Vázquez, H. 2009 1

4. VARIABLES ALEATORIAS Y

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

INDICE GENERAL DEL CAPÍTULO 4.1 Variables aleatorias discretas y . continuas 4.1.1 Introducción 4.1.2 Ejercicios resueltos 4.1.3 Guía de ejercicios 4.2 Esperanza Matemática 4.2.1. Ejercicios Resueltos 4.2.2 Ejercicios Propuestos 4.3 Distribuciones de Probabilidad para . variables aleatorias discretas 4.3.1 Distribuciones de Probabilidad . discreta 4.3.1.1. Distribución Binomial 4.3.1.2. Distribución Geométrica

4.3.1.3. Distribución Hipergeométrica 4.3.1.4. Distribución de Poisson . 4.3.2. Ejercicios Resueltos 4.3.3 Ejercicios Propuestos 4.4 Distribuciones de Probabilidad para . variables aleatorias continuas 4.4.1. Distribuciones de Probabilidad . Continua 4.4.1.1. Distribución Normal 4.4.1.2. Distribución Exponencial 4.4.1.3. Distribución Weibull 4.4.2. Ejercicios Resueltos 4.4.3 Ejercicios Propuestos

4.1 Variables aleatorias discretas y continuas

4.1.1 Introducción

4.1.2 Ejercicios resueltos

4.1.3 Guía de ejercicios

4.2 Esperanza Matemática

4.2.1. Ejercicios Resueltos

4.2.2 Ejercicios Propuestos

Vázquez, H. 2009 2

4.1.1 Introducción

VARIABLE

TIPO

EJEMPLO

Una variable "x" es

una variable

aleatoria, si los valores que toma "x",

que corresponden a

los diferentes

resultados de un

experimento, son

eventos fortuitos o

aleatorios

Discreta: Si el

número de valores

que puede tomar la

variable aleatoria es

contable

(0,1,2,3,...),

* Número de piezas

defectuosas en un

lote.

* Número de

pacientes que esperan

en un consultorio.

Continua: Si el

número de valores

que puede tomar la

variable aleatoria es

medible y además

puede adquirir un

número infinito de

valores es un

intervalo dado.

* Peso de costales de

maíz

* Estatura de alumnos

* Cantidad de azúcar

en mg. contenidos en

una naranja.

Vázquez, H. 2009 3

Distribuciones de Probabilidad

Introducción:

Suponga que usted es el director del departamento de control de calidad de

una empresa que confecciona ropa casual, y que se encuentra realizando su

revisión mensual. En el procedimiento usted retira aleatoriamente 10 prendas

acabadas y las revisa en busca de defectos de fabricación, A lo largo del tiempo,

sólo el 2% de las prendas tienen defectos. ¿Cómo calcularía usted la probabilidad

de que más de dos prendas tengan defectos de fabricación? Estudie la presente

sección y usted podrá dar respuesta a este problema.

En el capítulo anterior se establecieron diversas reglas de probabilidad y se

examinaron algunas técnicas de conteo. En este capítulo se utilizará esa

información para explorar diversos modelos de probabilidad que representan ciertos

modelos de interés.

Variables Aleatorias:

Los resultados numéricos de los experimentos varían de un ensayo a otro y por

lo tanto representan observaciones acerca de una variable, que se denotará por el símbolo "x". Cada valor de "x"representa, en forma numérica, un evento y; por

lo tanto, una colección específica de eventos simples en el espacio muestral (S) o

de resultados fortuitos. Por tal motivo se le da el nombre de variable aleatoria.

Definición: Una variable "x"es una variable aleatoria, si los valores que toma "x",

que corresponden a los diferentes resultados de un experimento, son eventos

fortuitos o aleatorios.

Una variable aleatoria puede ser uno de dos tipos, discreto o continuo. Si el número

de valores que puede tomar la variable aleatoria es contable (0,1,2,3,...), entonces

se le llama variable aleatoria discreta. Al señalar estos valores como puntos sobre

una recta, los pares de puntos estarían separados. Una variable aleatoria continua

es la que puede tener como valor el de cualquiera del número infinito de puntos

que hay en un intervalo de la línea. Es importante distinguir una variable discreta

de una continua, ya que cada una de ellas pueden generar distribuciones de

probabilidad diferentes.

Una variable aleatoria discreta se identificará examinando los valores que puede

asumir. Si se pueden enumerar, entonces debe de ser discreta.

Ejemplo: Los siguientes variables representan variables aleatorias discretas.

a) El número de llamadas que llegan a una central telefónica durante un periodo de

10 minutos.

b) El número total de tiros que dan en el blanco, cuando un tirador efectúa 5 tiros.

c) El número de venados cazados por año en un evento de caza.

Para detectar una variable aleatoria continua, se debe observar si las mediciones

que puede tomar la variable, tienen un conjunto de valores que forman puntos

sobre una línea sin ninguna interrupción o espacios entre ellos.

Vázquez, H. 2009 4

Ejemplo: Las siguientes variables representan variables aleatorias continuas.

a) La estatura de una persona.

b) La cantidad de azúcar en una naranja.

c) El tiempo de vida de una célula humana.

Dentro de la teoría probabilística existen diferentes distribuciones de probabilidad

según sea la variable del experimento. En esta sección se tratará la distribución

para variables discretas y distribución para variables continuas.

Distribuciones de Probabilidad para Variables Aleatorias Discretas.

Al trabajar un experimento probabilístico, se asigna uno y un solo valor de "x" a

cada evento simple, de aquí que, los valores de "x" representan eventos numéricos

mutuamente excluyentes.

La distribución de probabilidad P(x) para una variable aleatoria discreta es una

fórmula, una tabla o un gráfico, que proporciona la probabilidad asociada a cada valor de la variable aleatoria. Al sumar P(x) para todos los valores "x", se obtiene la

suma de las probabilidades de todos los eventos simples y, por lo tanto, es igual a

1. Es posible entonces señalar dos requisitos para una distribución de probabilidad:

Ejemplo: Considérese un experimento que consiste en lanzar cuatro monedas, y sea "x" la variable aleatoria discreta que representa el número de caras observadas.

Encuentre la distribución de probabilidad para "x".

Solución:

Aplicando las reglas de probabilidad vistas en el capítulo anterior, se pueden

obtener los eventos simples para éste experimento, junto con sus respectivas

probabilidades.

c= Representa la cara de la moneda.

X= Representa la cruz de la moneda.

x= Variable que representa el número de caras observadas.

P( X i )= Probabilidad de cada variable aleatoria discreta.

P( E i )= Probabilidad de cada evento.

Vázquez, H. 2009 5

Una vez obtenidos todos los posibles eventos del experimento, y calculado su

respectiva probabilidad, se procede a elaborar la tabla de distribución de probabilidad para la variable "x". Tabla de Distribución de "x"

x = número de caras.

Si se analiza la distribución de probabilidad se puede obtener una función de probabilidad "P(X)" que siga dicha distribución:

_____________ x= Variable aleatoria discreta: Número de caras.

Al sustituir la variable "x" en la función, se obtiene la misma probabilidad que

muestra la tabla anterior.

Vázquez, H. 2009 6

Representación Gráfica:

Hasta aquí se ha representado una distribución de probabilidad en forma tabular y

por medio de una fórmula (función de probabilidad), a continuación se presentará

la función de probabilidad para el Ejemplo 3 en forma gráfica, a través de un

histograma.

Histograma de Distribución de Probabilidad para el número de caras, en el

lanzamiento de cuatro monedas:

Una vez realizada la distribución de probabilidad, se puede dar respuesta a

preguntas sobre la probabilidad de eventos.

EJEMPLO: Con base en el Ejemplo anterior haciendo referencia a su tabla de

distribución de probabilidad, contestar las siguientes preguntas:

¿Cuál es la probabilidad de que en el lanzamiento de 4 monedas,

a) se obtenga por lo menos 2 caras:

P(x 2)= P(x = 2) + P(x = 3) + P(x = 4) = 11/16

ó P(x 2) = 1 - P(x < 2) = 1 - [P(x = 0) + P(x = 1) = 1 – 5/16 = 11/16

b) Se obtenga por lo mucho 3 caras:

P(x 3) = P(x = 0) + P(x = 1) + P(x = 2) + P(x = 3) = 15/16

ó P(x 3) = 1 - P(x > 3) = 1 - [P(x = 4) = 1- 1/16 = 15 /16

c) De que se obtengan 2 caras:

P(x = 2) = 6/16

Vázquez, H. 2009 7

Función de Distribución Acumulativa de Probabilidad

Al hacer referencia a la distribución de probabilidad para una variable aleatoria

discreta, implica la existencia de una "Función de distribución acumulativa de probabilidad para x", la cual se representará como F(x). Ésta representa la suma de

las probabilidades puntuales hasta el valor de "x", inclusive.

Definición: La función de distribución acumulativa F(x) de la variable aleatoria

discreta "x", es la probabilidad de que "x" sea menor o igual a un valor específico de

x:

F(x) = P(X ≤ x) =

Ejemplo: Si se ejemplifica F(x) en el problema anterior.

x P (Xi) F(x)

0 1/16 F(0) = P(X ≤ 0) = P(x=0) = 1/16

1 4/16 F(1) = P(X ≤1) = P(x=0) + P(x=1 = 4/16

2 6/16 F(2) = P(X ≤2) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) = 11/16

3 4/16 F(3) = P(X ≤3)= P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3)= 15/16

4 1/16 F(4) = P(X≤ 4) = P(x=0) + P(x=1) + P(x=2) + P(x=3) + P (x=4) = 16/16

5

4

La función F(x) se puede representar gráficamente por medio de una "Gráfica

Escalonada".

Ejemplo: Con base en el ejemplo anterior, la gráfica escalonada es:

Vázquez, H. 2009 8

Observe y Analice: El escalón de la gráfica para cada valor de la variable se traza

hacia atrás del valor correspondiente.

Trabajar con F(x), es útil para el cálculo de probabilidades de cualquier evento para

la variable "x".

Ejemplo: Volviendo al Ejemplo anterior, se calculará las mismas probabilidades enunciadas anteriormente, pero ahora, haciendo uso de F(x).

a) P(x ≥2) = 1 - F(x = 1) = 1-5/16 = 11/16.

b) P(x ≤3) = F(x = 3) = 15/16.

c) P(x = 2) = F(x = 2) - F(x = 1) = 11/16 - 5/16 = 6/16.

4.1.2 Ejercicios resueltos

1.- A partir de la gráfica siguiente, de la distribución de probabilidad

a) Construya una tabla de distribución de probabilidad.

Solución:

TABLA x P(x) ( xi ) P( xi ) E (x) =

8,000

9,000

10,000

11,000

12,000

13,000

0.05

0.15

0.25

0.30

0.20

0.05

1.00

400

1,350

2,500

3,300

2,400

650

10,600

10,600

Vázquez, H. 2009 9

2.- La distribución del número de "home runs" por juego de beisbol de esta

temporada en una liga interuniversitaria es:

Número total de home runs "X" P(Xi)

a) ¿Es esta una distribución de probabilidad? Explique.

b) Graficar la función de probabilidad.

c) Graficar la función de probabilidad acumulativa.

d) Calcule la probabilidad de obtener por l menos 3 home runs.

e) Calcule la probabilidad de obtener menos de 5 home runs.

Solución:

a) Si, porque

b) Gráfico de función de probabilidad

c) Gráfico de función acumulativa de probabilidad

f) P ( x ≥3) = 1 - P ( x < 3 )= 1- 0.75 = 0.25

g) P( x < 5 ) = P ( 0 ≤x ≤4 ) = 0.95

0

1

2

3

4

5

6

0.20

0.30

0.25

0.10

0.10

0.04

0.01

Vázquez, H. 2009 10

4.1.3 Ejercicios Propuestos

1.- Determine en cada caso si los valores de referencia pueden servir como los

valores de una distribución de la probabilidad de alguna variable aleatoria que sólo

tome los valores 1, 2 y 3 y explique sus respuestas:

a) P(X=1)= 0.42, P(X=2)=0.31 y P(X=3)= 0.37;

b) P(X=1)= 0.08, P(X=2)= 0.12 y P(X=3)= 1.03;

c) P(X=1)= 10/33, P(X=2)= 1/3 y P(X=3)= 12/33

2.- Con el objeto de verificar la exactitud de su contabilidad, las compañías utilizan

auditores regularmente para verificar las anotaciones en sus cuentas. Suponga que

los empleados de cierta compañía hacen anotaciones erróneas el 5% de las veces.

Si un auditor revisa al azar tres anotaciones:

a) Encuentre la distribución de probabilidad para el número de errores "x"

detectados por el auditor.

b) Calcule la probabilidad de que el auditor detecte más de un error.

c) Realice un grafico de función de probabilidad

d) Realce un grafico de función acumulada de probabilidad

3.- Identifique las siguientes variables aleatorias como discretas o continuas.

a) El número de reclamos recibidos por la Comisión Federal de Electricidad en 1

día.

b) El tiempo de atención a clientes en un mostrador.

c) El número de microorganismos en un centímetro cúbico de agua.

d) El aumento en el tiempo de vida conseguido por un paciente de SIDA

debido a una intervención quirúrgica.

4.- Determine si el caso siguiente puede servir como distribución de la probabilidad

de alguna variable aleatoria: Explique.

para x = 1,2,3,4

Vázquez, H. 2009 11

4.2 Esperanza Matemática

Caso Real: Esperanza Matemática

Jorge López, quien con frecuencia invierte en la bolsa de valores, estudió

cuidadosamente cualquier inversión potencial. En la actualidad está estudiando la

posibilidad de invertir en la compañía "Poder". Haciendo un análisis del

comportamiento pasado de la compañía, Jorge ha dividido los resultados

potenciales de la inversión en cinco posibles resultado, con sus respectivas

probabilidades. Los resultados son los índices anuales de recuperación de un solo

paquete de acciones que actualmente cuestan $150.00. Cual es el valor esperado

de recuperación de la inversión en un solo paquete de acciones de "Poder"

Conceptos

Valor Esperado o Esperanza Matemática

El valor esperado de una variable aleatoria es un concepto muy importante en

el estudio de las distribuciones de probabilidad.

Definición: El valor esperado de una variable aleatoria discreta "x" es el promedio o

valor medio de "x".

Por lo tanto la esperanza matemática o valor esperado se puede calcular por la

siguiente ecuación:

u = Promedio.

E(X) = Valor esperado o Esperanza Matemática.

X = Variable aleatoria discreta de interés.

Xi = i - ésimo valor de X.

P(Xi ) = Probabilidad de ocurrencia del i - ésimo valor de X.

Vázquez, H. 2009 12

Ejemplo:

Considérese un experimento que consiste en lanzar cuatro monedas, y sea "x" la

variable aleatoria discreta que representa el número de caras observadas.

Encuentre la distribución de probabilidad para "x". Calcular el número esperado de

caras en el lanzamiento de 4 monedas:

Como E(X) = 2, se espera que en el lanzamiento de 4 monedas caigan 2 caras.

Observe y Analice:

Para calcular el valor esperado de una distribución de probabilidad para una

variable aleatoria discreta, bastará con agregar una columna que represente la

operación a realizar, en la tabla de distribución de probabilidad.

Varianza y Desviación Estándar:

La varianza de distribuciones de probabilidad discreta se define de manera

semejante a la varianza de datos muestrales.

Definición: La varianza de una variable aleatoria discreta es la desviación promedio

al cuadrado en torno a la media, tomada sobre todos los valores de "X". La

varianza se puede calcular como:

Xi = i - ésimo valor de X.

P(Xi ) = Probabilidad de ocurrencia del i - ésimo valor de X.

Por lo tanto, se puede calcular la desviación estándar de la distribución de

probabilidades por medio de la siguiente ecuación:

Ejemplo:

Considérese un experimento que consiste en lanzar cuatro monedas, y sea "x" la

variable aleatoria discreta que representa el número de caras observadas. Calculará

su varianza y desviación:

Vázquez, H. 2009 13

Observe y Analice:

Para calcular la varianza y desviación estándar de una distribución de probabilidad

para una variable aleatoria discreta, basta con agregar una columna, que

representa la operación a realizar, en la tabla de distribución de probabilidad.

Ejemplo:

¿ Cuál es la esperanza matemática cuando se recibe $10.00 si y solo si una moneda

balanceada cae en cara ?

Solución:

Si se supone que la moneda está balanceada y se arroja al aire aleatoriamente,

es claro que la probabilidad de que la moneda caiga en cara es de 1/2, por lo tanto

la esperanza matemática es:

X = $10.00 ________P(X) = ½ ________ E(X) = 10(1/2) = $5.00.

Ejemplo:

La distribución de probabilidad del número "x" de automóviles nuevos vendidos por

día por un distribuidor pequeño aparece en la siguiente tabla

Contestar:

a) ¿Los datos de la tabla proporciona una distribución de probabilidad?

b) ¿ Cuál es la probabilidad de que se vendan por lo menos 3 autos?

c) Calcule el número promedio esperado de ventas por días.

d) Calcule la varianza y desviación estándar.

Vázquez, H. 2009 14

Solución:

a) Como , entonces, los datos de la tabla sí proporcionan una

distribución de probabilidad.

b) P ( x ≥3 ) = P( 3 ≤x ≤7 ) = 0.30

O bien se puede calcular utilizando el complemento:

P ( x≥ 3 ) = 1 - P ( x < 3) = 1 - P ( 0 ≤x ≤2 ) = 1 - 0.70 = 0.30

c) Para calcular el valor esperado, se agregará una columna, con la operación

Por lo tanto el valor esperado o promedio es:

d) Varianza y desviación estándar, agregando la columna correspondiente para

su cálculo:

= 1.8131

Vázquez, H. 2009 15

= 1.347

Gráfica

Histograma (X , P (X) )

Gráfica de Función Acumulativa o Escalonada ( X, F(X) )

Vázquez, H. 2009 16

4.2.1 Ejercicios Resueltos

Esperanza Matemática

1.- ¿Cuál es la esperanza matemática si se gana $20.00 cuando un dado cae 1

ó 6 y se pierde $5.00 cuando cae 2, 3, 4 ó 5?

E ( x i ) = = Ganancia - Pérdida = 6.67 - 3.33 = 3.34

2.- La distribución del número de "home runs" por juego de béisbol de esta

temporada en una liga interuniversitaria es:

Número total de home runs P(Xi)

0

1

2

3

4

5

6

0.20

0.30

0.25

0.10

0.10

0.04

0.01

a) Calcule el valor esperado de home runs por juego

b) Calcule la varianza y la desviación estándar

= 1.76 = 2 home runs E (x) =

Para calcular la desviación estándar y la varianza, es conveniente

agregar cuarta columna, como se puede observar en la tabla anterior:

= 2.21

= 1.49

Vázquez, H. 2009 17

3.- A partir de la gráfica siguiente, de la distribución de probabilidad

a) Encuentre el valor esperado de la variable aleatoria.

Solución:

TABLA

x P(x) ( xi ) P( xi ) E (x) =

8,000

9,000

10,000

11,000

12,000

13,000

0.05

0.15

0.25

0.30

0.20

0.05

1.00

400

1,350

2,500

3,300

2,400

650

10,600

10,600

4.2.2 Ejercicios Propuestos

1. En una planta industrial, los lotes grandes de artículos recibidos se inspeccionan

para detectar los defectuosos por medio de un esquema de muestreo. Considere un

lote integrado por 50 artículos de los cuales 4 están defectuosos. Considere que se

extraen 3 artículos al azar. Sea "X" la variable que representa artículos defectuosos

en un lote

a) Realice una distribución de probabilidad

b) Grafique la distribución de probabilidad

c) Calcule la esperanza matemática, desviación estándar

d) Se rechazará un lote, si cuando menos 2 de sus artículos están defectuosos

¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado ?

2. Si hay seis bulbos fuera de especificaciones en un lote de 100 y se hace una

selección con reemplazo de 3 bulbos. Sea "x" la variable que representa bulbo fuera

de especificaciones

Vázquez, H. 2009 18

d) Realice una distribución de probabilidad

e) Grafique la distribución de probabilidad

f) Calcule la esperanza matemática, desviación estándar

d) Cuál es la probabilidad de que:

- Por lo menos 2 estén fuera de especificaciones

- Dos cumplan con las especificaciones

3. Las probabilidades de que un inversionista pueda vender una propiedad con un

beneficio de $2,500.00, un beneficio de $1,500.00, un beneficio de $500.00 o una

pérdida de $500.00 son 0.22, 0.28 y 0.24 respectivamente. ¿Cuál es el beneficio

esperado del inversionista?

4. Considere el lanzamiento de dos dados, en donde "x" es una variable que

representa la suma total de los puntos que salen cara arriba en ambos dados.

Su función de probabilidad está dada por : P(x) = x= 2, 3, 4,5,...12

Construya una tabla de distribución de probabilidad y

calcule

a) El valor esperado de la suma total de puntos

b) La desviación estándar

5. Construya una distribución de probabilidad basada en la siguiente distribución de

frecuencias.

Resultado 102 105 108 111 114 117

Frecuencia 10 20 45 15 20 15

a) Trace una gráfica de la distribución de probabilidad.

b) Calcule el valor esperado del resultado.

6. Sea X una variable aleatoria que representa el número de clientes que llegan a una

tienda en un periodo de una hora.

X 0 1 2 3 4 5 6 7 8

P(X) 0.05 0.10 0.10 0.10 0.20 0.25 0.10 0.05 0.05

Encontrar:

a) El número esperado de clientes que llegan a la tienda

b) La desviación estándar

7. Sea X una variable aleatoria discreta. Determinar el valor de K para que la función

P(X)=K/x en donde x=1, 2, 3, 4, sea la función de probabilidad de X.