una zona esférica de altura cuya longitud es H , en una

superficie esférica de radio R.

Solución:

Parametrizando : ,r =R(cos sen , sen sen , cos )

El área es ( )s

s

dr drA d d

d d

2 2 2

1 2 3

2 2 20.01 0.02 0.03 0.0374

S S S dA

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3

2

1

2

( )

2

( ) 2

s

s

s

A R sen d d

A R sen d

Observando : 1 2(cos cos )H R

El área ( ) 2sA RH

5-Calcule el flujo del campo vectorial

3 3 3( , , )x

F x y z

, a través de la superficie

lateral del cono circular recto de altura H y radio de la base R.

Solución:

Sea un cono orientado como la figura : 2 2 2

2 2

( )x y H z

R H

Parametrizando: ( cos , , ( ))H

r sen RR

3 3 3

,

.

(( cos ) , ( ) , ( ( )) )

x

s

F dS

HF sen R

R

dr drdS d d

d d

entonces: ( cos , , )

H HdS sen d d

R R

4 3 34 4

2

2 4 2 3 3

2

0 0

3

( )( (cos ) )

2 ( )( (1 ) )

2

( )5 10

s

R

H H Rsen d d

R R

H sen H Rd d

R R

R HHR

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4

1 1ˆ ˆ ˆ

f f ff e e e

sen

6-Considere un sistema de coordenadas esféricas ( , , ) .En determinado

punto, sean ˆ ˆ ˆ, ,e e e vectores unitarios que apuntan en la dirección del

crecimiento de ( , , ) respectivamente. Sea la función definida en el espacio.

Calcule f .

( cos , , cos )r sen sen sen los vectores son: ˆ ˆ ˆ, ,

dr drdr

d dde e edrdr dr

dd d

1, ,dr dr dr

h h sen hd d d

Si la gradiente de una función es

En coordenadas esféricas:

7-Sea R una bola de radio a removida por una barra cilíndrica de diámetro a cuyo lado pasa por el centro de la esfera a) Bosqueje R b) Observe que R consta de 4 pedazos congruentes. Halle el volumen de uno de estos pedazos usando coordenadas cilíndricas.

c) El siguiente cálculo produce un valor para el volumen de R

Solución:

Las ecuaciones son: 2 2 2z a , cosa

2 2

cos

cos cos2 2 2 32 2 2 2 2

0 0 0 0 0 0 0

1

3

a

aa a

V dz d d a d d a d

3 34

6 9

a aV

La parte ©:

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5

2 2

2 2

cos

cos cos2 2 2 32 2 2 2 2

0 0

2 2 2 0

22

3

a

aa a

a

V dz d d a d d a d

El error : si 02

0sen , 0

2

, 0sen lo correcto es

32 3

23

2

21

3

asen d

=3 32 16

3 9

a aV

8-Bosqueje una muestra de vectores para el campo vectorial dado ( , 2 )F x y

.

9-Si 2 ˆ ˆ10 ( )z

zG e e e , determine el flujo de G hacia afuera de la superficie

entera del cilindro 1,0 1z .Compruebe el resultado con el teorema de la

divergencia.

Solución:

pasando : 2 2 2(10 cos ,10 ,10z z zG e e sen e )

Flujo lateral: (cos , ,0)dr dr

dS d dz sen d dzd dz

Este bloque Esta bien operado

x

y

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6

2 1

2 2 2

1

0 0

. 10 (cos )z

s

GdS e sen d dz

= 22 (5 5 )e

Flujo cara abajo: 0, (0,0, 1), (10 cos ,10 ,10)z n G sen

2 2 2. 10 10s

G ndA A

Flujo cara arriba: 2 2 21, (0,0,1), (10 cos ,10 ,10 )z n G e e sen e

2 2

3 3 3. 10 10s

G ndA e A e

El flujo total: 1 2 3 0

Teorema de la divergencia: . ( )neto

s v

G dS div G dv

en cilíndricas ˆ (cos , ,0)e sen ,

ˆ (0,0,1)ze

2 2(20 20 ) 0z z

v

e e dv

10-¿Cuál es la integral de la función 2x z tomada sobre toda la superficie del

cilindro circular recto de altura H y base 2 2 2x y a ?¿cual es la integral de la

función dada tomada sobre todo el volumen del cilindro?

Nos piden: 2

v

V x zdv

En cilíndricas dv d d dz , cos ,x y sen

3 2cosv

V zd d dz

24 22

00 0

cos4 2

a h

zV d

=4 2

8

a H